Zadania z Teorii gier 4 - rozwiązania

Zad.1

Załóżmy, że rynek jest opanowany przez firmę I, która osiąga z tego
tytułu wypłatę 2. Firma E rozważa wejście na ten rynek. Jeśli do tego
dojdzie, to firmy będą musiały podzielić się rynkiem, który składa się
dwóch segmentów (np. dwa rodzaje nabywców lub dwie odmiany
produktu): dużego i małego. Wybierając dla siebie określony segment
rynku firmy będą rozgrywać wówczas grę o następujących wypłatach:
u

E

(M,M)=u

I

(M,M)=–6,

u

E

=u

I

(D,D)=–3,

u

E

(M,D)=u

I

(D,M)=–1,

u

E

(D,M)=u

I

(M,D)=1, gdzie M –– wybór małego segmentu rynku, D –-

wybór dużego segmentu rynku, przy czym pierwszy argument funkcji u
odnosi się firmy E, a drugi do I. Niech W i N oznaczają, odpowiednio,
decyzje firmy E "wejść", "nie wejść" na rynek. Stosując zasadę
racjonalności sekwencyjnej wykazać, że gra opisująca te sytuacje ma dwie
SPNE: (s

E

,s

I

) = ((W,D jeśli poprzednio wybrano W),(M jeśli E wybrała W))

oraz (s

E

,s

I

) = ((N,M jeśli poprzednio wybrano W),(D jeśli E wybrała W). Ile

jest NE w tej grze?

Wyznaczam NE powyższej gry:

1

2

Di

Mi

NDe

0;2

0;2

NMe

0;2

0;2

WDe

-3;-3

-1;1

WMe

1;-1

-6;-6

NE = {(NDe;Mi), (NMe;Mi), (WMe;Di)}

Wyznaczam SPNE powyższej gry:

- badam NE w podagrach:

1

2

Di

Mi

De

-3;-3

-1;1

Me

1;-1

-6;-6

NE = {(Me;Di), (De;Mi)} – czyli strategia: (NMe;Mi) nie jest SPNE, gdyż

nie jest NE tej podgry.

SPNE = {(WMe;Di), (NDe;Mi)} – one rzeczywiście są NE rozważanej

podgry i są całej gry, czyli są SPNE (więcej podgier nie ma).

(0;2)

(-3;-3) (1;-1)

E

E

I

N

W

Di

Mi

De

Me

(-1;1) (-6;-6)

E

De

Me

Zad.2 (Kontrakt pomiędzy pracownikiem a pracodawcą)

Pracodawca zatrudnia jednego pracownika (tak jak w eksperymencie

na ostatnich zajęciach). Dochód firmy zależy od wysiłku pracownika (

0

≥

e

)

i wynosi

e

800

. Dochód pracownika stanowi jego pensja (

0

≥

w

), która jest

jednocześnie kosztem firmy. Pracownik również ponosi koszty zależne od
zaangażowania i wynoszące

2

e . Zaangażowanie pracownika jest zmienną

nieobserwowalną, zaś poziom wynagrodzenia ustala się w umowie.

a)

Przedstaw powyższą grę w postaci ekstensywnej uwzględniając
możliwość nie podpisania umowy przez jedną ze stron?

b)

c)

Wyznacz rozwiązanie konkurencyjne tej gry:

Dla każdego w > 0 pracownik podpisze umowę, gdyż poziom wysiłku
może ustalić na poziomie = 0 i wówczas osiągnie max zysk. Wie o tym
firma, więc nie podpisze ona umowy (jeżeli w>0, to e=0, wiąc jej zyski
<0) – to jest gra jednoetapowa, więc nie ma mowy o myśleniu o
następnych rundach.

d)

Jakie jest optimum społeczne tej gry? (

Podpowiedź: suma zysków

wszystkich graczy ma być maksymalna)

(800e-w)+(w-e

2

)=e(800-e)=max e=400, wówczas suma zysków = 160 000

e)

Kontrakt mógłby być bardziej efektywny gdyby przewidywał
proporcjonalny podział zysków. Jakie byłoby rozwiązanie tej gry,
gdyby pracownik otrzymywał w formie wynagrodzenia x% dochodów
firmy?

Zyski pracownika = 800e*x-e

2

=max e=400x

Zyski firmy = 800e(1-x)= 800*400x*(1-x)=max x=1/2, czyli e=200

f)

Czy

jesteś

w

stanie

sformułować

kontrakt,

który

jest

paretoefektywny (suma zysków taka jak w podpunkcie c)?

Wszystkie zyski przejmuje pracownik w zamian za stałą opłatę, np.
kontrolerzy ZTM płacą za identyfikator uprawniający ich do kontroli
biletów, zaś zyski ze złapania osób jeżdżących bez biletów są w całości
dla nich; opłata za licencje taksówkowe w Londynie. Taki system
motywuje pracowników do wydajnej pracy. Oczywiście nie zawsze
można go zastosować

Zad.3 (Korupcja)

Urzędnik zastanawia się, czy przyjąć prezent (łapówkę) za wykonane

już zadanie. Z prawdopodobieństwem p osoba dająca łapówkę jest
przyjaźnie nastawiona i daje prezent z wdzięczności za uzyskaną pomoc.
Jeżeli urzędnik przyjmie taki podarunek, to obydwie strony będą
zadowolone i osiągną wypłaty = 1 000 zł. Jeżeli urzędnik nie przyjmie
wypłaty, to urzędnik otrzyma wypłatę – 0 zł, zaś osoba wręczająca
podarunek będzie czuła pewien dyskomfort z zaistniałej sytuacji i jej
wypłata wyniesie -1 000 zł. Z prawdopodobieństwem (1-p) osoba dająca

(0;0)
jakoś

(800e-w;w-e

2

)

F, P

brak porozumienia

porozumienie

prezent jest jednak wrogo nastawiona i jeżeli urzędnik przyjmie prezent,
to o wszystkim powiadomi prokuraturę. Jego wypłata wyniesie 1 000 zł,
zaś urzędnika – 1 000 zł. W przypadku odmowy wypłaty graczy są takie
same, jak w przypadku przyjaciela. Osoba obsłużona przez urzędnika
może także nie dać mu prezentu, jeżeli uważa, iż ten nie przyjmie.

a)

Przedstaw grę w postaci ekstensywnej:

b)

Przedstaw grę w postaci normalnej:

1

2

A

O

NpTw 1-p;p-1 p-1;0

NpNw

0;0

0;0

TpTw 1;2p-1 -1;0

TpNw

p;p

-p;0

c)

Wyznacz NE i SPNE:

Dla p

≥

½: NE={(NpNw;0), (TpTw;A)}

Dla p < ½: NE={(NpNw;0)}
SPNE = NE, gdyż jedyną podgrą tej gry jest cała gra.

(0;0)

(1;-1) (-1;0)

los

U

O

O

P: p

W: (1-p)

Np

Tp

A

O

(1;1) (-1;0)

A

O

U

Tw

Nw

(0;-6)