WM
Z5/18. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –
ZADANIE 18
1
Z5/18. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –
ZADANIE 18
Z5/18.1. Zadanie 18
Narysować metodą punktów szczególnych wykresy sił przekrojowych dla belki przedstawionej na
rysunku Z5/18.1. Wymiary belki podane są w metrach.
A
B
C
16,0 kN/m
8,0 kN
6,0
3,0
[m]
Rys. Z5/18.1. Belka prosta
Analiza kinematyczna belki przedstawionej na rysunku Z5/18.1 znajduje się w zadaniu 17. Zgodnie
z tamtym zadaniem rysunek Z5/18.2 przedstawia wartości i zwroty reakcji podporowych.
A
B
C
16,0 kN/m
8,0 kN
6,0
3,0
[m]
12,0 kN
44,0 kN
Rys. Z5/18.2. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji w belce prostej
Z5/18.2. Wykres siły poprzecznej
Zgodnie z rozdziałem 5 w przedziale AB siła poprzeczna będzie funkcją kwadratową natomiast
w przedziale BC będzie miała wartość stałą. Pionowe reakcje na podporach A i B będą powodowały skok
siły poprzecznej o wartości bezwzględnej równej danej reakcji.
Rysowanie wykresu siły poprzecznej zaczniemy od punktu A. W punkcie tym działa reakcja o war-
tości 12,0 kN do góry. Siła poprzeczna w tym punkcie wynosi więc
T
A
=
12,0 kN
.
(Z5/18.1)
W przedziale AB działa obciążenie ciągłe trójkątne o wartości z prawej strony 16,0 kN/m w dół więc
siła poprzeczna w tym przedziale będzie parabolicznie opadać a w punkcie B tego przedziału wynosi
T
B
L
=
12,0−
1
2
⋅
16,0⋅6,0=−36,0 kN
.
(Z5/18.2)
Jak widać siła poprzeczna na obu końcach przedziału AB ma wartości przeciwnych znaków. W przedziale
tym będzie ona miała więc miejsce zerowe. Zgodnie ze wzorem (5.131) jego odległość od punktu A wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński
WM
Z5/18. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –
ZADANIE 18
2
x
L
=
2⋅12,0⋅6,0
16,0
=
3,0 m
.
(Z5/18.3)
Ekstremum parabolicznego wykresu siły poprzecznej znajduje się w punkcie A, w którym to obciąże-
nie ciągłe trójkątne ma miejsce zerowe.
W punkcie B działa reakcja o wartości 44,0 kN w górę. Wartość siły poprzecznej z prawej strony
punktu B wynosi więc
T
B
P
=−
36,044,0=8,0 kN
.
(Z5/18.4)
W przedziale BC nie działa żadne obciążenie ciągłe więc siła poprzeczna ma w całym przedziale
wartość stałą równą
T
BC
=
8,0 kN
.
(Z5/18.5)
Rysunek Z5/18.3 przedstawia ostateczną postać wykresu siły poprzecznej w całej belce prostej wyz-
naczonego metodą punktów charakterystycznych.
A
B
C
16,0 kN/m
8,0 kN
6,0
3,0
[m]
12,0 kN
44,0 kN
T(x) [kN]
3,0
3,0
12
,0
36
,0
8,0
Rys. Z5/18.3. Wykres siły poprzecznej w belce prostej
Z5/18.3. Wykres momentu zginającego
Zgodnie z rozdziałem 5 w przedziale AB moment zginający będzie wielomianem trzeciego stopnia
natomiast w przedziale BC będzie funkcją liniową. Wykres momentu będzie w całej belce ciągły. W dalszej
części, przy obliczaniu wartości momentu zginającego w punktach charakterystycznych, siły, które kręcą
zgodnie z założonym momentem zginającym będziemy zapisywać z minusem, siły które kręcą przeciwnie
z plusem.
Rysunek Z5/18.4 a) przedstawia moment zginający w punkcie A. Zgodnie z tym rysunkiem moment
ten ma wartość
M
A
=
0,0kNm
.
(Z5/18.6)
Dr inż. Janusz Dębiński
WM
Z5/18. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –
ZADANIE 18
3
A
6,0
12,0 kN
16,0 kN/m
[m]
M
B
(L)
A
12,0 kN
M
A
a)
b)
Rys. Z5/18.4. Momenty zginające na obu końcach przedziału AB
Rysunek Z5/18.4 b) przedstawia moment zginający w punkcie B z lewej strony podpory. Zgodnie
z tym rysunkiem moment ten ma wartość
M
B
L
=
12,0⋅6,0−
1
2
⋅
16,0⋅6,0⋅
1
3
⋅
6,0=−24,0 kNm
.
(Z5/18.7)
Znak minus oznacza, że rozciąga on górną część belki.
6,0
16,0 kN/m
[m]
q
1
3,0
Rys. Z5/18.5. Wartość obciążenia ciągłego w miejscu zerowym siły poprzecznej
Miejsce zerowe siły poprzecznej znajduje się w odległości 3,0 m od punktu A. Rysunek Z5/18.5
przedstawia wartość obciążenia ciągłego w tym punkcie, które możemy wyznaczyć z proporcji
q
1
3,0
=
16,0
6,0
.
(Z5/18.8)
Ostatecznie wartość obciążenia ciągłego w miejscu zerowym siły poprzecznej wynosi
q
1
=
8,0
kN
m
.
(Z5/18.9)
A
3,0
12,0 kN
8,0 kN/m
[m]
M
1
Rys. Z5/18.6. Ekstremalny moment zginający w przedziale AB
Dr inż. Janusz Dębiński
WM
Z5/18. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –
ZADANIE 18
4
Rysunek Z5/18.6 przedstawia ekstremalny moment zginający w przedziale AB. Zgodnie z tym rysun-
kiem wynosi on
M
1
=
12,0⋅3,0−
1
2
⋅
8,0⋅3,0⋅
1
3
⋅
3,0=24,0 kNm
(Z5/18.10)
Znak plus oznacza, że rozciąga on dolną część belki.
D
3,0
8,0 kN
M
B
(P)
[m]
D
8,0 kN
M
C
a)
b)
Rys. Z5/18.7. Momenty zginające na na obu końcach przedziału BC
A
B
C
16,0 kN/m
8,0 kN
6,0
3,0
[m]
12,0 kN
44,0 kN
T(x) [kN]
M(x) [kNm]
3,0
3,0
3,0
3,0
12
,0
36
,0
8,0
0,
0
24
,0
0,0
24
,0
Rys. Z5/18.8. Ostateczne wykresy siły poprzecznej i momentu zginającego wyznaczone metodą punktów
charakterystycznych
Rysunek Z5/18.7 a) przedstawia moment zginający w punkcie B z prawej strony tego punktu. Zgodnie
z tym rysunkiem moment ten ma wartość
M
B
P
=−
8,0⋅3,0=−24,0 kNm
.
(Z5/18.11)
Dr inż. Janusz Dębiński
WM
Z5/18. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –
ZADANIE 18
5
Moment ten jest równy momentowi wyznaczonemu ze wzoru (Z5/18.7). Znak minus oznacza, że rozciąga on
górną część belki.
Rysunek Z5/18.7 b) przedstawia moment zginający w punkcie C. Zgodnie z tym rysunkiem moment
ten ma wartość
M
C
=
0,0 kNm
.
(Z5/18.12)
Rysunek Z5/18.8 przedstawia ostateczne wykresy siły poprzecznej i momentu zginającego w belce prostej
wyznaczone metodą punktów charakterystycznych.
Dr inż. Janusz Dębiński