HYDROLOGIA,
METEOROLOGIA
I KLIMATOLOGIA
Cz. II – HYDROLOGIA
W 6 – Wody podziemne 3
M. Nawalany
HYDROLOGIA,
METEOROLOGIA
I KLIMATOLOGIA
Cz. II – HYDROLOGIA
W 6 – Wody podziemne 3
M. Nawalany
Prawo zachowania masy
Obj
ę
to
ść
kontrolna, stan ustalony:
- składowa x strumienia masy wody
x
q
~
=
2
~
m
S
M
q
s
kg
gdzie:
M [kg/s] – wydatek (przepływ) masowy
S [m
2
] – pole powierzchni przez któr
ą
przepływa wydatek M
Prawo zachowania masy – c.d.
Zwi
ą
zek pomi
ę
dzy strumieniem masowym a strumieniem
obj
ę
to
ś
ciowym q :
q
~
ρ
q
q
~
⋅
=
gdzie:
ρ
[kg/m
3
] – g
ę
sto
ść
cieczy.
Prawo ci
ą
gło
ś
ci dla o
ś
rodków porowatych ma posta
ć
:
( )
( )
q
~
div
t
n
−
=
∂
ρ
∂
Z postaci tej wida
ć
,
ż
e woda mo
ż
e by
ć
gromadzona w o
ś
rodku albo
wskutek zmiany g
ę
sto
ś
ci, albo wskutek zmiany geometrii o
ś
rodka, czyli
zmiany warto
ś
ci n.
Przypadki prawa ci
ą
gło
ś
ci
1.
Przypadek ogólny:
2. Przypadek szczególny - płyn nie
ś
ci
ś
liwy (
ρ
= const.), brak
zmian geometrii o
ś
rodka (n =const.),
st
ą
d
oraz
czyli:
0
z
q
y
q
x
q
z
y
x
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
Człon reprezentuje nadmiar masy wpływaj
ą
cej nad mas
ą
wypływaj
ą
ca z elementarnej obj
ę
to
ś
ci w jednostce czasu.
( )
q
div ~
−
( )
( )
q
~
div
t
n
−
=
∂
ρ
∂
(((( ))))
0
====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
t
n
ρρρρ
( )
0
q
div
=
(((( ))))
(((( ))))
0
~
====
====
q
div
q
div
ρρρρ
Prawo Darcy
Eksperyment Darcy:
W do
ś
wiadczeniu
zaobserwowano,
ż
e:
Q ~ A,
Q ~
∆
H = H
2
– H
1
,
Q ~ 1/L
Wynika st
ą
d,
ż
e:
L
H
k
A
Q
q
∆
∆
−
=
=
Prawo Darcy – c.d.
Prawo Darcy w najprostszej postaci :
x
k
q
x
∂∂∂∂
Φ
Φ
Φ
Φ
∂∂∂∂
−−−−
====
y
k
q
y
∂∂∂∂
Φ
Φ
Φ
Φ
∂∂∂∂
−−−−
====
z
k
q
z
∂∂∂∂
Φ
Φ
Φ
Φ
∂∂∂∂
−−−−
====
Równanie przepływu wód podziemnych
Po wstawieniu prawa Darcy do prawa ci
ą
gło
ś
ci otrzymuje si
ę
trójwymiarowe równanie przepływu dla wód podziemnych:
∂∂∂∂
Φ
Φ
Φ
Φ
∂∂∂∂
∂∂∂∂
∂∂∂∂
++++
∂∂∂∂
Φ
Φ
Φ
Φ
∂∂∂∂
∂∂∂∂
∂∂∂∂
++++
∂∂∂∂
Φ
Φ
Φ
Φ
∂∂∂∂
∂∂∂∂
∂∂∂∂
====
∂∂∂∂
Φ
Φ
Φ
Φ
∂∂∂∂
z
k
z
y
k
y
x
k
x
t
S
S
Dwuwymiarowe przybli
ż
enie płaskie przepływu wód podziemnych:
)
(
)
(
~
~
~
2
1
z
q
z
q
y
T
y
x
T
x
t
S
z
z
−−−−
++++
∂∂∂∂
Φ
Φ
Φ
Φ
∂∂∂∂
∂∂∂∂
∂∂∂∂
++++
∂∂∂∂
Φ
Φ
Φ
Φ
∂∂∂∂
∂∂∂∂
∂∂∂∂
====
∂∂∂∂
Φ
Φ
Φ
Φ
∂∂∂∂
gdzie:
S [-] – współczynnik wodopojemno
ś
ci spr
ęż
ystej: S = S
S
l,
T
i
[m
2
/s] – współczynnik przewodno
ś
ci hydraulicznej: T
i
= k
i
l
(
)
(
)
∫
Φ
=
Φ
2
1
,
,
,
1
,
,
~
z
z
dz
t
z
y
x
l
t
y
x
–
wysoko
ść
hydrauliczna u
ś
redniona po
mi
ąż
szo
ś
ci warstwy wodono
ś
nej
Przykład – dopływ do rowu
Dla przepływu ze swobodnym zwierciadłem T = k H. Ustalony przepływ
swobodny jednowymiarowy w jednorodnej warstwie wodono
ś
nej przy braku
zasilania infiltracyjnego oraz podsi
ą
ku opisany jest prostym równaniem Laplace’a.
0
x
)
x
(
H
2
2
2
=
∂
∂
Przykład – dopływ do rowu – c.d.
Rozwi
ą
zanie ogólne ma posta
ć
:
C
Bx
x
H
+
=
)
(
2
Dla rozpatrywanego równania i warunków brzegowych H(0) = H
1
, H(L)
= H
2
- parametry B oraz C wynosz
ą
odpowiednio:
,
2
1
2
2
L
H
H
B
−
=
2
1
H
C
=
St
ą
d rozwi
ą
zanie szczególne:
2
1
2
1
2
2
2
)
(
H
x
L
H
H
x
H
+
−
=
Rozwi
ą
zanie to nazywa si
ę
PARABOL
Ą
DUPUITA.
Dopływ do rowu wyznaczony z paraboli Dupuita wynosi:
x
x
H
Dk
x
x
H
x
DkH
Q
x
∂
∂
−
=
∂
∂
−
=
)
(
2
1
)
(
)
(
~
2
−
=
L
H
H
kD
Q
x
2
2
2
1
2
~
Równanie transportu masy w strumieniu wód podziemnych
Mechanizmy transportu masy wyra
ż
one jako strumienie masy (kg/m
2
/s):
1.
Transport adwekcyjny
2.
Transport dyfuzyjny
3.
Transport dyspersyjny
VC
J
adw
=
x
C
D
J
dyf
x
dyf
∂
∂
−
=
y
C
D
J
dyf
y
dyf
∂
∂
−
=
z
C
D
J
dyf
z
dyf
∂
∂
−
=
x
C
D
J
dysp
xx
x
dysp
∂
∂
−
=
,
y
C
D
J
dysp
yy
y
dysp
∂
∂
−
=
,
z
C
D
J
dsp
zz
z
dysp
zz
∂
∂
−
=
,
,
Po podstawieniu sumy trzech strumieni do prawa zachowania masy:
równanie transportu masy w wodach podziemnych.
r
C
V
z
C
V
y
C
V
x
z
C
D
z
y
C
D
y
x
C
D
x
t
C
z
y
x
zz
yy
xx
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
Przykład – dopływ zanieczyszcze
ń
do studni
Dana jest studnia zupełna ujmuj
ą
ca wod
ę
w obszarze rolniczym z warstwy
wodono
ś
nej o zwierciadle napi
ę
tym. Warstwa wodono
ś
na jest jednorodna i
izotropowa. Zasilanie pochodzi z wód opadowych. Wody te infiltruj
ą
c wymywaj
ą
z powierzchni pestycydy u
ż
ywane do ochrony ro
ś
lin. W warstwie wodono
ś
nej
pestycydy ulegaj
ą
biodegradacji zgodnie z prawem rozpadu:
( )
t
exp
C
)
t
(
C
0
λ
−
=
Czyli:
5
.
0
2
ln
T
=
λ
gdzie:
- okres połowicznego rozpadu.
5
.
0
T
Dane s
ą
: H, n, k, T
0.5
, Q
0
, c
0
.
Poszukuje si
ę
st
ęż
enia wody
pobieranej przez studni
ę
przy
zało
ż
eniu,
ż
e jedynym
mechanizmem transportu masy
pestycydu jest adwekcja.
1
N
Hn
1
c
Q
M
c
0
0
w
+
λ
=
=
St
ęż
enie pestycydu w wodzie
pobieranej w studni wynosi:
[kg/m
3
]