P O L I T E C H N I K A G D A Ń S K A
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI
Katedra Elektroenergetyki
Prof. dr hab. inŜ.
Ryszard Zajczyk
profesor PG
O
BLICZANIE
R
OZPŁYWÓW
M
OCY
W
S
YSTEMIE
E
LEKTROENERGETYCZNYM
(materiał do wykładu )
Gdańsk 2007 r.
R. Zajczyk: Przesył energii elektrycznej prądem stałym
2
Spis treści
1.
OBLICZANIE ROZPŁYWÓW MOCY I POZIOMÓW NAPIĘĆ W SYSTEMIE
ELEKTROENERGETYCZNYM ............................................................................................................................. 3
1.1.
Metoda potencjałów węzłowych................................................................................................. 3
1.2.
Metody rozwiązywania układu równań węzłowych ................................................................... 5
1.3.
Równania mocowo-napięciowe układu ...................................................................................... 6
1.4.
Rozwiązywanie równań mocowo-napięciowych........................................................................ 8
R. Zajczyk: Przesył energii elektrycznej prądem stałym
3
1.
OBLICZANIE ROZPŁYWÓW MOCY I POZIOMÓW NAPIĘĆ W
SYSTEMIE ELEKTROENERGETYCZNYM
1.1.
Metoda potencjałów węzłowych
Analiza pracy złoŜonego systemu elektroenergetycznego wymaga znajomości jego stanu pracy, czyli
określenia rozpływów mocy, poziomów napięć i strat sieciowych. Do tych obliczeń wykorzystuje się me-
tody węzłowe. Przedstawione w rozdziale 6 rozwaŜania wykonane są przy uŜyciu jednostek względnych
k
l
J
k
J
kg
1
n
1
2
...
...
...
m
Z
kl
, Y
kl
J
kl
U
kf
U
lf
Y
Y
ko
lo
Y
k
Rys.1.1. Ilustracja metody węzłowej obliczania rozpływu prądów w sieci.
U
kf
- napięcie w węźle k, U
lf
- napięcie w węźle l, J
kl
- prąd płynący między węzłami k i l, J
k
- prąd odbioru w węźle
k, J
kg
- prąd generatora w węźle k, Z
kl
,Y
kl
- impedancja i admitancja elementu łączącego węzły k i l, Y
ko
,Y
lo
- admi-
tancja gałęzi poprzecznych w węzłach k i l, Y
k
- admitancja zastępcza odbioru w węźle k
Dla dowolnego węzła k systemu I prawo Kirchoffa ma postać:
0
-
=
+
+
∑
≠
=
kg
k
k
n
k
l
l
kl
I
I
I
I
0
1
(1.1)
kl
I
- prąd płynący przez element łączący węzły k i l
kg
I
- prąd wpływający do węzła k (z generatora w węźle k)
k
I
- prąd odbioru w węźle k
ko
I
- prąd płynący przez gałąź poprzeczną w węźle k
Prąd płynący przez element pomiędzy węzłem k i l wyznaczymy z zaleŜności:
)
(
l
k
kl
kl
l
k
kl
U
U
Y
Z
U
U
I
−
=
−
=
(1.2)
Zaś prąd płynący przez gałąź poprzeczną elementu w węźle k z zaleŜności:
fk
ko
ko
U
Y
I
=
(1.3)
l
k
U
U ,
- napięcie węzła k i l
Po wstawieniu zaleŜności (1.2) i (1.3) do (1.1) otrzymamy:
0
=
−
+
−
+
∑
∑
≠
=
≠
=
kg
k
l
n
k
l
l
kl
ko
n
k
l
l
kl
k
I
I
U
Y
Y
Y
U
1
1
)
(
(1.4)
Przyjmując, Ŝe
∑
≠
=
=
n
k
l
l
kl
kk
Y
Y
1
kk
Y
- admitancja własna węzła k
i przekształcając równanie węzłowe dla węzła k będzie miało postać:
kg
k
l
n
k
l
l
kl
ko
kk
k
I
I
U
Y
Y
Y
U
+
−
=
+
∑
≠
=
1
)
(
(1.5)
R. Zajczyk: Przesył energii elektrycznej prądem stałym
4
W analizowanym systemie o liczbie węzłów równej
n
istnieje
l
o
węzłów odbiorczych, dla których nie
znamy wartości napięć oraz (
n
-
l
o
) węzłów wytwórczych, dla których napięcia są znane. Sytuacja ta zosta-
ła przedstawiona na rys.6.2.
∼
∼
∼
S
E
E
2
k
l
1
2
l
o
l +1
o
n
Rys.1.2. Podział węzłów systemu elektroenergetycznego
•
- węzły wytwórcze,
ο
- węzły odbiorcze
Uwzględniając powyŜszy podział węzłów, równanie (1.5) dla węzła k przyjmie postać:
kg
k
l
n
k
l
l
l
kl
l
l
k
l
l
kl
ko
kk
k
I
I
U
Y
U
Y
Y
Y
U
o
o
+
−
=
−
+
∑
∑
≠
+
=
≠
=
1
1
)
(
(1.6)
Układając równania węzłowe dla wszystkich węzłów odbiorczych otrzymamy układ równań:
o
o
o
l
k
kg
k
l
n
k
l
l
l
kl
l
l
k
l
l
kl
ko
kk
k
I
I
U
Y
U
Y
Y
Y
U
,
,
2
,
1
1
1
)
(
K
=
≠
+
=
≠
=
+
−
=
−
+
∑
∑
(1.7)
Na podstawie układu równań (1.6) moŜna określić macierz admitancji
Y
o wymiarach
l
o
x
n
zawierające
na głównej przekątnej admitancje własne węzła
Y
kk
+
Y
ko
. Pozostałe elementy macierzy to admitancje wza-
jemne -
Y
kl
(k
≠
l)
[
]
2
1
1
2
1
2
1
1
1
2
1
2
2
22
21
1
12
1
11
)
(
)
(
)
(
Y
Y
Y
Y
=
−
−
−
−
−
−
+
−
−
−
+
−
−
−
+
=
+
+
+
n
l
l
l
n
l
n
l
o
l
l
l
l
l
l
o
l
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
L
M
M
M
L
L
K
M
M
M
M
K
K
Układ równań węzłowych w zapisie macierzowym będzie miał postać:
w
o
w
o
I
I
U
Y
U
Y
+
−
−
=
2
1
(1.8)
Wymiary poszczególnych macierzy i wektorów są następujące:
+
−
⋅
=−
⋅
+
+
1
1
1
2
1
,
1
1
1
1
,
1
o
o
o
o
o
o
o
o
l
w
l
o
l
n
w
n
l
l
l
o
l
l
I
I
U
Y
U
Y
Napięcia w węzłach odbiorczych będą równe:
w
o
w
o
I
Y
I
Y
U
Y
Y
U
1
1
1
1
2
1
1
−
−
−
+
−
−
=
(1.9)
Rozwiązując równanie macierzowe (1.9) wyznaczamy wartości napięć w poszczególnych węzłach od-
biorczych. Następnie dla dowolnego elementu k-l wyznaczamy wartości prądów płynące przez ten ele-
ment:
)
(
l
k
kl
kl
U
U
Y
I
−
=
(1.10)
oraz moce odpływające lub dopływające od węzła k do węzła l:
kl
k
kl
I
U
S
∗
=
(1.11)
R. Zajczyk: Przesył energii elektrycznej prądem stałym
5
Kierunek przepływu prądów i mocy wyznaczonych za pomocą powyŜszych wzorów określamy w nastę-
pujący sposób: prąd (moc) płynie od węzła k do węzła l leŜeli składowa czynna prądu (moc czynna) jest
dodatnia. Moc odbiorów w węźle k:
k
k
k
I
U
S
∗
=
prądy gałęzi poprzecznych w węźle k:
k
ko
ko
U
Y
I
=
moce strat na gałęziach poprzecznych w węźle k:
2
k
ko
ko
k
ko
U
Y
I
U
S
=
=
∗
1.2.
Metody rozwiązywania układu równań węzłowych
Układ równań węzłowych ma postać:
w
o
w
o
I
I
U
Y
U
Y
+
−
−
=
2
1
(1.12)
Przyjmując oznaczenia:
w
o
w
o
I
I
U
Y
b
U
x
Y
A
+
−
−
=
=
=
2
1
Równanie (1.12) przyjmie postać:
b
x
A
=
⋅
(1.13)
a zagadnienie wyznaczenia napięć węzłowych sprowadza się do rozwiązania układu równań liniowych
postaci (1.13) w dziedzinie liczb zespolonych.
Macierz
A
jest macierzą symetryczną tzn.:
j
i
a
a
ji
ij
≠
=
ZałóŜmy, Ŝe moŜemy rozłoŜyć macierz
A
na iloczyn macierzy trójkątnej dolnej
L
i górnej
U
:
U
L
A
⋅
=
(1.14)
aby powyŜszy rozkład istniał macierz
A
powinna spełniać warunek:
1
2
1
0
)
det(
,n-
,
,
k
k
K
=
≠
A
gdzie
A
k
jest macierzą kxk utworzoną z elementów początkowych k wierszy i k kolumn z macierzy
A
Równanie macierzowe (1.14) jest równowaŜne równaniom:
)
,
min(
1
j
i
r
u
l
a
pj
r
p
ip
ij
=
=
∑
=
Jest to układ n
2
równań z n(n+1) niewiadomymi z
L
i
U
. W k-tym kroku stosujemy następujące zaleŜno-
ści:
)
(
)
(
1
1
k
i
u
l
a
k
j
u
l
a
pk
k
p
ip
ik
pj
k
p
kp
kj
>
=
≥
=
∑
∑
=
=
Przyjmując u
kk
=1 (k=1,2,...,n) – metoda Crouta [8] – otrzymamy zaleŜności na elementy macierzy
L
i
U
w k-tym kroku:
)
,
,
1
(
)
,
,
1
,
(
1
1
1
1
n
k
j
l
u
l
a
u
n
k
k
i
u
l
a
l
kk
pj
k
p
kp
kj
kj
pk
k
p
ip
ik
ik
K
K
+
=
−
=
+
=
−
=
∑
∑
−
=
−
=
(1.15)
Mając wyznaczone macierze trójkątne
L
i
U
układ (1.13) jest równowaŜny układowi
b
x
U
L
=
⋅
który moŜna przekształcić na dwa układy trójkątne:
y
x
U
b
y
L
=
⋅
=
⋅
Elementy wektora
y
i
x
określamy wg zaleŜności:
R. Zajczyk: Przesył energii elektrycznej prądem stałym
6
)
1
,
,
1
,
(
)
,
,
1
(
1
1
1
K
K
−
=
−
=
=
−
=
∑
∑
+
=
−
=
n
n
i
x
u
y
x
n
i
l
y
l
b
y
n
i
k
k
ik
i
i
ii
i
k
k
ik
i
i
(1.16)
W ten sposób został wyznaczony wektor
x
=
U
o
– napięć w węzłach odbiorczych.
Przyjmując, Ŝe kaŜda liczba zespolona składa się z części rzeczywistej i urojonej dla wielkości występu-
jących w równaniu (1.12) moŜna przyjąć:
b
c
r
a
I
I
I
U
U
U
B
G
Y
j
j
j
+
=
+
=
+
=
Podstawiając powyŜsze związki do wzoru (1.12) i przekształcając otrzymamy układ dwóch równań ma-
cierzowych w dziedzinie liczb rzeczywistych:
+
−
−
−
=
+
+
−
+
−
=
−
b
w
b
o
r
w
a
w
r
o
a
o
c
w
c
o
r
w
a
w
r
o
a
o
I
I
U
G
U
B
U
G
U
B
I
I
U
B
U
G
U
B
U
G
2
2
1
1
2
2
1
1
(1.17)
Przyjmując następujące oznaczenia:
b
w
b
o
r
w
a
w
c
w
c
o
r
w
a
w
r
o
r
a
o
a
I
I
U
G
U
B
d
I
I
U
B
U
G
c
U
x
U
x
B
B
G
A
+
−
−
−
=
+
−
+
−
=
=
=
=
=
2
2
2
2
1
1
Układ równań macierzowych (1.14) sprowadzi się do postaci:
=
⋅
+
⋅
=
⋅
−
⋅
d
x
A
x
B
c
x
B
x
A
r
a
r
a
(1.18)
Stosując metodę eliminacji zmiennych otrzymamy:
[
]
c
c
AB
d
A
AB
B
A
Bx
c
AB
d
x
A
AB
B
−
+
+
=
+
=
+
−
−
−
−
−
)
(
)
(
1
1
1
1
1
r
a
(1.19)
Po przyjęciu podstawień:
[
]
c
c
AB
d
A
AB
B
A
d
B
B
c
AB
d
c
A
AB
B
A
−
+
−
=
=
+
=
+
=
−
−
−
−
−
)
(
)
(
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(1.20)
Ostatecznie problem sprowadza się do rozwiązania dwóch równań liniowych:
1
1
1
1
d
x
B
c
x
A
=
⋅
=
⋅
r
a
(1.21)
Dla których rozwiązania będziemy poszukiwać w dziedzinie liczb rzeczywistych.
Macierze
A
,
B
i
B
1
są macierzami symetrycznymi tzn.:
j
i
a
a
ji
ij
≠
=
Ale macierz
A
1
tej właściwości nie posiada, co znacznie zawęŜa ilość metod moŜliwych do zastosowania
przy rozwiązywaniu równań (1.21) [1,4,8].
1.3.
Równania mocowo-napięciowe układu
Dla dowolnego węzła k systemu zostało określone równanie prądów (1.1). Przyjmując model admitan-
cyjny odbioru
Y
k
=
G
k
+j
B
k
moc pozorną odbioru wyznaczamy z zaleŜności
S
*
k
=
U
*
k
I
k
. MnoŜąc obustronnie
równanie (1.1) przez
U
*
k
otrzymamy:
0
-
=
+
+
∗
∗
∗
∗
≠
=
∑
k
kg
k
k
k
k
k
n
k
l
l
kl
U
I
U
I
U
I
U
I
0
1
Uwzględniając zaleŜności:
R. Zajczyk: Przesył energii elektrycznej prądem stałym
7
k
ko
ko
l
k
kl
kl
U
Y
I
U
U
Y
I
=
−
=
)
(
Oraz przyjmując:
kg
kg
kg
k
kg
k
k
k
k
k
jQ
P
S
U
I
jQ
P
S
U
I
+
=
=
+
=
=
∗
∗
Otrzymamy równanie węzłowe dla węzła k postaci:
0
-
=
+
+
−
∗
∗
≠
=
∗
≠
=
∑
∑
kg
k
k
k
k
k
l
n
k
l
l
kl
k
k
n
k
l
l
kl
S
S
U
U
Y
U
U
Y
U
U
Y
0
1
1
które po przekształceniach przyjmie postać:
0
=
+
−
+
∗
≠
=
≠
=
∑
∑
wk
k
l
n
k
l
l
kl
k
n
k
l
l
kl
k
S
U
U
Y
Y
Y
U
1
0
1
2
(1.22)
Wykorzystując, Ŝe we współrzędnych biegunowych napięcia i admitancje określone są następującymi za-
leŜnościami:
)
)
ko
ko
kl
kl
l
k
e
Y
e
Y
Y
e
Y
e
Y
Y
e
U
U
e
U
U
ko
ko
ko
kl
kl
kl
l
l
k
k
α
-
j(90
-
j
-
α
-
j(90
-
j
-
jδ
jδ
=
=
=
=
=
=
ϕ
ϕ
Uwzględniając powyŜsze związki, równanie (1.22) przyjmie postać:
0
j
δ
j(δ
-
α
j(90
-
α
j(90
-
α
j(90
-
=
+
−
+
−
≠
=
−
−
−
≠
=
∑
∑
)
)
1
)
)
0
)
1
2
wk
l
k
kl
ko
kl
e
S
e
U
U
e
Y
e
Y
e
Y
U
wk
k
l
n
k
l
l
kl
k
n
k
l
l
kl
k
ϕ
Wyodrębniając z tego wyraŜenia część rzeczywistą i urojoną uzyskuje się postać mocowo-napięciową
równania węzłowego określonego dla węzła k:
0
α
δ
δ
α
α
0
α
δ
δ
α
α
=
+
−
−
+
+
−
=
+
−
−
+
+
∑
∑
∑
∑
≠
=
≠
=
≠
=
≠
=
wk
kl
l
k
k
l
n
k
l
l
kl
ko
k
kl
n
k
l
l
kl
k
wk
kl
l
k
k
l
n
k
l
l
kl
ko
k
kl
n
k
l
l
kl
k
Q
U
U
Y
Y
Y
U
P
U
U
Y
Y
Y
U
)
cos(
)
cos(
)
cos(
)
sin(
)
sin(
)
sin(
1
0
1
2
1
0
1
2
(1.23)
Wyznaczając P
wk
i Q
wk
ostatecznie otrzymamy:
)
cos(
)
cos(
)
cos(
)
sin(
)
sin(
)
sin(
1
0
1
2
1
0
1
2
kl
l
k
k
l
n
k
l
l
kl
ko
k
kl
n
k
l
l
kl
k
wk
kl
l
k
k
l
n
k
l
l
kl
ko
k
kl
n
k
l
l
kl
k
wk
U
U
Y
Y
Y
U
Q
U
U
Y
Y
Y
U
P
α
δ
δ
α
α
α
δ
δ
α
α
−
−
−
+
=
−
−
−
+
−
=
∑
∑
∑
∑
≠
=
≠
=
≠
=
≠
=
(1.24)
Otrzymaliśmy układ równań, w którym kaŜdy węzeł k opisany jest przez cztery zmienne: P
k
, Q
k
, U
k
i
δ
k
.
PoniewaŜ układ (1.24) zawiera 2n równań konieczne jest określenie dla węzła k dwóch zmiennych zaleŜ-
nych i dwóch zmiennych niezaleŜnych. PoniewaŜ juŜ poprzednio podzielono węzły systemu na węzły
odbiorcze i węzły wytwórcze, tu równieŜ zastosujemy tą zasadę. Dla węzłów odbiorczych o liczbie l
o
przyjmiemy, Ŝe jako zmienne zaleŜne będą moduł U
k
i faza
δ
k
napięcia w węźle k. Pozostałe dwie
zmienne P
k
, Q
k
jako zmienne niezaleŜne będą dla węzła odbiorczego określone. W obliczeniach rozpły-
wowych przyjęto, Ŝe węzeł odbiorczy będzie określany jako węzeł typu (PQ) i oznaczany (1) [6,7,11].
Pozostałe węzły o liczbie (n- l
o
) są węzłami wytwórczymi, dla których jako zmienne zaleŜne przyjmiemy
moc bierną Q
k
i fazę napięcia
δ
k
. Pozostałe dwie wielkości: wytworzona moc czynna P
k
oraz moduł na-
pięcia U
k
jako zmienne niezaleŜne będą dla węzła określone. Węzły odbiorcze określamy jako węzły typu
(PU) i oznaczamy (2) lub (3). Jednemu z węzłów generatorowych przypisuje się specjalne zadanie. Za-
kłada się, Ŝe dla tego węzła nie znamy mocy czynnej P
k
i mocy biernej. Q
k
Jej wartości będą określane w
trakcie obliczeń po dokonaniu bilansu mocy dla całego układu.
R. Zajczyk: Przesył energii elektrycznej prądem stałym
8
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
≠
=
≠
=
=
≠
=
≠
=
≠
=
≠
=
=
≠
=
≠
=
∆
+
∆
+
=
+
∆
+
∆
+
=
+
n
b
k
k
ko
n
l
k
l
k
kl
n
b
k
k
k
gb
n
b
k
k
gk
n
b
k
k
ko
n
l
k
l
k
kl
n
b
k
k
k
gb
n
b
k
k
gk
Q
Q
Q
Q
Q
P
P
P
P
P
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
gdzie
∆
P i
∆
Q – straty mocy
Konieczność wprowadzenia węzła bilansującego związana jest z faktem, Ŝe straty mocy są funkcją napięć
określonych dla konkretnego rozwiązania rozpływu mocy. Wprowadzenie węzła bilansującego nie ozna-
cza, Ŝe węzeł tego typu pokrywa straty występujące w układzie. Ma on za zadanie ułatwić obliczenia po-
przez zapewnienie spełnienia bilansu mocy w kaŜdym kroku obliczeń.
Węzeł, w którym jako zmienne zaleŜne przyjmuje się moc czynną P
k
i bierną Q
k
a jako zmienne niezaleŜ-
ne: napięcie U
k
i fazę
δ
k
będziemy nazywać węzłem bilansującym, określać jako węzeł typu (U
δ)
i ozna-
czać (4) lub (0).
Węzeł bilansujący będzie traktowany równieŜ jako węzeł odniesienia, dla którego przyjmiemy
δ
k
= 0.
1.4.
Rozwiązywanie równań mocowo-napięciowych
Rozwiązywanie równań mocowo-napięciowych, czyli wyznaczanie napięć węzłowych dokonywane jest
metodą iteracyjną. Określone zaleŜnością (1.23) lub (1.24) równania są równaniami nieliniowymi. Znale-
zienie rozwiązanie tego problemu sprowadza się do znalezienia rozwiązania:
0
)
(
=
x
F
(1.25)
PowyŜsze równanie po rozwinięciu w szereg Taylora w otoczeniu punktu
x
o
i po pominięciu członów
stopnia większego od 1 ma postać:
0
)
(
)
(
=
∆
∂
∂
+
=
x
x
F
x
F
x
F
x
o
o
(1.26)
ZaleŜność ta pozwala na wyznaczenie poprawki
∆
x
:
)
(
)
(
1
1
o
o
o
o
x
F
J
x
F
x
F
x
x
x
−
−
=
∂
∂
=
∆
gdzie
J
macierz Jacobiego
o
o
j
i
x
x
x
F
J
∂
∂
=
W czasie iteracyjnego rozwiązywania nieliniowego układu równań dąŜy się do otrzymania następującego
wzoru iteracyjnego:
)
)
(
)
1
(
i
i
x
φ
x
(
=
+
gdzie i – numer iteracji
Wektor
x
spełniający powyŜszą zaleŜność jest rozwiązaniem nieliniowego układu równań.
Przekształcając równanie (1.26) otrzymamy:
x
J
x
F
x
x
F
x
F
x
F
x
∆
=
∆
∆
∂
∂
=
−
)
(
)
(
)
(
o
o
(1.27)
Dla równań mocowo-napięciowych, dla których wektor
x
=
[U,
δδδδ
]
T
ostatnie równanie przyjmie postać:
∆
∆
=
∆
∆
δ
U
J
Q
P
(1.28)
gdzie macierz
J
składa się z czterech podmacierzy
J
1
,
J
2
,
J
3
i
J
4
określonych zaleŜnością:
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
=
l
k
l
k
l
k
l
k
U
Q
δ
Q
U
P
δ
P
J
J
J
J
J
4
3
2
1
(1.29)
Poszczególne podmacierze są równe:
podmacierz
J
1
:
R. Zajczyk: Przesył energii elektrycznej prądem stałym
9
=
−
−
−
=
∂
∂
≠
−
−
=
∂
∂
=
∑
≠
=
l
k
U
U
Y
P
l
k
U
U
Y
P
J
kl
l
k
k
l
n
k
l
l
kl
k
k
kl
l
k
k
l
kl
l
k
l
k
α
δ
δ
δ
α
δ
δ
δ
)
cos(
)
cos(
1
,
1
podmacierz
J
2
:
(
)
=
+
−
−
−
=
∂
∂
≠
−
−
−
=
∂
∂
=
∑
≠
=
l
k
Y
Y
U
U
Y
U
P
l
k
U
Y
U
P
J
ko
k
kk
kk
k
kl
l
k
l
n
k
l
l
kl
k
k
kl
l
k
k
kl
l
k
l
k
α
α
2
-
α
δ
δ
α
δ
δ
)
sin(
)
sin(
)
sin(
)
sin(
0
1
,
2
podmacierz
J
3
:
=
−
−
=
∂
∂
≠
−
−
−
=
∂
∂
=
∑
≠
=
l
k
U
U
Y
Q
l
k
U
U
Y
Q
J
kl
l
k
k
l
n
k
l
l
kl
k
k
kl
l
k
k
l
kl
l
k
l
k
α
δ
δ
δ
α
δ
δ
δ
)
sin(
)
sin(
1
,
3
podmacierz
J
4
:
(
)
=
+
+
−
−
−
=
∂
∂
≠
−
−
−
=
∂
∂
=
∑
≠
=
l
k
Y
Y
U
U
Y
U
Q
l
k
U
Y
U
Q
J
ko
k
kk
kk
k
kl
l
k
l
n
k
l
l
kl
k
k
kl
l
k
k
kl
l
k
l
k
α
α
2
α
δ
δ
α
δ
δ
)
sin(
)
sin(
)
cos(
)
cos(
0
1
,
4
Przedstawiona powyŜej metoda wyznaczania napięć węzłowych nosi nazwę metody Newtona-Raphsona.
Jej algorytm jest następujący:
1.
Oblicza się macierz Jacobiego w punkcie początkowym – i = 0
)
(
)
(
)
(
)
(
,
,
i
i
i
i
l
k
l
k
l
k
l
k
δ
U
δ
U
U
Q
δ
Q
U
P
δ
P
J
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
2.
Oblicza się niezbilansowanie mocy w węzłach sieci
(
)
)
(
)
(
)
(
1
0
)
(
2
)
(
i
wk
i
k
i
l
n
k
l
l
kl
k
kk
i
k
i
wk
S
U
U
Y
Y
Y
U
S
+
−
+
=
∆
∗
≠
=
∑
3.
Rozwiązuje się liniowy układ równań:
∆
∆
=
∆
∆
Q
P
δ
U
J
4.
Koryguje się wartości napięć węzłowych:
)
(
)
(
)
1
(
)
(
)
(
)
1
(
i
i
i
i
i
i
δ
δ
δ
U
U
U
∆
+
=
∆
+
=
+
+
5.
Sprawdza się czy wyznaczone niezbilansowanie jest mniejsze od zadanej dokładności obliczeń:
n
k
S
i
wk
,
,
1
)
(
K
=
≤
∆
ε
JeŜeli powyŜszy warunek nie jest spełniony cykl obliczeń powtarza się od punktu 1 dla następnego kroku
(i = i +1) i wartości napięć
U
(i+1)
i
δδδδ
(i+1)
aŜ do osiągnięcia zadanej dokładności.
Oprócz przedstawionej metody Newtona-Raphsona istnieją metody:
−
Metoda Gaussa,
−
metoda Warda-Hale’a,
−
metoda Gaussa-Seidela,
−
metoda rozłączna Newtona-Raphsona,
−
metoda rozłączna Stotta.
Szczegółowy opis ww. metod moŜna znaleźć w [6,7,9,10,11]
R. Zajczyk: Przesył energii elektrycznej prądem stałym
10
Bibliografia
[1]
Bjorck A., Dahlquist G.: Metody numeryczne PWN Warszawa 1983
[2]
Brown H.E.: Solution of large networks by matrix methods. London, John Wiley
and Sons 1975.
[3]
Duff I.S., Erisman A.M., Reid J.K.: Direct methods for sparse matrices. Oxford
University Press, 1986
[4]
Fortuna Z., Macukow B., Wąsowski J.: Metody numeryczne. WNT Warszawa 1982
[5]
Kaczorek T.: Macierze w automatyce i elektrotechnice. WNT Warszawa 1998.
[6]
Kremens Z., Sobierajski M.: Analiza systemów elektroenergetycznych. WNT War-
szawa 1996
[7]
Kujszczyk Sz. i inni: Elektroenergetyczne układy przesyłowe WNT Warszawa
1997
[8]
Opis programu Fortran 95 v5.5 Lahey/Fujitsu: SSL II User’s Guide – Scientific
Subroutine Library. Fujitsu Limited Communications and Electronics. Tokyo, Japan
1998.
[9]
Stevenson W. D. Jr.: Elements of power system analysis. Mc-Graw-Hill 1982.
[10] Stott B., Alsac O.: Fast decoupled load flow. IEEE Trans. PAS. 1974. Vol. 93.
[11] Stott B.: Decoupled Newton load flow. IEEE Trans. PAS. 1972. Vol. 91.
[12] Stott B.: Review of load flow calculation methods. Proc. IEEE. 1974. Vol. 62.
[13] Stott B.: Review of load flow calculation methods. Proc. IEEE. Nr 62. 1974, s. 916-
929
[14] Tinney W. F., Hart C. E.: Power flow solution by Newton s method. IEEE Trans.
PAS. 1967. Vol. 86.
[15] Tinney W. F., Walker J. W.: Direct solutions of sparse network equations by opti-
mally ordered triangular factorization. Proc. IEEE. 1967. Vol. 55.
[16] Ward J.B., Hale H.W.: Digital computer solutions of power-flow problems. AIEE
Transaction. June 1956, s. 398-404.
[17] Zdun Z.: Algorytmy podstawowych obliczeń systemów elektroenergetycznych.
Warszawa, Wydawnictwo Politechniki Warszawskiej 1978.