Rozwiązania zadań B.12 – Oligopol 3 Piotr Kalisz

1

OLIGOPOL 3

Zad. 1

MR

A

= 100 – 8*(Q

A

+ Q

B

)

MC

A

= 4

MR

A

= MC

A

100 – 8*(Q

A

+ Q

B

) = 4

96 = 8*(Q

A

+ Q

B

)

12 = Q

A

+ Q

B

Q

A

= 12 - Q

B

f

A

(Q

B

) = 12 - Q

B

Zad. 5

p = a – bQ

C

MC = c
We wszystkich przykładach Q

1

= Q

2

= ... = Q

N

, co wynika z tego, że w punkcie równowagi firmy

będą produkowały tyle samo, gdyż są identyczne.

Przypadek I (dwie firmy):

Q

C

= Q

1

+ Q

2

p = a - b*(Q

1

+ Q

2

)

Π

1

= Q

1

*(a - b*(Q

1

+ Q

2

)) – cQ

1

Π

1

= Q

1

a - bQ

1

2

- bQ

2

Q

1

– cQ

1

δΠ

1

/δQ

1

= a – 2bQ

1

– bQ

2

– c = 0

2bQ

1

= a – bQ

2

– c

Q

1

= (a – bQ

2

– c) / 2b

korzystając z warunku Q

1

= Q

2

= ... = Q

N

Q

1

= (a – bQ

1

– c) / 2b

a – c = 3bQ

1

Q

1

= Q

2

= (a – c) / 3b

co oznacza, że równowaga zostanie osiągnięta w punkcie: (Q

1

, Q

2

) = ((a – c) / 3b , (a – c) / 3b).

Przypadek II (trzy firmy):

Q

C

= Q

1

+ Q

2

+ Q

3

p = a - b*(Q

1

+ Q

2

+ Q

3

)

Π

1

= Q

1

*(a - b*(Q

1

+ Q

2

+ Q

3

)) – cQ

1

Π

1

= Q

1

a - bQ

1

2

- bQ

2

Q

1

- bQ

3

Q

1

– cQ

1

δΠ

1

/δQ

1

= a – 2bQ

1

– bQ

2

– bQ

3

– c = 0

2bQ

1

= a – bQ

2

– bQ

3

– c

Q

1

= (a – bQ

2

– bQ

3

– c) / 2b

korzystając z warunku Q

1

= Q

2

= ... = Q

N

Q

1

= (a – bQ

1

– bQ

1

– c) / 2b

Rozwiązania zadań B.12 – Oligopol 3 Piotr Kalisz

2

a – c = 4bQ

1

Q

1

= Q

2

= Q

3

= (a – c) / 4b

co oznacza, że równowaga zostanie osiągnięta w punkcie: (Q

1

, Q

2

, Q

3

) = ((a – c)/4b , (a – c)/4b , (a

– c)/4b).

Przypadek III (N firm):

Q

C

= Q

1

+ Q

2

+ .. + Q

N

korzystając z warunku Q

1

= Q

2

= ... = Q

N

= Q => Q

C

= NQ

Q

C

= Q

1

+ Q(N-1)

p

1

= a - b*(Q

1

+ Q

2

+ ... + Q

N

)

p

1 =

a - b*(Q

1

+ Q(N-1))

Π

1

= Q

1

*(a - b*(Q

1

+ Q(N-1)) – cQ

1

Π

1

= Q

1

a – bQ

1

2

- bQQ

1

(N-1)– cQ

1

δΠ

1

/δQ

1

=

a – 2bQ

1

– bQ(N-1) – c = 0

2bQ

1

= a – c – bQ(N-1)

Q

1

= (a – c – bQ(N-1)) / 2b

korzystając z faktu, że Q

1

= Q

2

= ... = Q

N

= Q

Q = (a – c – bQ(N-1)) / 2b)
2bQ = a – c – bQ(N-1)
2bQ + bQ(N-1) = a – c
Qb(N+1) = a – c
Q = (a - c)/b(N+1)

Q

1

= Q

2

= ... = Q

N

= Q = (a - c)/b(N+1)

co oznacza, że równowaga zostanie osiągnięta w punkcie: (Q

1

, Q

2

, ..., Q

N

) = ((a - c)/b(N+1) , ... , (a

– c)/b(N+1)).

Przypadek IV (N firm dla N dążącego do nieskończoności):

postępując tak samo jak w poprzednim przykładzie, dochodzimy do momentu:
Q = (a – c)/b(N+1)

teraz należy policzyć lim Q dla N → ∞ :

lim Q → lim (a – c)/b(N+1) → lim (N(a/N – c/N))/(N(b(1+1/N)) , co jakby nie patrzeć daje 0 przy
N dążącym do nieskończoności, gdyż a/N, c/N = 0, więc a/N – c/N = 0, co oznacza, że licznik
ułamka jest równy zero, to natomiast implikuje wartość zerową całego wyrażenia (mam nadzieję).

Rozwiązania zadań B.12 – Oligopol 3 Piotr Kalisz

3

Zad.5 (w formie macierzy)

MC

i

= c => TC

i

= q

i

c

Π

i

=q

i

(a-b(q

1

+q

2

+......+q

i

+........+q

n

))-q

i

c

δΠ



= a-2bq

i

-bq

i

-bq

2

+.........-bq

n

-c

δ

q

1

δΠ



=0 <=>

{

2bq

i

+bq

1

+bg

2

+....+bq

n

=a-c

}

δ

q

i

a - c
q

i

=



(n+1)b

q

i

= q

j

∀

i,j

=1,...,n ⇒ (n+1)b

∗

q

i

= a-c

a-c
q

i

=



b(n+1)

1) n=1

a-c q

n

=(a-c)/2b

q

1

*

=



p

n

=(a+c)/2

(n+1)b
2) n

→∝

a+nc q

i

=(a-c)/((n+1)b)

→

0

p

*

=



a

→∝

n+1
a/n + c

p=



→

c

n/n + 1/n n

→∝

Rozwiązania zadań B.12 – Oligopol 3 Piotr Kalisz

4

Zad. 8

ε(Y) = 1,5
s

1

= s

2

= ... = s

i

= 0,25 (udział jednej firmy w rynku)

MC(y

1

) = MC(y

2

) = ... = MC(y

i

)

p(Y)[1 + s

i

/ε(Y)] = MC(y

i

)

p(Y)/MC(y

i

) = 1/(1 + s

i

/ε(Y))

p(Y)/MC(y

i

) = 1/(1 - (¼ * 2/3)) = 1/(1-1/6) = 1/(5/6) = 6/5

Zad. 6

MC

I

= k + c

MC

P

= k + 2c

p = 1 – Q

c

a)
Q

C

= Q

I

+ Q

P

p = 1 - Q

I

- Q

P

Π

I

= Q

I

*(1 - (Q

I

+ Q

P

)) – kQ

I

- cQ

I

Π

I

= Q

I

- Q

I

2

- Q

P

Q

I

– kQ

I

- cQ

I

δΠ

I

/δQ

I

= 1 – 2Q

I

– Q

P

– c - k = 0

Q

I

= (1

– Q

P

– c - k)/2

analogicznie: Q

P

= (1

– Q

I

– 2c – k)/2

podstawiając Q

P

do wzoru na Q

I

: Q

I

= (1

– ((1

– Q

I

– 2c – k)/2) – c – k)/2

Q

I

= (1

– ½

+ Q

I

/2 + c + k/2 – c – k)/2

Q

I

= (½

+ Q

I

/2 - k/2 )/2

Q

I

= 1/4

+ Q

I

/4 – k/4

¾Q

I

= ¼ – k/4

Q

I

= 1/3 – k/3

podstawiając Q

I

do wzoru na Q

P

: Q

P

= (1

– ((1

– Q

P

– c - k)/2) – 2c – k)/2

Q

P

= (1

– 1/2 + Q

P

/2 + c/2 + k/2 – 2c – k)/2

Q

P

= (1/2 + Q

P

/2 – 3/2c – k/2)/2

Q

P

= 1/4 + Q

P

/4 – 3/4c – k/4

3/4Q

P

= ¼ -3/4c – k/4

Q

P

= 1/3 - c – k/3

b)
Π

I

= Q

I

*(1 - (Q

I

+ Q

P

)) – Q

1

MC

I

po podstawieniu za Q

p

wyrażenia obliczonego w poprzednim pkt. (Q

P

= 1/3 - c – k/3) otrzymujemy:

Π

I

= Q

I

*(1 - (Q

I

+ 1/3 - c – k/3)) – Q

1

MC

I

Π

I

= Q

I

*(1 - (Q

I

+ 1/3 - c – k/3)) – Q

1

*(k + c)

Π

I

= Q

I

*(1 - Q

I

- 1/3 + c + k/3 - k – c)

Π

I

= Q

I

*(2/3 - Q

I

- 2/3k) i Q

I

= 1/3 – k/3 => Π

I

=(1/3 – k/3)

2

z powyższego wyrażenia wynika że Π

I

zależy od dwóch zmiennych - Q

I

oraz k. Obydwie te

zmienne są niezależne od c (Q

I

= 1/3 – k/3 , we wzorze na Q

I

nie występuje c).

Rozwiązania zadań B.12 – Oligopol 3 Piotr Kalisz

5

c)
p

1

= 1 – Q

c1

Q

c1

= Q

I1

+ Q

P1

p

1

= 1 – Q

I1

– Q

P1

p

1

= 1 – 1/3 + k/3 – 1/3 + c + k/3

p

1

= 1/3 + 2/3k + c

p

2

= 1 – Q

I2

– Q

P2

p

2

= 1 – 1/3 + 2/3k – 1/3 + c + 2/3k

p

2

= 1/3 + 4/3k + c

∆p = p

2

– p

1

= 1/3 + 4/3k + c - 1/3 - 2/3k – c = 2/3k (cena wzrośnie o 2/3k [początkowego])

korzystając ze wzoru wyprowadzonego we wcześniejszym podpunkcie:
Π

I1

= Q

I

*(2/3 - Q

I

- 2/3k)

Π

I1

= (1/3 – k/3)*(2/3 - (1/3 – k/3) – 2/3k)

Π

I1

= (1/3 – k/3)*(2/3 - 1/3 + k/3 – 2/3k)

Π

I1

= (1/3 – k/3)*(1/3 – k/3)

Π

I1

= (1/3 – k/3)

2

Π

I2

wygląda analogicznie, jedynie zamiast k wstawiamy 2k:

Π

I2

= (1/3 – 2/3k)

2

∆Π

I

= Π

I2

- Π

I1

= 1/9 – 4/9k – 4/9k

2

– (1/9 – 2/9k – k

2

/9) = -2/9k + k

2

/3

Π

P

= Q

P

*(1 - (Q

I

+ Q

P

)) – Q

P

MC

P

po podstawieniu za Q

I

wyrażenia obliczonego w poprzednim pkt. (Q

I

= 1/3 – k/3) otrzymujemy:

Π

P

= Q

P

*(1 - (Q

P

+ 1/3 – k/3)) – Q

P

MC

P

Π

P

= Q

P

*(1 - (Q

P

+ 1/3 – k/3)) – Q

P

*(k + 2c)

Π

P

= Q

P

*(1 - Q

P

- 1/3 + k/3 - k – 2c)

Π

P

= Q

P

*(2/3 - Q

P

- 2/3 k – 2c)

podstawiając teraz Q

P

= 1/3 - c – k/3 otrzymujemy:

Π

P1

= (1/3 - c – k/3)*(2/3 - ( 1/3 - c – k/3)

- 2/3k – 2c)

Π

P1

= (1/3 - c – k/3)*(2/3 - 1/3 + c + k/3

- 2/3k – 2c)

Π

P1

= (1/3 - c – k/3)*(1/3 - c – k/3)

Π

P1

= (1/3 - c – k/3)

2

analogicznie Π

P12

= (1/3 - c – 2/3k)

2

∆Π

P

= Π

P2

- Π

P1

= (1/3 - c – 2/3k)

2

- (1/3 - c – k/3)

2

korzystamy ze wzoru (a – b)

2

= (a – b)*(a + b) :

(1/3 - c – 2/3k)

2

- (1/3 - c – k/3)

2

= (1/3 - c – 2/3k - 1/3 + c + k/3)*( 1/3 - c – 2/3k -+ 1/3 - c – k/3) =

-k/3*(2/3 - 2c – k)

Zad. 10

C

1

= 10X

1

C

2

= 10X

2

X = X

1

+ X

2

P = 100 – 5X

a)
Π

1

= X

1

*(100 - 5*(X

1

+ X

2

)) – 10X

1

Π

1

= 100X

1

- 5X

1

2

- 5X

1

X

2

– 10X

1

Π

1

= 90X

1

- 5X

1

2

- 5X

1

X

2

Rozwiązania zadań B.12 – Oligopol 3 Piotr Kalisz

6

δΠ

1

/δX

1

= 90 - 10X

1

- 5X

2

= 0

10X

1

= 90 - 5X

2

X

1

= (90 – 5X

2

)/10

jako że obydwie firmy są identyczne funkcja reakcji drugiego przedsiębiorstwa będzie wyglądała
analogicznie:
X

2

= (90 – 5X

1

)/10

jednocześnie wiemy, że firmy będą produkowały identyczne wielkości, więc X

1

= X

2.

Korzystając z

tego faktu :
X

1

= (90 – 5X

1

)/10

10X

1

= 90 – 5X

1

15X

1

= 90

X

1

= X

2

= 6

b)

WYKRES

Proces dostosowawczy będzie stabilny, gdyż już po pierwszym okresie dostosowania firmy znajdą
się w punkcie równowagi. Jest to zwykły model Stackelberga.
Jeżeli firma 1 jako pierwsza podjęła decyzję odnośnie wielkości produkcji i jest ona taka sama, jak
w podpunkcie a), to:
X

1

= (90 – 5X

2

)/10

X

2

= (90 – 5X

1

)/10 po podstawieniu w/w funkcji za X

1

, otrzymujemy:

X

2

= (90 – 5*((90 – 5X

2

)/10))/10

X

2

= (90 – 5*(9 – 1/2X

2

))/10

X

2

= 9 – 1/2*(9 – 1/2X

2

)

X

2

= 4,5 + 1/4X

2

3/4X

2

= 4,5

X

2

= 6 , czyli rozwiązanie się nie zmienia.

c)
C

1

= 8X

1

Równowaga stabilna

Rozwiązania zadań B.12 – Oligopol 3 Piotr Kalisz

7

C

2

= 10X

2

X = X

1

+ X

2

P = 100 – 5X

Π

1

= X

1

*(100 - 5*(X

1

+ X

2

)) – 8X

1

Π

1

= 100X

1

- 5X

1

2

- 5X

1

X

2

– 8X

1

Π

1

= 92X

1

- 5X

1

2

- 5X

1

X

2

δΠ

1

/δX

1

= 92 - 10X

1

- 5X

2

= 0

10X

1

= 92 - 5X

2

X

1

= (92 – 5X

2

)/10 (nowa funkcja reakcji firmy 1 na produkcję firmy 2)

X

2

= (90 – 5X

1

)/10 (funkcja drugiej firmy pozostaje natomiast bez zmian)

podstawiając X

1

do wzoru funkcji reakcji firmy 2, mamy:

X

2

= (90 – 5*((92 – 5X

2

)/10))/10

X

2

= 9 – 1/2*(9,2 – 1/2X

2

)

X

2

= 9 – 4,6 + 1/4X

2

3/4X

2

= 4,4

X

2

= 5,86(6)

X

1

= (92 – 5*5,86(6))/10

X

1

= (92 – 29,335)/10

X

1

= 6,2665

Zad. 11

a) dane z zad. 10 a)
C

1

= 10X

1

C

2

= 10X

2

X = X

1

+ X

2

P = 100 – 5X

korzystając z wyprowadzonej funkcji reakcji firmy 2 ([X

2

= (90 – 5X

1

)/10]naśladowcy w tym

przypadku) podstawiamy jej wzór do wzoru na zysk lidera:

Π

1

= 90X

1

- 5X

1

2

– 5X

1

X

2

Π

1

= 90X

1

- 5X

1

2

– 5X

1

((90 – 5X

1

)/10)

Π

1

= 90X

1

- 5X

1

2

– 45X

1

+ 2,5X

1

2

Π

1

= 45X

1

– 2,5X

1

2

δΠ

1

/δX

1

= 45 – 5X

1

= 0

X

1

= 9

X

2

= (90 – 5X

1

)/10

X

2

= (90 – 45)/10

X

2

= 4,5

X = 13,5
P = 100 – 5*13,5
P = 32,5

a) dane z zad. 10 c)
C

1

= 8X

1

C

2

= 10X

2

Rozwiązania zadań B.12 – Oligopol 3 Piotr Kalisz

8

X = X

1

+ X

2

P = 100 – 5X

X

2

= (90 – 5X

1

)/10 (funkcja reakcji firmy 2 [naśladowca] pozostaje bez zmian)

natomiast wzór funkcji reakcji lidera otrzymamy podobnie jak w poprzednim zadaniu poprzez
podstawienie funkcji reakcji naśladowcy do funkcji zysku lidera:

Π

1

= 92X

1

- 5X

1

2

– 5X

1

X

2

Π

1

= 92X

1

- 5X

1

2

– 5X

1

((90 – 5X

1

)/10)

Π

1

= 92X

1

- 5X

1

2

– 45X

1

+ 2,5X

1

2

Π

1

= 47X

1

– 2,5X

1

2

δΠ

1

/δX

1

= 47 – 5X

1

= 0

X

1

= 9,4

X

2

= (90 – 5X

1

)/10

X

2

= (90 – 47)/10

X

2

= 4,3

X = 13,7
P = 100 – 5*13,7
P = 31,5

Zad. 1

p = 20 – Q
TC = Q

2

a)
MR = MC (warunek maksymalizacji zysku przy monopolu)
MR = (20Q – Q

2

)' = 20 – 2Q

MC = (TC)' = 2Q
MC = MR => 20 – 2Q = 2Q => Q = 5

Π = Q(20 – Q) – TC
Π = 75 – 25 = 50

b)
p = 20 – Q
TC = Q

2

Q = q

1

+ q

2

Π = (q

1

+ q

2

)(20 - ( q

1

+ q

2

)) - q

1

2

– q

2

2

δΠ

/δq

1

= 20 – 2q

1

– 2q

2

– 2q

1

= 20 – 4q

1

-2q

1

= 0

δΠ

/δq

2

= 20 – 2q

2

– 2q

1

– 2q

2

= 20 – 4q

2

-2q

1

= 0

produkcja firm z racji ich identyczności jest rozłożona po równo, więc:

20 – 6q

1

= 0

q

1

= q

2

= 3,33

Q = 6,66

Rozwiązania zadań B.12 – Oligopol 3 Piotr Kalisz

9

Π

1

= Π

2

= q*(20 – Q) – q

2

= 3,33*(20 – 6,66) – 3,33

2

≈ 33,(3)

Π = Π

1

+ Π

2

≈ 66,(6)

c)
Zyski karteli są większe, gdyż mamy do czynienia z malejącymi efektami skali (TC=Q

2

). Opłaca

się więc rozbić produkcję na wiele fabryk, o ile te fabryki są kierowane przez jedną grupę
decyzyjną (kartel).
d)
Rozwiązanie to nie jest równowagą Nash'a. Równowaga Nash'a zachodzi wtedy gdy przy danym
optymalnym wyborze produkcji q

1

, wybór firmy 2 jest również optymalny i vice versa. Natomiast

w kartelu zawsze istnieje pokusa zwiększenia produkcji, co doprowadzi do zwiększenia zysków.
Oznacza to że zyski pojedynczego producenta nie są zmaksymalizowane dla danego wyboru jego
konkurenta (drugiego członka kartelu).