T O P O L O G I A _ W ¢ Z ¸ Y

Jak sobie zawià˝esz...

Ian Stewart pokazuje, jak za pomocà kawa∏ków sznurka mo˝na ilustrowaç zasady symetrii

Rekreacje matematyczne

W

ostatnim stuleciu bada-
nie w´z∏ów sta∏o si´
wa˝nà dziedzinà mate-
matyki. W jego zakres

wchodzi jedno z wielkich pytaƒ topo-
logii: jakie sà sposoby zanurzenia jednej
formy geometrycznej we wn´trzu in-
nej? W przypadku w´z∏ów tymi dwie-
ma formami sà: okràg – reprezentowa-
ny przez zamkni´tà p´tl´ sznurka –
i ca∏a trójwymiarowa przestrzeƒ. Topo-
logów interesuje w´ze∏ jako okràg tak
zanurzony w przestrzeni trójwymiaro-
wej, ˝e nie mo˝na go rozplàtaç za po-
mocà ciàg∏ej deformacji otaczajàcej go
przestrzeni.

Jest to dalekie od codziennego do-

Êwiadczenia: w realnym Êwiecie kawa∏-
ki sznurka majà koƒce, a gdy próbujemy
rozplàtaç w´ze∏, deformuje si´ sznurek,
a nie otaczajàca go przestrzeƒ. Mimo ˝e
definicja topologiczna dobrze okreÊla

„zaw´êlenia” w´z∏ów, inne elementy
ju˝ nie tak ∏atwo sprowadziç do sfor-
mu∏owaƒ topologicznych. Oczywisty
przypadek to ∏àczenie dwóch kawa∏ków
sznurka w jeden d∏u˝szy. Najistotniej-
sze jest wtedy, aby w´ze∏ si´ nie roz-
wiàza∏, gdy pociàgniemy za koƒce
sznurków. Wa˝ny staje si´ tu zarówno
materia∏, z którego zrobione sà sznur-
ki, jak i tarcie powierzchniowe – zadanie
wymaga wi´c innego podejÊcia.

Matematycy sprostali zadaniu i zna-

leêli podstawy teorii takich w´z∏ów. Ro-
ger E. Miles z Australian National Uni-
versity w Canberze wyjaÊnia swojà
teori´ w nieszablonowej ksià˝ce Sym-
metric Bends (World Scientific, 1995),
która traktuje o symetrycznych w´z∏ach
˝eglarskich. Pierwszym celem Milesa
jest usystematyzowanie geometrii w´-
z∏ów symetrycznych, umo˝liwiajàce
szukanie nowych w´z∏ów o ˝àdanych

w∏asnoÊciach, takich jak odpornoÊç na
rozwiàzywanie przy napr´˝eniu.

Najprostszym i najlepiej znanym

w´z∏em jest w´ze∏ p∏aski [ilustracja na
sàsiedniej stronie]. Na rysunku jedna lina
ma kolor pomaraƒczowy, a druga nie-
bieski. Ka˝da ma jeden koniec „wolny”
– kawa∏ek wystajàcy z w´z∏a – i koniec
„zwiàzany”, czyli g∏ównà cz´Êç liny (na
rysunku – z rozmytym koƒcem). W dia-
gramie w´z∏a p∏askiego wyst´pujà dwa
typy skrzy˝owaƒ: niebieska lina nad po-
maraƒczowà i pomaraƒczowa nad nie-
bieskà. W bardziej z∏o˝onych w´z∏ach
mogà pojawiç si´ tak˝e skrzy˝owania:
niebieska lina nad niebieskà oraz poma-
raƒczowa nad pomaraƒczowà.

Cz´sto w´ze∏ p∏aski jest mylony z w´-

z∏em babskim. Oba mo˝na przekszta∏-
ciç w zwyczajne w´z∏y, po prostu ∏àczàc
wolny koniec ka˝dej liny z jej koƒcem
zwiàzanym. (W tradycyjnej teorii w´-

WSZYSTKIE ILUSTRACJE BRYAN CHRISTIE

84 Â

WIAT

N

AUKI

Wrzesieƒ 2000

W¢ZE¸ FLAMANDZKI

ma trzy odmiany: odwróconà,

zwierciadlanà oraz odwrócenie odbicia zwierciadla-
nego (z lewej). Diagramy odwróconych w´z∏ów zo-
sta∏y okr´cone o 180º wokó∏ linii Êrodkowych. Wszyst-
kie cztery w´z∏y majà Êrodki symetrii. W´ze∏ piàty,
kameleon (powy˝ej), jest topologicznie równowa˝ny
pozosta∏ym czterem, ale ma symetri´ obrotowà.

KAMELEON

ODWRÓCENIE

W¢ZE¸

FLAMANDZKI

ODBICIE

ZWIERCIADLANE

ODWRÓCENIE

ODBICIA

ZWIERCIADLANEGO

Â

WIAT

N

AUKI

Wrzesieƒ 2000 85

Rekreacje matematyczne

z∏ów wszystko jest po∏àczone w p´tle.)
Jednak typowe w´z∏y p∏aski i babski nie
majà odmian zamkni´tych, istniejà nato-
miast dwa inne, bardzo podobne do w´-
z∏ów p∏askiego i babskiego, ró˝niàce si´
tylko wyborem wolnego koƒca. Sà to:
w´ze∏ nijaki oraz z∏odziejski.

Te cztery w´z∏y majà najprostsze dia-

gramy, czyli diagramy z najmniejszà
liczbà skrzy˝owaƒ. Tarcie, które zapo-
biega wyÊlizgni´ciu si´ liny z w´z∏a, po-
wstaje g∏ównie na skrzy˝owaniach liny,
wi´c intuicyjnie oczekujemy, ˝e bardziej
z∏o˝ony w´ze∏ b´dzie mocniejszy. Nie
zawsze tak jest. To, czy w´ze∏ jest moc-
ny, zale˝y tak˝e od sposobu, w jaki ciàg
skrzy˝owaƒ uk∏ada si´ w przestrzeni.
Wszystkie cztery w´z∏y sà wysoce nie-
pewne i majà tendencj´ do rozwiàzy-
wania si´, gdy pociàgniemy za koƒce
lin lub w inny sposób je rozluênimy. To,
jak si´ rozwiàzujà, jest pouczajàce: jed-
na z lin si´ prostuje, niekoniecznie zu-
pe∏nie, a nast´pnie wyÊlizguje z p´tli
tworzonych przez drugà.

WyjÊciowe w´z∏y majà te˝ ciekawà

w∏asnoÊç symetrii. JeÊli obrócimy w´ze∏
p∏aski o 180° wokó∏ osi zawierajàcej t´
przekàtnà diagramu, która biegnie z le-
wego dolnego rogu w prawy górny,
otrzymamy taki sam diagram z zamie-
nionymi kolorami. To samo dzieje si´
w przypadku w´z∏a babskiego. Diagram
w´z∏a nijakiego ma symetri´ obrotowà:
b´dzie wyglàda∏ tak samo, z wyjàtkiem
kolorów, jeÊli obrócimy go o 180° wo-
kó∏ osi prostopad∏ej do p∏aszczyzny
kartki. Natomiast w´ze∏ z∏odziejski ma
Êrodek symetrii: jeÊli diagram prze-
kszta∏cimy przez symetri´ Êrodkowà,
odwzorowujàc ka˝dy punkt o wspó∏-
rz´dnych x, y i z na punkt o wspó∏rz´d-
nych –x, –y, i –z, b´dzie wyglàda∏ jak
w´ze∏ pierwotny, z wyjàtkiem koloru.
Mo˝na samemu zaobserwowaç te sy-
metrie, zawiàzujàc w´z∏y z prawdziwe-
go sznurka. Nale˝y upewniç si´ tylko,
˝e sà zawiàzane dok∏adnie i równo.

Opierajàc si´ na opisanych wy˝ej

trzech rodzajach symetrii – obrocie
wokó∏ przekàtnej, obrocie i symetrii
Êrodkowej – Miles opracowa∏ regu∏y po-
zwalajàce badaç w´z∏y symetryczne,
a nawet znajdowaç nowe. Na przyk∏ad
rozbudowanie w´z∏a z∏odziejskiego da-
je ca∏à rodzin´ w´z∏ów [dolny rysunek na

górze]. Co wi´cej, w przestrzeni trójwy-
miarowej mo˝na do w´z∏ów zastosowaç
jeszcze trzy dodatkowe przekszta∏cenia
symetryczne. Pierwsze to odbicie zwier-
ciadlane: widzimy jego efekt na dwu-
wymiarowym diagramie – odwraca ono
skrzy˝owania w ka˝dym przeci´ciu.
Drugim jest zamiana kolorów: niebie-
skiego na pomaraƒczowy i odwrotnie.
Wreszcie trzecie przekszta∏cenie – od-
wrócenie – polega na zamianie po-
maraƒczowych koƒców zwiàzanych z
wolnymi i jednoczeÊnie niebieskich
zwiàzanych z wolnymi.

Doskona∏ym przyk∏adem w´z∏ów sy-

metrycznych jest w´ze∏ ósemkowy po-
dwójnie tkany, zwany te˝ w´z∏em fla-
mandzkim. Na czterech rysunkach na
poprzedniej stronie widaç odpowied-
nio sam w´ze∏, jego obraz zwierciadla-
ny, odwrócenie i odwrócenie obrazu
zwierciadlanego. Wszystkie cztery w´-
z∏y sà symetryczne Êrodkowo. Na du-
˝ym rysunku pokazano w´ze∏ o innym
typie symetrii: symetrii obrotowej.
Wszystkie te w´z∏y sà topologicznie
równowa˝ne, tzn. ka˝dy z nich mo˝na
przekszta∏ciç w inny dzi´ki prostej ope-
racji. Naj∏atwiej to dostrzec, przekszta∏-
cajàc piàty w´ze∏, nazwany przez Mile-
sa kameleonem, w ka˝dy z czterech
pozosta∏ych. Pozostawiam Czytelnikom
radoÊç odkrycia, jak to zrobiç.

Ksià˝ka Milesa zawiera katalog 60 sy-

metrycznych w´z∏ów. Ale czy istnieje

CZTERY ELEMENTARNE W¢Z¸Y

(w gór-

nym rz´dzie) majà niewiele skrzy˝owaƒ,
a zatem ∏atwo mo˝na je rozplàtaç. Dwu-
krotny w´ze∏ z∏odziejski jest bezpiecz-
niejszy, bo ma wi´cej skrzy˝owaƒ.

S P R Z ¢ ˚ E N I E

_

Z W R O T N E

W

odzewie na „Najdoskonalsze kwadraty magiczne” [styczeƒ 2000] Thomas R.
Hagedorn z College of New Jersey przys∏a∏ mi dwie prace o prostokàtach ma-
gicznych, opublikowane w czasopiÊmie Discrete Mathematics (vol. 207, nr 1–3,

28 wrzeÊnia 1999). Magiczny prostokàt to tablica m

´ n liczb ca∏kowitych od 1 do iloczy-

nu m i n. Liczby w ka˝dej kolumnie dajà jednakowe sumy, podobnie jak liczby w ka˝dym
wierszu, z tym ˝e sumy wierszy i kolumn niekoniecznie muszà byç takie same. Przekàt-
ne si´ pomija. Matematycy od dawna wiedzieli, ˝e prostokàty magiczne istniejà, gdy licz-
by m i n majà jednakowà parzystoÊç (czyli gdy albo obie sà parzyste, albo obie nieparzy-
ste), sà wi´ksze od 1 i nie sà jednoczeÊnie równe 2.

Hagedorn uogólnia ten pomys∏ na wy˝sze wymiary, wykazujàc, ˝e gdy wszystkie kra-

w´dzie takiej wielowymiarowej tablicy sà parzyste – co spe∏nia na przyk∏ad tablica o wy-
miarach 2

´ 4 ´ 6 – to prostokàt magiczny musi istnieç. Przypadek nieparzysty jest du˝o

trudniejszy do udowodnienia – nie wiadomo nawet, czy istnieje prostokàt magiczny
o wymiarach 3

´ 5 ´ 7. A oto mój konkurs dla Czytelników: czy potraficie u∏o˝yç liczby

od 1 do 105 na siatce 3

´ 5 ´ 7, tak aby wszystkie poziome rz´dy mia∏y jednakowe sumy,

wszystkie poziome kolumny mia∏y jednakowe sumy i wszystkie pionowe kolumny te˝
mia∏y jednakowe sumy? Te trzy sumy mogà (muszà!) byç ró˝ne.

najlepszy w´ze∏ ∏àczàcy dwie liny? Od-
powiedê autora brzmi: niezupe∏nie. Od-
pornoÊç na rozluênianie si´ czy szarp-
ni´cia nie jest jedynà cechà dobrego
w´z∏a; sà nimi równie˝ ∏atwoÊç zawià-
zywania i rozwiàzywania, mo˝liwoÊç
∏atwego skracania lub wyd∏u˝ania wol-
nych koƒców lin czy estetyczny wyglàd.
Koƒczàc swà ksià˝k´, Miles zach´ca czy-
telników do podzielenia si´ ich w∏asny-
mi odkryciami, które móg∏by uwzgl´d-
niç w przysz∏ych wydaniach. (Jego
adres: RMB 345, Queanbeyan, NSW
2620, Australia.) Pisze: „Wynalazca no-
wego w´z∏a ma prawo nadaç mu nazw´,
podobnie jak odkrywca komecie lub
gwieêdzie.”

SN

W¢ZE¸
P¸ASKI

W¢ZE¸
BABSKI

W¢ZE¸
NIJAKI

W¢ZE¸
Z¸ODZIEJSKI

DWUKROTNY
W¢ZE¸
Z¸ODZIEJSKI