WST

,

EP

DO

ST

A

TYSTYKI

MA

TEMA

TYCZNEJ

Lista

0

1. Niech

X

= (

X

1

:

:

:

X

k

) b

,

edzie wektorem niezale_znych zmiennych losowych i niech

Y

=

P

k

i=1

X

i

:

Udowodnic nast

,

epuj

,

ace stwierdzenia.

(a) Je_zeli

X

i

i

= 1

:

:

:

k

maj

,

a rozklad dwumianowy

B

(

n

i

p

)

to

Y

ma rozklad

dwumianowy

B

(

P

k

i=1

n

i

p

)

:

(b) Je_zeli

X

i

i

= 1

:

:

:

k

maj

,

a rozklad Poissona

P

(

i

)

to

Y

ma rozklad Poissona

P

(

P

k

i=1

i

)

:

(c) Je_zeli

X

i

i

= 1

:

:

:

k

maj

,

a rozklad dwumianowy ujemny

N

B

(

r

i

p

)

to

Y

ma

rozklad dwumianowy ujemny

N

B

(

P

k

i=1

r

i

p

)

:

(d) Je_zeli

X

i

i

= 1

:

:

:

k

maj

,

a rozklad wykladniczy

E

(

)

to

Y

ma rozklad gamma

G

(

k

)

:

(e) Je_zeli

X

i

i

= 1

:

:

:

k

maj

,

a rozklad Cauchy'ego

C

(0

1)

to

Y

=k

ma rozklad

C

(0

1)

:

2. Udowodnic, _ze je_zelizmiennelosowe

X

1

:

:

:

X

n

s

,

a niezale_zneo jednakowymrozkladzie

wykladniczym

E

(

)

to zmienna losowa

T

(

X

) = 2

n

X

i=1

X

i

=

ma rozklad

2

2n

:

3. Niech

X

i

Y

b

,

ed

,

a niezale_znymi zmiennymi losowymi o rozkladach dwumianowych

odpowiednio

B

(

n

p

) i

B

(

r

p

)

:

Wyznaczyc warunkowy rozklad zmiennej losowej

X

pod warunkiem

X

+

Y

=

t:

4. Niech

X

= (

X

1

:

:

:

X

n

) b

,

edzie prob

,

a z rozkladu Poissona

P

(

) i niech

T

=

X

1

+

:

:

:

+

X

n

:

Wyznaczyc warunkowy rozklad wektora losowego

X

pod warunkiem

T

=

t:

5. Niech

X

1

i

X

2

b

,

ed

,

a niezale_znymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkladzie

wykladniczym

E

(

)

:

Wyznaczyc warunkow

,

a wartosc oczekiwan

,

a

E

(

X

1

jX

1

+

X

2

)

:

Alicja Jokiel-Rokita i Ryszard Magiera

WST

,

EP

DO

ST

A

TYSTYKI

MA

TEMA

TYCZNEJ

Lista

1

1. Niech

X

= (

X

1

:

:

:

X

n

) b

,

edzie prob

,

a z rozkladu Poissona

P

(

)

:

Korzystaj

,

ac z

denicji, pokazac, _ze

T

(

X

) =

P

n

i=1

X

i

jest statystyk

,

a dostateczn

,

a dla parametru

:

2. Niech

X

= (

X

1

:

:

:

X

n

) b

,

edzie prob

,

a z rozkladu wykladniczego

E

(

)

:

Korzystaj

,

ac

z denicji, pokazac, _ze

T

(

X

) =

P

n

i=1

X

i

jest statystyk

,

a dostateczn

,

a dla parametru

:

3. Losujemy bez zwracania

n

jednostek z partii

N

wyrobow, sposrod ktorych

N

#

jest

wadliwych. Niech

X

i

= 1

i

= 1

:

:

:

n

oznacza, _ze

i

-ta jednostka jest wadliwa.

Pokazac, _ze statystyka

T

=

P

n

i=1

X

i

jest dostateczna dla parametru

#:

4. Niech

h

(

x

) b

,

edzie dodatni

,

a funkcj

,

a calkowaln

,

a, okreslon

,

a na (

;1

1

) i niech

f

(

x

) b

,

edzie g

,

estosci

,

a prawdopodobienstwa okreslon

,

a wzorem

f

(

x

) =

c

(

)

h

(

x

)

gdy

<

x

<

0

w przeciwnym przypadku

:

Niech

X

= (

X

1

:

:

:

X

n

) b

,

edzie prob

,

a z rozkladu o g

,

estosci

f

(

x

)

:

Udowodnic,

_ze (

X

1:n

X

n:n

) jest statystyk

,

a dostateczn

,

a dla wektora parametrow (

)

:

5. Niech

X

= (

X

1

:

:

:

X

n

) b

,

edzie prob

,

a z rozkladu wykladniczego ujemnego

N

E

(

)

:

(a) Pokazac, _ze statystyka

X

1:n

jest dostateczna dla parametru

gdy

jest znane.

(b) Wyznaczyc jednowymiarow

,

a statystyk

,

e dostateczn

,

a dla parametru

gdy

jest znane.

(c) Wyznaczyc dwuwymiarow

,

a statystyk

,

e dostateczn

,

a dla parametru

#

= (

)

:

6. Niech

X

= (

X

1

:

:

:

X

n

) b

,

edzie prob

,

a z rozkladu

P

nale_z

,

acego do parametrycznej

rodziny rozkladow

P

indeksowanej parametrem (

#

j

)

gdzie

#

>

0

j

= 1

2

:

W przy-

padku, gdy

j

= 1

P

jest rozkladem normalnym

N

(0

#

2

)

natomiast w przypadku,

gdy

j

= 2

P

jest rozkladem Laplace'a

La

(0

#

)

:

Pokazac, _ze statystyka

T

(

X

) =

n

X

i=1

X

2

i

n

X

i=1

jX

i

j

!

jest minimaln

,

a statystyk

,

a dostateczn

,

a dla parametru (

#

j

)

:

Alicja Jokiel-Rokita i Ryszard Magiera

WST

,

EP

DO

ST

A

TYSTYKI

MA

TEMA

TYCZNEJ

Lista

2

1. Czy poni_zsze rodziny rozkladow s

,

a wykladnicze?

(a) Rodzina rozkladow jednostajnych

U

(0

#

)

:

(b) Rodzina rozkladow o g

,

estosci

f

(

x

#

) = exp

;

2log

#

+log(2

x

)]

1

(0#)

(

x

)

#

>

0

:

(c) Rodzina rozkladow o g

,

estosci

f

(

x

#

) = 1

=

9

x

2

f

0

:

1 +

#

:

:

:

0

:

9+

#g

#

>

0

:

(d) Rodzina rozkladow normalnych

N

(

#

#

2

)

#

>

0

:

(e) Rodzina rozkladow o g

,

estosci

f

(

x

#

) = 2(

x

+

#

)

=

(1 + 2

#

)

#

>

0

x

2

(0 1)

:

2. Sprawdzic, czy

(a) rozklady beta

B

e

(

) tworz

,

a dwuparametrow

,

a rodzin

,

e wykladnicz

,

a

(b) rozklady gamma

G

(

) tworz

,

a dwuparametrow

,

a rodzin

,

e wykladnicz

,

a

(c) dwuwymiarowe rozklady normalne tworz

,

a pi

,

ecioparametrow

,

a rodzin

,

e wyklad-

nicz

,

a.

3. Pokazac, _ze rozklad wielomianowy

M

(

n

p

) gdzie n jest znane,

p

= (

p

1

:

:

:

p

r

) jest

nieznanym parametrem, nale_zy do (

r

;

1)-parametrowej rodziny wykladniczej.

4. Sprawdzic, czy rozklad hipergeometryczny

H

(

N

M

n

) gdzie

M

jest nieznanym

parametrem,

N

n

s

,

a znane, nale_zy do rodziny wykladniczej.

5. Niech

X

= (

X

1

:

:

:

X

n

) b

,

edzie prob

,

a z rozkladu Rayleigh'a

Ra

(

)

:

Wykorzystuj

,

ac

wlasnosci rodzin wykladniczych, wyznaczyc

E

(

Y

) i Var(

Y

) gdzie

Y

=

P

n

i=1

X

2

i

:

6. Zalo_zmy, _ze

f

(

x

#

) jest g

,

estosci

,

a tak

,

a, _ze

f

(

x

#

)

>

0 dla ka_zdego

x

2

R

oraz tak

,

a,

_ze jesli (

X

1

X

2

) jest prob

,

a z rozkladu o g

,

estosci

f

(

x

#

) to

X

1

+

X

2

jest statystyk

,

a

dostateczn

,

a dla

#:

Pokazac, _ze

f

(

#

) nale_zy do jednoparametrowej wykladniczej

rodziny rozkladow postaci

f

(

x

#

) =

h

(

x

)exp

C

(

#

)

x

;

B

(

#

)]

:

Alicja Jokiel-Rokita i Ryszard Magiera

WST

,

EP

DO

ST

A

TYSTYKI

MA

TEMA

TYCZNEJ

Lista

3

1. Niech

P

=

fP

N

N

= 1

2

:

:

:g

b

,

edzie rodzin

,

a rozkladow prawdopodobienstwa na

(

R

B

) tak

,

a, _ze

P

N

(

X

=

x

) = 1

N

1

A

N

(

x

)

gdzie

A

N

=

f

1

2

:

:

:

N

g:

(a) Udowodnic, _ze

P

jest zupeln

,

a rodzin

,

a rozkladow.

(b) Wykazac, _ze rodzina rozkladow

P

0

=

P

;

fP

n

g

gdzie

n

jest ustalon

,

a liczb

,

a

naturaln

,

a, nie jest zupelna.

2. Niech

X

b

,

edzie zmienn

,

a losow

,

a przyjmuj

,

ac

,

a wartosci ze zbioru

X

=

f;

1

0

1

2

:

:

:

g

z prawdopodobienstwami

P

#

(

X

=

;

1) =

#

P

#

(

X

=

x

) = (1

;

#

)

2

#

x

dla

x

= 0

1

2

:

:

:

Udowodnic, _ze rodzina rozkladow

P

=

fP

#

#

2

(0

1)

g

jest ograniczenie zupelna,

ale nie jest zupelna.

3. Niech

X

= (

X

1

:

:

:

X

n

) b

,

edzie prob

,

a z rozkladu

B

(1

#

)

#

2

:

Pokazac, _ze je_zeli

ma wi

,

ecej ni_z

n

punktow, to statystyka

S

(

X

) =

P

n

i=1

X

i

jest zupelna.

4. Zbadac zupelnosc minimalnych statystyk dostatecznych, gdy

X

= (

X

1

:

:

:

X

n

) jest

prob

,

a z rozkladu

(a) normalnego

N

(

a

2

)

gdzie

a

jest znan

,

a stal

,

a,

>

0

(b) jednostajnego

U

(

#

;

1

=

2

#

+ 1

=

2)

#

2

R

(c) jednostajnego

U

(

)

2

R

<

:

5. Niech

P

0

b

,

edzie rodzin

,

a rozkladow dwumianowych

B

(

n

p

)

0

<

p

<

1

gdzie

n

jest

ustalone. Niech

P

1

=

P

0

fQg

gdzie

Q

jest rozkladem Poissona

P

(1)

:

Pokazac, _ze

rodzina

P

0

jest, a rodzina

P

1

nie jest zupelna.

Alicja Jokiel-Rokita i Ryszard Magiera

WST

,

EP

DO

ST

A

TYSTYKI

MA

TEMA

TYCZNEJ

Lista

4

1. Niech

Z

= ((

X

1

Y

1

)

:

:

:

(

X

n

Y

n

)) b

,

edzie prob

,

a z dwuwymiarowego rozkladu nor-

malnego

N

(

0

)

gdzie

0

jest wektorem zerowym, a macierz

jest postaci

= 1

#

#

1

:

(a) Wyznaczyc minimaln

,

a statystyk

,

e dostateczn

,

a dla parametru

#:

(b) Sprawdzic, czy statystyka z punktu (a) jest zupelna.

(c) Udowodnic, _ze statystyki

T

1

(

Z

) =

n

X

i=1

X

2

i

i

T

2

(

Z

) =

n

X

i=1

Y

2

i

s

,

a swobodne, ale statystyka

T

= (

T

1

T

2

) nie jest swobodna.

2. Wykazac, _ze dla proby z rozkladu dwuwymiarowego normalnego o znanym wspol-

czynniku korelacji (przy nieznanych pozostalych parametrach) wspolczynnik ko-

relacji z proby jest statystyk

,

a swobodn

,

a.

3. Niech (

R

B

R

fN

(

2

) :

2

R

2

R

+

g

)

n

b

,

edzie przestrzeni

,

a statystyczn

,

a.

Wykazac, _ze statystyka Geary'ego

G

=

V

;

n

X

i=1

j

X

i

;

X

j

2

gdzie

X

=

P

n

i=1

X

i

=n

V

=

P

n

i=1

(

X

i

;

X

)

2

i

jest dan

,

a liczb

,

a rzeczywist

,

a, jest

statystyk

,

a swobodn

,

a i niezale_zn

,

a od statystyki (

X

S

)

:

4. Niech

X

= (

X

1

:

:

:

X

n

) b

,

edzie prob

,

a z rozkladu wykladniczego ujemnego

N

E

(

)

:

Udowodnic, _ze statystyki

X

1:n

i

T

r

(

X

) =

r ;1

X

i=1

(

X

i:n

;

X

1:n

) + (

X

r :n

;

X

1:n

)(

n

;

r

+ 1)

s

,

a stochastycznie niezale_zne dla ka_zdego

r

= 2

:

:

:

n:

Alicja Jokiel-Rokita i Ryszard Magiera

WST

,

EP

DO

ST

A

TYSTYKI

MA

TEMA

TYCZNEJ

Lista

5

1. Niech

X

= (

X

1

:

:

:

X

n

) b

,

edzie prob

,

a z rozkladu Bernoulliego

B

(1

#

)

#

2

(0

1)

:

Uzasadnic, _ze wszystkie estymatory funkcji

g

(

#

) oparte na metodzie podstawienia

cz

,

estosci maj

,

a postac

g

(

X

)

:

2. Niech

X

= (

X

1

:

:

:

X

n

) b

,

edzie prob

,

a z rozkladu gamma

G

(

)

:

Pokazac, _ze

metoda momentow prowadzi do estymatorow parametrow

i

postaci odpowiednio

T

1

(

X

) =

X

S

0

2

i

T

2

(

X

) =

S

2

0

X

:

3. Niech

X

= (

X

1

:

:

:

X

n

) b

,

edzie prob

,

a z rozkladu normalnego

N

(0

2

)

:

(a) Wyznaczyc estymator

2

metod

,

a momentow.

(b) Wyznaczyc estymator

u_zywaj

,

ac (a) i relacji

=

p

2

:

(c) Wyznaczyc estymator

metod

,

a podstawienia dystrybuanty empirycznej.

4. Niech

Z

= ((

X

1

Y

1

)

:

:

:

(

X

n

Y

n

)) b

,

edzie prob

,

a z dwuwymiarowego rozkladu o dys-

trybuancie

F

(

x

y

)

:

Naturalnym estymatorem

F

(

x

y

) jest dwuwymiarowa dystry-

buanta empiryczna

F

n

(

x

y

Z

) zdeniowana nast

,

epuj

,

aco:

F

n

(

x

y

Z

) = 1

n

]f

(

X

i

Y

i

) :

X

i

x

Y

i

y

i

= 1

:

:

:

ng:

Wyrazic kowariancj

,

e i wspolczynnik korelacji zmiennych

X

i

Y

jako funkcj

,

e dyst-

rybuanty

F

i wyznaczyc ich empiryczne odpowiedniki metod

,

a podstawienia dyst-

rybuanty empirycznej

F

n

:

5. Niech

X

= (

X

1

:

:

:

X

n

) b

,

edzie prob

,

a z rozkladu wykladniczego

E

(

)

:

Metod

,

a mo-

mentow, w oparciu o prob

,

e

X

, wyznaczyc

(a) estymator parametru

(b) estymator prawdopodobienstwa

P

(

X

i

1)

:

6. Niech

X

= (

X

1

:

:

:

X

n

) b

,

edzie prob

,

a z rozkladu o g

,

estosci postaci

f

(

x

) =

x

+

gdy 0

x

1

0

w przeciwnym przypadku

:

Wyznaczyc estymatory parametrow

i

metod

,

a momentow.

Alicja Jokiel-Rokita i Ryszard Magiera

WST

,

EP

DO

ST

A

TYSTYKI

MA

TEMA

TYCZNEJ

Lista

6

1. Niech

X

= (

X

1

:::X

n

) b

,

edzie prob

,

a z rozkladu Pareto

P

a(1): Wyznaczyc esty-

matory parametru

metod

,

a momentow i metod

,

a najwi

,

ekszej wiarogodnosci.

2. Niech

X

= (

X

1

:::X

n

) b

,

edzie prob

,

a z rozkladu

U

(

#

;

1

=2# + 1=2): Pokazac, _ze

dowolna statystyka

T(

X

) taka, _ze

X

n:n

;

1

=2

T(

X

)

X

1:n

+ 1

=2

jest estymatorem NW parametru

#:

3. Niech

X

= (

X

1

:::X

10

) b

,

edzie prob

,

a z rozkladu gamma

G

(

): Metod

,

a na-

jwi

,

ekszej wiarogodnosci wyznaczyc oceny nieznanych parametrow na podstawie

nast

,

epuj

,

acych obserwacji: 0.059, 0.053, 0.101, 0.084, 0.268, 0.585, 0.532, 0.759,

0.345, 0.685.

4. W jeziorze jest nieznana liczba

N ryb. W celu oszacowania N zlowiono m ryb,

oznakowano je i wpuszczono do jeziora. Po pewnym czasie zlowiono ponownie

m

ryb i okazalo si

,

e, _ze

k z nich jest oznakowanych. Podac oszacowanie N uzyskane

metod

,

a najwi

,

ekszej wiarogodnosci.

5. Przeprowadza si

,

e testy laboratoryjne wody z rzeki. W szczegolnosci, bada si

,

e kon-

centracj

,

e pewnego typu bakterii. W tym celu pobiera si

,

e

n jednostkowych probek

wody i notuje si

,

e liczby

x

i

i = 1:::n bakterii w ka_zdej jednostkowej probce.

Metod

,

a najwi

,

ekszej wiarogodnosci oszacowac

{ oczekiwan

,

a liczb

,

e bakterii w jed-

nostce wody rzecznej.

6. (Modykacja zadania 5) Na ogol bardzo trudno policzyc liczb

,

e bakterii w probce

wody rzecznej i raczej mo_zna jedynie stwierdzic, _ze w probce s

,

a bakterie lub ich

nie ma. W tym celu

n probek wody, z ktorych ka_zda ma obj

,

etosc

v poddaje si

,

e

inkubacji i obserwacji. Test ujemny stwierdza, _ze nie bylo ani jednej bakterii, a

test dodatni (wynik dodatni), _ze w probce byla co najmniej jedna bakteria. Je_zeli

y

sposrod

n testowanych probek dalo ujemnywynik testu, to jak

,

a postac ma estymator

najwi

,

ekszej wiarogodnosci parametru

? Podac wartosc estymatora w sytuacji, gdy

sposrod 40 probek wody rzecznej, z ktorych ka_zda miala obj

,

etosc 10 ml, 12 dalo

wynik dodatni, a 28 wynik ujemny.

Alicja Jokiel-Rokita i Ryszard Magiera

WST

,

EP

DO

ST

A

TYSTYKI

MA

TEMA

TYCZNEJ

Lista

7

1. Rozwa_zmy model regresji liniowej

Y

i

=

#

1

+

#

2

x

i

+

e

i

i

= 1

:

:

:

n

(1)

przy czym zakladamy, _ze istniej

,

a

i

j

2

f

1

:

:

:

ng

takie, _ze

x

i

6

=

x

j

e

1

:

:

:

e

n

s

,

a

niezale_zne oraz

E

(

e

i

) = 0

Var(

e

i

) =

2

i

= 1

:

:

:

n:

Sprawdzic, _ze uklad rownan

normalnych,

(

P

n

i=1

(

y

i

;

#

1

;

#

2

x

i

) = 0

P

n

i=1

x

i

(

y

i

;

#

1

;

#

2

x

i

) = 0

ktory otrzymujemy przy wyznaczaniu estymatorow parametrow

#

1

i

#

2

metod

,

a

najmniejszych kwadratow, ma rozwi

,

azanie

^

#

2

=

n

X

i=1

(

x

i

;

x

)(

y

i

;

y

)

n

X

i=1

(

x

i

;

x

)

2

=

n

X

i=1

x

i

y

i

;

nx

y

n

X

i=1

x

2

i

;

nx

2

^

#

1

=

y

;

^

#

2

x

gdzie

x

=

P

n

i=1

x

i

=n

y

=

P

n

i=1

y

i

=n:

Nast

,

epnie, przy dodatkowym zalo_zeniu, _ze

e

1

:

:

:

e

n

maj

,

a rozklady normalne, wyz-

naczyc estymatory nieznanych parametrow (

#

1

#

2

i

2

) modelu (1) metod

,

a najwi

,

e-

kszej wiarogodnosci.

2. Rozwa_zmy ponownie model z zadania 1, ale zalo_zmy, _ze Var(

e

i

) =

w

i

2

gdzie

2

jest

nieznane, a

w

1

:

:

:

w

n

s

,

a znane. Mowimy, _ze ~

#

1

i ~

#

2

s

,

a estymatorami parametrow

odpowiednio

#

1

i

#

2

uzyskanymi metod

,

a wa_zonych najmniejszych kwadratow, jesli

n

X

i=1

1

w

i

(

y

i

;

~

#

1

;

~

#

2

x

i

)

2

= min

#

1

#

2

n

X

i=1

1

w

i

(

y

i

;

#

1

;

#

2

x

i

)

2

:

Napisac odpowiednik ukladu rownan normalnych dla tej sytuacji i wyprowadzic

estymatory parametrow

#

1

i

#

2

metod

,

a wa_zonych najmniejszych kwadratow. Nas-

t

,

epnie, przy zalo_zeniu, _ze

e

1

:

:

:

e

n

maj

,

a rozklady normalne, wyznaczyc estymatory

parametrow

#

1

#

2

oraz

2

metod

,

a najwi

,

ekszej wiarogodnosci.

3. Rozwa_zmy nast

,

epuj

,

acy model:

Y

i

=

exp(

x

i

) +

"

i

i

= 1

:

:

:

n

gdzie

i

s

,

a nieznanymiparametrami, a

"

1

:

:

:

"

n

s

,

a niezale_znymizmiennymiloso-

wymi o jednakowym rozkladzie z wartosci

,

a oczekiwan

,

a zero i nieznan

,

a wariancj

,

a

2

:

Wyznaczyc oceny nieznanych parametrow

i

w przypadku, gdy dla nast

,

epuj

,

acych

wartosci zmiennej niezale_znej: 1, 1.5, 2, 3, 4, 10, 16, 23, zaobserwowano odpowied-

nio nast

,

epuj

,

ace wartosci zmiennej zale_znej: 2.71, 2.51, 2.6, 3.99, 4.24, 5.86, 11.76,

21.69. Jak w tym modelu nale_zaloby ocenic wariancj

,

e?

Alicja Jokiel-Rokita i Ryszard Magiera

WST

,

EP

DO

ST

A

TYSTYKI

MA

TEMA

TYCZNEJ

Lista

8

1. Niech

X

= (

X

1

:

:

:

X

n

) b

,

edzie prob

,

a z rozkladu wykladniczego

E

(

)

:

Wykazac, _ze

nast

,

epuj

,

aca statystyka

T

(

X

) = 12

n

n

X

i=1

X

2

i

jest nieobci

,

a_zonym estymatorem wariancji rozkladu wykladniczego

E

(

)

:

2. Niech

X

= (

X

1

:

:

:

X

n

) b

,

edzie prob

,

a z rozkladu o dystrybuancie

F :

Udowodnic, _ze

dystrybuanta empiryczna

F

n

(

t

X

) jest dla ka_zdego

t

2

R

nieobci

,

a_zonym estyma-

torem

F

(

t

)

:

3. Niech

X

= (

X

1

:

:

:

X

n

) b

,

edzie prob

,

a z rozkladu Bernoulliego

B

(1

p

)

p

2

(0

1)

:

Pokazac, _ze nie istniej

,

a nieobci

,

a_zone estymatory funkcji

g

1

(

p

) =

p

1

;

p

i

g

2

(

p

) = 1

p

:

4. Niech

X

= (

X

1

:

:

:

X

n

) b

,

edzie prob

,

a z rozkladu Poissona

P

(

#

)

:

Obliczycobci

,

a_zenie

i sredni bl

,

ad kwadratowy estymatora

T

(

X

) =

1

;

a

n

P

n

i=1

X

i

funkcji

g

(

#

) = exp(

;a#

)

gdzie

a

6

= 0 jest znan

,

a stal

,

a.

5. Niech

X

= (

X

1

:

:

:

X

n

) b

,

edzie prob

,

a z rozkladu jednostajnego

U

(0

#

)

:

Wykazac,

_ze

T

1

(

X

) =

n

+ 1

n

X

n:n

jest lepszym estymatorem parametru

#

ni_z estymator nieobci

,

a_zony

T

2

(

X

) = 2

n

n

X

i=1

X

i

:

6. Niech

X

= (

X

1

:

:

:

X

n

) b

,

edzie prob

,

a z rozkladu

N

(

2

)

:

Ktory z dwoch nast

,

epu-

j

,

acych nieobci

,

a_zonych estymatorow

T

1

(

X

) =

p

n

;((

n

;

1)

=

2)

p

2;(

n=

2)

v

u

u

t

1

n

n

X

i=1

(

X

i

;

X

)

2

T

2

(

X

) =

r

n

2(

n

;

1)

1

n

n

X

i=1

jX

i

;

X

j:

jest lepszy? Odpowiedz uzasadnic.

Alicja Jokiel-Rokita i Ryszard Magiera