P O L I T E C H N I K A G D A Ń S K A

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI

Katedra Elektroenergetyki

Prof. dr hab. inż.

Ryszard Zajczyk

profesor PG

O

BLICZANIE

R

OZPŁYWÓW

M

OCY

W

S

YSTEMIE

E

LEKTROENERGETYCZNYM

(materiał do wykładu )

Gdańsk 2007 r.

R. Zajczyk: Przesył energii elektrycznej prądem stałym

2

Spis treści

1.

OBLICZANIE ROZPŁYWÓW MOCY I POZIOMÓW NAPIĘĆ W SYSTEMIE

ELEKTROENERGETYCZNYM ............................................................................................................................. 3

1.1.

Metoda potencjałów węzłowych................................................................................................. 3

1.2.

Metody rozwiązywania układu równań węzłowych ................................................................... 5

1.3.

Równania mocowo-napięciowe układu ...................................................................................... 6

1.4.

Rozwiązywanie równań mocowo-napięciowych........................................................................ 8

R. Zajczyk: Przesył energii elektrycznej prądem stałym

3

1.

OBLICZANIE ROZPŁYWÓW MOCY I POZIOMÓW NAPIĘĆ W
SYSTEMIE ELEKTROENERGETYCZNYM

1.1.

Metoda potencjałów węzłowych

Analiza pracy złożonego systemu elektroenergetycznego wymaga znajomości jego stanu pracy, czyli
określenia rozpływów mocy, poziomów napięć i strat sieciowych. Do tych obliczeń wykorzystuje się me-
tody węzłowe. Przedstawione w rozdziale 6 rozważania wykonane są przy użyciu jednostek względnych

k

l

J

k

J

kg

1

n

1

2

...

...

...

m

Z

kl

, Y

kl

J

kl

U

kf

U

lf

Y

Y

ko

lo

Y

k

Rys.1.1. Ilustracja metody węzłowej obliczania rozpływu prądów w sieci.

U

kf

- napięcie w węźle k, U

lf

- napięcie w węźle l, J

kl

- prąd płynący między węzłami k i l, J

k

- prąd odbioru w węźle

k, J

kg

- prąd generatora w węźle k, Z

kl

,Y

kl

- impedancja i admitancja elementu łączącego węzły k i l, Y

ko

,Y

lo

- admi-

tancja gałęzi poprzecznych w węzłach k i l, Y

k

- admitancja zastępcza odbioru w węźle k

Dla dowolnego węzła k systemu I prawo Kirchoffa ma postać:

0

-

=

+

+

∑

≠

=

kg

k

k

n

k

l

l

kl

I

I

I

I

0

1

(1.1)

kl

I

- prąd płynący przez element łączący węzły k i l

kg

I

- prąd wpływający do węzła k (z generatora w węźle k)

k

I

- prąd odbioru w węźle k

ko

I

- prąd płynący przez gałąź poprzeczną w węźle k

Prąd płynący przez element pomiędzy węzłem k i l wyznaczymy z zależności:

)

(

l

k

kl

kl

l

k

kl

U

U

Y

Z

U

U

I

−

=

−

=

(1.2)

Zaś prąd płynący przez gałąź poprzeczną elementu w węźle k z zależności:

fk

ko

ko

U

Y

I

=

(1.3)

l

k

U

U ,

- napięcie węzła k i l

Po wstawieniu zależności (1.2) i (1.3) do (1.1) otrzymamy:

0

=

−

+

−

+

∑

∑

≠

=

≠

=

kg

k

l

n

k

l

l

kl

ko

n

k

l

l

kl

k

I

I

U

Y

Y

Y

U

1

1

)

(

(1.4)

Przyjmując, że

∑

≠

=

=

n

k

l

l

kl

kk

Y

Y

1

kk

Y

- admitancja własna węzła k

i przekształcając równanie węzłowe dla węzła k będzie miało postać:

kg

k

l

n

k

l

l

kl

ko

kk

k

I

I

U

Y

Y

Y

U

+

−

=

+

∑

≠

=

1

)

(

(1.5)

R. Zajczyk: Przesył energii elektrycznej prądem stałym

4

W analizowanym systemie o liczbie węzłów równej

n

istnieje

l

o

węzłów odbiorczych, dla których nie

znamy wartości napięć oraz (

n

-

l

o

) węzłów wytwórczych, dla których napięcia są znane. Sytuacja ta zosta-

ła przedstawiona na rys.6.2.

∼

∼

∼

S

E

E

2

k

l

1

2

l

o

l +1

o

n

Rys.1.2. Podział węzłów systemu elektroenergetycznego

•

- węzły wytwórcze,

ο

- węzły odbiorcze

Uwzględniając powyższy podział węzłów, równanie (1.5) dla węzła k przyjmie postać:

kg

k

l

n

k

l

l

l

kl

l

l

k

l

l

kl

ko

kk

k

I

I

U

Y

U

Y

Y

Y

U

o

o

+

−

=

−

+

∑

∑

≠

+

=

≠

=

1

1

)

(

(1.6)

Układając równania węzłowe dla wszystkich węzłów odbiorczych otrzymamy układ równań:

o

o

o

l

k

kg

k

l

n

k

l

l

l

kl

l

l

k

l

l

kl

ko

kk

k

I

I

U

Y

U

Y

Y

Y

U

,

,

2

,

1

1

1

)

(

K

=

≠

+

=

≠

=

+

−

=

−

+

∑

∑

(1.7)

Na podstawie układu równań (1.6) można określić macierz admitancji

Y

o wymiarach

l

o

x

n

zawierające

na głównej przekątnej admitancje własne węzła

Y

kk

+

Y

ko

. Pozostałe elementy macierzy to admitancje wza-

jemne -

Y

kl

(k

≠

l)

[

]

2

1

1

2

1

2

1

1

1

2

1

2

2

22

21

1

12

1

11

)

(

)

(

)

(

Y

Y

Y

Y

=





























−

−

−

−

−

−

+

−

−

−

+

−

−

−

+

=

+

+

+

n

l

l

l

n

l

n

l

o

l

l

l

l

l

l

o

l

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

L

M

M

M

L

L

K

M

M

M

M

K

K

Układ równań węzłowych w zapisie macierzowym będzie miał postać:

w

o

w

o

I

I

U

Y

U

Y

+

−

−

=

2

1

(1.8)

Wymiary poszczególnych macierzy i wektorów są następujące:





















+





















−





















⋅





















=−





















⋅





















+

+

1

1

1

2

1

,

1

1

1

1

,

1

o

o

o

o

o

o

o

o

l

w

l

o

l

n

w

n

l

l

l

o

l

l

I

I

U

Y

U

Y

Napięcia w węzłach odbiorczych będą równe:

w

o

w

o

I

Y

I

Y

U

Y

Y

U

1

1

1

1

2

1

1

−

−

−

+

−

−

=

(1.9)

Rozwiązując równanie macierzowe (1.9) wyznaczamy wartości napięć w poszczególnych węzłach od-
biorczych. Następnie dla dowolnego elementu k-l wyznaczamy wartości prądów płynące przez ten ele-
ment:

)

(

l

k

kl

kl

U

U

Y

I

−

=

(1.10)

oraz moce odpływające lub dopływające od węzła k do węzła l:

kl

k

kl

I

U

S

∗

=

(1.11)

R. Zajczyk: Przesył energii elektrycznej prądem stałym

5

Kierunek przepływu prądów i mocy wyznaczonych za pomocą powyższych wzorów określamy w nastę-
pujący sposób: prąd (moc) płynie od węzła k do węzła l leżeli składowa czynna prądu (moc czynna) jest
dodatnia. Moc odbiorów w węźle k:

k

k

k

I

U

S

∗

=

prądy gałęzi poprzecznych w węźle k:

k

ko

ko

U

Y

I

=

moce strat na gałęziach poprzecznych w węźle k:

2

k

ko

ko

k

ko

U

Y

I

U

S

=

=

∗

1.2.

Metody rozwiązywania układu równań węzłowych

Układ równań węzłowych ma postać:

w

o

w

o

I

I

U

Y

U

Y

+

−

−

=

2

1

(1.12)

Przyjmując oznaczenia:

w

o

w

o

I

I

U

Y

b

U

x

Y

A

+

−

−

=

=

=

2

1

Równanie (1.12) przyjmie postać:

b

x

A

=

⋅

(1.13)

a zagadnienie wyznaczenia napięć węzłowych sprowadza się do rozwiązania układu równań liniowych
postaci (1.13) w dziedzinie liczb zespolonych.
Macierz

A

jest macierzą symetryczną tzn.:

j

i

a

a

ji

ij

≠

=

Załóżmy, że możemy rozłożyć macierz

A

na iloczyn macierzy trójkątnej dolnej

L

i górnej

U

:

U

L

A

⋅

=

(1.14)

aby powyższy rozkład istniał macierz

A

powinna spełniać warunek:

1

2

1

0

)

det(

,n-

,

,

k

k

K

=

≠

A

gdzie

A

k

jest macierzą kxk utworzoną z elementów początkowych k wierszy i k kolumn z macierzy

A

Równanie macierzowe (1.14) jest równoważne równaniom:

)

,

min(

1

j

i

r

u

l

a

pj

r

p

ip

ij

=

=

∑

=

Jest to układ n

2

równań z n(n+1) niewiadomymi z

L

i

U

. W k-tym kroku stosujemy następujące zależno-

ści:

)

(

)

(

1

1

k

i

u

l

a

k

j

u

l

a

pk

k

p

ip

ik

pj

k

p

kp

kj

>

=

≥

=

∑

∑

=

=

Przyjmując u

kk

=1 (k=1,2,...,n) – metoda Crouta [8] – otrzymamy zależności na elementy macierzy

L

i

U

w k-tym kroku:

)

,

,

1

(

)

,

,

1

,

(

1

1

1

1

n

k

j

l

u

l

a

u

n

k

k

i

u

l

a

l

kk

pj

k

p

kp

kj

kj

pk

k

p

ip

ik

ik

K

K

+

=

−

=

+

=

−

=

∑

∑

−

=

−

=

(1.15)

Mając wyznaczone macierze trójkątne

L

i

U

układ (1.13) jest równoważny układowi

b

x

U

L

=

⋅

który można przekształcić na dwa układy trójkątne:

y

x

U

b

y

L

=

⋅

=

⋅

Elementy wektora

y

i

x

określamy wg zależności:

R. Zajczyk: Przesył energii elektrycznej prądem stałym

6

)

1

,

,

1

,

(

)

,

,

1

(

1

1

1

K

K

−

=

−

=

=

−

=

∑

∑

+

=

−

=

n

n

i

x

u

y

x

n

i

l

y

l

b

y

n

i

k

k

ik

i

i

ii

i

k

k

ik

i

i

(1.16)

W ten sposób został wyznaczony wektor

x

=

U

o

– napięć w węzłach odbiorczych.

Przyjmując, że każda liczba zespolona składa się z części rzeczywistej i urojonej dla wielkości występu-
jących w równaniu (1.12) można przyjąć:

b

c

r

a

I

I

I

U

U

U

B

G

Y

j

j

j

+

=

+

=

+

=

Podstawiając powyższe związki do wzoru (1.12) i przekształcając otrzymamy układ dwóch równań ma-
cierzowych w dziedzinie liczb rzeczywistych:







+

−

−

−

=

+

+

−

+

−

=

−

b

w

b
o

r
w

a
w

r
o

a
o

c
w

c
o

r
w

a
w

r
o

a
o

I

I

U

G

U

B

U

G

U

B

I

I

U

B

U

G

U

B

U

G

2

2

1

1

2

2

1

1

(1.17)

Przyjmując następujące oznaczenia:

b
w

b
o

r
w

a
w

c
w

c
o

r
w

a
w

r
o

r

a
o

a

I

I

U

G

U

B

d

I

I

U

B

U

G

c

U

x

U

x

B

B

G

A

+

−

−

−

=

+

−

+

−

=

=

=

=

=

2

2

2

2

1

1

Układ równań macierzowych (1.14) sprowadzi się do postaci:







=

⋅

+

⋅

=

⋅

−

⋅

d

x

A

x

B

c

x

B

x

A

r

a

r

a

(1.18)

Stosując metodę eliminacji zmiennych otrzymamy:

[

]

c

c

AB

d

A

AB

B

A

Bx

c

AB

d

x

A

AB

B

−

+

+

=

+

=

+

−

−

−

−

−

)

(

)

(

1

1

1

1

1

r

a

(1.19)

Po przyjęciu podstawień:

[

]

c

c

AB

d

A

AB

B

A

d

B

B

c

AB

d

c

A

AB

B

A

−

+

−

=

=

+

=

+

=

−

−

−

−

−

)

(

)

(

1

1

1

1

1

1

1

1

1

(1.20)

Ostatecznie problem sprowadza się do rozwiązania dwóch równań liniowych:

1

1

1

1

d

x

B

c

x

A

=

⋅

=

⋅

r

a

(1.21)

Dla których rozwiązania będziemy poszukiwać w dziedzinie liczb rzeczywistych.
Macierze

A

,

B

i

B

1

są macierzami symetrycznymi tzn.:

j

i

a

a

ji

ij

≠

=

Ale macierz

A

1

tej właściwości nie posiada, co znacznie zawęża ilość metod możliwych do zastosowania

przy rozwiązywaniu równań (1.21) [1,4,8].

1.3.

Równania mocowo-napięciowe układu

Dla dowolnego węzła k systemu zostało określone równanie prądów (1.1). Przyjmując model admitan-
cyjny odbioru

Y

k

=

G

k

+j

B

k

moc pozorną odbioru wyznaczamy z zależności

S

*

k

=

U

*

k

I

k

. Mnożąc obustronnie

równanie (1.1) przez

U

*

k

otrzymamy:

0

-

=

+

+

∗

∗

∗

∗

≠

=

∑

k

kg

k

k

k

k

k

n

k

l

l

kl

U

I

U

I

U

I

U

I

0

1

Uwzględniając zależności:

R. Zajczyk: Przesył energii elektrycznej prądem stałym

7

k

ko

ko

l

k

kl

kl

U

Y

I

U

U

Y

I

=

−

=

)

(

Oraz przyjmując:

kg

kg

kg

k

kg

k

k

k

k

k

jQ

P

S

U

I

jQ

P

S

U

I

+

=

=

+

=

=

∗

∗

Otrzymamy równanie węzłowe dla węzła k postaci:

0

-

=

+

+

−

∗

∗

≠

=

∗

≠

=

∑

∑

kg

k

k

k

k

k

l

n

k

l

l

kl

k

k

n

k

l

l

kl

S

S

U

U

Y

U

U

Y

U

U

Y

0

1

1

które po przekształceniach przyjmie postać:

0

=

+

−





















+

∗

≠

=

≠

=

∑

∑

wk

k

l

n

k

l

l

kl

k

n

k

l

l

kl

k

S

U

U

Y

Y

Y

U

1

0

1

2

(1.22)

Wykorzystując, że we współrzędnych biegunowych napięcia i admitancje określone są następującymi za-
leżnościami:

)

)

ko

ko

kl

kl

l

k

e

Y

e

Y

Y

e

Y

e

Y

Y

e

U

U

e

U

U

ko

ko

ko

kl

kl

kl

l

l

k

k

α

-

j(90

-

j

-

α

-

j(90

-

j

-

jδ

jδ

=

=

=

=

=

=

ϕ

ϕ

Uwzględniając powyższe związki, równanie (1.22) przyjmie postać:

0

j

δ

j(δ

-

α

j(90

-

α

j(90

-

α

j(90

-

=

+

−





















+

−

≠

=

−

−

−

≠

=

∑

∑

)

)

1

)

)

0

)

1

2

wk

l

k

kl

ko

kl

e

S

e

U

U

e

Y

e

Y

e

Y

U

wk

k

l

n

k

l

l

kl

k

n

k

l

l

kl

k

ϕ

Wyodrębniając z tego wyrażenia część rzeczywistą i urojoną uzyskuje się postać mocowo-napięciową
równania węzłowego określonego dla węzła k:

0

α

δ

δ

α

α

0

α

δ

δ

α

α

=

+

−

−

+





















+

−

=

+

−

−

+





















+

∑

∑

∑

∑

≠

=

≠

=

≠

=

≠

=

wk

kl

l

k

k

l

n

k

l

l

kl

ko

k

kl

n

k

l

l

kl

k

wk

kl

l

k

k

l

n

k

l

l

kl

ko

k

kl

n

k

l

l

kl

k

Q

U

U

Y

Y

Y

U

P

U

U

Y

Y

Y

U

)

cos(

)

cos(

)

cos(

)

sin(

)

sin(

)

sin(

1

0

1

2

1

0

1

2

(1.23)

Wyznaczając P

wk

i Q

wk

ostatecznie otrzymamy:

)

cos(

)

cos(

)

cos(

)

sin(

)

sin(

)

sin(

1

0

1

2

1

0

1

2

kl

l

k

k

l

n

k

l

l

kl

ko

k

kl

n

k

l

l

kl

k

wk

kl

l

k

k

l

n

k

l

l

kl

ko

k

kl

n

k

l

l

kl

k

wk

U

U

Y

Y

Y

U

Q

U

U

Y

Y

Y

U

P

α

δ

δ

α

α

α

δ

δ

α

α

−

−

−





















+

=

−

−

−





















+

−

=

∑

∑

∑

∑

≠

=

≠

=

≠

=

≠

=

(1.24)

Otrzymaliśmy układ równań, w którym każdy węzeł k opisany jest przez cztery zmienne: P

k

, Q

k

, U

k

i

δ

k

.

Ponieważ układ (1.24) zawiera 2n równań konieczne jest określenie dla węzła k dwóch zmiennych zależ-
nych i dwóch zmiennych niezależnych. Ponieważ już poprzednio podzielono węzły systemu na węzły
odbiorcze i węzły wytwórcze, tu również zastosujemy tą zasadę. Dla węzłów odbiorczych o liczbie l

o

przyjmiemy, że jako zmienne zależne będą moduł U

k

i faza

δ

k

napięcia w węźle k. Pozostałe dwie

zmienne P

k

, Q

k

jako zmienne niezależne będą dla węzła odbiorczego określone. W obliczeniach rozpły-

wowych przyjęto, że węzeł odbiorczy będzie określany jako węzeł typu (PQ) i oznaczany (1) [6,7,11].
Pozostałe węzły o liczbie (n- l

o

) są węzłami wytwórczymi, dla których jako zmienne zależne przyjmiemy

moc bierną Q

k

i fazę napięcia

δ

k

. Pozostałe dwie wielkości: wytworzona moc czynna P

k

oraz moduł na-

pięcia U

k

jako zmienne niezależne będą dla węzła określone. Węzły odbiorcze określamy jako węzły typu

(PU) i oznaczamy (2) lub (3). Jednemu z węzłów generatorowych przypisuje się specjalne zadanie. Za-
kłada się, że dla tego węzła nie znamy mocy czynnej P

k

i mocy biernej. Q

k

Jej wartości będą określane w

trakcie obliczeń po dokonaniu bilansu mocy dla całego układu.

R. Zajczyk: Przesył energii elektrycznej prądem stałym

8

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

≠

=

≠

=

=

≠

=

≠

=

≠

=

≠

=

=

≠

=

≠

=

∆

+

∆

+

=

+

∆

+

∆

+

=

+

n

b

k

k

ko

n

l

k

l

k

kl

n

b

k

k

k

gb

n

b

k

k

gk

n

b

k

k

ko

n

l

k

l

k

kl

n

b

k

k

k

gb

n

b

k

k

gk

Q

Q

Q

Q

Q

P

P

P

P

P

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

gdzie

∆

P i

∆

Q – straty mocy

Konieczność wprowadzenia węzła bilansującego związana jest z faktem, że straty mocy są funkcją napięć
określonych dla konkretnego rozwiązania rozpływu mocy. Wprowadzenie węzła bilansującego nie ozna-
cza, że węzeł tego typu pokrywa straty występujące w układzie. Ma on za zadanie ułatwić obliczenia po-
przez zapewnienie spełnienia bilansu mocy w każdym kroku obliczeń.
Węzeł, w którym jako zmienne zależne przyjmuje się moc czynną P

k

i bierną Q

k

a jako zmienne niezależ-

ne: napięcie U

k

i fazę

δ

k

będziemy nazywać węzłem bilansującym, określać jako węzeł typu (U

δ)

i ozna-

czać (4) lub (0).
Węzeł bilansujący będzie traktowany również jako węzeł odniesienia, dla którego przyjmiemy

δ

k

= 0.

1.4.

Rozwiązywanie równań mocowo-napięciowych

Rozwiązywanie równań mocowo-napięciowych, czyli wyznaczanie napięć węzłowych dokonywane jest
metodą iteracyjną. Określone zależnością (1.23) lub (1.24) równania są równaniami nieliniowymi. Znale-
zienie rozwiązanie tego problemu sprowadza się do znalezienia rozwiązania:

0

)

(

=

x

F

(1.25)

Powyższe równanie po rozwinięciu w szereg Taylora w otoczeniu punktu

x

o

i po pominięciu członów

stopnia większego od 1 ma postać:

0

)

(

)

(

=

∆

∂

∂

+

=

x

x

F

x

F

x

F

x

o

o

(1.26)

Zależność ta pozwala na wyznaczenie poprawki

∆

x

:

)

(

)

(

1

1

o

o

o

o

x

F

J

x

F

x

F

x

x

x

−

−

=















∂

∂

=

∆

gdzie

J

macierz Jacobiego

o

o

j

i

x

x

x

F

J

∂

∂

=

W czasie iteracyjnego rozwiązywania nieliniowego układu równań dąży się do otrzymania następującego
wzoru iteracyjnego:

)

)

(

)

1

(

i

i

x

φ

x

(

=

+

gdzie i – numer iteracji

Wektor

x

spełniający powyższą zależność jest rozwiązaniem nieliniowego układu równań.

Przekształcając równanie (1.26) otrzymamy:

x

J

x

F

x

x

F

x

F

x

F

x

∆

=

∆

∆

∂

∂

=

−

)

(

)

(

)

(

o

o

(1.27)

Dla równań mocowo-napięciowych, dla których wektor

x

=

[U,

δδδδ

]

T

ostatnie równanie przyjmie postać:













∆

∆

=













∆

∆

δ

U

J

Q

P

(1.28)

gdzie macierz

J

składa się z czterech podmacierzy

J

1

,

J

2

,

J

3

i

J

4

określonych zależnością:

























∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=













=

l

k

l

k

l

k

l

k

U

Q

δ

Q

U

P

δ

P

J

J

J

J

J

4

3

2

1

(1.29)

Poszczególne podmacierze są równe:
podmacierz

J

1

:

R. Zajczyk: Przesył energii elektrycznej prądem stałym

9















=

−

−

−

=

∂

∂

≠

−

−

=

∂

∂

=

∑

≠

=

l

k

U

U

Y

P

l

k

U

U

Y

P

J

kl

l

k

k

l

n

k

l

l

kl

k

k

kl

l

k

k

l

kl

l

k

l

k

α

δ

δ

δ

α

δ

δ

δ

)

cos(

)

cos(

1

,

1

podmacierz

J

2

:

(

)















=

+

−

−

−

=

∂

∂

≠

−

−

−

=

∂

∂

=

∑

≠

=

l

k

Y

Y

U

U

Y

U

P

l

k

U

Y

U

P

J

ko

k

kk

kk

k

kl

l

k

l

n

k

l

l

kl

k

k

kl

l

k

k

kl

l

k

l

k

α

α

2

-

α

δ

δ

α

δ

δ

)

sin(

)

sin(

)

sin(

)

sin(

0

1

,

2

podmacierz

J

3

:















=

−

−

=

∂

∂

≠

−

−

−

=

∂

∂

=

∑

≠

=

l

k

U

U

Y

Q

l

k

U

U

Y

Q

J

kl

l

k

k

l

n

k

l

l

kl

k

k

kl

l

k

k

l

kl

l

k

l

k

α

δ

δ

δ

α

δ

δ

δ

)

sin(

)

sin(

1

,

3

podmacierz

J

4

:

(

)















=

+

+

−

−

−

=

∂

∂

≠

−

−

−

=

∂

∂

=

∑

≠

=

l

k

Y

Y

U

U

Y

U

Q

l

k

U

Y

U

Q

J

ko

k

kk

kk

k

kl

l

k

l

n

k

l

l

kl

k

k

kl

l

k

k

kl

l

k

l

k

α

α

2

α

δ

δ

α

δ

δ

)

sin(

)

sin(

)

cos(

)

cos(

0

1

,

4

Przedstawiona powyżej metoda wyznaczania napięć węzłowych nosi nazwę metody Newtona-Raphsona.
Jej algorytm jest następujący:

1.

Oblicza się macierz Jacobiego w punkcie początkowym – i = 0

)

(

)

(

)

(

)

(

,

,

i

i

i

i

l

k

l

k

l

k

l

k

δ

U

δ

U

U

Q

δ

Q

U

P

δ

P

J

























∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

2.

Oblicza się niezbilansowanie mocy w węzłach sieci

(

)

)

(

)

(

)

(

1

0

)

(

2

)

(

i

wk

i

k

i

l

n

k

l

l

kl

k

kk

i

k

i

wk

S

U

U

Y

Y

Y

U

S

+

−

+

=

∆

∗

≠

=

∑

3.

Rozwiązuje się liniowy układ równań:













∆

∆

=













∆

∆

Q

P

δ

U

J

4.

Koryguje się wartości napięć węzłowych:

)

(

)

(

)

1

(

)

(

)

(

)

1

(

i

i

i

i

i

i

δ

δ

δ

U

U

U

∆

+

=

∆

+

=

+

+

5.

Sprawdza się czy wyznaczone niezbilansowanie jest mniejsze od zadanej dokładności obliczeń:

n

k

S

i

wk

,

,

1

)

(

K

=

≤

∆

ε

Jeżeli powyższy warunek nie jest spełniony cykl obliczeń powtarza się od punktu 1 dla następnego kroku
(i = i +1) i wartości napięć

U

(i+1)

i

δδδδ

(i+1)

aż do osiągnięcia zadanej dokładności.

Oprócz przedstawionej metody Newtona-Raphsona istnieją metody:

−

Metoda Gaussa,

−

metoda Warda-Hale’a,

−

metoda Gaussa-Seidela,

−

metoda rozłączna Newtona-Raphsona,

−

metoda rozłączna Stotta.

Szczegółowy opis ww. metod można znaleźć w [6,7,9,10,11]

R. Zajczyk: Przesył energii elektrycznej prądem stałym

10

Bibliografia

[1]

Bjorck A., Dahlquist G.: Metody numeryczne PWN Warszawa 1983

[2]

Brown H.E.: Solution of large networks by matrix methods. London, John Wiley
and Sons 1975.

[3]

Duff I.S., Erisman A.M., Reid J.K.: Direct methods for sparse matrices. Oxford
University Press, 1986

[4]

Fortuna Z., Macukow B., Wąsowski J.: Metody numeryczne. WNT Warszawa 1982

[5]

Kaczorek T.: Macierze w automatyce i elektrotechnice. WNT Warszawa 1998.

[6]

Kremens Z., Sobierajski M.: Analiza systemów elektroenergetycznych. WNT War-
szawa 1996

[7]

Kujszczyk Sz. i inni: Elektroenergetyczne układy przesyłowe WNT Warszawa
1997

[8]

Opis programu Fortran 95 v5.5 Lahey/Fujitsu: SSL II User’s Guide – Scientific
Subroutine Library. Fujitsu Limited Communications and Electronics. Tokyo, Japan
1998.

[9]

Stevenson W. D. Jr.: Elements of power system analysis. Mc-Graw-Hill 1982.

[10] Stott B., Alsac O.: Fast decoupled load flow. IEEE Trans. PAS. 1974. Vol. 93.
[11] Stott B.: Decoupled Newton load flow. IEEE Trans. PAS. 1972. Vol. 91.
[12] Stott B.: Review of load flow calculation methods. Proc. IEEE. 1974. Vol. 62.
[13] Stott B.: Review of load flow calculation methods. Proc. IEEE. Nr 62. 1974, s. 916-

929

[14] Tinney W. F., Hart C. E.: Power flow solution by Newton s method. IEEE Trans.

PAS. 1967. Vol. 86.

[15] Tinney W. F., Walker J. W.: Direct solutions of sparse network equations by opti-

mally ordered triangular factorization. Proc. IEEE. 1967. Vol. 55.

[16] Ward J.B., Hale H.W.: Digital computer solutions of power-flow problems. AIEE

Transaction. June 1956, s. 398-404.

[17] Zdun Z.: Algorytmy podstawowych obliczeń systemów elektroenergetycznych.

Warszawa, Wydawnictwo Politechniki Warszawskiej 1978.