Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 9 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl
1
Całkowanie funkcji wymiernych względem sinusa i cosinusa
∫
dx
x
x
R
)
cos
,
(sin
, gdzie R(u,v) jest funkcją wymierną zmiennych u i v
Całkę powyższej postaci można sprowadzić do całki funkcji wymiernej za pomocą tzw. podstawienia
uniwersalnego
2
tg
x
t
=
,
(
)
π
π
<
<
−
x
,
+
=
=
2
1
2
arctg
2
t
dt
dx
t
x
2
tg
1
2
tg
2
2
sin
x
x
x
+
=
,
2
tg
1
2
tg
1
2
2
cos
x
x
x
+
−
=
Stąd
∫
∫
+
+
−
+
=
2
2
2
2
1
2
1
1
,
1
2
)
cos
,
(sin
t
dt
t
t
t
t
R
dx
x
x
R
.
Ostatnia całka jest całką z funkcji wymiernej (
złożenie funkcji wymiernych jest funkcją wymierną
)
Przykład.
∫
+
x
x
dx
cos
4
sin
3
=
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
4
3
t
dt
dx
t
t
t
t
+
+
∫
+
−
+
=
∫
−
−
−
1
2
1
2
3
2
t
t
dt
c
t
t
t
dt
t
dt
+
=
−
=
−
+
−
+
∫
∫
|
|
ln
2
5
1
2
5
1
5
1
2
1
2
1
=
}
tg
gdzie
{
2
x
t
=
=
c
x
x
+
=
−
+
|
|
ln
2
tg
tg
5
1
2
2
1
2
.
W pewnych szczególnych przypadkach obliczenia można uprościć stosując inne podstawienie:
1º
)
cos
,
(sin
)
cos
,
sin
(
x
x
R
x
x
R
−
=
−
x
t cos
=
2º
)
cos
,
(sin
)
cos
,
(sin
x
x
R
x
x
R
−
=
−
x
t sin
=
3º
)
cos
,
(sin
)
cos
,
sin
(
x
x
R
x
x
R
=
−
−
x
t tg
=
Przykład.
=
=
−
=
=
=
ℜ
=
∫
∫
∫
+
−
+
+
−
+
dt
dx
x
dt
x
t
v
u
t
t
v
u
x
dx
x
x
x
xdx
1
1
1
cos
1
sin
)
cos
1
(
cos
1
sin
2
2
2
3
2
2
2
3
sin
,
cos
)
,
(
=
−
∫
∫
+1
2
2
t
dt
dt
=
=
+
−
c
t
t
arctg
2
{gdzie
x
t cos
=
}= cos x - 2arctg cos x + c.
Obliczając tą całkę podstawieniem uniwersalnym otrzymujemy po nieco dłuższych rachunkach
otrzymujemy
{
}
{
}
=
+
=
=
=
=
=
=
=
∫
∫
∫
∫
+
+
−
+
+
+
+
+
dt
dt
t
u
dt
t
u
u
u
u
u
t
t
t
x
x
xdx
)
1
(
2
)
1
(
2
)
1
(
)
1
(
4
2
)
1
(
)
1
(
8
2
cos
1
sin
2
2
2
2
4
2
2
3
2
3
tg
c
x
x
+
+
=
+
)
arctg(tg
2
2
2
tg
1
2
2
2
.
Wynik ten pozornie różni się od poprzedniego. Poprzez różniczkowanie można wykazać, że na dowolnym przedziale określoności obu
funkcji, ich pochodne są identyczne. Ponadto, punkty osobliwe (punkty w których
2
tg
x
jest nieokreślony) pojawiające się w ostatniej całce,
są osobliwościami
usuwalnymi, tzn. istnieją granice funkcji w tych punktach , więc można funkcję w naturalny sposób przedłużyć
przyjmując wartości równe odpowiednim granicom.
Całkowanie pewnych funkcji niewymiernych
Całki postaci
dx
x
n
d
cx
b
ax
)
,
(
∫
+
+
ℜ
, gdzie
ℜ(u,v) jest funkcję wymierną argumentów u , v i ad-bc≠0
sprowadzamy do całki funkcji wymiernej przez podstawienie
n
d
cx
b
ax
t
+
+
=
, z którego wyznaczamy
a
c
t
b
d
t
n
n
x
+
−
−
=
,
dt
dx
a
c
t
bc
ad
nt
n
n
2
1
)
(
)
(
+
−
−
−
=
.
Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 9 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl
2
Wobec tego
dx
x
n
d
cx
b
ax
)
,
(
∫
+
+
ℜ
=
dt
t
a
c
t
bc
ad
nt
a
c
t
b
d
t
n
n
n
n
2
1
)
(
)
(
)
,
(
+
−
−
+
−
−
−
∫ ℜ
. Ostatnia całka jest całką funkcji wymiernej.
Przykład .
=
=
−
=
=
=
+
−
−
−
−
−
−
∫
∫
dt
t
dx
x
x
t
t
x
x
dx
x
x
dx
11
2
1
12
)
1
2
(
)
1
2
(
1
2
1
2
6
,
1
2
12
3
12
4
12
4
3
=
dt
t
t
∫
−1
6
8
=
=
dt
t
t
t
t
t
t
t
t
)
1
(
6
1
1
2
3
4
5
6
7
−
+
+
+
+
+
+
+
+
∫
=6(
8
8
t
+
7
7
t
...
2
2
t
+t +ln|t-1|)+c , gdzie t=
12
1
2
−
x
.
Całki postaci
dx
c
bx
ax
x
)
,
(
2
∫
+
+
ℜ
, gdzie
ℜ(u,v) jest funkcję wymierną argumentów u i v,
sprowadzamy do całki funkcji wymiernej przez jedno z niewykluczających się wzajemnie podstawień
Eulera
:
1.
x
a
t
c
bx
ax
−
=
+
+
2
, gdy a>0,
2.
c
tx
c
bx
ax
−
=
+
+
2
, gdy c>0,
3.
)
(
)
)(
(
1
2
1
2
x
x
t
x
x
x
x
a
c
bx
ax
−
=
−
−
=
+
+
, gdy
∆>0.
Przykład .
dt
t
x
x
dt
dx
x
x
t
x
x
dx
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
x
x
x
t
t
t
t
t
2
2
)
1
(
2
4
2
2
)
1
(
2
4
2
2
2
2
2
2
2
)
1
(
2
4
2
2
)
1
(
2
4
2
)
1
(
2
4
2
)
1
(
2
4
2
)
1
(
2
4
2
4
2
2
4
2
,
,
4
2
+
+
+
+
+
+
+
+
−
+
+
+
+
−
+
+
+
∫
∫
+
+
+
+
−
=
=
−
=
+
+
=
=
−
=
+
+
=
=
=
+
+
+
=
+
+
+
+
=
−
+
=
=
+
+
+
+
+
∫
∫
∫
∫
}
4
2
{gdzie
|
1
|
ln
2
1
1
2
3
2
1
)
1
(
2
3
1
2
1
)
1
(
4
2
1
2
2
2
x
x
x
t
c
t
t
dt
dt
t
t
dt
t
dt
t
t
t
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
c
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4
2
1
1
2
3
2
2
2
1
2
|
4
2
1
|
ln
)
4
2
(
c
x
x
x
x
x
+
+
+
+
+
+
+
+
=
|
4
2
1
|
ln
4
2
2
2
Całka dwumienna
(
)
∫
+
dx
bx
a
x
p
s
r
p
s
r ,
,
-wymierne
Całkę dwumienną potrafimy sprowadzić przez podane obok podstawienia do całki funkcji wymiernej
tylko w trzech przypadkach
1. p całkowite,
k
u
x
=
, gdzie k - wspólny mianownik ułamków r i s.
2.
s
r 1
+
całkowite,
n
s
u
bx
a
=
+
, gdzie n - mianownik ułamka p.
3.
p
s
r
+
+ 1
całkowite,
n
s
s
u
x
bx
a
=
+
, gdzie
n - mianownik ułamka p.
Przykład
.
{
}
=
−
=
=
=
=
=
−
=
∫
∫
∫
+
+
−
+
−
−
−
)
1
(
)
1
(
2
1
1
2
1
)
1
(
2
2
2
2
2
2
3
2
1
3
2
,
,
)
1
(
u
u
du
u
udu
u
x
x
x
x
dx
x
u
dx
x
x
dx
c
u
c
u
x
x
x
x
x
x
u
u
du
u
du
+
+
=
=
+
+
=
+
−
=
−
−
−
+
∫
∫
1
1
1
2
1
arctg
2
2
}
gdzie
{
arctg
2
2
2
2
2
.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Wykres sin i cos
Inne materiały, man-twierdzenie sin i cos oraz iloczyn wektorów, a/sinα=b/sinβ=c/sinγ=2R - tw
sin cos tg ctg
sin cos tg ctg, nauka
sin cos
Sin, cos, tg, ctg dla kątów 0, 30, 45, 90, 120,
Calka oznaczona
W09 Ja wstep ROZ
bal w09
Calka potrojna
Antropologia kulturowa W09 id 6 Nieznany (2)
jezc w09 bity op
COS
Utwardzanie wydzieleniowe stopów aluminium, WAT, LOTNICTWO I KOSMONAUTYKA, WAT - 1 rok lotnictwo, co
Gdy coś we mnie umiera, Fan Fiction, Dir en Gray
Wegetarianska Tortilla, Coś do czytania, Kulinaria
Zrób coś dla siebi1, scenariusze
ergonomia-praca- poprawiona, WSZiB w Poznaniu Zarządzanie, 3 rok zarządzanie 2009-2010 i coś z 1 i 2
więcej podobnych podstron