1. Obliczy¢ pole obszaru ograniczonego krzywymi:

(a) y = 2x + 1, y = x

2

+ x + 1

;

(b) y = 1 − x − x

2

, y = 1 + x + x

2

;

(c) y = sin

x

2

, y =

x
π

;

(d) y = 1 − 2x, y = 1 − x − x

2

;

(e) y = x − x

2

− 1

, y = −x + x

2

− 1

.

2. Dla podanych krzywych na pªaszczy¹nie obliczy¢ krzywizn¦ oraz znale¹¢ równania prostych: stycznej

i normalnej w zadanym punkcie:

(a) y = arc cos

x

2

+1

4

, x

0

= 1

;

(b) y = 2

x2+1

4

, x

0

= 1

;

(c) y = sin

2

x + 2 cos(2x + π)

, x

0

=

π

2

;

(d) x = t

2

− t − 1

, y = 3t

2

+ 2t + 1

, t

0

= 0

;

(e) x = 1 − cos t, y = 3t + 1, t

0

= 0

;

(f) x = 2 cos t − 2, y = 2 sin t − 2t, t

0

=

π

6

.

3. Dla podanych krzywych w przestrzeni znale¹¢ pªaszczyzny i proste trój±cianu Freneta w zadanym

punkcie:

(a) φ(t) = tg t,

1

cos

2

t

, t

3

+ t

2

+ t + 1

, t

0

=

π

6

;

(b) x = t cos t, y = 2t cos t, z = t, t

0

=

π

2

;

(c) x = 4t cos t, y = 2t cos t, z = 2t, t

0

= 0

;

(d) x = log

2

t

, y = 2

t

, z = t

2

+ t + 1

, t

0

= 1

;

(e) x = arctgt, y = tgt, z = t

2

+ t

, t

0

= 1

.

4. Obliczy¢ dªugo±¢ krzywej:

(a) y = ln(x

2

− 1)

, 0 6 x 6

1
2

;

(b) y =

√

x + 1

, −

1
2

6 x 6

1
2

;

(c) y = ln 2

√

1 − x

, −1 6 x 6 1;

(d) φ(t) = (2 cos t + 2t sin t, 2 sin t − 2t cos t), t ∈ (0, π);

(e) x = sin

2

t

, y = 2 cos

2

t − 1

, 0 6 t 6

π

4

;

(f) x = t

2

, y =

1
3

t

3

, 0 6 t 6

1
2

;

(g) x = 2 cos t, y = 2 sin t, z = 2 ln(cos t), t ∈ 0,

π

2

;

(h) x = 2t, y = t

2

+ 1

, z =

1
3

t

3

, 0 6 x 6 2.

5. Obliczy¢ obj¦to±¢ i pole powierzchni bocznej bryªy powstaªej przez obrót dookoªa osi OX linii:

(a) xy = 1, 1 6 x 6 2;

(b) 3y − x

3

= 0

, 0 6 x 6 1;

(c) x = cos

3

t

, y = sin

3

t

, 0 6 t 6

π

2

;

(d) x = t

2

, y = t −

1
3

t

3

, 0 6 t 6

√

3

;

(e) x

2

+

y

2

4

= 1

(zrobi¢ parametryzacj¦).

1

6. Oblicz nast¦puj¡ce caªki:

(a) R

K

e

x

dx + y dy + z

2

dz

, gdzie K jest krzyw¡ zadan¡ parametryzacj¡ (t,

√

3, 2t)

dla t ∈ [0, 1];

(b) R

K

yz dx + x

2

y dy + x

2

dz

, gdzie K jest krzyw¡ powstaª¡ z przeci¦cia pªaszczyzn z = xy, y = x

2

pomi¦dzy punktami (0, 0, 0) a (1, 1, 1);

(c) R

K

xy dx + yz dy + xz dz

, gdzie K jest krzyw¡ stanowi¡c¡ przeci¦cie walca x

2

+ y

2

= 9

i pªasz-

czyzny x + y + z = 1;

(d) R

K

y dx − x dy + z

2

dz

, gdzie K jest krzyw¡ zadan¡ parametryzacj¡ x =

√

2

2

cos t

, y =

√

2

2

cos t

,

z = sin t

dla 0 6 t 6 2π;

(e) R

K

ln x dx+

tgy dy, gdzie K jest krzyw¡ zadan¡ parametryzacj¡ x = e

t

, y = arctgt dla 0 6 t 6 1;

(f) R

K

xy

2

dx + (x

2

+ 1)y dy

, gdzie K jest krzyw¡ zadan¡ parametryzacj¡ x = t, y = sin(t

2

+ 1)

dla

−1 6 t 6

√

π − 1

;

(g) R

K

1

x

2

+y

2

+z

2

dL

, gdzie K : (0, π) 3 t → (e

t

cos t, e

t

sin t, e

t

)

;

(h) R

K

px

2

+ y

2

+ z

2

dL

, gdzie K : (0, π) 3 t → (t cos t, t sin t, 2t);

(i) R

K

x

2

dL

, gdzie K jest fragmentem wykresu y = ln x dla x ∈ [1, 2];

(j) R

K

1

x

2

+y

2

dL

, gdzie K : (0, π) 3 t → (cos t + t sin t, sin t − t cos t);

(k) R

K

√

2y dL

, gdzie K : (0, π) 3 t → (t,

t

2

2

,

t

3

3

)

;

(l) R

K

√

1 − x

2

dL

, gdzie K : (0,

π

2

) 3 t → (− sin t, 1 − cos t)

.

Elementy teorii pola

7. Wyznaczy¢ gradient funkcji u(x, y, z) =

10

x

2

+y

2

+z

2

w dowolnym punkcie.

8. Niech r = px

2

+ y

2

+ z

2

. Obliczy¢ grad r, grad

1
r

, grad

x+y+z

r

.

9. Sprawdzi¢ czy pole wektorowe jest niewirowe (potencjalne) (rot a = 0):

(a) a = [yz, xz, xy];

(b) a = [y

2

z

3

, 2xyz

3

, 3xy

2

z

2

]

;

(c) a = e

y+z

[1, x, x]

.

10. Sprawdzi¢, czy pole wektorowe jest solenoidalne (div a = 0):

(a) a = [xz − xy, xy − yz, yz − xz];

(b) a = 2 · [y − z, z − x, x − y].

11. Obliczy¢ rotacj¦ pola wektorowego w dowolnym punkcie:

(a) p = xi − z

2

j + y

2

k;

(b) p = yzi + xzj + xyk.

12. Udpowodni¢, »e pole wektorowe a =

x

i+yj+zk

√

(x

2

+y

2

+z

2

)

3

jest harmoniczne (solenoidalne i potencjalne).

2