Przemysław Kusztelak, WNE UW
1
MINIMALIZACJA KOSZTÓW PRODUKCJI
1. Wst
ę
p.
Poprzedni rozdział po
ś
wi
ę
cony był technologii produkcji. Analiza funkcji
produkcji firmy doprowadziła nas do wniosku,
ż
e w przypadku, gdy istnieje wi
ę
cej ni
ż
jeden czynnik produkcji, dan
ą
wielko
ść
produkcji mo
ż
na uzyska
ć
stosuj
ą
c ró
ż
ne
kombinacje nakładów. Zbiór wszystkich mo
ż
liwych kombinacji czynników produkcji
pozwalaj
ą
cy na efektywne wyprodukowanie danej wielko
ś
ci dobra nazwali
ś
my
izokwant
ą
. Pytanie, na które odpowied
ź
znajduje si
ę
w niniejszym rozdziale brzmi:
Jak
ą
kombinacj
ę
czynników produkcji zu
ż
ywa firma cechuj
ą
ca si
ę
dan
ą
funkcj
ą
produkcji do wytworzenia pewnej wielko
ś
ci produkcji? Inaczej stawiaj
ą
c pytanie
mo
ż
na zapyta
ć
: Który z punktów le
żą
cych na danej izokwancie jest najlepszy dla
producenta?
Firma maksymalizuj
ą
ca zyski stara si
ę
oczywi
ś
cie wytwarza
ć
produkt mo
ż
liwie
najtaniej. Wybór wła
ś
ciwej kombinacji czynników produkcji zale
ż
y wi
ę
c od ich cen.
Celem niniejszego rozdziału jest wyznaczenie funkcji kosztów wytworzenia
danej wielko
ś
ci produkcji w zale
ż
no
ś
ci od funkcji produkcji oraz cen
poszczególnych czynników produkcji.
2. Koszty produkcji.
Analiz
ę
na temat wyboru optymalnej wielko
ś
ci zu
ż
ycia czynników produkcji do
wytworzenia danej wielo
ś
ci produkcji nale
ż
y zacz
ąć
od zdefiniowania kosztów
produkcji. Ekonomi
ś
ci wyró
ż
niaj
ą
ró
ż
ne kategoria kosztów:
a) koszty ksi
ę
gowe – faktycznie poniesione koszty liczone za pomoc
ą
warto
ś
ci
ksi
ę
gowych (np. posiadana ziemia nie stanowi kosztu ksi
ę
gowego, za
ś
samochód wchodzi do kosztów w wysoko
ś
ci stopy deprecjacji tego zasobu);
b) koszty ekonomiczne – tzw. koszty alternatywne (opportunity costs)
odzwierciedlaj
ą
one utracone korzy
ś
ci z tytułu pomini
ę
cia najlepszego
alternatywnego zastosowania danego czynnika produkcji (np. posiadan
ą
ziemi
ę
mo
ż
na wydzier
ż
awi
ć
i odnie
ść
z tego tytułu korzy
ść
materialn
ą
. W
zwi
ą
zku z tym koszt wykorzystania w procesie produkcyjnym posiadanej ziemi
mo
ż
na wyceni
ć
za pomoc
ą
kosztu ewentualnej dzier
ż
awy gruntów).
Pod poj
ę
ciem kosztów produkcji znajduje si
ę
wi
ę
c suma kosztów
ekonomicznych wszystkich czynników produkcji wykorzystywanych w procesie
produkcji (ozn.
ࢀ = ࢝
࢞
+ ࢝
࢞
+ ⋯ + ࢝
࢞
, gdzie:
ݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, … , ݔ
– wszystkie
czynniki produkcji, za
ś
ݓ
ଵ
, ݓ
ଶ
, … , ݓ
– ceny odpowiednich nakładów). Kombinacje
czynników produkcji, które ł
ą
cznie kosztuj
ą
tyle samo nazywamy izokosztami.
Izokoszty s
ą
wi
ę
c liniami (a wła
ś
ciwie n-wymiarowymi płaszczyznami) jednakowego
kosztu przedstawiaj
ą
cymi wszystkie mo
ż
liwe kombinacje czynników produkcji o takim
samym koszcie. Przykład izokoszt dobra produkowanego za pomoc
ą
dwóch
czynników produkcji przedstawia rysunek 1.
Przemysław Kusztelak, WNE UW
2
Jak wida
ć
na powy
ż
szym rysunku izokoszty maj
ą
nachylenie
−ݓ
ଵ
/ݓ
ଶ
i s
ą
do siebie
równoległe. Im wy
ż
sza cena danego czynnika produkcji, tym mniejsz
ą
jego ilo
ść
mo
ż
emy kupi
ć
i na odwrót. Nachylenie izokoszt zale
ż
y od bezpo
ś
redniej relacji cen
czynników produkcji i mówi o wzajemnej relacji wymiennej. Im wy
ż
sza cena
pierwszego czynnika produkcji w porównaniu do ceny drugiego czynnika produkcji,
tym izokoszty staj
ą
si
ę
bardziej strome, czyli rezygnuj
ą
c z jednej jednostki
ݔ
ଵ
mo
ż
emy
naby
ć
wi
ę
cej jednostek
ݔ
ଶ
.
3. Zało
ż
enie minimalizacji kosztów.
Def. 3.1. Minimalizacji kosztów
Firma minimalizuje koszty produkcji, je
ż
eli wybiera najta
ń
szy sposób
wytworzenia danej wielko
ś
ci produkcji, tzn.
min
௫
భ
,௫
మ
,…,௫
ሺݓ
ଵ
ݔ
ଵ
+ ݓ
ଶ
ݔ
ଶ
+ ⋯ + ݓ
ݔ
ሻ : ݂ሺݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, … , ݔ
ሻ ≥ ݍത, ݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, … , ݔ
≥ 0
,
gdzie:
݂ሺݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, … , ݔ
ሻ
– funkcja produkcji.
W zadaniu minimalizacji kosztów wyst
ę
puje pewna analogia z zadaniem
maksymalizacji
u
ż
yteczno
ś
ci
przez
konsumentów.
Przypomnijmy,
ż
e
w
mikroekonomicznej teorii konsumenta zakłada si
ę
, i
ż
konsumenci maksymalizuj
ą
swoj
ą
u
ż
yteczno
ść
(satysfakcj
ę
z posiadanych dóbr) przy ograniczeniu bud
ż
etowym
(nie mog
ą
wyda
ć
wi
ę
cej, ni
ż
posiadaj
ą
). Firmy natomiast minimalizuj
ą
koszty
produkcji przy ograniczeniu zwi
ą
zanym z wielko
ś
ci
ą
produkcji (poziom produkcji ma
by
ć
niemniejszy ni
ż
zakładany).
Rozwi
ą
zanie graficzne problemu minimalizacji kosztów przedstawia rysunek 2.
2
x
1
x
ܶܥ
തതതത
ଷ
ܶܥ
തതതത
ଶ
ܶܥ
തതതത
ଵ
izokoszty
ݔ
ଶ
=
ܶܥ
തതതത
ݓ
ଶ
−
ݓ
ଵ
ݓ
ଶ
ݔ
ଵ
Przemysław Kusztelak, WNE UW
3
Z powy
ż
szego rysunku wyra
ź
nie wida
ć
,
ż
e producent wytwarzaj
ą
cy
ݍത
jednostek produktu powinien do tego celu zu
ż
ywa
ć
ݔ
ଵ
∗
jednostek czynnika produkcji 1
oraz
ݔ
ଶ
∗
jednostek czynnika produkcji 2. Ka
ż
da inna kombinacja czynników produkcji
jest albo dro
ż
sza (znajduje si
ę
na wy
ż
szej izokoszcie), albo nie wystarcza do
wytworzenia zakładanej wielko
ś
ci produkcji (znajduje si
ę
pod izokwant
ą
).
Przykładowo zu
ż
ywaj
ą
c kombinacj
ę
nakładów X producent mo
ż
e zmniejszy
ć
koszty
produkcji pozostawiaj
ą
c jednocze
ś
nie wielko
ść
produkcji na niezmienionym poziomie.
Ograniczaj
ą
c zu
ż
ycie nakładu
ݔ
ଶ
i zwi
ę
kszaj
ą
c zu
ż
ycie nakładu
ݔ
ଵ
zgodnie z relacj
ą
wymienn
ą
2
1
, x
x
MRTS
, producent będzie przesuwał się z punktu X do punktu O
wzdłuŜ izokwanty
ݍത. Analogicznie, znajdując się w punkcie Y producent
powinien ograniczyć zuŜycie
nakładu
ݔ
ଵ
zwi
ę
kszaj
ą
c jednocze
ś
nie zu
ż
ycie
nakładu
ݔ
ଶ
, co spowoduje przesuni
ę
cie si
ę
do punktu O i ograniczenie wydatków.
W punkcie optymalnym izokoszta jest styczna do izokwanty, wi
ę
c nachylenie
obydwu krzywych jest takie samo. Spostrze
ż
enie to jest warunkiem koniecznym
istnienia ekstremum lokalnego funkcji.
Tw. 3.1. Warunki pierwszego rz
ę
du minimalizacji kosztów (FOC – First Order
Condition)
Warunkami koniecznymi istnienia lokalnego minimum funkcji kosztów
ܶܥ = ݓ
ଵ
ݔ
ଵ
+ ݓ
ଶ
ݔ
ଶ
+ ⋯ + ݓ
ݔ
s
ą
:
ܯܴܶܵ
௫
,௫
ೕ
= −
௪
௪
ೕ
݈݀ܽ ݅, ݆ = 1, … , ݊
.
Dowód tw. 3.1.
W dowodzie twierdzenia 3.1. u
ż
yta zostanie metoda Lagrange’a. Szukamy
ekstremum nast
ę
puj
ą
cej funkcji Lagrange’a:
ℒሺݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, … , ݔ
,
λ
ሻ = ݓ
ଵ
ݔ
ଵ
+ ݓ
ଶ
ݔ
ଶ
+ ⋯ + ݓ
ݔ
−
λ
ሺ݂ሺݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, … , ݔ
ሻ − ݍതሻ
W ekstremum lokalnym funkcji wszystkie pochodne cz
ą
stkowe musz
ą
si
ę
zerowa
ć
,
gdy
ż
w bliskim otoczeniu takiego punktu funkcja nie mo
ż
e przyjmowa
ć
warto
ś
ci
mniejszych (dla minimum lokalnego), lub wi
ę
kszych (dla maksimum lokalnego). Czyli
z warunków pierwszego rz
ę
du otrzymujemy:
2
x
1
x
punkt optymalny
2
1
,
2
1
w
w
MRTS
x
x
−
=
2
1
,
2
1
w
w
MRTS
x
x
−
>
2
1
,
2
1
w
w
MRTS
x
x
−
<
X
Y
O
ܶܥ
തതതത
ଵ
ܶܥ
തതതത
ଶ
ܶܥ
തതതത
ଷ
ݔ
ଵ
∗
ݔ
ଶ
∗
izokwanta
ݍത
izokoszty
Przemysław Kusztelak, WNE UW
4
ە
۔
ۓ߲ℒ
ሺݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, … , ݔ
,
λ
ሻ
߲ݔ
= ݓ
−
λ
ܯܲ
௫
= 0 ݈݀ܽ ݅ = 1, … , ݊
߲ℒሺݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, … , ݔ
,
λ
ሻ
߲
λ
= ݂ሺݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, … , ݔ
ሻ − ݍത = 0
Czyli:
൝
ெ
ೣ
௪
=
ெ
ೣೕ
௪
ೕ
݈݀ܽ ݅, ݆ = 1, … , ݊
݂ሺݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, … , ݔ
ሻ = ݍത
Powy
ż
szy warunek oznacza,
ż
e w minimum lokalnym funkcji kosztów
kra
ń
cowy produkt ka
ż
dego czynnika produkcji wa
ż
ony jego cen
ą
jest taki sam oraz
produkcja wynosi dokładnie tyle, ile wynosi zakładany minimalny poziom. Nale
ż
y
pami
ę
ta
ć
,
ż
e FOC jest jedynie warunkiem koniecznym istnienia minimum lokalnego
badanej funkcji. Warunek ten nie gwarantuje wi
ę
c,
ż
e koszty b
ę
d
ą
minimalne w
wyznaczonym z twierdzenia 3.1. punkcie. W praktyce mog
ą
wyst
ą
pi
ć
nast
ę
puj
ą
ce
przypadki:
a) Funkcja produkcji
ś
ci
ś
le wypukła; istnieje punkt w którym nachylenie
izokwanty jest takie samo jak nachylenie izokoszty. Wówczas w punkcie
wyznaczonym z twierdzenia 3.1. funkcja kosztów osi
ą
ga minimum. Przypadek ten
obrazuje rysunek 2. Przykładem takiej funkcji jest funkcja produkcji typu Cobba-
Douglasa:
݂ሺݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
ሻ = ܣݔ
ଵ
ఈ
ݔ
ଶ
ఉ
, ݃݀ݖ݅݁: ܣ, α, β ≥ 0
.
b) Funkcja produkcji
ś
ci
ś
le wypukła; nie istnieje punkt w którym nachylenie
izokwanty jest takie samo jak nachylenie izokoszty. Wówczas z twierdzenia 3.1.
funkcja kosztów nie osi
ą
ga minimum lokalnego w dziedzinie funkcji. Przypadek ten
obrazuje rysunek 3. Przykładem takiej funkcji jest funkcja produkcji:
݂ሺݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
ሻ = ሺݔ
ଵ
+ 10ሻݔ
ଶ
.
Istnieje wówczas taki poziom cen czynników produkcji,
ż
e
nachylenie izokwanty jest zawsze wi
ę
ksze, ni
ż
izokoszty (izokwanta jest bardziej
płaska od izokoszty w całej dziedzinie funkcji). Dowód powy
ż
szego stwierdzenia
pozostawiamy czytelnikom.
W tym przypadku
ś
cisła wypukło
ść
funkcji produkcji nie wystarcza do istnienia
ekstremum lokalnego funkcji. Wida
ć
jednak na powy
ż
szym wykresie,
ż
e im
nachylenie izokwanty jest bli
ż
sze nachyleniu izokoszty, tym koszty produkcji
spadaj
ą
. Z powy
ż
szej obserwacji mo
ż
na wyci
ą
gn
ąć
nast
ę
puj
ą
cy wniosek: je
ż
eli
2
x
1
x
O
ܶܥ
തതതത
ଵ
ܶܥ
തതതത
ଶ
ܶܥ
തതതത
ଷ
izokwanta
ݍത
izokoszty
Przemysław Kusztelak, WNE UW
5
funkcja produkcji jest
ś
ci
ś
le wypukła, za
ś
minimum lokalne nie istnieje (warunek
FOC nie jest spełniony), wówczas punktem minimalizuj
ą
cym koszty produkcji
b
ę
dzie punkt brzegowy. Producent b
ę
dzie wykorzystywał tylko jeden wybrany
czynnik produkcji.
c) Funkcja produkcji liniowa. Wówczas mo
ż
liwe s
ą
dwa przypadki: izokoszta ma
inne nachylenie ni
ż
izokwanta, lub izokoszta ma takie samo nachylenie jak
izokwanta w ka
ż
dym punkcie nale
żą
cym do dziedziny funkcji. W pierwszym
przypadku firma b
ę
dzie produkowa
ć
wykorzystuj
ą
c tylko jeden (relatywnie ta
ń
szy)
czynnik produkcji. Jest to sytuacja analogiczna do przedstawionej na rysunku 3.
W drugim przypadku producentowi oboj
ę
tne jest w jakich proporcjach
wykorzystywa
ć
nakłady, gdy
ż
relacja zamienna czynników produkcji wynikaj
ą
ca
z technologii produkcji jest taka sama, jak relacja zamienna wynikaj
ą
ca z cen
rynkowych. Przykładem liniowej funkcji produkcji jest:
݂ሺݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
ሻ = ܽݔ
ଵ
+ ܾݔ
ଶ
,
݃݀ݖ݅݁: ܽ, ܾ ≥ 0
.
d) Funkcja produkcji
ś
ci
ś
le wkl
ę
sła; istnieje punkt w którym nachylenie izokwanty
jest takie samo jak nachylenie izokoszty. Wówczas w punkcie wyznaczonym z
twierdzenia 3.1. funkcja kosztów osi
ą
ga maksimum. Przykładem takiej funkcji jest
funkcja produkcji:
݂ሺݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
ሻ = ݔ
ଵ
ଶ
+ ݔ
ଶ
. Istnieje wówczas taki poziom cen czynników
produkcji,
ż
e nachylenie izokwanty jest takie samo jak nachylenie izokoszty.
Dowód powy
ż
szego stwierdzenia pozostawiamy czytelnikom. Rysunek 4 obrazuje
t
ę
sytuacj
ę
.
W tym przypadku punkt otrzymany z twierdzenia 3.1. jest punktem najgorszym,
gdy
ż
wi
ąż
e si
ę
z najwi
ę
kszymi kosztami produkcji. Punktem optymalnym jest
wówczas punkt brzegowy. Producent powinien wykorzystywa
ć
do produkcji tylko
jeden (relatywnie ta
ń
szy) czynnik produkcji.
e) Funkcja dowolna (mo
ż
e mie
ć
wiele punktów przegi
ę
cia); mo
ż
e istnie
ć
wiele
rozwi
ą
za
ń
warunku FOC. Przykładem takiej funkcji jest wielomian stopnia
wy
ż
szego ni
ż
2. Interpretacj
ę
graficzn
ą
przedstawia rysunek 5.
O
2
x
1
x
ܶܥ
തതതത
ଵ
ܶܥ
തതതത
ଶ
ܶܥ
തതതത
ଷ
izokwanta
ݍത
izokoszty
punkt
najgorszy
Przemysław Kusztelak, WNE UW
6
Jak wida
ć
na powy
ż
szym rysunku funkcja kosztów ma a
ż
trzy ekstrema lokalne:
jedno maksimum i dwa minima. Jest jednak tylko jeden punkt optymalny
umo
ż
liwiaj
ą
cy produkcj
ę
przy najni
ż
szych kosztach. Nasuwa si
ę
wi
ę
c pytanie w jaki
sposób szuka
ć
punktów minimalizuj
ą
cych koszty produkcji?
Podstawow
ą
metod
ą
jest szczegółowa analiza funkcji polegaj
ą
ca na
wyznaczeniu obszarów, w których funkcja ro
ś
nie, b
ą
d
ź
maleje oraz obszarów, w
których funkcja jest wypukła, b
ą
d
ź
wkl
ę
sła. Przypomnijmy,
ż
e:
- funkcja jest rosn
ą
ca, gdy pierwsza pochodna funkcji jest > 0;
- funkcja jest malej
ą
ca, gdy pierwsza pochodna funkcji jest < 0;
- punktem podejrzanym o istnienie lokalnego ekstremum jest punkt, w którym
pierwsza pochodna funkcji jest = 0;
- funkcja jest wypukła, gdy druga pochodna funkcji jest > 0;
- funkcja jest wkl
ę
sła, gdy druga pochodna funkcji jest < 0;
- punktem podejrzanym o przegi
ę
cie funkcji jest punkt, w którym druga pochodna
funkcji jest = 0.
Istnieje jednak inna metoda, która polega na sprawdzeniu wszystkich punktów
podejrzanych o istnienie w nich minimum funkcji kosztów, tzn. wszystkich punktów
otrzymanych z warunku FOC, wszystkich punktów brzegowych oraz wszystkich
punktów, w których badana funkcja nie jest ró
ż
niczkowalna i policzenie dla ka
ż
dego
z nich kosztów produkcji. Punktem najlepszym b
ę
dzie punkt, dla którego koszt
produkcji jest najmniejszy. Metoda ta jest znacznie szybsza, gdy
ż
porównujemy
jedynie punkty charakterystyczne badanej funkcji nie musz
ą
c zna
ć
w cało
ś
ci jej
przebiegu.
4. Przykłady funkcji kosztów.
4.1. Funkcja kosztów dla funkcji produkcji typu Cobba-Douglasa.
Niech
funkcja
produkcji
dana
b
ę
dzie
równaniem
݂ሺݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, … , ݔ
ሻ = ܣݔ
ଵ
ఈ
భ
ݔ
ଶ
ఈ
మ
… ݔ
ఈ
, za
ś
funkcja kosztów
ܶܥ = ݓ
ଵ
ݔ
ଵ
+ ݓ
ଶ
ݔ
ଶ
+ ⋯ + ݓ
ݔ
.
Chcemy znale
źć
funkcj
ę
kosztów zale
ż
n
ą
jedynie od wielko
ś
ci produkcji oraz od ceny
poszczególnych czynników produkcji, tzn.
ܶܥሺݓ
ଵ
, ݓ
ଶ
, … , ݓ
, ݍሻ
.
Zapiszmy funkcj
ę
Lagrange'a:
ℒሺݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, … , ݔ
,
λ
ሻ = ݓ
ଵ
ݔ
ଵ
+ ݓ
ଶ
ݔ
ଶ
+ ⋯ + ݓ
ݔ
−
λ
ሺ݂ሺݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, … , ݔ
ሻ − ݍതሻ
2
x
1
x
O
ܶܥ
തതതത
ଵ
ܶܥ
തതതത
ଶ
ܶܥ
തതതത
ଷ
izokwanta
ݍത
izokoszty
max
min
Przemysław Kusztelak, WNE UW
7
Z warunków pierwszego rz
ę
du otrzymujemy:
ቐ
1
λ
=
ܯܲ
௫
ݓ
=
݂ሺݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, … , ݔ
ሻ
ݓ
ߙ
݂ሺݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, … , ݔ
ሻ
ݔ
݈݀ܽ ݅ = 1, … , ݊
݂ሺݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, … , ݔ
ሻ = ܣݔ
ଵ
ఈ
భ
ݔ
ଶ
ఈ
మ
… ݔ
ఈ
= ݍ
Z pierwszego warunku mamy:
ܯܲ
௫
ݓ
=
ܯܲ
௫
ೕ
ݓ
⇔
[݂ሺݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, … , ݔ
ሻ]
ଶ
ߙ
ݓ
ݔ
=
[݂ሺݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, … , ݔ
ሻ]
ଶ
ߙ
ݓ
ݔ
⇔
ݔ
= ቈ
ߙ
ߙ
ݓ
ݓ
ݔ
݈݀ܽ ݅ = 1, … , ݊
Przyjmuj
ą
c za j=1 otrzymujemy:
ݍ = ܣݔ
ଵ
ఈ
భ
ݔ
ଶ
ఈ
మ
… ݔ
ఈ
= ܣݔ
ଵ
ఈ
భ
ߙ
ଶ
ߙ
ଵ
൨
ఈ
మ
ݓ
ଵ
ݓ
ଶ
൨
ఈ
మ
ݔ
ଵ
ఈ
మ
…
ߙ
ߙ
ଵ
൨
ఈ
ݓ
ଵ
ݓ
൨
ఈ
ݔ
ଵ
ఈ
=
= ܣ
ߙ
ଶ
ఈ
మ
… ߙ
ఈ
ߙ
ଵ
ఈ
మ
ା⋯ାఈ
ݓ
ଵ
ఈ
మ
ା⋯ାఈ
ݓ
ଶ
ఈ
మ
… ݓ
ఈ
ݔ
ଵ
ఈ
భ
ାఈ
మ
ା⋯ାఈ
= ܣ
Π
ߙ
ఈ
ߙ
ଵ
Σ
ఈ
ݓ
ଵ
Σ
ఈ
Π
ݓ
ఈ
ݔ
ଵ
Σ
ఈ
, ݃݀ݖ݅݁:
Π
ߙ
ఈ
= ߙ
ଵ
ఈ
భ
ߙ
ଶ
ఈ
మ
… ߙ
ఈ
,
ߙ
ଵ
Σ
ఈ
= ߙ
ଵ
ఈ
భ
ఈ
మ
ା⋯ାఈ
Wyznaczaj
ą
c
ݔ
ଵ
otrzymujemy:
ݔ
ଵ
= ܣ
ି ଵ
Σ
ఈ
ߙ
ଵ
Π
ߙ
ఈ
Σ
ఈ
Π
ݓ
ఈ
Σ
ఈ
ݓ
ଵ
ݍ
ଵ
Σ
ఈ
Maj
ą
c obliczone optymalne ilo
ś
ci poszczególnych czynników produkcji mo
ż
na
wyznaczy
ć
funkcj
ę
kosztów:
ܶܥ = ݓ
ଵ
ݔ
ଵ
+ ݓ
ଶ
ݔ
ଶ
+ ⋯ + ݓ
ݔ
ݔ
ଵ
= ܣ
ି ଵ
Σ
ఈ
1
Π
ߙ
ఈ
Σ
ఈ
Π
ݓ
ఈ
Σ
ఈ
ݍ
ଵ
Σ
ఈ
൬
ߙ
ଵ
ݓ
ଵ
ݓ
ଵ
+ ⋯ +
ߙ
ݓ
ݓ
൰
Ostatecznie otrzymujemy:
ܶܥሺݓ
ଵ
, ݓ
ଶ
, … , ݓ
, ݍሻ = ܣ
ି ଵ
Σ
ఈ
Σ
ߙ
Π
ߙ
ఈ
Σ
ఈ
Π
ݓ
ఈ
Σ
ఈ
ݍ
ଵ
Σ
ఈ
4.2. Funkcja kosztów dla funkcji produkcji typu Leontiewa.
Niech
funkcja
produkcji
dana
b
ę
dzie
równaniem
݂ሺݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, … , ݔ
ሻ = min {ߙ
ଵ
ݔ
ଵ
; ߙ
ଶ
ݔ
ଶ
; … ; ߙ
ݔ
}
za
ś
funkcja kosztów
ܶܥ = ݓ
ଵ
ݔ
ଵ
+ ݓ
ଶ
ݔ
ଶ
+
⋯ + ݓ
ݔ
. Wówczas z warunku FOC nie istnieje
ż
aden punkt podejrzany o
ekstremum. Pozostaje wi
ę
c zbada
ć
punkty brzegowe oraz punkty, w których funkcja
nie jest ró
ż
niczkowalna. W tym ostatnim przypadku funkcja osi
ą
ga minimum lokalne i
jest to jedyne minimum, wi
ę
c punkt ten jest punktem optymalnym.
Z powy
ż
szej analizy otrzymujemy nast
ę
puj
ą
ce warunki:
ቄ
ߙ
ଵ
ݔ
ଵ
= ߙ
ଶ
ݔ
ଶ
= ⋯ = ߙ
ݔ
݂ሺݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, … , ݔ
ሻ = min{ߙ
ଵ
ݔ
ଵ
; ߙ
ଶ
ݔ
ଶ
; … ; ߙ
ݔ
} = q
Z warunków tych wynika,
ż
e:
ݍ = ߙ
ଵ
ݔ
ଵ
= ߙ
ଶ
ݔ
ଶ
= ⋯ = ߙ
ݔ
.
Czyli :
ݔ
=
ଵ
ఈ
ݍ , ݈݀ܽ ݅ = 1, … , ݊
Ostatecznie otrzymujemy:
ܶܥሺݓ
ଵ
, ݓ
ଶ
, … , ݓ
, ݍሻ = ൬
ݓ
ଵ
ߙ
ଵ
+
ݓ
ଶ
ߙ
ଶ
+ ⋯ +
ݓ
ߙ
൰ ݍ
4.3. Funkcja kosztów dla liniowej funkcji produkcji.
Niech funkcja produkcji dana b
ę
dzie równaniem
݂ሺݔ
ଵ
, ݔ
ଶ
, … , ݔ
ሻ = ߙ
ଵ
ݔ
ଵ
+
ߙ
ଶ
ݔ
ଶ
+ ⋯ + ߙ
ݔ
za
ś
funkcja kosztów
ܶܥ = ݓ
ଵ
ݔ
ଵ
+ ݓ
ଶ
ݔ
ଶ
+ ⋯ + ݓ
ݔ
. Wówczas do
Przemysław Kusztelak, WNE UW
8
produkcji dobra zu
ż
ywany jest jedynie relatywnie najta
ń
szy czynnik produkcji. Je
ż
eli
takich czynników jest wi
ę
cej, to wykorzystanie ich w dowolnej proporcji minimalizuje
koszty produkcji. Funkcj
ę
kosztów mo
ż
emy wi
ę
c zapisa
ć
nast
ę
puj
ą
co:
ܶܥሺݓ
ଵ
, ݓ
ଶ
, … , ݓ
, ݍሻ = ݉݅݊ ൜
ݓ
ଵ
ߙ
ଵ
;
ݓ
ଶ
ߙ
ଶ
; … ;
ݓ
ߙ
ൠ ݍ