Przemysław Kusztelak, WNE UW

1

MINIMALIZACJA KOSZTÓW PRODUKCJI

1. Wst

ę

p.

Poprzedni rozdział po

ś

wi

ę

cony był technologii produkcji. Analiza funkcji

produkcji firmy doprowadziła nas do wniosku,

ż

e w przypadku, gdy istnieje wi

ę

cej ni

ż

jeden czynnik produkcji, dan

ą

wielko

ść

produkcji mo

ż

na uzyska

ć

stosuj

ą

c ró

ż

ne

kombinacje nakładów. Zbiór wszystkich mo

ż

liwych kombinacji czynników produkcji

pozwalaj

ą

cy na efektywne wyprodukowanie danej wielko

ś

ci dobra nazwali

ś

my

izokwant

ą

. Pytanie, na które odpowied

ź

znajduje si

ę

w niniejszym rozdziale brzmi:

Jak

ą

kombinacj

ę

czynników produkcji zu

ż

ywa firma cechuj

ą

ca si

ę

dan

ą

funkcj

ą

produkcji do wytworzenia pewnej wielko

ś

ci produkcji? Inaczej stawiaj

ą

c pytanie

mo

ż

na zapyta

ć

: Który z punktów le

żą

cych na danej izokwancie jest najlepszy dla

producenta?

Firma maksymalizuj

ą

ca zyski stara si

ę

oczywi

ś

cie wytwarza

ć

produkt mo

ż

liwie

najtaniej. Wybór wła

ś

ciwej kombinacji czynników produkcji zale

ż

y wi

ę

c od ich cen.

Celem niniejszego rozdziału jest wyznaczenie funkcji kosztów wytworzenia
danej wielko

ś

ci produkcji w zale

ż

no

ś

ci od funkcji produkcji oraz cen

poszczególnych czynników produkcji.

2. Koszty produkcji.

Analiz

ę

na temat wyboru optymalnej wielko

ś

ci zu

ż

ycia czynników produkcji do

wytworzenia danej wielo

ś

ci produkcji nale

ż

y zacz

ąć

od zdefiniowania kosztów

produkcji. Ekonomi

ś

ci wyró

ż

niaj

ą

ró

ż

ne kategoria kosztów:

a) koszty ksi

ę

gowe – faktycznie poniesione koszty liczone za pomoc

ą

warto

ś

ci

ksi

ę

gowych (np. posiadana ziemia nie stanowi kosztu ksi

ę

gowego, za

ś

samochód wchodzi do kosztów w wysoko

ś

ci stopy deprecjacji tego zasobu);

b) koszty ekonomiczne – tzw. koszty alternatywne (opportunity costs)

odzwierciedlaj

ą

one utracone korzy

ś

ci z tytułu pomini

ę

cia najlepszego

alternatywnego zastosowania danego czynnika produkcji (np. posiadan

ą

ziemi

ę

mo

ż

na wydzier

ż

awi

ć

i odnie

ść

z tego tytułu korzy

ść

materialn

ą

. W

zwi

ą

zku z tym koszt wykorzystania w procesie produkcyjnym posiadanej ziemi

mo

ż

na wyceni

ć

za pomoc

ą

kosztu ewentualnej dzier

ż

awy gruntów).

Pod poj

ę

ciem kosztów produkcji znajduje si

ę

wi

ę

c suma kosztów

ekonomicznych wszystkich czynników produkcji wykorzystywanych w procesie
produkcji (ozn.

ࢀ࡯ = ࢝

૚

࢞

૚

+ ࢝

૛

࢞

૛

+ ⋯ + ࢝

࢔

࢞

࢔

, gdzie:

ݔ

ଵ

, ݔ

ଶ

, … , ݔ

௡

– wszystkie

czynniki produkcji, za

ś

ݓ

ଵ

, ݓ

ଶ

, … , ݓ

௡

– ceny odpowiednich nakładów). Kombinacje

czynników produkcji, które ł

ą

cznie kosztuj

ą

tyle samo nazywamy izokosztami.

Izokoszty s

ą

wi

ę

c liniami (a wła

ś

ciwie n-wymiarowymi płaszczyznami) jednakowego

kosztu przedstawiaj

ą

cymi wszystkie mo

ż

liwe kombinacje czynników produkcji o takim

samym koszcie. Przykład izokoszt dobra produkowanego za pomoc

ą

dwóch

czynników produkcji przedstawia rysunek 1.

Przemysław Kusztelak, WNE UW

2

Jak wida

ć

na powy

ż

szym rysunku izokoszty maj

ą

nachylenie

−ݓ

ଵ

/ݓ

ଶ

i s

ą

do siebie

równoległe. Im wy

ż

sza cena danego czynnika produkcji, tym mniejsz

ą

jego ilo

ść

mo

ż

emy kupi

ć

i na odwrót. Nachylenie izokoszt zale

ż

y od bezpo

ś

redniej relacji cen

czynników produkcji i mówi o wzajemnej relacji wymiennej. Im wy

ż

sza cena

pierwszego czynnika produkcji w porównaniu do ceny drugiego czynnika produkcji,
tym izokoszty staj

ą

si

ę

bardziej strome, czyli rezygnuj

ą

c z jednej jednostki

ݔ

ଵ

mo

ż

emy

naby

ć

wi

ę

cej jednostek

ݔ

ଶ

.

3. Zało

ż

enie minimalizacji kosztów.

Def. 3.1. Minimalizacji kosztów

Firma minimalizuje koszty produkcji, je

ż

eli wybiera najta

ń

szy sposób

wytworzenia danej wielko

ś

ci produkcji, tzn.

min

௫

భ

,௫

మ

,…,௫

೙

ሺݓ

ଵ

ݔ

ଵ

+ ݓ

ଶ

ݔ

ଶ

+ ⋯ + ݓ

௡

ݔ

௡

ሻ : ݂ሺݔ

ଵ

, ݔ

ଶ

, … , ݔ

௡

ሻ ≥ ݍത, ݔ

ଵ

, ݔ

ଶ

, … , ݔ

௡

≥ 0

,

gdzie:

݂ሺݔ

ଵ

, ݔ

ଶ

, … , ݔ

௡

ሻ

– funkcja produkcji.

W zadaniu minimalizacji kosztów wyst

ę

puje pewna analogia z zadaniem

maksymalizacji

u

ż

yteczno

ś

ci

przez

konsumentów.

Przypomnijmy,

ż

e

w

mikroekonomicznej teorii konsumenta zakłada si

ę

, i

ż

konsumenci maksymalizuj

ą

swoj

ą

u

ż

yteczno

ść

(satysfakcj

ę

z posiadanych dóbr) przy ograniczeniu bud

ż

etowym

(nie mog

ą

wyda

ć

wi

ę

cej, ni

ż

posiadaj

ą

). Firmy natomiast minimalizuj

ą

koszty

produkcji przy ograniczeniu zwi

ą

zanym z wielko

ś

ci

ą

produkcji (poziom produkcji ma

by

ć

niemniejszy ni

ż

zakładany).

Rozwi

ą

zanie graficzne problemu minimalizacji kosztów przedstawia rysunek 2.

2

x

1

x

ܶܥ

തതതത

ଷ

ܶܥ

തതതത

ଶ

ܶܥ

തതതത

ଵ

izokoszty

ݔ

ଶ

=

ܶܥ

തതതത

௜

ݓ

ଶ

−

ݓ

ଵ

ݓ

ଶ

ݔ

ଵ

Przemysław Kusztelak, WNE UW

3

Z powy

ż

szego rysunku wyra

ź

nie wida

ć

,

ż

e producent wytwarzaj

ą

cy

ݍത

jednostek produktu powinien do tego celu zu

ż

ywa

ć

ݔ

ଵ

∗

jednostek czynnika produkcji 1

oraz

ݔ

ଶ

∗

jednostek czynnika produkcji 2. Ka

ż

da inna kombinacja czynników produkcji

jest albo dro

ż

sza (znajduje si

ę

na wy

ż

szej izokoszcie), albo nie wystarcza do

wytworzenia zakładanej wielko

ś

ci produkcji (znajduje si

ę

pod izokwant

ą

).

Przykładowo zu

ż

ywaj

ą

c kombinacj

ę

nakładów X producent mo

ż

e zmniejszy

ć

koszty

produkcji pozostawiaj

ą

c jednocze

ś

nie wielko

ść

produkcji na niezmienionym poziomie.

Ograniczaj

ą

c zu

ż

ycie nakładu

ݔ

ଶ

i zwi

ę

kszaj

ą

c zu

ż

ycie nakładu

ݔ

ଵ

zgodnie z relacj

ą

wymienn

ą

2

1

, x

x

MRTS

, producent będzie przesuwał się z punktu X do punktu O

wzdłuż izokwanty

ݍത. Analogicznie, znajdując się w punkcie Y producent

powinien ograniczyć zużycie

nakładu

ݔ

ଵ

zwi

ę

kszaj

ą

c jednocze

ś

nie zu

ż

ycie

nakładu

ݔ

ଶ

, co spowoduje przesuni

ę

cie si

ę

do punktu O i ograniczenie wydatków.

W punkcie optymalnym izokoszta jest styczna do izokwanty, wi

ę

c nachylenie

obydwu krzywych jest takie samo. Spostrze

ż

enie to jest warunkiem koniecznym

istnienia ekstremum lokalnego funkcji.

Tw. 3.1. Warunki pierwszego rz

ę

du minimalizacji kosztów (FOC – First Order

Condition)

Warunkami koniecznymi istnienia lokalnego minimum funkcji kosztów

ܶܥ = ݓ

ଵ

ݔ

ଵ

+ ݓ

ଶ

ݔ

ଶ

+ ⋯ + ݓ

௡

ݔ

௡

s

ą

:

ܯܴܶܵ

௫

೔

,௫

ೕ

= −

௪

೔

௪

ೕ

݈݀ܽ ݅, ݆ = 1, … , ݊

.

Dowód tw. 3.1.
W dowodzie twierdzenia 3.1. u

ż

yta zostanie metoda Lagrange’a. Szukamy

ekstremum nast

ę

puj

ą

cej funkcji Lagrange’a:

ℒሺݔ

ଵ

, ݔ

ଶ

, … , ݔ

௡

,

λ

ሻ = ݓ

ଵ

ݔ

ଵ

+ ݓ

ଶ

ݔ

ଶ

+ ⋯ + ݓ

௡

ݔ

௡

−

λ

ሺ݂ሺݔ

ଵ

, ݔ

ଶ

, … , ݔ

௡

ሻ − ݍതሻ

W ekstremum lokalnym funkcji wszystkie pochodne cz

ą

stkowe musz

ą

si

ę

zerowa

ć

,

gdy

ż

w bliskim otoczeniu takiego punktu funkcja nie mo

ż

e przyjmowa

ć

warto

ś

ci

mniejszych (dla minimum lokalnego), lub wi

ę

kszych (dla maksimum lokalnego). Czyli

z warunków pierwszego rz

ę

du otrzymujemy:

2

x

1

x

punkt optymalny

2

1

,

2

1

w

w

MRTS

x

x

−

=

2

1

,

2

1

w

w

MRTS

x

x

−

>

2

1

,

2

1

w

w

MRTS

x

x

−

<

X

Y

O

ܶܥ

തതതത

ଵ

ܶܥ

തതതത

ଶ

ܶܥ

തതതത

ଷ

ݔ

ଵ

∗

ݔ

ଶ

∗

izokwanta

ݍത

izokoszty

Przemysław Kusztelak, WNE UW

4

ە

۔

ۓ߲ℒ

ሺݔ

ଵ

, ݔ

ଶ

, … , ݔ

௡

,

λ

ሻ

߲ݔ

௜

= ݓ

௜

−

λ

ܯܲ

௫

೔

= 0 ݈݀ܽ ݅ = 1, … , ݊

߲ℒሺݔ

ଵ

, ݔ

ଶ

, … , ݔ

௡

,

λ

ሻ

߲

λ

= ݂ሺݔ

ଵ

, ݔ

ଶ

, … , ݔ

௡

ሻ − ݍത = 0

Czyli:

൝

ெ௉

ೣ೔

௪

೔

=

ெ௉

ೣೕ

௪

ೕ

݈݀ܽ ݅, ݆ = 1, … , ݊

݂ሺݔ

ଵ

, ݔ

ଶ

, … , ݔ

௡

ሻ = ݍത

Powy

ż

szy warunek oznacza,

ż

e w minimum lokalnym funkcji kosztów

kra

ń

cowy produkt ka

ż

dego czynnika produkcji wa

ż

ony jego cen

ą

jest taki sam oraz

produkcja wynosi dokładnie tyle, ile wynosi zakładany minimalny poziom. Nale

ż

y

pami

ę

ta

ć

,

ż

e FOC jest jedynie warunkiem koniecznym istnienia minimum lokalnego

badanej funkcji. Warunek ten nie gwarantuje wi

ę

c,

ż

e koszty b

ę

d

ą

minimalne w

wyznaczonym z twierdzenia 3.1. punkcie. W praktyce mog

ą

wyst

ą

pi

ć

nast

ę

puj

ą

ce

przypadki:
a) Funkcja produkcji

ś

ci

ś

le wypukła; istnieje punkt w którym nachylenie

izokwanty jest takie samo jak nachylenie izokoszty. Wówczas w punkcie
wyznaczonym z twierdzenia 3.1. funkcja kosztów osi

ą

ga minimum. Przypadek ten

obrazuje rysunek 2. Przykładem takiej funkcji jest funkcja produkcji typu Cobba-
Douglasa:

݂ሺݔ

ଵ

, ݔ

ଶ

ሻ = ܣݔ

ଵ

ఈ

ݔ

ଶ

ఉ

, ݃݀ݖ݅݁: ܣ, α, β ≥ 0

.

b) Funkcja produkcji

ś

ci

ś

le wypukła; nie istnieje punkt w którym nachylenie

izokwanty jest takie samo jak nachylenie izokoszty. Wówczas z twierdzenia 3.1.
funkcja kosztów nie osi

ą

ga minimum lokalnego w dziedzinie funkcji. Przypadek ten

obrazuje rysunek 3. Przykładem takiej funkcji jest funkcja produkcji:

݂ሺݔ

ଵ

, ݔ

ଶ

ሻ = ሺݔ

ଵ

+ 10ሻݔ

ଶ

.

Istnieje wówczas taki poziom cen czynników produkcji,

ż

e

nachylenie izokwanty jest zawsze wi

ę

ksze, ni

ż

izokoszty (izokwanta jest bardziej

płaska od izokoszty w całej dziedzinie funkcji). Dowód powy

ż

szego stwierdzenia

pozostawiamy czytelnikom.

W tym przypadku

ś

cisła wypukło

ść

funkcji produkcji nie wystarcza do istnienia

ekstremum lokalnego funkcji. Wida

ć

jednak na powy

ż

szym wykresie,

ż

e im

nachylenie izokwanty jest bli

ż

sze nachyleniu izokoszty, tym koszty produkcji

spadaj

ą

. Z powy

ż

szej obserwacji mo

ż

na wyci

ą

gn

ąć

nast

ę

puj

ą

cy wniosek: je

ż

eli

2

x

1

x

O

ܶܥ

തതതത

ଵ

ܶܥ

തതതത

ଶ

ܶܥ

തതതത

ଷ

izokwanta

ݍത

izokoszty

Przemysław Kusztelak, WNE UW

5

funkcja produkcji jest

ś

ci

ś

le wypukła, za

ś

minimum lokalne nie istnieje (warunek

FOC nie jest spełniony), wówczas punktem minimalizuj

ą

cym koszty produkcji

b

ę

dzie punkt brzegowy. Producent b

ę

dzie wykorzystywał tylko jeden wybrany

czynnik produkcji.

c) Funkcja produkcji liniowa. Wówczas mo

ż

liwe s

ą

dwa przypadki: izokoszta ma

inne nachylenie ni

ż

izokwanta, lub izokoszta ma takie samo nachylenie jak

izokwanta w ka

ż

dym punkcie nale

żą

cym do dziedziny funkcji. W pierwszym

przypadku firma b

ę

dzie produkowa

ć

wykorzystuj

ą

c tylko jeden (relatywnie ta

ń

szy)

czynnik produkcji. Jest to sytuacja analogiczna do przedstawionej na rysunku 3.
W drugim przypadku producentowi oboj

ę

tne jest w jakich proporcjach

wykorzystywa

ć

nakłady, gdy

ż

relacja zamienna czynników produkcji wynikaj

ą

ca

z technologii produkcji jest taka sama, jak relacja zamienna wynikaj

ą

ca z cen

rynkowych. Przykładem liniowej funkcji produkcji jest:

݂ሺݔ

ଵ

, ݔ

ଶ

ሻ = ܽݔ

ଵ

+ ܾݔ

ଶ

,

݃݀ݖ݅݁: ܽ, ܾ ≥ 0

.

d) Funkcja produkcji

ś

ci

ś

le wkl

ę

sła; istnieje punkt w którym nachylenie izokwanty

jest takie samo jak nachylenie izokoszty. Wówczas w punkcie wyznaczonym z
twierdzenia 3.1. funkcja kosztów osi

ą

ga maksimum. Przykładem takiej funkcji jest

funkcja produkcji:

݂ሺݔ

ଵ

, ݔ

ଶ

ሻ = ݔ

ଵ

ଶ

+ ݔ

ଶ

. Istnieje wówczas taki poziom cen czynników

produkcji,

ż

e nachylenie izokwanty jest takie samo jak nachylenie izokoszty.

Dowód powy

ż

szego stwierdzenia pozostawiamy czytelnikom. Rysunek 4 obrazuje

t

ę

sytuacj

ę

.

W tym przypadku punkt otrzymany z twierdzenia 3.1. jest punktem najgorszym,

gdy

ż

wi

ąż

e si

ę

z najwi

ę

kszymi kosztami produkcji. Punktem optymalnym jest

wówczas punkt brzegowy. Producent powinien wykorzystywa

ć

do produkcji tylko

jeden (relatywnie ta

ń

szy) czynnik produkcji.

e) Funkcja dowolna (mo

ż

e mie

ć

wiele punktów przegi

ę

cia); mo

ż

e istnie

ć

wiele

rozwi

ą

za

ń

warunku FOC. Przykładem takiej funkcji jest wielomian stopnia

wy

ż

szego ni

ż

2. Interpretacj

ę

graficzn

ą

przedstawia rysunek 5.

O

2

x

1

x

ܶܥ

തതതത

ଵ

ܶܥ

തതതത

ଶ

ܶܥ

തതതത

ଷ

izokwanta

ݍത

izokoszty

punkt

najgorszy

Przemysław Kusztelak, WNE UW

6

Jak wida

ć

na powy

ż

szym rysunku funkcja kosztów ma a

ż

trzy ekstrema lokalne:

jedno maksimum i dwa minima. Jest jednak tylko jeden punkt optymalny
umo

ż

liwiaj

ą

cy produkcj

ę

przy najni

ż

szych kosztach. Nasuwa si

ę

wi

ę

c pytanie w jaki

sposób szuka

ć

punktów minimalizuj

ą

cych koszty produkcji?

Podstawow

ą

metod

ą

jest szczegółowa analiza funkcji polegaj

ą

ca na

wyznaczeniu obszarów, w których funkcja ro

ś

nie, b

ą

d

ź

maleje oraz obszarów, w

których funkcja jest wypukła, b

ą

d

ź

wkl

ę

sła. Przypomnijmy,

ż

e:

- funkcja jest rosn

ą

ca, gdy pierwsza pochodna funkcji jest > 0;

- funkcja jest malej

ą

ca, gdy pierwsza pochodna funkcji jest < 0;

- punktem podejrzanym o istnienie lokalnego ekstremum jest punkt, w którym
pierwsza pochodna funkcji jest = 0;
- funkcja jest wypukła, gdy druga pochodna funkcji jest > 0;
- funkcja jest wkl

ę

sła, gdy druga pochodna funkcji jest < 0;

- punktem podejrzanym o przegi

ę

cie funkcji jest punkt, w którym druga pochodna

funkcji jest = 0.

Istnieje jednak inna metoda, która polega na sprawdzeniu wszystkich punktów

podejrzanych o istnienie w nich minimum funkcji kosztów, tzn. wszystkich punktów
otrzymanych z warunku FOC, wszystkich punktów brzegowych oraz wszystkich
punktów, w których badana funkcja nie jest ró

ż

niczkowalna i policzenie dla ka

ż

dego

z nich kosztów produkcji. Punktem najlepszym b

ę

dzie punkt, dla którego koszt

produkcji jest najmniejszy. Metoda ta jest znacznie szybsza, gdy

ż

porównujemy

jedynie punkty charakterystyczne badanej funkcji nie musz

ą

c zna

ć

w cało

ś

ci jej

przebiegu.

4. Przykłady funkcji kosztów.

4.1. Funkcja kosztów dla funkcji produkcji typu Cobba-Douglasa.

Niech

funkcja

produkcji

dana

b

ę

dzie

równaniem

݂ሺݔ

ଵ

, ݔ

ଶ

, … , ݔ

௡

ሻ = ܣݔ

ଵ

ఈ

భ

ݔ

ଶ

ఈ

మ

… ݔ

௡

ఈ

೙

, za

ś

funkcja kosztów

ܶܥ = ݓ

ଵ

ݔ

ଵ

+ ݓ

ଶ

ݔ

ଶ

+ ⋯ + ݓ

௡

ݔ

௡

.

Chcemy znale

źć

funkcj

ę

kosztów zale

ż

n

ą

jedynie od wielko

ś

ci produkcji oraz od ceny

poszczególnych czynników produkcji, tzn.

ܶܥሺݓ

ଵ

, ݓ

ଶ

, … , ݓ

௡

, ݍሻ

.

Zapiszmy funkcj

ę

Lagrange'a:

ℒሺݔ

ଵ

, ݔ

ଶ

, … , ݔ

௡

,

λ

ሻ = ݓ

ଵ

ݔ

ଵ

+ ݓ

ଶ

ݔ

ଶ

+ ⋯ + ݓ

௡

ݔ

௡

−

λ

ሺ݂ሺݔ

ଵ

, ݔ

ଶ

, … , ݔ

௡

ሻ − ݍതሻ

2

x

1

x

O

ܶܥ

തതതത

ଵ

ܶܥ

തതതത

ଶ

ܶܥ

തതതത

ଷ

izokwanta

ݍത

izokoszty

max

min

Przemysław Kusztelak, WNE UW

7

Z warunków pierwszego rz

ę

du otrzymujemy:

ቐ

1

λ

=

ܯܲ

௫

೔

ݓ

௜

=

݂ሺݔ

ଵ

, ݔ

ଶ

, … , ݔ

௡

ሻ

ݓ

௜

ߙ

௜

݂ሺݔ

ଵ

, ݔ

ଶ

, … , ݔ

௡

ሻ

ݔ

௜

݈݀ܽ ݅ = 1, … , ݊

݂ሺݔ

ଵ

, ݔ

ଶ

, … , ݔ

௡

ሻ = ܣݔ

ଵ

ఈ

భ

ݔ

ଶ

ఈ

మ

… ݔ

௡

ఈ

೙

= ݍ

Z pierwszego warunku mamy:

ܯܲ

௫

೔

ݓ

௜

=

ܯܲ

௫

ೕ

ݓ

௝

⇔

[݂ሺݔ

ଵ

, ݔ

ଶ

, … , ݔ

௡

ሻ]

ଶ

ߙ

௜

ݓ

௜

ݔ

௜

=

[݂ሺݔ

ଵ

, ݔ

ଶ

, … , ݔ

௡

ሻ]

ଶ

ߙ

௝

ݓ

௝

ݔ

௝

⇔

ݔ

௝

= ቈ

ߙ

௝

ߙ

௜

ݓ

௜

ݓ

௝

቉ ݔ

௜

݈݀ܽ ݅ = 1, … , ݊

Przyjmuj

ą

c za j=1 otrzymujemy:

ݍ = ܣݔ

ଵ

ఈ

భ

ݔ

ଶ

ఈ

మ

… ݔ

௡

ఈ

೙

= ܣݔ

ଵ

ఈ

భ

൤

ߙ

ଶ

ߙ

ଵ

൨

ఈ

మ

൤

ݓ

ଵ

ݓ

ଶ

൨

ఈ

మ

ݔ

ଵ

ఈ

మ

… ൤

ߙ

௡

ߙ

ଵ

൨

ఈ

೙

൤

ݓ

ଵ

ݓ

௡

൨

ఈ

೙

ݔ

ଵ

ఈ

೙

=

= ܣ

ߙ

ଶ

ఈ

మ

… ߙ

௡

ఈ

೙

ߙ

ଵ

ఈ

మ

ା⋯ାఈ

೙

ݓ

ଵ

ఈ

మ

ା⋯ାఈ

೙

ݓ

ଶ

ఈ

మ

… ݓ

௡

ఈ

೙

ݔ

ଵ

ఈ

భ

ାఈ

మ

ା⋯ାఈ

೙

= ܣ

Π

ߙ

௜

ఈ

೔

ߙ

ଵ

Σ

ఈ

೔

ݓ

ଵ

Σ

ఈ

೔

Π

ݓ

௜

ఈ

೔

ݔ

ଵ

Σ

ఈ

೔

, ݃݀ݖ݅݁:

Π

ߙ

௜

ఈ

೔

= ߙ

ଵ

ఈ

భ

ߙ

ଶ

ఈ

మ

… ߙ

௡

ఈ

೙

,

ߙ

ଵ

Σ

ఈ

೔

= ߙ

ଵ

ఈ

భ

ఈ

మ

ା⋯ାఈ

೙

Wyznaczaj

ą

c

ݔ

ଵ

otrzymujemy:

ݔ

ଵ

= ܣ

ି ଵ

Σ

ఈ

೔

ߙ

ଵ

Π

ߙ

௜

ఈ

೔

Σ

ఈ

೔

Π

ݓ

௜

ఈ

೔

Σ

ఈ

೔

ݓ

ଵ

ݍ

ଵ

Σ

ఈ

೔

Maj

ą

c obliczone optymalne ilo

ś

ci poszczególnych czynników produkcji mo

ż

na

wyznaczy

ć

funkcj

ę

kosztów:

ܶܥ = ݓ

ଵ

ݔ

ଵ

+ ݓ

ଶ

ݔ

ଶ

+ ⋯ + ݓ

௡

ݔ

௡

ݔ

ଵ

= ܣ

ି ଵ

Σ

ఈ

೔

1

Π

ߙ

௜

ఈ

೔

Σ

ఈ

೔

Π

ݓ

௜

ఈ

೔

Σ

ఈ

೔

ݍ

ଵ

Σ

ఈ

೔

൬

ߙ

ଵ

ݓ

ଵ

ݓ

ଵ

+ ⋯ +

ߙ

௡

ݓ

௡

ݓ

௡

൰

Ostatecznie otrzymujemy:

ܶܥሺݓ

ଵ

, ݓ

ଶ

, … , ݓ

௡

, ݍሻ = ܣ

ି ଵ

Σ

ఈ

೔

Σ

ߙ

௜

Π

ߙ

௜

ఈ

೔

Σ

ఈ

೔

Π

ݓ

௜

ఈ

೔

Σ

ఈ

೔

ݍ

ଵ

Σ

ఈ

೔

4.2. Funkcja kosztów dla funkcji produkcji typu Leontiewa.

Niech

funkcja

produkcji

dana

b

ę

dzie

równaniem

݂ሺݔ

ଵ

, ݔ

ଶ

, … , ݔ

௡

ሻ = min {ߙ

ଵ

ݔ

ଵ

; ߙ

ଶ

ݔ

ଶ

; … ; ߙ

௡

ݔ

௡

}

za

ś

funkcja kosztów

ܶܥ = ݓ

ଵ

ݔ

ଵ

+ ݓ

ଶ

ݔ

ଶ

+

⋯ + ݓ

௡

ݔ

௡

. Wówczas z warunku FOC nie istnieje

ż

aden punkt podejrzany o

ekstremum. Pozostaje wi

ę

c zbada

ć

punkty brzegowe oraz punkty, w których funkcja

nie jest ró

ż

niczkowalna. W tym ostatnim przypadku funkcja osi

ą

ga minimum lokalne i

jest to jedyne minimum, wi

ę

c punkt ten jest punktem optymalnym.

Z powy

ż

szej analizy otrzymujemy nast

ę

puj

ą

ce warunki:

ቄ

ߙ

ଵ

ݔ

ଵ

= ߙ

ଶ

ݔ

ଶ

= ⋯ = ߙ

௡

ݔ

௡

݂ሺݔ

ଵ

, ݔ

ଶ

, … , ݔ

௡

ሻ = min{ߙ

ଵ

ݔ

ଵ

; ߙ

ଶ

ݔ

ଶ

; … ; ߙ

௡

ݔ

௡

} = q

Z warunków tych wynika,

ż

e:

ݍ = ߙ

ଵ

ݔ

ଵ

= ߙ

ଶ

ݔ

ଶ

= ⋯ = ߙ

௡

ݔ

௡

.

Czyli :

ݔ

௜

=

ଵ

ఈ

೔

ݍ , ݈݀ܽ ݅ = 1, … , ݊

Ostatecznie otrzymujemy:

ܶܥሺݓ

ଵ

, ݓ

ଶ

, … , ݓ

௡

, ݍሻ = ൬

ݓ

ଵ

ߙ

ଵ

+

ݓ

ଶ

ߙ

ଶ

+ ⋯ +

ݓ

௡

ߙ

௡

൰ ݍ

4.3. Funkcja kosztów dla liniowej funkcji produkcji.

Niech funkcja produkcji dana b

ę

dzie równaniem

݂ሺݔ

ଵ

, ݔ

ଶ

, … , ݔ

௡

ሻ = ߙ

ଵ

ݔ

ଵ

+

ߙ

ଶ

ݔ

ଶ

+ ⋯ + ߙ

௡

ݔ

௡

za

ś

funkcja kosztów

ܶܥ = ݓ

ଵ

ݔ

ଵ

+ ݓ

ଶ

ݔ

ଶ

+ ⋯ + ݓ

௡

ݔ

௡

. Wówczas do

Przemysław Kusztelak, WNE UW

8

produkcji dobra zu

ż

ywany jest jedynie relatywnie najta

ń

szy czynnik produkcji. Je

ż

eli

takich czynników jest wi

ę

cej, to wykorzystanie ich w dowolnej proporcji minimalizuje

koszty produkcji. Funkcj

ę

kosztów mo

ż

emy wi

ę

c zapisa

ć

nast

ę

puj

ą

co:

ܶܥሺݓ

ଵ

, ݓ

ଶ

, … , ݓ

௡

, ݍሻ = ݉݅݊ ൜

ݓ

ଵ

ߙ

ଵ

;

ݓ

ଶ

ߙ

ଶ

; … ;

ݓ

௡

ߙ

௡

ൠ ݍ