DSP 06 z transformata


Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
z-transformata (06)
SÅ‚awomir Kulesza
Wykład fakultatywny dla studentów
III r. spec. Informatyka ogólna
Rok akademicki 2012/2013
z-transformata

Istnieją sygnały czasu dyskretnego, które nie
są zbieżne w sensie DTFT, a więc nie
posiadajÄ… transformat DTFT, np.:
x[n]=u[n]
x[n]=sin(É n)
x [n]=(0.5)nu[-n]

Aby badać własności tych sygnałów w
dziedzinie innej niż czas należy zdefiniować
odpowiedniÄ… transformatÄ™ - z-transformatÄ™.
z-transformata

Z-transformatą sygnału czasu dyskretnego
x[n] nazywamy funkcjÄ™:
"
X ( z)= x [n] z-n
"
n=-"
gdzie: z  jest zmiennÄ… zespolonÄ….

Z-transformatÄ™ oznaczamy symbolicznie:
$!
z [n]Ô! X (z)
$!-1
Przykłady
Z-transformata a DTFT

Wyrazmy zmienną z w postaci wykładniczej:
j É
z=r e

Wówczas z-transformata przyjmie postać:
"
j É
Z (r e )= x[n]r-ne- j É n
"
n=-"

Dla porównania, DTFT ma postać:
"
j É
X (e )= x [n]e- j É n
"
n=-"
Z-transformata a DTFT

Z porównania DTFT oraz z-transformaty
widać, że ta ostatnia jest tożsama DTFT
zmodyfikowanego sygnału x[n]:
x [n]=x[n]Å"r-n

Interpretacja geometryczna

DTFT sygnału x[n] jest zbieżna wtedy i tylko
wtedy, gdy ROC jego z-transformaty zawiera
okrÄ…g jednostkowy.
Zbieżność z-transformaty

Z-transformata jest bezwzględnie sumowalna
wtedy i tylko wtedy, gdy:
"
#"x [n]r-n#"<"
"
n=-"

Może zatem zajść sytuacja, że dla pewnych
wartości parametru r z-transformata sygnału
x[n] będzie zbieżna, a jego DTFT  nie.

Zbiór wszystkich wartości r, dla których z-
transformata jest zbieżna nazywa się obszarem
zbieżności  ROC (Region of Convergence).
Zbieżność z-transformaty

Zauważmy, że:
-1
" "
x[n]
#"X (z)#"= #"x[n]#"#"r-n#"= #"x[n]r-n#"+ =...
Å"
" " "
#" #"
rn
n=-" n=-" n=0
" "
x[n]
...= #"x [-n]rn#"+
" "
#" #"
rn
n=1 n=0
Zbieżność z-transformaty
"
Zbieżność #"x[-n]Å"rn#"
"
n=1
"
x[n]
Zbieżność
"
#" #"
rn
n=0
Przykład

x [n]=anÅ"u[n]
Wyznaczyć z-transformatę sygnału:
" "
n
1
( )
X ( z)= anÅ"z-n= aÅ"z-1 = ; ROC :#"z#">#"a#"
" "
1-aÅ"z-1
n=0 n=0
Przykład

Wyznaczyć z-transformatę sygnału:
x [n]=-anÅ"u[-n-1]
-1
"
a-1Å"z
X ( z)= (-an)Å"z-n=- (a-1Å"z)n=- =...
" "
1-a-1Å"z
n=-" n=1
1
...= ; ROC :#"z#"<#"a#"
1-aÅ"z-1
Przykład (cd.)
Jednoznaczność z-transformaty

Istnieją sygnały posiadające identyczną z-
transformatę, np. przyczynowy sygnał u[n]
oraz antyprzyczynowy sygnał u[-n-1]:
1
Z (u[n])=Z (u[-n-1])=
1-z-1

Zamknięta postać z-transformaty nie pozwala
jednoznacznie odtworzyć sygnału w dziedzinie
czasu  wymagana jest także znajomość
ROC.
Jednoznaczność z-transformaty

Sygnały czasu dyskretnego x[n] są określone
jednoznacznie poprzez podanie ich z-
transformaty X(z) oraz obszaru zbieżności
ROC.

ROC sygnałów antyprzyczynowych leży
wewnątrz okręgu o promieniu r1, zaś ROC
sygnałów przyczynowych leży poza okręgiem
o promieniu r2.
Przykład

Wyznaczyć z-transformatę sygnału:
x [n]=an u[n]+bn u[-n-1]
" "
X ( z)= (aÅ"z-1)n+ (b-1Å"z)n ; ROC :#"z#">#"a#",#"z#"<#"b#"
" "
n=0 n=1

Rozpatrzmy 2 przypadki:

|b| < |a|: obszary nie przekrywają się, więc X[z]
nie istnieje,

|b| > |a|:
1 1 b-a
X [ z]= - = ; ROC :#"a#"<#"z#"<#"b#"
1-aÅ"z-1 1-bÅ"z-1 a+b-z-aÅ"bÅ"z-1
Przykład
Przykład
Przykład
Pary z-transformat
Wymierna z-transformata

Wymierna z-transformata opisywana jest
wyrażeniem postaci:
p0+ p1 z-1+& + pM z-M
P( z)
H (z)= =
D( z)
d +d z-1+& +d z-N
0 1 N
gdzie: M  jest stopniem wielomianu P(z), zaÅ›
N  stopniem wielomianu D(z)
Wymierna z-transformata

Alternatywna postać wymiernej z-transformaty
opisywana jest wyrażeniem:
p0 zM + p1 zM -1+& + pM
H (z)=z( N -M )
d zN +d zN -1+& +d
0 1 N
Lub w postaci iloczynowej:
M
( z-Ä…k)
"
p0 k=1
H (z)=z( N -M )
N
d
0
(z-²k)
"
k=1
Zera i bieguny wymiernej
z-transformaty

Zauważmy, że z-transformata w postaci
iloczynowej: M
( z-Ä…k)
"
p0 k=1
H (z)=z( N -M )
N
d
0
(z-²k)
"
k=1
w punktach ąk przyjmuje wartość zero, zaś w
punktach ²k dąży do nieskoÅ„czonoÅ›ci.

Wartości ąk to zera z-transformaty (zeros -
(o)), zaÅ› wartoÅ›ci ²k  jej bieguny (poles - (x)).
Zera i bieguny z-transformaty

Z postaci iloczynowej:
M
( z-Ä…k)
"
p0 k=1
H (z)=z( N -M )
N
d
0
(z-²k)
"
k=1
wynika także, że z-transformata posiada (N-M)
zer w początku układu (z=0).

Wymierna z-transformata jest całkowicie
reprezentowana przez podanie wzmocnienia
p0/d0 oraz lokalizacjÄ™ biegunów ²k i zer Ä…k.
Przykład

Wyznaczanie zer i biegunów z-transformaty
postaci:
H (z)=1-2.4 z-1+2.88 z-2
1-0.8 z-1+0.64 z-2
zera: Ä… = 1.2 Ä… j1.2
bieguny: ² = 0.4 Ä… j0.69
Przykład
Wymierna z-transformata o
współczynnikach rzeczywistych

Zera i bieguny wymiernej z-transformaty o
współczynnikach rzeczywistych są liczbami
zespolonymi parami sprzężonymi:
z-(a+ jb) Å" z-(a- jb) =&
( ) ( )
& =z2-2az+a2+b2
Fakt ten wykorzystuje siÄ™ przy projektowaniu
filtrów cyfrowych metodą zer i biegunów z-
transformaty.
Obszar zbieżności
wymiernej z-transformaty

Określmy ROC z-transformaty sygnału:
z
h[n]=(-0.6)n u[n] , H (z)= Ô!|z|>0.6
z+0.6
ROC wymiernej z-transformaty

ROC z-transformaty sygnału prawostronnego
postaci:
x [n]=(a (Ä…)n+b(²)n)u[n-N ] ,#"Ä…#"<#"²#"
0
jest określona warunkiem:
#"²#"<#"z#"<"

ROC z-transformaty sygnału lewostronnego:
x [n]=(a (Ä…)n+b(²)n)u[-n-N ],#"Ä…#"<#"²#"
0

Jest określona warunkiem:
0d"#"z#"<#"Ä…#"
ROC wymiernej z-transformaty
Własności z-transformaty
Odwrotna z-transformata

W wielu aspektach technicznych zwiÄ…zanych z
przetwarzaniem sygnału istotnego znaczenia
nabiera problem odwracania z-transformaty,
czyli przejścia od X(z) do x[n].

Odwracanie z-transformaty odbywa siÄ™
zasadniczo metodami:

całek Cauchy'ego,

tablicowÄ…,

rozkładu na ułamki proste,

długiego dzielenia.
Metoda całek Cauchy'ego
Metoda całek Cauchy'ego
Metoda tablicowa

NajprostszÄ… metodÄ… jest doprowadzenie danej z-
transformaty do postaci ujętej w tablicach i
skorzystanie z gotowego wyrażenia na odwrotną
z-transformatÄ™ funkcji.

Ponieważ z-transformata jest przekształceniem
liniowym, wystarczy przedstawić ją jako
kombinacjÄ™ liniowÄ… z-transformat elementarnych.
Tablica par z-transformat
Przykład

Znalezć odwrotną z-transformatę funkcji:
0.5z
H (z)= #"z#">0.5
z2-z+0.25

Przekształćmy powyższe wyrażenie do postaci:
0.5z-1
H (z)=
(1-0.5z-1)2

Porównując z danymi z tabeli znajdujemy, że:
h[n]=n(0.5)n u[n]
Metoda rozkładu na ułamki proste

Obszarem zbieżności wymiernej z-transformaty
H(z) sygnału przyczynowego h[n] jest obszar
leżący na zewnątrz koła.

Metoda rozszerzania ułamków częściowych
polega rozbijaniu funkcji H(z) na sumÄ™
prostszych wyrazów, których odwrotne z-
transformaty można znalezć np. metodą
tablicowÄ….
Rozkładanie na ułamki proste

Wymierna z-transformata dana jest wyrażeniem:
p0+ p1 z-1+& + pM z-M
P( z)
H (z)= =
D( z)
d +d z-1+& +d z-N
0 1 N

Jeśli Me"N, wówczas funkcja wymierna H(z) jest
ułamkiem niewłaściwym.

Można w takiej sytuacji dokonać dzielenia
wielomianu P(z) przez D(z) i zapisać wynik w
postaci zawierającej ułamek właściwy P1/D:
M -N
P1(z)
H (z)= Ä…k z-k+
"
D( z)
k=0
Przykład

Dany jest ułamek niewłaściwy postaci:
2+0.8 z-1+0.5 z-2+0.3 z-3
H (z)=
1+0.8 z-1+0.2 z-2

Dokonując długiego dzielenia wielomianów
otrzymamy ostatecznie, że:
5.5+2.1 z-1
H (z)=-3.5+1.5 z-1+
1+0.8z-1+0.2z-2
Wydzielanie ułamka właściwego
Część wydzielona Odwrotna
kolejność!!!
1.5 z-1-3.5
0.3 z-3+0.5 z-2+0.8 z-1+2:0.2 z-2+0.8 z-1+1
-(0.3 z-3+1.2 z-2+1.5 z-1)
= -0.7 z-2-0.7 z-1+2
-0.7 z-2-2.8 z-1-3.5
= 2.1 z-1+5.5
Reszta z dzielenia
Bieguny pojedyncze

Gdy H(z) jest ułamkiem właściwym z
pojedynczymi, rozdzielonymi biegunami k,
można ją wówczas przedstawić w postaci
sumy ułamków prostych:
N
rk
H (z)=
"
1-k z-1
k=1

Stałe rk w powyższym wzorze to tzw. residua
funkcji H(z).
Residua

Wartości residuów obliczamy ze wzoru:
rk=(1-k z-1)Å"H ( z)#"z=
k

Ponieważ zakładamy przyczynowość
badanych sygnałów (ROC: |z| > |k|), zatem:
N N
rk
Z-1
H (z)= Ò! g [n]= rk(k)n u [n]
" "
1-k z-1
k=1 k=1
Przykład

Znalezć odwrotną z-transformatę funkcji:
1+2z-1
H (z)=
(1-0.2z-1)(1+0.6z-1)

Funkcja ma dwa rozdzielone bieguny: -0.6, 0.2

Dokonujemy rozkładu na ułamki proste:
r1 r2
H (z)= +
1-0.2z-1 1+0.6z-1
Przykład

Obliczamy wartości residuów:
1+2z-1
r1=(1+0.6z-1) H ( z)#"z=-0.6= #"z=-0.6=-1.75
1-0.2z-1
1+2z-1
r2=(1-0.2z-1) H (z)#"z=0.2= #"z=0.2=2.75
1+0.6z-1

Poszukiwana odwrotna z-transformata ma
więc postać:
h[n]=-1.75(-0.6)n u[n]+2.75(0.2)nu [n]
Przykład

Wartości residuów można także obliczyć
doprowadzając sumę ułamków prostych z
powrotem do postaci wyjściowej i porównując
wartości powstałych wyrażeń:
r1 r2
H ( z)= + =&
1-0.2z-1 1+0.6z-1
(r1+r2)+(-0.2 r1+0.6 r2) z-1
1+2z-1
& = =
(1-0.2z-1)(1+0.6z-1) (1-0.2z-1)(1+0.6z-1)
r1+r2=1 r1-1.75
Ò!
{ {
-0.2 r1+0.6 r1=2 r2=2.75
Bieguny wielokrotne

Gdy H(z) jest ułamkiem właściwym z L-krotnym
biegunem 1, i pozostałymi biegunami
pojedynczymi, należy ją wówczas przedstawić w
postaci:
L N -L+1
²k rk
H (z)= +
" "
(1-1 z-1)k 1-k z-1
k=1 k=2
Bieguny wielokrotne

StaÅ‚e ²k w powyższym wzorze (nie bÄ™dÄ…ce
residuami dla k>1) oblicza siÄ™ ze wzoru:
L-k
1 d
²k= (1-1 z-1)L H (z) #"z=
( )
1
(L-k )!(-1)L-k d ( z-1)L-k

Użyteczny wzór dla biegunów podwójnych:
Z
1
H (z)= Ô!h[n]=(n+1)()n u[n]
(1- z-1)2
Przykład

Dana jest funkcja H(z) postaci:
1
H ( z)= =...
2
1 1
(1- z-1)(1+ z-1)
2 3
r1 ²1 ²2
...= + + =...
2
1 1
1- z-1 1+ z-1 (1+ 1 z-1)
2 3
3
0.36 0.24 0.4
...= + +
2
1 1
1- z-1 1+ z-1 (1+ 1 z-1)
2 3
3
Metoda długiego dzielenia
wielomianów

IstotÄ… tej metody jest przedstawienie funkcji
wymiernej w postaci szeregu potęgowego z-k,
gdy sygnał jest przyczynowy, i zk, gdy sygnał
jest antyprzyczynowy.

Z własności z-transformaty wynika, że
współczynnik stojący przy wyrazie z-k jest
jednocześnie poszukiwaną k-tą próbką
sygnału h[n].

Metoda długiego dzielenia prowadzi zwykle do
nieskończonych szeregów potęgowych
zmiennej z-k.
Przykład

Wyznaczyć odwrotną z-transformatę funkcji
metodą długiego dzielenia wielomianów:
z-1
H (z)= ,#"z#">1
1-2z-1+z-2
Przykład
z-1+2 z-2+3 z-3+&
z-1:1-2 z-1+ z-2
-(z-1-2 z-2+ z-3)
= 2 z-2-z-3
-(2 z-2-4 z-3+2 z-4)
= 3 z-3-2z-4
H (z)=0+ z-1+2 z-2+3 z-3+&
h[n]=[0 ,1, 2,3,& ]
Funkcja przenoszenia

Funkcja odpowiedzi czÄ™stotliwoÅ›ciowej H(ejÉ)
układu LTI jest transformatą DTFT jego
odpowiedzi impulsowej h[n].

Funkcja odpowiedzi częstotliwościowej zawiera
kompletną informację o zachowaniu się układu w
dziedzinie częstotliwości, jednak z uwagi na
zespoloną postać, trudno nią manipulować przy
kształtowaniu charakterystyk filtrów.

Z drugiej strony, z-transformata jest wielomianem
zmiennej z-1 i dla rzeczywistych h[n] jest
wielomianem o współczynnikach rzeczywistych.
Funkcja przenoszenia

Wiemy, że:
"
y [n]= x[n]h[n-k ]
"
k=-"
Y (z)= X ( z) H ( z)

Funkcja przenoszenia H(z) dana jest jako:
Y ( z)
H (z)=
X ( z)

Jest to więc funkcja wymierna zmiennej z
Funkcja przenoszenia filtrów FIR

W przypadku filtrów FIR ich odpowiedz
impulsowa zawiera skończoną liczbę próbek,
a odpowiedz układu ma postać:
N
2
y [n]= x[k ]h[n-k ]
"
k=N
1

Funkcja przenoszenia ma zatem postać:
N
2
H (z)= h[k ] z-k
"
k=N1
Funkcja przenoszenia filtrów IIR

Filtry IIR opisywane są równaniami
różnicowymi o stałych współczynnikach:
N M
ak y[n-k ]= bk x [n-k ]
" "
k=0 k=0

Po zastosowaniu z-transformaty, otrzymujemy
wyrażenie:
N M
ak z-k Y ( z)= bk z-k X ( z)
" "
k=0 k=0
Funkcja przenoszenia filtrów IIR

Stąd, po przekształceniach funkcja przenoszenia
ma postać:
M
bk z-k
"
Y ( z)
k=0
H (z)= =
N
X ( z)
ak z-k
"
k=0

Ponieważ odpowiedz jest sygnałem
przyczynowym, ROC tej funkcji spełnia warunek:
#"z#">max#"k#"
k
Stabilność filtrów

Filtry z odpowiedziÄ… impulsowÄ… h[n] sÄ…
stabilne wtedy, gdy:
"
#"h[n]#"<"
"
k=-"

Często trudno jednak sprawdzić ten warunek
wprost, zatem kryterium stabilności
wyprowadza się w oparciu o położenie
biegunów funkcji przenoszenia H(z).
Stabilność filtrów

Jeśli ROC funkcji przenoszenia filtru LTI
zawiera koło jednostkowe, filtr jest stabilny w
sensie BIBO.

Wszystkie bieguny stabilnej funkcji
przenoszenia H(z) filtra przyczynowego
muszą leżeć wewnątrz koła jednostkowego.

Wszystkie bieguny stabilnej funkcji
przenoszenia H(z) filtra antyprzyczynowego
muszą leżeć na zewnątrz koła
jednostkowego.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
DSP 05 Transformaty ortogonalne
Tech tech chem11[31] Z5 06 u
srodki ochrony 06[1]
06 (184)
06
dsp spis tresci
06 (35)
Plakat WEGLINIEC Odjazdy wazny od 14 04 27 do 14 06 14

więcej podobnych podstron