www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
P
RÓBNY
E
GZAMIN
M
ATURALNY
Z
M
ATEMATYKI
Z
ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS
WWW
.
ZADANIA
.
INFO
POZIOM PODSTAWOWY
15
MARCA
2014
C
ZAS PRACY
: 170
MINUT
Zadania zamkni˛ete
Z
ADANIE
1
(1
PKT
)
Liczba 43256232a2 jest podzielna przez 4 je ˙zeli
A) a
=
0
B) a
=
2
C) a
=
3
D) a
=
4
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczba 43256232a2 dzieli si˛e przez 4 wtedy i tylko wtedy, gdy przez 4 dzieli si˛e ko ´ncówka a2
(tak jest bo 4325623200 dzieli si˛e przez 4). W´sród podanych odpowiedzi warunek ten spełnia
tylko a
=
3.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
2
(1
PKT
)
Dodatnia liczba x stanowi 30% liczby y. Wówczas
A) y
=
17
10
x
B) y
=
10
3
x
C) y
=
7
10
x
D) y
=
13
10
x
R
OZWI ˛
AZANIE
Mamy
x
=
30%y
=
0, 3y
=
3
10
y
⇒
y
=
10
3
x.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
3
(1
PKT
)
Liczba
8
3
·
16
√
8
jest równa
A) 2
11
√
2
B) 2
12
√
2
C) 2
8
√
2
D) 8
5
√
2
Materiał pobrany z serwisu
1
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy (usuwamy niewymierno´s´c z mianownika)
8
3
·
16
2
√
2
=
8
3
·
8
√
2
=
(
2
3
)
3
·
2
3
√
2
·
√
2
√
2
=
2
9
+
3
√
2
2
=
2
11
√
2.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
4
(1
PKT
)
Rozwi ˛
azaniem układu równa ´n
(
21x
−
14y
= −
28
6y
+
9x
=
48
jest para liczb
A) x
= −
3 i y
=
5
B) x
= −
3 i y
=
6
C) x
=
5 i y
=
2
D) x
=
2 i y
=
5
R
OZWI ˛
AZANIE
Dzielimy pierwsze równanie przez 7, a drugie przez 3.
(
3x
−
2y
= −
4
2y
+
3x
=
16.
Dodajemy teraz równania stronami i mamy
6x
=
12
⇒
x
=
2.
Z pierwszego równania mamy
2y
=
3x
+
4
=
10
⇒
y
=
5.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
5
(1
PKT
)
Liczba
(−
2
)
jest pierwiastkiem równania 3mx
=
4
−
x. Wtedy
A) m
= −
1
B) m
=
1
C) m
=
2
D) m
= −
2
R
OZWI ˛
AZANIE
Podstawiamy x
= −
2 w danym równaniu
−
6m
=
6
⇒
m
= −
1.
Odpowied´z: A
Materiał pobrany z serwisu
2
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
6
(1
PKT
)
Wyra ˙zenie W
=
√
x
2
−
4x
+
4
−
√
4x
2
dla x > 2 przyjmuje posta´c
A) x
+
2
B)
−
3x
+
2
C)
−
x
−
2
D) x
−
2
R
OZWI ˛
AZANIE
Dane wyra ˙zenie jet równe
W
=
p
x
2
−
4x
+
4
−
√
4x
2
=
q
(
x
−
2
)
2
−
q
(
2x
)
2
= |
x
−
2
| −
2
|
x
|
.
Poniewa ˙z x
−
2 > 0 dla x > 2, wi˛ec
W
= |
x
−
2
| −
2
|
x
| =
x
−
2
−
2x
= −
x
−
2.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
7
(1
PKT
)
Prosta y
=
ax
−
2 jest równoległa do prostej y
=
2x
−
ax. Wtedy
A) a
= −
1
B) a
=
1
3
C) a
=
1
D) a
=
1
2
R
OZWI ˛
AZANIE
Proste s ˛
a równoległe je ˙zeli maj ˛
a równe współczynniki kierunkowe. Równanie drugiej pro-
stej mo ˙zemy zapisa´c w postaci
y
= (
2
−
a
)
x,
zatem równo´s´c współczynników kierunkowych daje równanie
a
=
2
−
a
a
=
1.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
8
(1
PKT
)
Do zbioru rozwi ˛
aza ´n nierówno´sci
(
x
+
√
5
−
1
)(
x
+
√
5
+
1
) <
0 nale ˙zy liczba
A) 0
B)
−
3
C)
−
1
D) 3
R
OZWI ˛
AZANIE
Zbiorem rozwi ˛
aza ´n danej nierówno´sci kwadratowej
(
x
− (−
√
5
+
1
))(
x
− (−
√
5
−
1
)) <
0
jest przedział
(−
√
5
−
1,
−
√
5
+
1
)
.
Poniewa ˙z
√
5
≈
2, 2 do przedziału tego nale ˙zy liczba
−
3.
Odpowied´z: B
Materiał pobrany z serwisu
3
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
9
(1
PKT
)
K ˛
at α jest k ˛
atem ostrym oraz tg α
=
1
4
. Zatem
A) cos α
=
4
√
17
B) sin α
=
4
√
17
C) sin α
=
1
17
D) cos α
=
1
√
17
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Z podanego tangensa wyliczymy sinus i cosinus.
sin α
cos α
=
tg α
=
1
4
/
()
2
sin
2
α
cos
2
α
=
1
16
sin
2
α
1
−
sin
2
α
=
1
16
16 sin
2
α
=
1
−
sin
2
α
17 sin
2
α
=
1
sin
2
α
=
1
17
⇒
sin α
=
1
√
17
cos α
=
p
1
−
sin
2
α
=
r
1
−
1
17
=
4
√
17
.
Sposób II
Narysujmy trójk ˛
at prostok ˛
atny, w którym tg α
=
1
4
.
α
4
1
A
B
C
Łatwo teraz obliczy´c sinus i cosinus. Najpierw obliczmy z twierdzenia Pitagorasa dłu-
go´s´c przeciwprostok ˛
atnej.
AC
=
p
AB
2
+
BC
2
=
√
1
+
16
=
√
17.
Zatem
sin α
=
AB
AC
=
1
√
17
cos α
=
BC
AC
=
4
√
17.
Odpowied´z: A
Materiał pobrany z serwisu
4
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
10
(1
PKT
)
Na poni ˙zszych rysunkach przedstawiono wykresy funkcji f i g.
x
y
1
2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
-1
-1
-2
-2
-3
-4
-5
-6
-3
-4
7
f(x)
x
y
1
2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
-1
-1
-2
-2
-3
-4
-5
-6
-3
-4
7
g(x)
Funkcja g jest okre´slona wzorem
A) g
(
x
) =
f
(
x
−
1
)
B) g
(
x
) =
f
(
x
) −
1
C) g
(
x
) =
f
(
x
+
1
)
D) g
(
x
) =
f
(
x
) +
1
R
OZWI ˛
AZANIE
Wykres na drugim rysunku powstaje z pierwszego przez przesuni˛ecie o jedn ˛
a jednostk˛e w
lewo, czyli jest funkcja to g
(
x
) =
f
(
x
+
1
)
(bo funkcja f przyjmuje wszystkie warto´sci o 1
pó´zniej, ni ˙z g).
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
11
(1
PKT
)
Wielomian W
(
x
) = (
x
2
−
3
)
3
jest równy wielomianowi
A) x
6
−
3x
4
+
9x
2
−
27
B) x
6
+
9x
4
−
27x
2
−
27
C) x
6
−
27
D) x
6
−
9x
4
+
27x
2
−
27
R
OZWI ˛
AZANIE
Korzystamy ze wzoru skróconego mno ˙zenia
(
a
−
b
)
3
=
a
3
−
3a
2
b
+
3ab
2
−
b
3
na sze´scian ró ˙znicy.
(
x
2
−
3
)
3
= (
x
2
)
3
−
3
· (
x
2
)
2
·
3
+
3
·
x
2
·
3
2
−
3
3
=
x
6
−
9x
4
+
27x
2
−
27.
Odpowied´z: D
Materiał pobrany z serwisu
5
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
12
(1
PKT
)
Dany jest ci ˛
ag
(
a
n
)
o wyrazie ogólnym a
n
=
n
−
n
2
, gdzie n > 1. Wówczas
A) a
n
+
1
=
n
2
−
n
B) a
n
+
1
=
n
+
1
−
n
2
C) a
n
+
1
=
n
−
n
2
D) a
n
+
1
= −
n
2
−
n
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy (podstawiamy we wzorze n
+
1 zamiast n)
a
n
+
1
= (
n
+
1
) − (
n
+
1
)
2
=
n
+
1
−
n
2
−
2n
−
1
= −
n
2
−
n.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
13
(1
PKT
)
Prostok ˛
at ABCD o przek ˛
atnej długo´sci
√
2 jest podobny do prostok ˛
ata o bokach długo´sci 1
i 7. Obwód prostok ˛
ata ABCD jest równy
A)
16
5
B)
16
25
C) 80
D) 16
R
OZWI ˛
AZANIE
Szkicujemy prostok ˛
at
1
7
d
Przek ˛
atna prostok ˛
ata o bokach długo´sci 1 i 7 ma długo´s´c
d
=
p
1
2
+
7
2
=
√
50
=
5
√
2.
To oznacza, ˙ze prostok ˛
at ABCD jest 5 razy mniejszy, czyli jego obwód jest równy
1
5
(
1
+
1
+
7
+
7
) =
16
5
.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
14
(1
PKT
)
Ci ˛
agiem geometrycznym jest ci ˛
ag okre´slony wzorem
A) a
n
=
n
4
−
1
B) a
n
= (−
1
)
n
C) a
n
=
1
n
D) a
n
=
1
−
3n
Materiał pobrany z serwisu
6
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Ci ˛
ag geometryczny to ci ˛
ag postaci a
n
=
a
1
q
n
−
1
. Z podanych odpowiedzi tylko ci ˛
ag a
n
=
−(−
1
)
n
−
1
ma t˛e posta´c (z a
1
= −
1 i q
= −
1).
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
15
(1
PKT
)
Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych podzielnych przez 5 ?
A) 2000
B) 1800
C) 1000
D) 900
R
OZWI ˛
AZANIE
Je ˙zeli liczba ma si˛e dzieli´c przez 5, to ostatni ˛
a jej cyfr ˛
a musi by´c 0 lub 5. Pierwsz ˛
a cyfr˛e takiej
liczby mo ˙zemy wybra´c na 9 sposobów (nie mo ˙ze by´c 0), a drug ˛
a i trzeci ˛
a na 10 sposobów,
wi˛ec w sumie jest
2
·
9
·
10
·
10
=
1800
takich liczb.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
16
(1
PKT
)
Dany jest okr ˛
ag o ´srodku w punkcie O. Prosta k jest styczna do okr˛egu w punkcie A.
O
α
k
20
o
120
o
A
Miara k ˛
ata α jest równa
A) 40
◦
B) 30
◦
C) 25
◦
D) 20
◦
R
OZWI ˛
AZANIE
Opiszmy troch˛e dany rysunek.
Materiał pobrany z serwisu
7
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
A
B
D
O
α
k
20
o
120
o
C
E
Zauwa ˙zmy, ˙ze łatwo mo ˙zemy obliczy´c miar˛e k ˛
ata wpisanego ]ADB. Patrzymy na trój-
k ˛
at ADE.
]ADB
=
180
◦
−
]DAE
−
]DEA
=
180
◦
−
20
◦
−
120
◦
=
40
◦
.
Sposób I
K ˛
at ´srodkowy ]AOB jest oparty na tym samym łuku, co k ˛
at wpisany ]ADB, wi˛ec
]AOB
=
2]ADB
=
80
◦
.
Odcinki AO, OB s ˛
a promieniami okr˛egu, wi˛ec trójk ˛
at AOB jest równoramienny. Zatem
]OAB
=
]OBA
=
180
◦
−
80
◦
2
=
50
◦
.
Teraz wystarczy zauwa ˙zy´c, ˙ze styczna k jest prostopadła do promienia OA, wi˛ec
α
+
]OAB
=
90
◦
⇒
α
=
90
◦
−
50
◦
=
40
◦
.
Sposób II
Korzystamy z
α
=
]ADB
=
40
◦
.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
17
(1
PKT
)
Funkcja f
(
x
) =
3x
(
x
3
+
5
)(
2
−
x
)(
x
+
1
)
ma dokładnie
A) 1 pierwiastek
B) 2 pierwiastki
C) 3 pierwiastki
D) 4 pierwiastki
R
OZWI ˛
AZANIE
Pierwiastkami danego równania s ˛
a liczby
0,
−
3
√
5, 2,
−
1
(dla takich liczb zeruj ˛
a si˛e kolejne nawiasy).
Odpowied´z: D
Materiał pobrany z serwisu
8
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
18
(1
PKT
)
Obwód równoległoboku ABCD o wierzchołkach A
= (
1,
−
1
)
, B
= (
7, 3
)
, C
= (
9, 6
)
, D
=
(
3, 2
)
jest równy
A) 3
√
13
B) 6
√
13
C) 8
√
13
D) 4
√
13
R
OZWI ˛
AZANIE
Szkicujemy równoległobok.
-1
+10
x
-1
+1
+5
+10
y
A
B
C
D
Liczymy długo´sci dwóch s ˛
asiednich boków równoległoboku.
AB
=
q
(
7
−
1
)
2
+ (
3
+
1
)
2
=
√
52
=
2
√
13
BC
=
q
(
9
−
7
)
2
+ (
6
−
3
)
2
=
√
13.
Obwód równoległoboku jest wi˛ec równy
2AB
+
2BC
=
4
√
13
+
2
√
13
=
6
√
13.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
19
(1
PKT
)
Liczba kraw˛edzi graniastosłupa jest o 8 wi˛eksza od liczby jego ´scian. Ile wierzchołków ma
ten graniastosłup?
A) 5
B) 15
C) 10
D) 16
R
OZWI ˛
AZANIE
Materiał pobrany z serwisu
9
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Je ˙zeli w podstawie graniastosłupa jest n–k ˛
at to graniastosłup ma 3n kraw˛edzi i n
+
2 ´scian.
Mamy wi˛ec równanie
3n
=
n
+
2
+
8
2n
=
10
n
=
5.
To oznacza, ˙ze graniastosłup ma 2n
=
10 wierzchołków.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
20
(1
PKT
)
Pi ˛
aty wyraz ci ˛
agu arytmetycznego jest równy
−
12, a ró ˙znica tego ci ˛
agu jest równa
(−
5
)
.
Drugi wyraz tego ci ˛
agu jest równy
A) 8
B)
−
7
C)
−
2
D) 3
R
OZWI ˛
AZANIE
Ze wzoru a
n
=
a
1
+ (
n
−
1
)
r mamy
−
12
=
a
5
=
a
1
+
4r
=
a
1
−
20
⇒
a
1
=
20
−
12
=
8.
Zatem
a
2
=
a
1
+
r
=
8
−
5
=
3.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
21
(1
PKT
)
Pole koła ograniczonego okr˛egiem x
2
+
y
2
+
2x
−
6y
+
5
=
0 jest równe
A)
√
5
B)
√
5π
C) 25π
D) 5π
Materiał pobrany z serwisu
10
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Przekształ´cmy równanie okr˛egu tak, aby było wida´c jaki jest jego ´srodek i promie ´n (zwijamy
do pełnych kwadratów).
x
2
+
y
2
+
2x
−
6y
+
5
=
0
(
x
+
1
)
2
+ (
y
−
3
)
2
−
1
−
9
+
5
=
0
(
x
+
1
)
2
+ (
y
−
3
)
2
=
5.
Jest to wi˛ec okr ˛
ag o ´srodku
(−
1, 3
)
i promieniu r
=
√
5. Pole koła jest wi˛ec równe
πr
2
=
5π.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
22
(1
PKT
)
Mediana uporz ˛
adkowanego niemalej ˛
aco zestawu sze´sciu liczb: 1, 2, 4, x, 7, 8 jest równa 5.
Wtedy
A) x
=
4
B) x
=
5
C) x
=
6
D) x
=
7
R
OZWI ˛
AZANIE
Mediana z sze´sciu uporz ˛
adkowanych liczb to ´srednia arytmetyczna dwóch ´srodkowych,
wi˛ec mamy równanie
4
+
x
2
=
5
4
+
x
=
10
⇒
x
=
6.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
23
(1
PKT
)
Rzucamy dwa razy symetryczn ˛
a sze´scienn ˛
a kostk ˛
a do gry. Prawdopodobie ´nstwo dwukrot-
nego otrzymania liczby oczek ró ˙znej od 5 jest równe
A)
1
6
B)
5
18
C)
35
36
D)
25
36
R
OZWI ˛
AZANIE
Je ˙zeli za zdarzenia elementarne przyjmiemy pary otrzymanych liczb oczek to
|
Ω
| =
6
·
6
=
36.
Zdarze ´n sprzyjaj ˛
acych jest
5
·
5
=
25
(na ka ˙zdej z kostek mo ˙ze by´c jedna z liczb: 1,2,3,4,6).
Zatem
p
=
25
36
.
Odpowied´z: D
Materiał pobrany z serwisu
11
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
24
(1
PKT
)
Obj˛eto´s´c sto ˙zka o wysoko´sci h i promieniu podstawy cztery razy mniejszym od wysoko´sci
jest równa
A)
1
24
πh
3
B)
1
48
πh
3
C)
1
12
πh
3
D)
1
64
πh
3
R
OZWI ˛
AZANIE
Szkicujemy obrazek.
h
h/4
h/4
Liczymy obj˛eto´s´c
V
=
1
3
πr
2
·
h
=
1
3
π
·
h
2
16
·
h
=
1
48
πh
3
.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
25
(1
PKT
)
Liczba log
3
6
1
2
−
log
3
√
8
+
log
3
2 jest równa
A)
√
3
B)
1
2
C) log
3
2
D) log
3
6
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy
log
3
6
1
2
−
log
3
√
8
+
log
3
2
=
log
3
√
6
√
8
+
log
3
2
=
log
3
√
3
2
·
2
!
=
log
3
3
1
2
=
1
2
.
Odpowied´z: B
Zadania otwarte
Z
ADANIE
26
(2
PKT
)
K ˛
at α jest ostry i sin α
=
√
2
2
. Oblicz warto´s´c wyra ˙zenia 3 cos
2
α
−
2 sin
2
α
.
Materiał pobrany z serwisu
12
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Je ˙zeli sin α
=
√
2
2
to α
=
45
◦
i sin α
=
cos α
=
√
2
2
. Mamy zatem
3 cos
2
α
−
2 sin
2
α
=
3 sin
2
α
−
2 sin
2
α
=
sin
2
α
=
1
2
.
Sposób II
Na mocy jedynki trygonometrycznej mamy
3 cos
2
α
−
2 sin
2
α
=
3
(
1
−
sin
2
α
) −
2 sin
2
α
=
3
−
5 sin
2
α
=
3
−
5
2
=
1
2
.
Odpowied´z:
1
2
Z
ADANIE
27
(2
PKT
)
Rozwi ˛
a ˙z równanie x
5
−
7x
4
+
3x
−
21
=
0.
R
OZWI ˛
AZANIE
Zauwa ˙zmy, ˙ze z lewej strony równania mo ˙zna wył ˛
aczy´c
(
x
−
7
)
.
x
5
−
7x
4
+
3x
−
21
=
x
4
(
x
−
7
) +
3
(
x
−
7
) = (
x
4
+
3
)(
x
−
7
)
.
Wida´c teraz, ˙ze równanie ma jedno rozwi ˛
azanie: x
=
7.
Odpowied´z: x
=
7
Z
ADANIE
28
(2
PKT
)
Udowodnij, ˙ze je ˙zeli liczby niezerowe a, b, c spełniaj ˛
a warunek a
+
b
+
c
=
0 to
a
2bc
+
b
2ca
+
c
2ab
+
1
c
+
1
b
+
1
a
=
0.
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Materiał pobrany z serwisu
13
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Skorzystamy ze wzoru
(
x
+
y
+
z
)
2
=
x
2
+
y
2
+
z
2
+
2xy
+
2yz
+
2xz.
Przekształcamy lew ˛
a stron˛e równo´sci, któr ˛
a mamy udowodni´c.
a
2bc
+
b
2ca
+
c
2ab
+
1
c
+
1
b
+
1
a
=
=
a
2
+
b
2
+
c
2
+
2ab
+
2ac
+
2bc
2abc
=
(
a
+
b
+
c
)
2
2abc
=
0.
Sposób II
Tak jak poprzednio przekształcamy lew ˛
a stron˛e równo´sci, któr ˛
a mamy udowodni´c do po-
staci
a
2
+
b
2
+
c
2
+
2ab
+
2ac
+
2bc
2abc
.
Wystarczy oczywi´scie teraz udowodni´c, ˙ze licznik jest równy 0. Zrobimy to podstawiaj ˛
ac w
wyra ˙zeniu w liczniku c
= −
a
−
b.
a
2
+
b
2
+
c
2
+
2ab
+
2ac
+
2bc
=
=
a
2
+
b
2
+ (−
a
−
b
)
2
+
2ab
+
2a
(−
a
−
b
) +
2b
(−
a
−
b
) =
=
a
2
+
b
2
+
a
2
+
2ab
+
b
2
+
2ab
−
2a
2
−
2ab
−
2ab
−
2b
2
=
0.
Z
ADANIE
29
(2
PKT
)
Trójk ˛
aty ABC i CDE s ˛
a równoramienne i prostok ˛
atne. Punkty A, C i E le ˙z ˛
a na jednej prostej,
a punkty K, L i M s ˛
a ´srodkami odcinków AC, CE i BD (zobacz rysunek). Wyka ˙z, ˙ze
|
MK
| =
|
ML
|
.
A
E
D
M
B
K
C
L
R
OZWI ˛
AZANIE
Dorysujmy odcinki MK i ML.
A
E
D
M
B
K
C
L
Materiał pobrany z serwisu
14
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Sposób I
Zauwa ˙zmy, ˙ze odcinki AB i CD s ˛
a do siebie równoległe. Odcinek KM ł ˛
aczy ´srodki ramion w
trapezie ACDB, wi˛ec jest równoległy do podstaw AB i CD. Zatem ]MKL
=
]BAC
=
45
◦
.
Podobnie, patrz ˛
ac na odcinki BC i DE, uzasadniamy, ˙ze odcinek ML jest równoległy do
BC i DE. Zatem ]MLK
=
]DEC
=
β
=
45
◦
. To oznacza, ˙ze trójk ˛
at KLM jest równoramien-
nym trójk ˛
atem prostok ˛
atnym. W szczególno´sci MK
=
ML.
Sposób II
Tak jak poprzednio zauwa ˙zamy, ˙ze odcinki MK i ML ł ˛
acz ˛
a ´srodki ramion w trapezach
ACDB i CEDB. Poniewa ˙z odcinek ł ˛
acz ˛
acy ´srodki ramion trapezu ma długo´s´c równ ˛
a ´sred-
niej arytmetycznej długo´sci podstaw, mamy
MK
=
AB
+
CD
2
=
CB
+
ED
2
=
ML.
Z
ADANIE
30
(2
PKT
)
Odcinek EF ł ˛
acz ˛
acy ´srodki dwóch dłu ˙zszych boków prostok ˛
ata ABCD dzieli go na dwa
kwadraty, przy czym przek ˛
atna prostok ˛
ata jest o 3 dłu ˙zsza od przek ˛
atnej kwadratu. Oblicz
pole prostok ˛
ata ABCD.
A
B
C
D
E
F
R
OZWI ˛
AZANIE
Je ˙zeli oznaczymy przez a długo´s´c boku ka ˙zdego z kwadratów, to mamy
AF
=
a
√
2
AC
=
p
AB
2
+
BC
2
=
p
4a
2
+
a
2
=
a
√
5.
Mamy zatem równanie
a
√
5
=
a
√
2
+
3
a
(
√
5
−
√
2
) =
3
a
=
3
√
5
−
√
2
=
3
(
√
5
+
√
2
)
5
−
2
=
√
5
+
√
2.
Pole prostok ˛
ata jest wi˛ec równe
P
ABCD
=
2a
2
=
2
(
√
5
+
√
2
)
2
=
2
(
5
+
2
√
10
+
2
) =
14
+
4
√
10.
Odpowied´z: 14
+
4
√
10
Materiał pobrany z serwisu
15
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
31
(2
PKT
)
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f
(
x
)
okre´slonej dla x
∈ h−
7, 8
i
.
-5
-1
+3
+5
x
-5
-1
+1
+5
y
-6
-7
-4 -3 -2
+1 +2
+4
+6 +7 +8
+2
+3
+4
+6
+7
-2
-3
-4
-6
-7
Odczytaj z wykresu i zapisz:
a) najmniejsz ˛
a warto´s´c funkcji f ,
b) zbiór rozwi ˛
aza ´n nierówno´sci f
(
x
) <
0.
R
OZWI ˛
AZANIE
a) Odczytujemy z wykresu: najmniejsza warto´s´c funkcji f to f
(−
5
) = −
7.
Odpowied´z: f
(−
5
) = −
7
b) Dany wykres funkcji jest poni ˙zej osi Ox na zbiorze:
h−
7,
−
4
) ∪ (
4, 8
i
.
Odpowied´z:
h−
7,
−
4
) ∪ (
4, 8
i
Z
ADANIE
32
(4
PKT
)
Oblicz obj˛eto´s´c i pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego sze´sciok ˛
atnego o kra-
w˛edzi podstawy 2 cm i kraw˛edzi bocznej 6 cm.
R
OZWI ˛
AZANIE
Zaczynamy od rysunku.
Materiał pobrany z serwisu
16
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
A
B
C
D
E
2
F
S
L
1
2
6
6
6
1
K
Je ˙zeli poł ˛
aczymy ´srodek sze´sciok ˛
ata w podstawie z jego wierzchołkami, to otrzymamy
6 trójk ˛
atów równobocznych. Mo ˙zemy wi˛ec łatwo obliczy´c wysoko´s´c ostrosłupa z trójk ˛
ata
prostok ˛
atnego ALS.
SL
=
p
AS
2
−
AL
2
=
√
36
−
4
=
√
32
=
4
√
2.
Zatem obj˛eto´s´c jest równa (korzystamy ze wzoru na pole trójk ˛
ata równobocznego).
V
=
1
3
·
6
·
4
√
3
4
·
4
√
2
=
8
√
6.
Aby obliczy´c pole powierzchni bocznej, obliczamy najpierw (z trójk ˛
ata prostok ˛
atnego BKS)
wysoko´s´c ´sciany bocznej
SK
=
p
SB
2
−
BK
2
=
√
36
−
1
=
√
35.
Zatem pole powierzchni bocznej jest równe
P
b
=
6
·
1
2
·
2
·
√
35
=
6
√
35.
Odpowied´z: V
=
8
√
6 cm
3
, P
b
=
6
√
35 cm
2
Z
ADANIE
33
(4
PKT
)
W pewnej szkole 47% uczniów ucz˛eszcza na kółko plastyczne, a 65% uczniów ucz˛eszcza na
kółko muzyczne. Wiadomo ponadto, ˙ze 30% uczniów ucz˛eszcza na obydwa kółka. Oblicz
prawdopodobie ´nstwo, ˙ze losowy wybrany ucze ´n tej szkoły nie ucz˛eszcza na ˙zadne z tych
kółek.
R
OZWI ˛
AZANIE
Materiał pobrany z serwisu
17
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Je ˙zeli oznaczymy przez A i B zdarzenia polegaj ˛
ace na wybraniu ucznia, który ucz˛eszcza
odpowiednio na kółko plastyczne i muzyczne, to wiemy, ˙ze
P
(
A
) =
0, 47
P
(
B
) =
0, 65
P
(
A
∩
B
) =
0, 3.
W takim razie prawdopodobie ´nstwo wybrania ucznia, który chodzi na jedno z kółek jest
równe
P
(
A
∪
B
) =
P
(
A
) +
P
(
B
) −
P
(
A
∩
B
) =
0, 47
+
0, 65
−
0, 3
=
0, 82,
a prawdopodobie ´nstwo wybrania ucznia, który nie chodzi na ˙zadne z kółek wynosi
1
−
P
(
A
∪
B
) =
1
−
0, 82
=
0, 18.
Odpowied´z: 0,18
Z
ADANIE
34
(5
PKT
)
Wierzchołki trapezu ABCD maj ˛
a współrz˛edne: A
= (−
1, 7
)
, B
= (−
9,
−
1
)
, C
= (−
1,
−
2
)
, D
=
(
3, 2
)
. Napisz równanie okr˛egu, który jest styczny do podstawy AB tego trapezu, a jego ´sro-
dek jest punktem przeci˛ecia si˛e przek ˛
atnych trapezu ABCD.
R
OZWI ˛
AZANIE
Rozpoczynamy oczywi´scie od szkicowego rysunku.
-10
-5
-1
+3
x
-5
-1
+1
+5
y
A
B
C
D
O
E
Aby znale´z´c punkt O wspólny dla przek ˛
atnych AC i BD musimy wyznaczy´c ich równa-
nia.
Równanie prostej AC łatwo zgadn ˛
a´c patrz ˛
ac na współrz˛edne punktów A i C: jest to pro-
sta x
= −
1.
Materiał pobrany z serwisu
18
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Szukamy teraz prostej BD w postaci y
=
ax
+
b. Podstawiamy współrz˛edne punktów B
i D i mamy
(
−
1
= −
9a
+
b
2
=
3a
+
b.
Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy 3
=
12a, czyli a
=
1
4
. St ˛
ad b
=
2
−
3a
=
5
4
i prosta BD ma równanie: y
=
1
4
x
+
5
4
.
Wyznaczamy teraz punkt wspólny O prostych AC i BD.
(
x
= −
1
y
=
1
4
x
+
5
4
.
Podstawiaj ˛
ac x
= −
1 do drugiego równania mamy y
=
1, wi˛ec O
= (−
1, 1
)
.
Do wyznaczenia promienia okr˛egu b˛edziemy potrzebowa´c równania prostej AB. Jak
zwykle szukamy prostej w postaci y
=
ax
+
b. Podstawimy współrz˛edne punktów A i B.
(
7
= −
a
+
b
−
1
= −
9a
+
b.
Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy 8
=
8a, czyli a
=
1. St ˛
ad b
=
7
+
a
=
8
i prosta AB ma równanie: y
=
x
+
8.
Dalsz ˛
a cz˛e´s´c rozwi ˛
azania poprowadzimy na dwa sposoby.
Sposób I
Niech E b˛edzie punktem wspólnym szukanego okr˛egu i prostej AB. Do´s´c łatwo jest wyzna-
czy´c równanie prostej OE – jest to prosta prostopadła do AB, czyli prosta postaci y
= −
x
+
b
i przechodz ˛
aca przez O. Podstawiaj ˛
ac współrz˛edne punktu O mamy
1
=
1
+
b
⇒
b
=
0.
Jest to wi˛ec prosta: y
= −
x. Obliczamy teraz współrz˛edne punktu E (czyli punktu wspólne-
go prostych OE i AB).
(
y
= −
x
y
=
x
+
8
Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy 0
=
2x
+
8, czyli x
= −
4. St ˛
ad y
=
−
x
=
4 i E
= (−
4, 4
)
.
Obliczamy teraz długo´s´c promienia OE okr˛egu.
OE
2
= (−
4
+
1
)
2
+ (
4
−
1
)
2
=
9
+
9
=
18.
Szukany okr ˛
ag ma wi˛ec równanie
(
x
+
1
)
2
+ (
y
−
1
)
2
=
18.
Sposób II
Materiał pobrany z serwisu
19
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Długo´s´c promienia OE mo ˙zemy obliczy´c korzystaj ˛
ac ze wzoru na odległo´s´c punktu P
=
(
x
0
, y
0
)
od prostej Ax
+
By
+
C
=
0:
|
Ax
0
+
By
0
+
C
|
√
A
2
+
B
2
.
W naszej sytuacji P
=
O
= (−
1, 1
)
, a prosta to AB : y
−
x
−
8
=
0. Mamy zatem
OE
=
|
1
+
1
−
8
|
√
1
+
1
=
6
√
2
=
3
√
2.
Szukany okr ˛
ag ma wi˛ec równanie
(
x
+
1
)
2
+ (
y
−
1
)
2
= (
3
√
2
)
2
=
18.
Odpowied´z:
(
x
+
1
)
2
+ (
y
−
1
)
2
=
18
Materiał pobrany z serwisu
20
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2014 Matura 15 03 2014 odpid 28 Nieznany (2)
2014 Matura 15.03.2014
2014 Matura 22 03 2014 odp
2014 Matura 01 03 2014 odp
2014 Matura 01 03 2014 odp
2014 Matura 22 03 2014 odp
2014 Matura 01 03 2014id 28469 Nieznany (2)
2014 Matura 29 04 2014 odp
Lubelska Matura probna Luty 2014 odp id 273537
2014 Matura 22 03 2014
2014 Matura 01 03 2014id 28469 Nieznany (2)
2014 Matura 08 03 2014
2014 Matura 01 03 2014
2014 Matura 25 02 2014 odp II
2014 Matura 29 04 2014 odp
2014 Matura 05 04 2014 odp
2014 Matura 22 03 2014
więcej podobnych podstron