(P) Trygonometria.
'U]HZRU]XFDFLHGáXJRFL 3
5
P2EOLF]Z\VRNRüGU]HZDZLHG]F*HSURPLHQLHVáRQHF]QH
SDGDMSRGNWHP
0
60 . odp: 15m
:WUDSH]LHGDQHVPLDU\NWyZSU]\SRGVWDZLH
0
60
=
α
,
0
30
=
β
, h = 6 cm, krótsza podstawa
b = 9 cm. Oblicz pole trapezu i jego obwód. odp:
(
)
(
)
cm
Obw
cm
P
9
3
6
2
;
9
3
4
6
2
+
=
+
=
:RVWURVáXSLHSUDZLGáRZ\PF]ZRURNWQ\PNWQDFK\OHQLDNUDZG]LERF]QHMGRSáDV]F]\]Q\
podstawy
0
60
=
α
Z\VRNRüRVWURVáXSDK FP2EOLF]REMWRüLSROHSRZLHU]FKQLFDáNRZLWHM
RVWURVáXSD odp:
(
)
2
3
7
1
96
;
384
cm
P
cm
V
c
+
=
=
3U]HNWQDSURVWRSDGáRFLDQXMHVWQDFK\ORQDGRSáDV]F]\]Q\SRGVWDZ\SRGNWHP
0
30
=
α
,
Z\VRNRüSURVWRSDGáRFLDQXK FP2EOLF]REMWRüSURVWRSDGáRFLDQXJG\NUDZG]LHSRGVWDZ\V
w stosunku 2:1. odp: 614,4 cm
3
3XQNW2MHVWURGNLHPRNUJXDSXQNW\$L%OH*QDRNUJX2EOLF]PLDUáXNRZNWD$2%
MHOL
a)
GáXJRüSURPLHQLDRNUJXZ\QRVLFPDGáXJRüáXNXQDNWyU\PRSDUW\MHVWNW$2%
wynosi 11 cm; odp: 2
b)
PLDUDVWRSQLRZDNWD$2%MHVWUyZQD
0
. odp:
π
12
7
=Dáy*P\*H=LHPLDMHVWNXORSURPLHQLXGáXJRFLNP2EOLF]GáXJRüSURPLHQLD
UyZQROH*QLNDQDNWyU\POH*\:DV]\QJWRQMHOLMHJRV]HURNRüJHRJUDILF]QDZ\QRVL
0
24’N.
odp: ok. 4992 km
=EXGXMNWVNLHURZDQ\RPLHU]H
α
WDNLHM*H
4
3
sin
−
=
α
.
-DNZDUWRüPDFRVLQXVWHJRNWD" odp:
4
7
cos
±
=
α
8 Oblicz
α
α
ctg
tg
+
ZLHG]F*H
10
5
9
:
;
2
3
2
cos
−
∈
∧
−
=
odp
π
π
α
α
9. Oblicz: a)
(
)
1
3
:
150
cos
210
sin
4
76
14
0
0
0
0
−
⋅
+
−
⋅
odp
ctg
ctg
b)
2
3
1
:
3
5
sin
6
17
sin
4
11
3
2
cos
2
−
+
−
−
+
odp
tg
π
π
π
π
6SUDZG(F]\UyZQRü
α
α
α
2
sin
2
cos
1
1
cos
1
1
=
+
+
−
MHVWWR*VDPRFLWU\JRQRPHWU\F]QSRGDM
VWRVRZQH]DáR*HQLD
11. Narysuj wykresy funkcji:
a)
+
−
=
3
)
(
π
x
tg
x
f
; b)
1
4
cos
)
(
+
+
−
=
π
x
x
f
; c)
1
3
sin
2
)
(
+
−
=
π
x
x
f
;
d)
1
6
2
1
)
(
−
−
=
π
x
ctg
x
f
:\]QDF]G]LHG]LQ]ELyUZDUWRFLRNUHVSRGVWDZRZ\2NUHO]ELyUDUJXPHQWyZGODNWyU\FK
IXQNFMDSU]\MPXMHZDUWRFLXMHPQHGRGDWQLH
(PP) Trygonometria.
:RVWURVáXSLHSUDZLGáRZ\PWUyMNWQ\PNWQDFK\OHQLDFLDQ\ERF]QHM
0
60
=
β
, h= 18cm. Oblicz
REMWRüRVWURVáXSDOdp:
3
3
1296
cm
V
=
2. a) oblicz
β
α
ctg
ctg
⋅
MHOL
5
3
sin
=
α
,
17
15
cos
−
=
β
,
( )
π
π
β
α
;
2
,
∈
odp: 2/5
EREOLF]ZDUWRFLSR]RVWDá\FKIXQNFMLWU\JRQRPHWU\F]Q\FKZLHG]F*H
15
8
−
=
α
ctg
i
∈
π
π
α
2
;
2
3
odp:
17
8
cos
;
17
15
sin
;
8
15
=
−
=
−
=
α
α
α
tg
0DMFGDQH
0
4
3
sin
>
−
=
α
α
ctg
i
:
D]EXGXMNWVNLHURZDQ\RPLHU]H
α
VSHáQLDMF\SRZ\*V]HZDUXQNL
EMDNZDUWRüPDWDQJHQVWHJRNWD" odp:
13
39
=
α
tg
2EOLF]ZDUWRüZ\UD*HQLD
a)
π
π
π
π
π
18
7
cos
9
cos
3
3
4
cos
6
19
2
2
+
+
+
−
⋅
tg
ctg
odp:
2
3
2
−
b)
(
)
0
0
0
0
0
63
78
45
12
27
tg
ctg
tg
ctg
tg
⋅
−
⋅
⋅
⋅
odp: -1
2NUHO]ELyUZDUWRFLIXQNFML
a)
1
;
4
:
4
sin
3
−
−
∈
−
=
y
odp
x
y
b)
6
;
1
:
6
sin
3
2
1
∈
+
−
+
=
y
odp
x
y
π
c)
)
;
1
1
;
(
:
cos
1
+∞
<
∪
>
−
−∞
∈
=
y
odp
x
y
, d)
(
)
1
sin
;
1
sin
:
cos
sin
−
∈
=
y
odp
x
y
e)
1
;
0
:
sin
2
cos
∈
=
y
odp
x
y
π
, f)
2
1
;
2
1
:
cos
6
sin
−
∈
=
y
odp
x
y
π
6. Narysuj wykres funkcji:
a)
1
4
cos
2
1
−
+
=
π
x
y
; b)
1
3
2
sin
2
−
−
=
π
x
y
; c)
−
−
=
4
cos
π
x
y
; d)
x
tg
y
2
1
2
1
−
=
e)
(
)
x
y
sin
sgn
2
=
f)
−
−
=
3
2
π
x
tg
y
; g)
2
3
2
sin
+
+
−
=
π
x
y
; h)
(
)
π
−
−
=
x
y
3
sin
i)
x
x
x
y
sin
cos
2
sin
1
2
+
−
=
; j)
ctgx
x
y
⋅
−
=
2
cos
1
; k)
( )
(
)
π
2
;
0
cos
∈
⋅
=
x
gdzie
tgx
x
x
f
na podstawie wykresu i), j
UR]ZL*UyZQDQLH\[ RUD]ZNUyZQDQLH
( )
(
)
π
2
;
0
2
1
∈
=
x
dla
x
y
3RGDM]ELyUZDUWRFLLRNUHVSRGVWDZRZ\ND*GHMZZIXQNFML
=EDGDMSDU]\VWRüQLHSDU]\VWRüIXQNFML
a)
1
sin
)
(
3
−
=
x
ctgx
x
x
f
; b)
1
cos
)
(
2
2
−
−
=
x
tgx
x
x
f
; odp: a) parzysta; b) nieparzysta
5R]ZL*UyZQDQLDQLHUyZQRFL
a)
C
k
k
x
odp
x
∈
+
=
=
,
4
8
:
;
1
2
sin
2
2
π
π
;
b)
C
k
k
x
k
x
odp
x
∈
+
±
=
∨
+
±
=
=
,
4
3
4
4
3
2
:
,
1
2
cos
4
2
π
π
π
π
;
c)
C
k
k
x
k
x
odp
tgx
x
tg
∈
+
=
∨
=
=
−
,
2
4
:
;
0
3
π
π
π
d)
C
k
k
x
k
x
odp
x
x
∈
+
=
∨
+
=
=
,
2
2
5
2
10
:
;
2
cos
3
sin
π
π
π
π
;
e)
C
k
k
x
odp
x
∈
+
=
=
−
,
2
:
;
3
3
cos
2
π
π
;
f)
C
k
k
x
k
x
odp
x
x
x
x
x
∈
+
=
∨
+
=
=
+
−
−
⋅
,
4
2
2
:
0
sin
cos
sin
cos
sin
2
π
π
π
π
;
g)
C
k
k
x
k
x
odp
ctgx
x
ctg
x
ctg
∈
+
±
=
∨
+
=
=
+
−
−
,
6
4
:
0
3
3
2
3
π
π
π
π
;
h)
C
k
k
x
k
x
k
x
odp
x
x
∈
+
=
∨
+
=
∨
+
=
=
−
−
−
,
2
6
7
2
2
3
:
0
3
sin
2
1
3
sin
2
π
π
π
π
π
π
π
π
;
i)
)
3
4
;
4
3
)
3
;
4
:
2
3
;
2
3
1
π
π
π
π
π
π
<
∪
−
∈<
−
∈
∧
<
≤
−
x
odp
x
tgx
;
j)
(
)
>
∪
<
∪
>
−
−
∈
−
∈
∧
≤
<
−
π
π
π
π
π
π
π
π
3
5
;
(
)
;
3
3
;
(
:
2
;
2
1
cos
1
x
odp
x
x
;
k)
(
)
>
<
∪
>
∈<
∈
∧
≥
π
π
π
π
π
3
7
;
4
5
4
3
;
4
:
2
;
0
2
2
sin
2
x
odp
x
x
;
l)
>
<
∪
>
<
∪
>
∈<
>
∈<
∧
≤
π
π
π
π
π
π
π
2
;
3
5
3
4
;
3
2
;
3
:
2
;
0
0
3
sin
x
odp
x
x
;
á
(
)
)
2
3
;
(
)
2
;
0
(
:
2
;
0
2
1
π
π
π
π
∪
∈
∈
∧
≥
+
x
odp
x
tgx
tgx
&]\SRGDQDIXQNFMDMHVWRNUHVRZD"-HOLWDNZ\]QDF]MHMRNUHV
a)
( )
x
y
π
cos
2
1
=
; b)
( )
2
3
+
=
x
ctg
y
; c)
[ ]
=
x
ctg
y
4
π
; d)
(
)
x
x
y
4
sin
2
sin
−
+
=
;
e)
3
sin
2
x
x
ctg
y
−
=
; f)
( )
3
3
x
tg
x
ctg
y
+
=
odp:a) T=2;b)T=
3
3
π
;c)T=4; d)T=
π
;e) T=
π
6 ;f) nie
:LHGF*HVLQ[– cosx = ½, oblicz:
a)
x
x
cos
sin
⋅
; b)
x
x
cos
sin
+
; c)
x
x
3
3
cos
sin
−
; d)
x
x
4
4
cos
sin
−
odp: a)
8
3
; b)
2
7
; c)
16
11
; e)
4
7
±
6SUDZG(WR*VDPRü
a)
1
cos
cos
sin
3
sin
6
2
2
6
=
+
⋅
+
α
α
α
α
;
b)
α
α
α
α
α
2
2
2
2
6
cos
sin
ctg
tg
tg
−
−
=
;
c)
3
2
cos
sin
1
cos
sin
1
6
6
4
4
=
−
−
−
−
α
α
α
α
;
d)
(
)
(
)
α
α
α
α
4
4
6
6
cos
sin
3
1
cos
sin
2
+
=
+
+
'ODMDNLFKZDUWRFLSDUDPHWUXm (
R
m
∈ ) równanie:
a)
>
<
∪
>
−
−
∈<
−
=
−
−
4
;
1
1
;
4
:
1
1
3
2
sin
2
m
odp
m
x
π
;
b)
>
∈<
=
+
−
4
;
0
:
2
3
cos
3
1
m
odp
m
x
π
c)
4
3
3
cos
2
−
+
= m
x
odp:
3
;
1
5
;
9
−
∪
−
−
∈
m
d)
1
1
3
2
2
sin
2
1
−
=
+
−
m
x
π
odp:
2
5
;
2
3
2
1
;
2
1
∪
−
∈
m
e)
1
2
cos
sin
2
2
2
−
+
=
+
m
x
x
odp:
1
;
0
4
;
5
∪
−
−
∈
m
PDUR]ZL]DQLD"