Zadania z Teorii gier 4 - rozwiązania 

 

Zad.1 

ZałóŜmy,  Ŝe  rynek  jest  opanowany  przez  firmę  I,  która  osiąga  z  tego 
tytułu  wypłatę  2.  Firma  E  rozwaŜa  wejście  na  ten  rynek.  Jeśli  do  tego 
dojdzie,  to  firmy  będą  musiały  podzielić  się  rynkiem,  który  składa  się 
dwóch  segmentów  (np.  dwa  rodzaje  nabywców  lub  dwie  odmiany 
produktu):  duŜego  i  małego.  Wybierając  dla  siebie  określony  segment 
rynku  firmy  będą  rozgrywać  wówczas  grę  o  następujących  wypłatach: 
u

E

(M,M)=u

I

(M,M)=–6, 

u

E

=u

I

(D,D)=–3, 

u

E

(M,D)=u

I

(D,M)=–1, 

u

E

(D,M)=u

I

(M,D)=1,  gdzie  M  ––  wybór  małego  segmentu  rynku,  D  –- 

wybór  duŜego  segmentu  rynku,  przy  czym  pierwszy  argument  funkcji  u 
odnosi  się  firmy  E,  a  drugi  do  I.  Niech  W  i  N  oznaczają,  odpowiednio, 
decyzje  firmy  E  "wejść",  "nie  wejść"  na  rynek.  Stosując  zasadę 
racjonalności sekwencyjnej wykazać, Ŝe gra opisująca te sytuacje ma dwie 
SPNE: (s

E

,s

I

) = ((W,D jeśli poprzednio wybrano W),(M jeśli E wybrała W)) 

oraz (s

E

,s

I

) = ((N,M jeśli poprzednio wybrano W),(D jeśli E wybrała W). Ile 

jest NE w tej grze? 

 

Wyznaczam NE powyŜszej gry: 

1

  

2

Di

Mi

NDe

0;2

0;2

NMe

0;2

0;2

WDe

-3;-3

-1;1

WMe

1;-1

-6;-6

 

NE = {(NDe;Mi), (NMe;Mi), (WMe;Di)} 

 

Wyznaczam SPNE powyŜszej gry: 

- badam NE w podagrach: 

1

  

2

Di

Mi

De

-3;-3

-1;1

Me

1;-1

-6;-6

 

NE = {(Me;Di), (De;Mi)} – czyli strategia: (NMe;Mi) nie jest SPNE, gdyŜ 

nie jest NE tej podgry.  

SPNE = {(WMe;Di), (NDe;Mi)} – one rzeczywiście są NE rozwaŜanej 

podgry i są całej gry, czyli są SPNE (więcej podgier nie ma). 

(0;2) 

(-3;-3) (1;-1) 

E 

E 

I 

N 

W

Di

 

Mi

 

De

Me

(-1;1)  (-6;-6) 

E 

De

 

Me

 

Zad.2 (Kontrakt pomiędzy pracownikiem a pracodawcą) 

 

Pracodawca zatrudnia jednego pracownika (tak jak w eksperymencie 

na ostatnich zajęciach). Dochód firmy zaleŜy od wysiłku pracownika (

0

≥

e

) 

i  wynosi 

e

800

.  Dochód  pracownika  stanowi  jego  pensja  (

0

≥

w

),  która  jest 

jednocześnie  kosztem  firmy.  Pracownik  równieŜ  ponosi  koszty  zaleŜne  od 
zaangaŜowania  i  wynoszące 

2

e .  ZaangaŜowanie  pracownika  jest  zmienną 

nieobserwowalną, zaś poziom wynagrodzenia ustala się w umowie.  

a)

 

Przedstaw  powyŜszą  grę  w  postaci  ekstensywnej  uwzględniając 
moŜliwość nie podpisania umowy przez jedną ze stron? 

 

b)

 

 

c)

 

Wyznacz rozwiązanie konkurencyjne tej gry: 

Dla  kaŜdego  w  >  0  pracownik  podpisze  umowę,  gdyŜ  poziom  wysiłku 
moŜe ustalić na poziomie = 0 i wówczas osiągnie max zysk. Wie o tym 
firma, więc nie podpisze ona umowy (jeŜeli w>0, to e=0, wiąc jej zyski 
<0)  –  to  jest  gra  jednoetapowa,  więc  nie  ma  mowy  o  myśleniu  o 
następnych rundach. 
 
d)

 

Jakie  jest  optimum  społeczne  tej  gry?  (

Podpowiedź:  suma  zysków 

wszystkich graczy ma być maksymalna)

 

(800e-w)+(w-e

2

)=e(800-e)=max   e=400, wówczas suma zysków = 160 000 

 
e)

 

Kontrakt  mógłby  być  bardziej  efektywny  gdyby  przewidywał 
proporcjonalny  podział  zysków.  Jakie  byłoby  rozwiązanie  tej  gry, 
gdyby pracownik otrzymywał w formie wynagrodzenia x% dochodów 
firmy? 

Zyski pracownika = 800e*x-e

2

=max  e=400x 

Zyski firmy = 800e(1-x)= 800*400x*(1-x)=max  x=1/2, czyli e=200  
 
f)

 

Czy 

jesteś 

w 

stanie 

sformułować 

kontrakt, 

który 

jest 

paretoefektywny (suma zysków taka jak w podpunkcie c)?  

Wszystkie  zyski  przejmuje  pracownik  w  zamian  za  stałą  opłatę,  np. 
kontrolerzy  ZTM  płacą  za  identyfikator  uprawniający  ich  do  kontroli 
biletów, zaś zyski ze złapania osób jeŜdŜących bez biletów są w całości 
dla  nich;  opłata  za  licencje  taksówkowe  w  Londynie.  Taki  system 
motywuje  pracowników  do  wydajnej  pracy.  Oczywiście  nie  zawsze 
moŜna go zastosować  

 
Zad.3 (Korupcja) 

 

Urzędnik zastanawia się, czy przyjąć prezent (łapówkę) za wykonane 

juŜ  zadanie.  Z  prawdopodobieństwem  p  osoba  dająca  łapówkę  jest 
przyjaźnie  nastawiona  i  daje  prezent  z  wdzięczności  za  uzyskaną  pomoc. 
JeŜeli  urzędnik  przyjmie  taki  podarunek,  to  obydwie  strony  będą 
zadowolone  i  osiągną  wypłaty  =  1 000  zł.  JeŜeli  urzędnik  nie  przyjmie 
wypłaty,  to  urzędnik  otrzyma  wypłatę  –  0  zł,  zaś  osoba  wręczająca 
podarunek  będzie  czuła  pewien  dyskomfort  z  zaistniałej  sytuacji  i  jej 
wypłata  wyniesie  -1 000  zł.  Z  prawdopodobieństwem  (1-p)  osoba  dająca 

(0;0) 
jakoś

(800e-w;w-e

2

) 

F, P 

brak porozumienia 

porozumienie 

prezent  jest  jednak  wrogo  nastawiona  i  jeŜeli  urzędnik  przyjmie  prezent, 
to  o  wszystkim  powiadomi  prokuraturę.  Jego  wypłata  wyniesie  1 000  zł, 
zaś  urzędnika  –  1 000  zł.  W  przypadku  odmowy  wypłaty  graczy  są  takie 
same,  jak  w  przypadku  przyjaciela.  Osoba  obsłuŜona  przez  urzędnika 
moŜe takŜe nie dać mu prezentu, jeŜeli uwaŜa, iŜ ten nie przyjmie.  

a)

 

Przedstaw grę w postaci ekstensywnej: 

 

 

b)

 

Przedstaw grę w postaci normalnej: 

1

  

2

A

O

NpTw 1-p;p-1 p-1;0

NpNw

0;0

0;0

TpTw 1;2p-1 -1;0

TpNw

p;p

-p;0

 

 

c)

 

Wyznacz NE i SPNE: 

Dla p 

≥

 ½: NE={(NpNw;0), (TpTw;A)} 

Dla p < ½: NE={(NpNw;0)} 
SPNE = NE, gdyŜ jedyną podgrą tej gry jest cała gra. 

 

(0;0) 

(1;-1)  (-1;0) 

los 

U 

O 

O 

P: p 

W: (1-p) 

Np

 

Tp

 

A

O

 

(1;1)  (-1;0) 

A

O

 

U 

Tw

Nw

 

(0;-6)