98
otrzymujemy wzór na przy
Ğpieszenie punktu M w naturalnym ukáadzie wspóárzĊd-
nych:
a
e
s
dv
dt
v
2
U
e
n
n
(5.19)
lub
a
a
a
s
.
(5.20)
Z otrzymanego wzoru wynika,
Īe przyĞpieszenie w rozwaĪanym ukáadzie
wspó
árzĊdnych s, n, b ma dwie skáadowe: styczną a
s
i normaln
ą a
n
(skierowan
ą do
Ğrodka krzywizny) i leĪy w páaszczyĨnie ĞciĞle stycznej sn. Moduáy tych skáado-
wych s
ą nastĊpujące:
a
dv
dt
a
v
s
n
,
2
U
,
(5.21)
a warto
Ğü przyĞpieszenia caákowitego obliczymy ze wzoru:
a
a
a
s
2
n
2
t
.
(22)
Ze wzorów (5.21) wida
ü, Īe przyĞpieszenie styczne a
s
jest miar
ą zmiany prĊd-
ko
Ğci i jest równe zeru, gdy moduá prĊdkoĞci bĊdzie staáy, z kolei przyĞpieszenie
normalne a
n
jest miar
ą zakrzywienia toru. W ruchu prostoliniowym przyĞpieszenie
normalne jest równe zeru.
W ruchu punktu po krzywej p
áaskiej znane są kierunki skáadowych przyĞpie-
szenia albo ich wyznaczenie nie nastr
Ċcza wiĊkszych trudnoĞci, poniewaĪ wektory
obu sk
áadowych przyĞpieszenia bĊdą leĪaáy w páaszczyĨnie ruchu. W przypadku
ruchu przestrzennego punktu przy obliczaniu omawianych sk
áadowych przyĞpie-
szenia mog
ą siĊ pojawiü trudnoĞci natury matematycznej.
Przyk
áad 5.1. Punkt porusza siĊ w páaszczyĨnie xy zgodnie z równaniami ru-
chu:
x
t
4
1
3
2
,
y =
.
Wyznaczy
ü równanie toru, prĊdkoĞü, przyĞpieszenie styczne normalne i caákowite
oraz promie
Ĕ krzywizny dla czasu t
1
= 0,5 s. Przyj
ąü wymiary w metrach, a czas
w sekundach.
Rozwi
ązanie. W celu wyznaczenia równania toru punktu naleĪy z równaĔ ruchu
wyeliminowa
ü parametr t (czas). Po wyznaczeniu z drugiego równania ruchu czasu
i podstawieniu do pierwszego otrzymujemy:
99
y
x
2
9
4
1
.
Równanie to przedstawia parabol
Ċ.
Wspó
árzĊdne prĊdkoĞci punktu wyznaczymy ze wzorów (5.7), a jej moduá ze
wzoru (5.8).
v
dx
dt
t
dy
dt
x
8
3
,
v
y
,
s
m
5
25
9
2
1
64
t
v
a
,
9
t
64
v
v
v
2
1
2
2
y
2
x
/
¸
¹
·
¨
©
§
.
Wspó
árzĊdne przyĞpieszenia i jego wartoĞü wyliczymy ze wzorów (5.12) i (5.13):
a
dv
dt
dv
dt
x
x
y
8
0
,
a
y
,
a
a
a
m s
x
y
2
2
64
0
8
/
2
.
Przy
Ğpieszenie styczne obliczymy z pierwszego wzoru (5.21):
a
dv
dt
t
t
t
t
s
2 64
2 64
9
64
64
9
2
2
,
a t
m s
s
1
2
2
64
1
2
64
1
2
9
32
25
6 4
§
©¨
·
¹¸
,
/
.
W celu wyznaczenia przy
Ğpieszenia normalnego przeksztaácimy wzór (5.22) do
postaci:
a
a
a
n
s
2
2
.
Po podstawieniu do tego wzoru wyliczonych wy
Īej wartoĞci liczbowych otrzyma-
my przy
Ğpieszenie normalne w chwili :
t
1
a
t
m s
n
1
2
2
2
8
6 4
4 8
,
,
/
.
Promie
Ĕ krzywizny obliczymy z drugiego wzoru (5.21):
m
,2
5
8
,
4
5
a
v
ȡ
2
n
2
.
100
Przyk
áad 5.2. Dane są kinematyczne równania ruchu punktu M w prostokąt-
nym uk
áadzie wspóárzĊdnych:
x
t
t
t
2
3
6
3
2
3
2
2
,
y = 3
t
,
gdzie x i y s
ą podane w metrach, a czas w sekundach. Wyznaczyü równanie toru,
promie
Ĕ krzywizny, prĊdkoĞü, przyĞpieszenie styczne, normalne i caákowite. Tor
oraz sk
áadowe prĊdkoĞci i przyĞpieszenia dla chwili początkowej t = 0 przedstawiü
na rysunku.
Rozwi
ązanie. JeĪeli drugie równanie ruchu pomnoĪymy stronami przez
i dodamy do pierwszego, to otrzymamy równanie toru w postaci:
2
y
x
1
2
2 .
x
0
y
x
v
0
a
v
0x
v
0y
a
y
a
x
B
A
O
M
y
0
Rys. 5.6. Pr
ĊdkoĞü i przyĞpieszenie punktu we wspóárzĊdnych prostokątnych na páasz-
czy
Ĩnie
Jest to równanie prostej, która odcina na osi odci
Ċtych odcinek OA = 4 m i na osi
rz
Ċdnych odcinek OB = 2 m (rys. 5.6). PoáoĪenie punktu M na prostej (torze) dla
chwili pocz
ątkowej t = 0 wyznaczymy z równaĔ ruchu: x
0
2
, y = 3
0
. Poniewa
Ī
promie
Ĕ krzywizny jest równy nieskoĔczonoĞci (
f
U
), przy
Ğpieszenie normalne
jest równe zeru:
a
v
n
2
0
U
.
Wspó
árzĊdne prostokątne prĊdkoĞci i przyĞpieszeĔ oraz ich moduáy obliczymy tak
jak w poprzednim przyk
áadzie.
Pr
ĊdkoĞü:
101
v
dx
dt
t
dy
dt
t
x
3 1 4
3
2
1 4
,
v
y
,
(a)
4t
+
1
5
2
3
=
t
4
1
4
1
t
4
1
3
v
v
v
2
2
2
y
2
x
.
(b)
Przy
Ğpieszenie:
a
dv
dt
dv
dt
x
x
y
12
6
,
a
y
,
a
a
a
m s
x
y
2
2
2
2
12
6
6 5
/
2
.
Przy
Ğpieszenie styczne:
a
a
dv
dt
m s
s
3
2
5 4
6 5
2
/
.
Z otrzymanych wyników widzimy,
Īe punkt M porusza siĊ po prostej ze staáym
przy
Ğpieszeniem skierowanym tak jak na rysunku.
Pr
ĊdkoĞci w chwili początkowej otrzymamy po podstawieniu do wzorów (a) i
(b) t = 0.
v
m
x
y
0
0
3
3
2
3
2
5
,
v
,
v
0
/ s
.
Przyk
áad 5.3. TrzpieĔ AB (rys. 5.7a) jest dociskany do mimoĞrodu w ksztaácie
tarczy ko
áowej o promieniu r tak, Īe caáy czas pozostaje z nim w kontakcie. OĞ
obrotu mimo
Ğrodu przechodzi przez punkt O oddalony od Ğrodka tarczy C o OC =
e. Mimo
Ğród obraca siĊ wokóá osi obrotu ze staáą prĊdkoĞcią kątową
.
Wyznaczy
ü prĊdkoĞü i przyĞpieszenie trzpienia dla czasu t
Z S
s
1
1
= 0,5 s, je
Īeli oĞ
trzpienia pokrywa si
Ċ z osią x tak jak na rysunku.
Rozwi
ązanie. Dla obliczenia prĊdkoĞci i przyĞpieszenia trzpienia musimy uáo-
Īyü jego równanie ruchu, np. równanie punktu A. Na podstawie rys. 5.7b moĪemy
napisa
ü:
x
OA
OD
DA
e
CD
e
r
e
e
r
e
A
cos + r
cos
sin
cos
sin
2
2
M
M
M
M
2
2
2
2
2
M
.
102
y
O
A
C
B
r
x
y
O
A
C
B
r
x
D
e
M
a)
b)
Rys. 5.7. Wyznaczenie ruchu trzpienia AB
Po podstawieniu do tej zale
ĪnoĞci, zgodnie z treĞcią zadania,
t
t
S
Z
M
otrzy-
mamy równanie ruchu punktu A:
x
e
r
e
A
cos t
sin
2
S
2
2
t
S .
(a)
Pr
ĊdkoĞü punktu A otrzymamy po obliczeniu pochodnej tego równania wzglĊdem
czasu:
S
S
S
S
S
S
t
sin
e
r
2
t
cos
t
sin
e
+
t
sin
e
dt
dx
v
2
2
2
2
A
A
.
t
sin
e
r
t
2
sin
4
e
t
sin
e
2
2
2
2
S
S
S
S
S
(b)
Po zró
Īniczkowaniu powyĪszego wzoru wzglĊdem czasu i uporządkowaniu wyra-
zów otrzymamy przy
Ğpieszenie:
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
S
S
S
S
S
S
S
S
S
t
sin
e
r
t
sin
e
r
t
2
sin
4
e
t
sin
e
r
t
2
cos
2
4
e
+
t
cos
e
a
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
A
.
(c)
Po podstawieniu do wzorów (b) i (c) t
1
= 0,5 s otrzymamy warto
Ğü prĊdkoĞci
i przy
Ğpieszenia dla tego czasu:
2
2
2
2
1
A
1
A
e
r
2
e
t
a
,
e
t
v
S
S
.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
więcej podobnych podstron