Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
z-transformata (06)
SÅ‚awomir Kulesza
Wykład fakultatywny dla studentów
III r. spec. Informatyka ogólna
Rok akademicki 2012/2013
z-transformata

Istnieją sygnały czasu dyskretnego, które nie
są zbieżne w sensie DTFT, a więc nie
posiadajÄ… transformat DTFT, np.:
x[n]=u[n]
x[n]=sin(É n)
x [n]=(0.5)nu[-n]

Aby badać własności tych sygnałów w
dziedzinie innej niż czas należy zdefiniować
odpowiedniÄ… transformatÄ™ - z-transformatÄ™.
z-transformata

Z-transformatą sygnału czasu dyskretnego
x[n] nazywamy funkcjÄ™:
"
X ( z)= x [n] z-n
"
n=-"
gdzie: z  jest zmiennÄ… zespolonÄ….

Z-transformatÄ™ oznaczamy symbolicznie:
$!
z [n]Ô! X (z)
$!-1
Przykłady
Z-transformata a DTFT

Wyraz
my zmienną z w postaci wykładniczej:
j É
z=r e

Wówczas z-transformata przyjmie postać:
"
j É
Z (r e )= x[n]r-ne- j É n
"
n=-"

Dla porównania, DTFT ma postać:
"
j É
X (e )= x [n]e- j É n
"
n=-"
Z-transformata a DTFT

Z porównania DTFT oraz z-transformaty
widać, że ta ostatnia jest tożsama DTFT
zmodyfikowanego sygnału x[n]:
x [n]=x[n]Å"r-n

Interpretacja geometryczna

DTFT sygnału x[n] jest zbieżna wtedy i tylko
wtedy, gdy ROC jego z-transformaty zawiera
okrÄ…g jednostkowy.
Zbieżność z-transformaty

Z-transformata jest bezwzględnie sumowalna
wtedy i tylko wtedy, gdy:
"
#"x [n]r-n#"<"
"
n=-"

Może zatem zajść sytuacja, że dla pewnych
wartości parametru r z-transformata sygnału
x[n] będzie zbieżna, a jego DTFT  nie.

Zbiór wszystkich wartości r, dla których z-
transformata jest zbieżna nazywa się obszarem
zbieżności  ROC (Region of Convergence).
Zbieżność z-transformaty

Zauważmy, że:
-1
" "
x[n]
#"X (z)#"= #"x[n]#"#"r-n#"= #"x[n]r-n#"+ =...
Å"
" " "
#" #"
rn
n=-" n=-" n=0
" "
x[n]
...= #"x [-n]rn#"+
" "
#" #"
rn
n=1 n=0
Zbieżność z-transformaty
"
Zbieżność #"x[-n]Å"rn#"
"
n=1
"
x[n]
Zbieżność
"
#" #"
rn
n=0
Przykład

x [n]=anÅ"u[n]
Wyznaczyć z-transformatę sygnału:
" "
n
1
( )
X ( z)= anÅ"z-n= aÅ"z-1 = ; ROC :#"z#">#"a#"
" "
1-aÅ"z-1
n=0 n=0
Przykład

Wyznaczyć z-transformatę sygnału:
x [n]=-anÅ"u[-n-1]
-1
"
a-1Å"z
X ( z)= (-an)Å"z-n=- (a-1Å"z)n=- =...
" "
1-a-1Å"z
n=-" n=1
1
...= ; ROC :#"z#"<#"a#"
1-aÅ"z-1
Przykład (cd.)
Jednoznaczność z-transformaty

Istnieją sygnały posiadające identyczną z-
transformatę, np. przyczynowy sygnał u[n]
oraz antyprzyczynowy sygnał u[-n-1]:
1
Z (u[n])=Z (u[-n-1])=
1-z-1

Zamknięta postać z-transformaty nie pozwala
jednoznacznie odtworzyć sygnału w dziedzinie
czasu  wymagana jest także znajomość
ROC.
Jednoznaczność z-transformaty

Sygnały czasu dyskretnego x[n] są określone
jednoznacznie poprzez podanie ich z-
transformaty X(z) oraz obszaru zbieżności
ROC.

ROC sygnałów antyprzyczynowych leży
wewnątrz okręgu o promieniu r1, zaś ROC
sygnałów przyczynowych leży poza okręgiem
o promieniu r2.
Przykład

Wyznaczyć z-transformatę sygnału:
x [n]=an u[n]+bn u[-n-1]
" "
X ( z)= (aÅ"z-1)n+ (b-1Å"z)n ; ROC :#"z#">#"a#",#"z#"<#"b#"
" "
n=0 n=1

Rozpatrzmy 2 przypadki:

|b| < |a|: obszary nie przekrywają się, więc X[z]
nie istnieje,

|b| > |a|:
1 1 b-a
X [ z]= - = ; ROC :#"a#"<#"z#"<#"b#"
1-aÅ"z-1 1-bÅ"z-1 a+b-z-aÅ"bÅ"z-1
Przykład
Przykład
Przykład
Pary z-transformat
Wymierna z-transformata

Wymierna z-transformata opisywana jest
wyrażeniem postaci:
p0+ p1 z-1+& + pM z-M
P( z)
H (z)= =
D( z)
d +d z-1+& +d z-N
0 1 N
gdzie: M  jest stopniem wielomianu P(z), zaÅ›
N  stopniem wielomianu D(z)
Wymierna z-transformata

Alternatywna postać wymiernej z-transformaty
opisywana jest wyrażeniem:
p0 zM + p1 zM -1+& + pM
H (z)=z( N -M )
d zN +d zN -1+& +d
0 1 N
Lub w postaci iloczynowej:
M
( z-Ä…k)
"
p0 k=1
H (z)=z( N -M )
N
d
0
(z-²k)
"
k=1
Zera i bieguny wymiernej
z-transformaty

Zauważmy, że z-transformata w postaci
iloczynowej: M
( z-Ä…k)
"
p0 k=1
H (z)=z( N -M )
N
d
0
(z-²k)
"
k=1
w punktach ąk przyjmuje wartość zero, zaś w
punktach ²k dąży do nieskoÅ„czonoÅ›ci.

Wartości ąk to zera z-transformaty (zeros -
(o)), zaÅ› wartoÅ›ci ²k  jej bieguny (poles - (x)).
Zera i bieguny z-transformaty

Z postaci iloczynowej:
M
( z-Ä…k)
"
p0 k=1
H (z)=z( N -M )
N
d
0
(z-²k)
"
k=1
wynika także, że z-transformata posiada (N-M)
zer w początku układu (z=0).

Wymierna z-transformata jest całkowicie
reprezentowana przez podanie wzmocnienia
p0/d0 oraz lokalizacjÄ™ biegunów ²k i zer Ä…k.
Przykład

Wyznaczanie zer i biegunów z-transformaty
postaci:
H (z)=1-2.4 z-1+2.88 z-2
1-0.8 z-1+0.64 z-2
zera: Ä… = 1.2 Ä… j1.2
bieguny: ² = 0.4 Ä… j0.69
Przykład
Wymierna z-transformata o
współczynnikach rzeczywistych

Zera i bieguny wymiernej z-transformaty o
współczynnikach rzeczywistych są liczbami
zespolonymi parami sprzężonymi:
z-(a+ jb) Å" z-(a- jb) =&
( ) ( )
& =z2-2az+a2+b2
Fakt ten wykorzystuje siÄ™ przy projektowaniu
filtrów cyfrowych metodą zer i biegunów z-
transformaty.
Obszar zbieżności
wymiernej z-transformaty

Określmy ROC z-transformaty sygnału:
z
h[n]=(-0.6)n u[n] , H (z)= Ô!|z|>0.6
z+0.6
ROC wymiernej z-transformaty

ROC z-transformaty sygnału prawostronnego
postaci:
x [n]=(a (Ä…)n+b(²)n)u[n-N ] ,#"Ä…#"<#"²#"
0
jest określona warunkiem:
#"²#"<#"z#"<"

ROC z-transformaty sygnału lewostronnego:
x [n]=(a (Ä…)n+b(²)n)u[-n-N ],#"Ä…#"<#"²#"
0

Jest określona warunkiem:
0d"#"z#"<#"Ä…#"
ROC wymiernej z-transformaty
Własności z-transformaty
Odwrotna z-transformata

W wielu aspektach technicznych zwiÄ…zanych z
przetwarzaniem sygnału istotnego znaczenia
nabiera problem odwracania z-transformaty,
czyli przejścia od X(z) do x[n].

Odwracanie z-transformaty odbywa siÄ™
zasadniczo metodami:

całek Cauchy'ego,

tablicowÄ…,

rozkładu na ułamki proste,

długiego dzielenia.
Metoda całek Cauchy'ego
Metoda całek Cauchy'ego
Metoda tablicowa

NajprostszÄ… metodÄ… jest doprowadzenie danej z-
transformaty do postaci ujętej w tablicach i
skorzystanie z gotowego wyrażenia na odwrotną
z-transformatÄ™ funkcji.

Ponieważ z-transformata jest przekształceniem
liniowym, wystarczy przedstawić ją jako
kombinacjÄ™ liniowÄ… z-transformat elementarnych.
Tablica par z-transformat
Przykład

Znalez
ć odwrotną z-transformatę funkcji:
0.5z
H (z)= #"z#">0.5
z2-z+0.25

Przekształćmy powyższe wyrażenie do postaci:
0.5z-1
H (z)=
(1-0.5z-1)2

Porównując z danymi z tabeli znajdujemy, że:
h[n]=n(0.5)n u[n]
Metoda rozkładu na ułamki proste

Obszarem zbieżności wymiernej z-transformaty
H(z) sygnału przyczynowego h[n] jest obszar
leżący na zewnątrz koła.

Metoda rozszerzania ułamków częściowych
polega rozbijaniu funkcji H(z) na sumÄ™
prostszych wyrazów, których odwrotne z-
transformaty można znalez
ć np. metodą
tablicowÄ….
Rozkładanie na ułamki proste

Wymierna z-transformata dana jest wyrażeniem:
p0+ p1 z-1+& + pM z-M
P( z)
H (z)= =
D( z)
d +d z-1+& +d z-N
0 1 N

Jeśli Me"N, wówczas funkcja wymierna H(z) jest
ułamkiem niewłaściwym.

Można w takiej sytuacji dokonać dzielenia
wielomianu P(z) przez D(z) i zapisać wynik w
postaci zawierającej ułamek właściwy P1/D:
M -N
P1(z)
H (z)= Ä…k z-k+
"
D( z)
k=0
Przykład

Dany jest ułamek niewłaściwy postaci:
2+0.8 z-1+0.5 z-2+0.3 z-3
H (z)=
1+0.8 z-1+0.2 z-2

Dokonując długiego dzielenia wielomianów
otrzymamy ostatecznie, że:
5.5+2.1 z-1
H (z)=-3.5+1.5 z-1+
1+0.8z-1+0.2z-2
Wydzielanie ułamka właściwego
Część wydzielona Odwrotna
kolejność!!!
1.5 z-1-3.5
0.3 z-3+0.5 z-2+0.8 z-1+2:0.2 z-2+0.8 z-1+1
-(0.3 z-3+1.2 z-2+1.5 z-1)
= -0.7 z-2-0.7 z-1+2
-0.7 z-2-2.8 z-1-3.5
= 2.1 z-1+5.5
Reszta z dzielenia
Bieguny pojedyncze

Gdy H(z) jest ułamkiem właściwym z
pojedynczymi, rozdzielonymi biegunami k,
można ją wówczas przedstawić w postaci
sumy ułamków prostych:
N
rk
H (z)=
"
1-k z-1
k=1

Stałe rk w powyższym wzorze to tzw. residua
funkcji H(z).
Residua

Wartości residuów obliczamy ze wzoru:
rk=(1-k z-1)Å"H ( z)#"z=
k

Ponieważ zakładamy przyczynowość
badanych sygnałów (ROC: |z| > |k|), zatem:
N N
rk
Z-1
H (z)= Ò! g [n]= rk(k)n u [n]
" "
1-k z-1
k=1 k=1
Przykład

Znalez
ć odwrotną z-transformatę funkcji:
1+2z-1
H (z)=
(1-0.2z-1)(1+0.6z-1)

Funkcja ma dwa rozdzielone bieguny: -0.6, 0.2

Dokonujemy rozkładu na ułamki proste:
r1 r2
H (z)= +
1-0.2z-1 1+0.6z-1
Przykład

Obliczamy wartości residuów:
1+2z-1
r1=(1+0.6z-1) H ( z)#"z=-0.6= #"z=-0.6=-1.75
1-0.2z-1
1+2z-1
r2=(1-0.2z-1) H (z)#"z=0.2= #"z=0.2=2.75
1+0.6z-1

Poszukiwana odwrotna z-transformata ma
więc postać:
h[n]=-1.75(-0.6)n u[n]+2.75(0.2)nu [n]
Przykład

Wartości residuów można także obliczyć
doprowadzając sumę ułamków prostych z
powrotem do postaci wyjściowej i porównując
wartości powstałych wyrażeń:
r1 r2
H ( z)= + =&
1-0.2z-1 1+0.6z-1
(r1+r2)+(-0.2 r1+0.6 r2) z-1
1+2z-1
& = =
(1-0.2z-1)(1+0.6z-1) (1-0.2z-1)(1+0.6z-1)
r1+r2=1 r1-1.75
Ò!
{ {
-0.2 r1+0.6 r1=2 r2=2.75
Bieguny wielokrotne

Gdy H(z) jest ułamkiem właściwym z L-krotnym
biegunem 1, i pozostałymi biegunami
pojedynczymi, należy ją wówczas przedstawić w
postaci:
L N -L+1
²k rk
H (z)= +
" "
(1-1 z-1)k 1-k z-1
k=1 k=2
Bieguny wielokrotne

StaÅ‚e ²k w powyższym wzorze (nie bÄ™dÄ…ce
residuami dla k>1) oblicza siÄ™ ze wzoru:
L-k
1 d
²k= (1-1 z-1)L H (z) #"z=
( )
1
(L-k )!(-1)L-k d ( z-1)L-k

Użyteczny wzór dla biegunów podwójnych:
Z
1
H (z)= Ô!h[n]=(n+1)()n u[n]
(1- z-1)2
Przykład

Dana jest funkcja H(z) postaci:
1
H ( z)= =...
2
1 1
(1- z-1)(1+ z-1)
2 3
r1 ²1 ²2
...= + + =...
2
1 1
1- z-1 1+ z-1 (1+ 1 z-1)
2 3
3
0.36 0.24 0.4
...= + +
2
1 1
1- z-1 1+ z-1 (1+ 1 z-1)
2 3
3
Metoda długiego dzielenia
wielomianów

IstotÄ… tej metody jest przedstawienie funkcji
wymiernej w postaci szeregu potęgowego z-k,
gdy sygnał jest przyczynowy, i zk, gdy sygnał
jest antyprzyczynowy.

Z własności z-transformaty wynika, że
współczynnik stojący przy wyrazie z-k jest
jednocześnie poszukiwaną k-tą próbką
sygnału h[n].

Metoda długiego dzielenia prowadzi zwykle do
nieskończonych szeregów potęgowych
zmiennej z-k.
Przykład

Wyznaczyć odwrotną z-transformatę funkcji
metodą długiego dzielenia wielomianów:
z-1
H (z)= ,#"z#">1
1-2z-1+z-2
Przykład
z-1+2 z-2+3 z-3+&
z-1:1-2 z-1+ z-2
-(z-1-2 z-2+ z-3)
= 2 z-2-z-3
-(2 z-2-4 z-3+2 z-4)
= 3 z-3-2z-4
H (z)=0+ z-1+2 z-2+3 z-3+&
h[n]=[0 ,1, 2,3,& ]
Funkcja przenoszenia

Funkcja odpowiedzi czÄ™stotliwoÅ›ciowej H(ejÉ)
układu LTI jest transformatą DTFT jego
odpowiedzi impulsowej h[n].

Funkcja odpowiedzi częstotliwościowej zawiera
kompletną informację o zachowaniu się układu w
dziedzinie częstotliwości, jednak z uwagi na
zespoloną postać, trudno nią manipulować przy
kształtowaniu charakterystyk filtrów.

Z drugiej strony, z-transformata jest wielomianem
zmiennej z-1 i dla rzeczywistych h[n] jest
wielomianem o współczynnikach rzeczywistych.
Funkcja przenoszenia

Wiemy, że:
"
y [n]= x[n]h[n-k ]
"
k=-"
Y (z)= X ( z) H ( z)

Funkcja przenoszenia H(z) dana jest jako:
Y ( z)
H (z)=
X ( z)

Jest to więc funkcja wymierna zmiennej z
Funkcja przenoszenia filtrów FIR

W przypadku filtrów FIR ich odpowiedz

impulsowa zawiera skończoną liczbę próbek,
a odpowiedz
układu ma postać:
N
2
y [n]= x[k ]h[n-k ]
"
k=N
1

Funkcja przenoszenia ma zatem postać:
N
2
H (z)= h[k ] z-k
"
k=N1
Funkcja przenoszenia filtrów IIR

Filtry IIR opisywane są równaniami
różnicowymi o stałych współczynnikach:
N M
ak y[n-k ]= bk x [n-k ]
" "
k=0 k=0

Po zastosowaniu z-transformaty, otrzymujemy
wyrażenie:
N M
ak z-k Y ( z)= bk z-k X ( z)
" "
k=0 k=0
Funkcja przenoszenia filtrów IIR

Stąd, po przekształceniach funkcja przenoszenia
ma postać:
M
bk z-k
"
Y ( z)
k=0
H (z)= =
N
X ( z)
ak z-k
"
k=0

Ponieważ odpowiedz
jest sygnałem
przyczynowym, ROC tej funkcji spełnia warunek:
#"z#">max#"k#"
k
Stabilność filtrów

Filtry z odpowiedziÄ… impulsowÄ… h[n] sÄ…
stabilne wtedy, gdy:
"
#"h[n]#"<"
"
k=-"

Często trudno jednak sprawdzić ten warunek
wprost, zatem kryterium stabilności
wyprowadza się w oparciu o położenie
biegunów funkcji przenoszenia H(z).
Stabilność filtrów

Jeśli ROC funkcji przenoszenia filtru LTI
zawiera koło jednostkowe, filtr jest stabilny w
sensie BIBO.

Wszystkie bieguny stabilnej funkcji
przenoszenia H(z) filtra przyczynowego
muszą leżeć wewnątrz koła jednostkowego.

Wszystkie bieguny stabilnej funkcji
przenoszenia H(z) filtra antyprzyczynowego
muszą leżeć na zewnątrz koła
jednostkowego.