Rozwiązania zadań B.12 – Oligopol 3 Piotr Kalisz
1
OLIGOPOL 3
Zad. 1
MR
A
= 100 – 8*(Q
A
+ Q
B
)
MC
A
= 4
MR
A
= MC
A
100 – 8*(Q
A
+ Q
B
) = 4
96 = 8*(Q
A
+ Q
B
)
12 = Q
A
+ Q
B
Q
A
= 12 - Q
B
f
A
(Q
B
) = 12 - Q
B
Zad. 5
p = a – bQ
C
MC = c
We wszystkich przykładach Q
1
= Q
2
= ... = Q
N
, co wynika z tego, Ŝe w punkcie równowagi firmy
będą produkowały tyle samo, gdyŜ są identyczne.
Przypadek I (dwie firmy):
Q
C
= Q
1
+ Q
2
p = a - b*(Q
1
+ Q
2
)
Π
1
= Q
1
*(a - b*(Q
1
+ Q
2
)) – cQ
1
Π
1
= Q
1
a - bQ
1
2
- bQ
2
Q
1
– cQ
1
δΠ
1
/δQ
1
= a – 2bQ
1
– bQ
2
– c = 0
2bQ
1
= a – bQ
2
– c
Q
1
= (a – bQ
2
– c) / 2b
korzystając z warunku Q
1
= Q
2
= ... = Q
N
Q
1
= (a – bQ
1
– c) / 2b
a – c = 3bQ
1
Q
1
= Q
2
= (a – c) / 3b
co oznacza, Ŝe równowaga zostanie osiągnięta w punkcie: (Q
1
, Q
2
) = ((a – c) / 3b , (a – c) / 3b).
Przypadek II (trzy firmy):
Q
C
= Q
1
+ Q
2
+ Q
3
p = a - b*(Q
1
+ Q
2
+ Q
3
)
Π
1
= Q
1
*(a - b*(Q
1
+ Q
2
+ Q
3
)) – cQ
1
Π
1
= Q
1
a - bQ
1
2
- bQ
2
Q
1
- bQ
3
Q
1
– cQ
1
δΠ
1
/δQ
1
= a – 2bQ
1
– bQ
2
– bQ
3
– c = 0
2bQ
1
= a – bQ
2
– bQ
3
– c
Q
1
= (a – bQ
2
– bQ
3
– c) / 2b
korzystając z warunku Q
1
= Q
2
= ... = Q
N
Q
1
= (a – bQ
1
– bQ
1
– c) / 2b
Rozwiązania zadań B.12 – Oligopol 3 Piotr Kalisz
2
a – c = 4bQ
1
Q
1
= Q
2
= Q
3
= (a – c) / 4b
co oznacza, Ŝe równowaga zostanie osiągnięta w punkcie: (Q
1
, Q
2
, Q
3
) = ((a – c)/4b , (a – c)/4b , (a
– c)/4b).
Przypadek III (N firm):
Q
C
= Q
1
+ Q
2
+ .. + Q
N
korzystając z warunku Q
1
= Q
2
= ... = Q
N
= Q => Q
C
= NQ
Q
C
= Q
1
+ Q(N-1)
p
1
= a - b*(Q
1
+ Q
2
+ ... + Q
N
)
p
1 =
a - b*(Q
1
+ Q(N-1))
Π
1
= Q
1
*(a - b*(Q
1
+ Q(N-1)) – cQ
1
Π
1
= Q
1
a – bQ
1
2
- bQQ
1
(N-1)– cQ
1
δΠ
1
/δQ
1
=
a – 2bQ
1
– bQ(N-1) – c = 0
2bQ
1
= a – c – bQ(N-1)
Q
1
= (a – c – bQ(N-1)) / 2b
korzystając z faktu, Ŝe Q
1
= Q
2
= ... = Q
N
= Q
Q = (a – c – bQ(N-1)) / 2b)
2bQ = a – c – bQ(N-1)
2bQ + bQ(N-1) = a – c
Qb(N+1) = a – c
Q = (a - c)/b(N+1)
Q
1
= Q
2
= ... = Q
N
= Q = (a - c)/b(N+1)
co oznacza, Ŝe równowaga zostanie osiągnięta w punkcie: (Q
1
, Q
2
, ..., Q
N
) = ((a - c)/b(N+1) , ... , (a
– c)/b(N+1)).
Przypadek IV (N firm dla N dąŜącego do nieskończoności):
postępując tak samo jak w poprzednim przykładzie, dochodzimy do momentu:
Q = (a – c)/b(N+1)
teraz naleŜy policzyć lim Q dla N → ∞ :
lim Q → lim (a – c)/b(N+1) → lim (N(a/N – c/N))/(N(b(1+1/N)) , co jakby nie patrzeć daje 0 przy
N dąŜącym do nieskończoności, gdyŜ a/N, c/N = 0, więc a/N – c/N = 0, co oznacza, Ŝe licznik
ułamka jest równy zero, to natomiast implikuje wartość zerową całego wyraŜenia (mam nadzieję).
Rozwiązania zadań B.12 – Oligopol 3 Piotr Kalisz
3
Zad.5 (w formie macierzy)
MC
i
= c => TC
i
= q
i
c
Π
i
=q
i
(a-b(q
1
+q
2
+......+q
i
+........+q
n
))-q
i
c
δΠ
= a-2bq
i
-bq
i
-bq
2
+.........-bq
n
-c
δ
q
1
δΠ
=0 <=>
{
2bq
i
+bq
1
+bg
2
+....+bq
n
=a-c
}
δ
q
i
a - c
q
i
=
(n+1)b
q
i
= q
j
∀
i,j
=1,...,n ⇒ (n+1)b
∗
q
i
= a-c
a-c
q
i
=
b(n+1)
1) n=1
a-c q
n
=(a-c)/2b
q
1
*
=
p
n
=(a+c)/2
(n+1)b
2) n
→∝
a+nc q
i
=(a-c)/((n+1)b)
→
0
p
*
=
a
→∝
n+1
a/n + c
p=
→
c
n/n + 1/n n
→∝
Rozwiązania zadań B.12 – Oligopol 3 Piotr Kalisz
4
Zad. 8
ε(Y) = 1,5
s
1
= s
2
= ... = s
i
= 0,25 (udział jednej firmy w rynku)
MC(y
1
) = MC(y
2
) = ... = MC(y
i
)
p(Y)[1 + s
i
/ε(Y)] = MC(y
i
)
p(Y)/MC(y
i
) = 1/(1 + s
i
/ε(Y))
p(Y)/MC(y
i
) = 1/(1 - (¼ * 2/3)) = 1/(1-1/6) = 1/(5/6) = 6/5
Zad. 6
MC
I
= k + c
MC
P
= k + 2c
p = 1 – Q
c
a)
Q
C
= Q
I
+ Q
P
p = 1 - Q
I
- Q
P
Π
I
= Q
I
*(1 - (Q
I
+ Q
P
)) – kQ
I
- cQ
I
Π
I
= Q
I
- Q
I
2
- Q
P
Q
I
– kQ
I
- cQ
I
δΠ
I
/δQ
I
= 1 – 2Q
I
– Q
P
– c - k = 0
Q
I
= (1
– Q
P
– c - k)/2
analogicznie: Q
P
= (1
– Q
I
– 2c – k)/2
podstawiając Q
P
do wzoru na Q
I
: Q
I
= (1
– ((1
– Q
I
– 2c – k)/2) – c – k)/2
Q
I
= (1
– ½
+ Q
I
/2 + c + k/2 – c – k)/2
Q
I
= (½
+ Q
I
/2 - k/2 )/2
Q
I
= 1/4
+ Q
I
/4 – k/4
¾Q
I
= ¼ – k/4
Q
I
= 1/3 – k/3
podstawiając Q
I
do wzoru na Q
P
: Q
P
= (1
– ((1
– Q
P
– c - k)/2) – 2c – k)/2
Q
P
= (1
– 1/2 + Q
P
/2 + c/2 + k/2 – 2c – k)/2
Q
P
= (1/2 + Q
P
/2 – 3/2c – k/2)/2
Q
P
= 1/4 + Q
P
/4 – 3/4c – k/4
3/4Q
P
= ¼ -3/4c – k/4
Q
P
= 1/3 - c – k/3
b)
Π
I
= Q
I
*(1 - (Q
I
+ Q
P
)) – Q
1
MC
I
po podstawieniu za Q
p
wyraŜenia obliczonego w poprzednim pkt. (Q
P
= 1/3 - c – k/3) otrzymujemy:
Π
I
= Q
I
*(1 - (Q
I
+ 1/3 - c – k/3)) – Q
1
MC
I
Π
I
= Q
I
*(1 - (Q
I
+ 1/3 - c – k/3)) – Q
1
*(k + c)
Π
I
= Q
I
*(1 - Q
I
- 1/3 + c + k/3 - k – c)
Π
I
= Q
I
*(2/3 - Q
I
- 2/3k) i Q
I
= 1/3 – k/3 => Π
I
=(1/3 – k/3)
2
z powyŜszego wyraŜenia wynika Ŝe Π
I
zaleŜy od dwóch zmiennych - Q
I
oraz k. Obydwie te
zmienne są niezaleŜne od c (Q
I
= 1/3 – k/3 , we wzorze na Q
I
nie występuje c).
Rozwiązania zadań B.12 – Oligopol 3 Piotr Kalisz
5
c)
p
1
= 1 – Q
c1
Q
c1
= Q
I1
+ Q
P1
p
1
= 1 – Q
I1
– Q
P1
p
1
= 1 – 1/3 + k/3 – 1/3 + c + k/3
p
1
= 1/3 + 2/3k + c
p
2
= 1 – Q
I2
– Q
P2
p
2
= 1 – 1/3 + 2/3k – 1/3 + c + 2/3k
p
2
= 1/3 + 4/3k + c
∆p = p
2
– p
1
= 1/3 + 4/3k + c - 1/3 - 2/3k – c = 2/3k (cena wzrośnie o 2/3k [początkowego])
korzystając ze wzoru wyprowadzonego we wcześniejszym podpunkcie:
Π
I1
= Q
I
*(2/3 - Q
I
- 2/3k)
Π
I1
= (1/3 – k/3)*(2/3 - (1/3 – k/3) – 2/3k)
Π
I1
= (1/3 – k/3)*(2/3 - 1/3 + k/3 – 2/3k)
Π
I1
= (1/3 – k/3)*(1/3 – k/3)
Π
I1
= (1/3 – k/3)
2
Π
I2
wygląda analogicznie, jedynie zamiast k wstawiamy 2k:
Π
I2
= (1/3 – 2/3k)
2
∆Π
I
= Π
I2
- Π
I1
= 1/9 – 4/9k – 4/9k
2
– (1/9 – 2/9k – k
2
/9) = -2/9k + k
2
/3
Π
P
= Q
P
*(1 - (Q
I
+ Q
P
)) – Q
P
MC
P
po podstawieniu za Q
I
wyraŜenia obliczonego w poprzednim pkt. (Q
I
= 1/3 – k/3) otrzymujemy:
Π
P
= Q
P
*(1 - (Q
P
+ 1/3 – k/3)) – Q
P
MC
P
Π
P
= Q
P
*(1 - (Q
P
+ 1/3 – k/3)) – Q
P
*(k + 2c)
Π
P
= Q
P
*(1 - Q
P
- 1/3 + k/3 - k – 2c)
Π
P
= Q
P
*(2/3 - Q
P
- 2/3 k – 2c)
podstawiając teraz Q
P
= 1/3 - c – k/3 otrzymujemy:
Π
P1
= (1/3 - c – k/3)*(2/3 - ( 1/3 - c – k/3)
- 2/3k – 2c)
Π
P1
= (1/3 - c – k/3)*(2/3 - 1/3 + c + k/3
- 2/3k – 2c)
Π
P1
= (1/3 - c – k/3)*(1/3 - c – k/3)
Π
P1
= (1/3 - c – k/3)
2
analogicznie Π
P12
= (1/3 - c – 2/3k)
2
∆Π
P
= Π
P2
- Π
P1
= (1/3 - c – 2/3k)
2
- (1/3 - c – k/3)
2
korzystamy ze wzoru (a – b)
2
= (a – b)*(a + b) :
(1/3 - c – 2/3k)
2
- (1/3 - c – k/3)
2
= (1/3 - c – 2/3k - 1/3 + c + k/3)*( 1/3 - c – 2/3k -+ 1/3 - c – k/3) =
-k/3*(2/3 - 2c – k)
Zad. 10
C
1
= 10X
1
C
2
= 10X
2
X = X
1
+ X
2
P = 100 – 5X
a)
Π
1
= X
1
*(100 - 5*(X
1
+ X
2
)) – 10X
1
Π
1
= 100X
1
- 5X
1
2
- 5X
1
X
2
– 10X
1
Π
1
= 90X
1
- 5X
1
2
- 5X
1
X
2
Rozwiązania zadań B.12 – Oligopol 3 Piotr Kalisz
6
δΠ
1
/δX
1
= 90 - 10X
1
- 5X
2
= 0
10X
1
= 90 - 5X
2
X
1
= (90 – 5X
2
)/10
jako Ŝe obydwie firmy są identyczne funkcja reakcji drugiego przedsiębiorstwa będzie wyglądała
analogicznie:
X
2
= (90 – 5X
1
)/10
jednocześnie wiemy, Ŝe firmy będą produkowały identyczne wielkości, więc X
1
= X
2.
Korzystając z
tego faktu :
X
1
= (90 – 5X
1
)/10
10X
1
= 90 – 5X
1
15X
1
= 90
X
1
= X
2
= 6
b)
WYKRES
Proces dostosowawczy będzie stabilny, gdyŜ juŜ po pierwszym okresie dostosowania firmy znajdą
się w punkcie równowagi. Jest to zwykły model Stackelberga.
JeŜeli firma 1 jako pierwsza podjęła decyzję odnośnie wielkości produkcji i jest ona taka sama, jak
w podpunkcie a), to:
X
1
= (90 – 5X
2
)/10
X
2
= (90 – 5X
1
)/10 po podstawieniu w/w funkcji za X
1
, otrzymujemy:
X
2
= (90 – 5*((90 – 5X
2
)/10))/10
X
2
= (90 – 5*(9 – 1/2X
2
))/10
X
2
= 9 – 1/2*(9 – 1/2X
2
)
X
2
= 4,5 + 1/4X
2
3/4X
2
= 4,5
X
2
= 6 , czyli rozwiązanie się nie zmienia.
c)
C
1
= 8X
1
Równowaga stabilna
Rozwiązania zadań B.12 – Oligopol 3 Piotr Kalisz
7
C
2
= 10X
2
X = X
1
+ X
2
P = 100 – 5X
Π
1
= X
1
*(100 - 5*(X
1
+ X
2
)) – 8X
1
Π
1
= 100X
1
- 5X
1
2
- 5X
1
X
2
– 8X
1
Π
1
= 92X
1
- 5X
1
2
- 5X
1
X
2
δΠ
1
/δX
1
= 92 - 10X
1
- 5X
2
= 0
10X
1
= 92 - 5X
2
X
1
= (92 – 5X
2
)/10 (nowa funkcja reakcji firmy 1 na produkcję firmy 2)
X
2
= (90 – 5X
1
)/10 (funkcja drugiej firmy pozostaje natomiast bez zmian)
podstawiając X
1
do wzoru funkcji reakcji firmy 2, mamy:
X
2
= (90 – 5*((92 – 5X
2
)/10))/10
X
2
= 9 – 1/2*(9,2 – 1/2X
2
)
X
2
= 9 – 4,6 + 1/4X
2
3/4X
2
= 4,4
X
2
= 5,86(6)
X
1
= (92 – 5*5,86(6))/10
X
1
= (92 – 29,335)/10
X
1
= 6,2665
Zad. 11
a) dane z zad. 10 a)
C
1
= 10X
1
C
2
= 10X
2
X = X
1
+ X
2
P = 100 – 5X
korzystając z wyprowadzonej funkcji reakcji firmy 2 ([X
2
= (90 – 5X
1
)/10]naśladowcy w tym
przypadku) podstawiamy jej wzór do wzoru na zysk lidera:
Π
1
= 90X
1
- 5X
1
2
– 5X
1
X
2
Π
1
= 90X
1
- 5X
1
2
– 5X
1
((90 – 5X
1
)/10)
Π
1
= 90X
1
- 5X
1
2
– 45X
1
+ 2,5X
1
2
Π
1
= 45X
1
– 2,5X
1
2
δΠ
1
/δX
1
= 45 – 5X
1
= 0
X
1
= 9
X
2
= (90 – 5X
1
)/10
X
2
= (90 – 45)/10
X
2
= 4,5
X = 13,5
P = 100 – 5*13,5
P = 32,5
a) dane z zad. 10 c)
C
1
= 8X
1
C
2
= 10X
2
Rozwiązania zadań B.12 – Oligopol 3 Piotr Kalisz
8
X = X
1
+ X
2
P = 100 – 5X
X
2
= (90 – 5X
1
)/10 (funkcja reakcji firmy 2 [naśladowca] pozostaje bez zmian)
natomiast wzór funkcji reakcji lidera otrzymamy podobnie jak w poprzednim zadaniu poprzez
podstawienie funkcji reakcji naśladowcy do funkcji zysku lidera:
Π
1
= 92X
1
- 5X
1
2
– 5X
1
X
2
Π
1
= 92X
1
- 5X
1
2
– 5X
1
((90 – 5X
1
)/10)
Π
1
= 92X
1
- 5X
1
2
– 45X
1
+ 2,5X
1
2
Π
1
= 47X
1
– 2,5X
1
2
δΠ
1
/δX
1
= 47 – 5X
1
= 0
X
1
= 9,4
X
2
= (90 – 5X
1
)/10
X
2
= (90 – 47)/10
X
2
= 4,3
X = 13,7
P = 100 – 5*13,7
P = 31,5
Zad. 1
p = 20 – Q
TC = Q
2
a)
MR = MC (warunek maksymalizacji zysku przy monopolu)
MR = (20Q – Q
2
)' = 20 – 2Q
MC = (TC)' = 2Q
MC = MR => 20 – 2Q = 2Q => Q = 5
Π = Q(20 – Q) – TC
Π = 75 – 25 = 50
b)
p = 20 – Q
TC = Q
2
Q = q
1
+ q
2
Π = (q
1
+ q
2
)(20 - ( q
1
+ q
2
)) - q
1
2
– q
2
2
δΠ
/δq
1
= 20 – 2q
1
– 2q
2
– 2q
1
= 20 – 4q
1
-2q
1
= 0
δΠ
/δq
2
= 20 – 2q
2
– 2q
1
– 2q
2
= 20 – 4q
2
-2q
1
= 0
produkcja firm z racji ich identyczności jest rozłoŜona po równo, więc:
20 – 6q
1
= 0
q
1
= q
2
= 3,33
Q = 6,66
Rozwiązania zadań B.12 – Oligopol 3 Piotr Kalisz
9
Π
1
= Π
2
= q*(20 – Q) – q
2
= 3,33*(20 – 6,66) – 3,33
2
≈ 33,(3)
Π = Π
1
+ Π
2
≈ 66,(6)
c)
Zyski karteli są większe, gdyŜ mamy do czynienia z malejącymi efektami skali (TC=Q
2
). Opłaca
się więc rozbić produkcję na wiele fabryk, o ile te fabryki są kierowane przez jedną grupę
decyzyjną (kartel).
d)
Rozwiązanie to nie jest równowagą Nash'a. Równowaga Nash'a zachodzi wtedy gdy przy danym
optymalnym wyborze produkcji q
1
, wybór firmy 2 jest równieŜ optymalny i vice versa. Natomiast
w kartelu zawsze istnieje pokusa zwiększenia produkcji, co doprowadzi do zwiększenia zysków.
Oznacza to Ŝe zyski pojedynczego producenta nie są zmaksymalizowane dla danego wyboru jego
konkurenta (drugiego członka kartelu).