Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 9 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl
1
Całkowanie funkcji wymiernych względem sinusa i cosinusa
∫
dx
x
x
R
)
cos
,
(sin
, gdzie R(u,v) jest funkcją wymierną zmiennych u i v
Całkę powyższej postaci można sprowadzić do całki funkcji wymiernej za pomocą tzw. podstawienia
uniwersalnego
2
tg
x
t
=
,
(
)
π
π
<
<
−
x
,
+
=
=
2
1
2
arctg
2
t
dt
dx
t
x
2
tg
1
2
tg
2
2
sin
x
x
x
+
=
,
2
tg
1
2
tg
1
2
2
cos
x
x
x
+
−
=
Stąd
∫
∫
+
+
−
+
=
2
2
2
2
1
2
1
1
,
1
2
)
cos
,
(sin
t
dt
t
t
t
t
R
dx
x
x
R
.
Ostatnia całka jest całką z funkcji wymiernej (
złożenie funkcji wymiernych jest funkcją wymierną
)
Przykład.
∫
+
x
x
dx
cos
4
sin
3
=
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
4
3
t
dt
dx
t
t
t
t
+
+
∫
+
−
+
=
∫
−
−
−
1
2
1
2
3
2
t
t
dt
c
t
t
t
dt
t
dt
+
=
−
=
−
+
−
+
∫
∫
|
|
ln
2
5
1
2
5
1
5
1
2
1
2
1
=
}
tg
gdzie
{
2
x
t
=
=
c
x
x
+
=
−
+
|
|
ln
2
tg
tg
5
1
2
2
1
2
.
W pewnych szczególnych przypadkach obliczenia można uprościć stosując inne podstawienie:
1º
)
cos
,
(sin
)
cos
,
sin
(
x
x
R
x
x
R
−
=
−
x
t cos
=
2º
)
cos
,
(sin
)
cos
,
(sin
x
x
R
x
x
R
−
=
−
x
t sin
=
3º
)
cos
,
(sin
)
cos
,
sin
(
x
x
R
x
x
R
=
−
−
x
t tg
=
Przykład.
=
=
−
=
=
=
ℜ
=
∫
∫
∫
+
−
+
+
−
+
dt
dx
x
dt
x
t
v
u
t
t
v
u
x
dx
x
x
x
xdx
1
1
1
cos
1
sin
)
cos
1
(
cos
1
sin
2
2
2
3
2
2
2
3
sin
,
cos
)
,
(
=
−
∫
∫
+1
2
2
t
dt
dt
=
=
+
−
c
t
t
arctg
2
{gdzie
x
t cos
=
}= cos x - 2arctg cos x + c.
Obliczając tą całkę podstawieniem uniwersalnym otrzymujemy po nieco dłuższych rachunkach
otrzymujemy
{
}
{
}
=
+
=
=
=
=
=
=
=
∫
∫
∫
∫
+
+
−
+
+
+
+
+
dt
dt
t
u
dt
t
u
u
u
u
u
t
t
t
x
x
xdx
)
1
(
2
)
1
(
2
)
1
(
)
1
(
4
2
)
1
(
)
1
(
8
2
cos
1
sin
2
2
2
2
4
2
2
3
2
3
tg
c
x
x
+
+
=
+
)
arctg(tg
2
2
2
tg
1
2
2
2
.
Wynik ten pozornie różni się od poprzedniego. Poprzez różniczkowanie można wykazać, że na dowolnym przedziale określoności obu
funkcji, ich pochodne są identyczne. Ponadto, punkty osobliwe (punkty w których
2
tg
x
jest nieokreślony) pojawiające się w ostatniej całce,
są osobliwościami
usuwalnymi, tzn. istnieją granice funkcji w tych punktach , więc można funkcję w naturalny sposób przedłużyć
przyjmując wartości równe odpowiednim granicom.
Całkowanie pewnych funkcji niewymiernych
Całki postaci
dx
x
n
d
cx
b
ax
)
,
(
∫
+
+
ℜ
, gdzie
ℜ(u,v) jest funkcję wymierną argumentów u , v i ad-bc≠0
sprowadzamy do całki funkcji wymiernej przez podstawienie
n
d
cx
b
ax
t
+
+
=
, z którego wyznaczamy
a
c
t
b
d
t
n
n
x
+
−
−
=
,
dt
dx
a
c
t
bc
ad
nt
n
n
2
1
)
(
)
(
+
−
−
−
=
.
