Za rozwiàzanie
wszystkich zadaƒ
mo˝na otrzymaç
∏àcznie 50 punktów.
PRZYK¸ADOWY ARKUSZ
EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI
POZIOM PODSTAWOWY
Czas pracy: 170 minut
Instrukcja dla zdajàcego
1.
Sprawdê, czy arkusz zawiera 11 stron.
2.
W zadaniach od 1. do 25. sà podane 4 odpowiedzi:
A, B, C, D, z których tylko jedna jest prawdziwa. Wybierz
tylko jednà odpowiedê.
3.
Rozwiàzania zadaƒ od 26. do 33. zapisz starannie i czytel-
nie w wyznaczonych miejscach. Przedstaw swój tok rozu-
mowania prowadzàcy do ostatecznego wyniku.
4.
Pisz czytelnie. U˝ywaj d∏ugopisu/pióra tylko z czarnym
tuszem/atramentem.
5.
Nie u˝ywaj korektora. B∏´dne zapisy przekreÊl.
6.
Pami´taj, ˝e zapisy w brudnopisie nie podlegajà ocenie.
7.
Obok numeru ka˝dego zadania podana jest maksymal-
na liczba punktów mo˝liwych do uzyskania.
8.
Mo˝esz korzystaç z zestawu wzorów matematycznych,
cyrkla i linijki oraz kalkulatora.
˚yczymy powodzenia!
ARKUSZ 18
MATURA 2010
Arkusz opracowany przez Wydawnictwo Pedagogiczne OPERON
na wzór arkuszy opublikowanych przez Centralnà Komisj´ Egzaminacyjnà
ZADANIA ZAMKNI¢TE
W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jednà poprawnà odpowiedê.
Zadanie 1. (1 pkt)
Rozwiàzaniem równania
a
8
5
3
-
=
jest liczba:
A. 5
B.
5
1
C. 5
D. 5 5
Zadanie 2. (1 pkt)
Prosta y
ax
b
2
=
+
jest równoleg∏a do prostej
(
)
y
a
b x
a
=
+
-
, gdzie
,
a
b
0
0
!
! . Wynika stàd, ˝e:
A. a
b
0
+
=
B. a
b
0
-
=
C.
b
a
2
=
D. ab
2
=
Zadanie 3. (1 pkt)
Okràg o równaniu (
)
x
y
r
1
2
2
2
-
+
=
, gdzie >
r
0
, ma z prostà x
3
=
dwa punkty wspólne. Zatem:
A. <
r
2
B. >
r
2
C. r
4
=
D. < <
r
1
2
Zadanie 4. (1 pkt)
Zbiorem wartoÊci funkcji kwadratowej f okreÊlonej wzorem ( )
f x
x
bx
c
2
=
+
+
jest przedzia∏
,
)
2 3
-
.
Funkcja przyjmuje wartoÊci ujemne dla argumentów nale˝àcych do przedzia∏u (
, )
4 6
-
. Wska˝ wzór
funkcji f .
A. ( )
(
)(
)
f x
x
x
2
4
6
= -
+
-
B. ( )
(
)(
)
f x
x
x
4
6
2
=
+
-
-
C. ( )
(
)(
)
f x
x
x
4
6
23
=
+
-
+
D. ( )
(
)(
)
f x
x
x
4
6
23
=
-
+
-
Zadanie 5. (1 pkt)
Wyra˝enie a
a
5
5
2
1
2
1
-
+
-
-
d
d
n
n
, dla a
0
! , mo˝na zapisaç w postaci:
A. a
25
-
B. a
25
2
-
C. a
25
1
-
-
D. a
25
2
-
-
Zadanie 6. (1 pkt)
Funkcja wyk∏adnicza f okreÊlona wzorem ( )
(
)
f x
a
2
3
x
=
+
jest rosnàca dla:
A. >
a
1
-
B. >
,
a
1 5
-
C. <
a
1
-
D.
, <
<
a
1 5
1
-
-
Zadanie 7. (1 pkt)
Wiadomo, ˝e
a jest kàtem ostrym i
,
sin
cos
0 5
=
a
a
. Wynika stàd, ˝e wartoÊç wyra˝enia
cos
sin
4
4
+
a
a jest równa:
A. 1
B. ,
0 5
C. ,
0 25
D. ,
0 75
Zadanie 8. (1 pkt)
OÊmiocyfrowe numery telefonów w pewnym mieÊcie sà tworzone z cyfr: , , , , , , , , ,
0 1 2 3 4 5 6
8 6
9 5
Matematyka. Poziom podstawowy
Zadanie 9. (1 pkt)
%
33
3
1
liczby m jest równa wartoÊci wyra˝enia
2
1
2
16
1
1
2
2
1
+
-
-
-
c
c
m
m
. Liczba m jest wi´c równa:
A. 3
B. 6
C. 2
D. 30
-
Zadanie 10. (1 pkt)
Najmniejsza wartoÊç wyra˝enia x
x
2
+
+
jest równa:
A. 0
B. 1
C. 2
D. 2
-
Zadanie 11. (1 pkt)
Rozwiàzaniem równania
x
6
2
1
-
=
sà liczby:
A. przeciwne
B. ró˝niàce si´ o 1
C. ca∏kowite
D. niewymierne
Zadanie 12. (1 pkt)
Zbiorem wartoÊci funkcji f okreÊlonej wzorem:
( )
,
,
,
f x
x
x
x
x
x
dla
dla
dla
3
3 0
3
0 2
1
2
2
3
!
!
!
=
+
-
-
+
-
j
j
j
Z
[
\
]
]
]
]
jest:
A.
,
1 3
-
B. (
, 3
3
-
C. ,
)
3 3
D.
,
)
1 3
-
Zadanie 13. (1 pkt)
Prosta (
)
m
x
y
2
4
2
1
0
-
+
+
=
jest nachylona do dodatniej pó∏osi osi OX pod kàtem 45c, gdy liczba m
jest równa:
A. 2
B.
2
1
C. 1
-
D. 1
Zadanie 14. (1 pkt)
Pole trójkàta ABC jest cztery razy mniejsze od pola trójkàta EFG. Trójkàty te sà podobne. D∏ugoÊç
boku AB jest równa 16. D∏ugoÊç boku EF, odpowiadajàcego bokowi AB, jest równa:
A. 64
B. 32
C. 4
D. 8
Zadanie 15. (1 pkt)
Pierwiastkami wielomianu stopnia trzeciego ( )
W x
sà liczby:
, ,
3 1 4
-
i wspó∏czynnik liczbowy stojàcy
przy najwy˝szej pot´dze zmiennej jest równy 2. Wielomian ten mo˝emy zapisaç w postaci:
A. ( )
(
)(
)(
)
W x
x
x
x
2
3
1
4
=
+
+
+
B. ( )
(
)(
)(
)
W x
x
x
x
2
3 2
1 2
4
=
+
-
-
C. ( )
(
)(
)(
)
W x
x
x
x
2
3
1
4
=
+
-
-
D. ( )
(
)(
)(
)
W x
x
x
x
2
3
1
4
=
+
-
-
Zadanie 16. (1 pkt)
Na trójkàcie równobocznym opisano ko∏o, którego pole jest równe 4
r. D∏ugoÊç boku tego trójkàta
jest równa:
A. 3
B. 2 3
C. 4 3
D. 3
Zadanie 17. (1 pkt)
W trapezie równoramiennym podstawy sà równe 10 i 16, a kàt rozwarty ma miar´ 120c. Obwód
trapezu jest równy:
A. 38
B. 26
C. 26
6 3
+
D. 32
4
Zadanie 18. (1 pkt)
Pole figury ograniczonej fragmentem wykresu funkcji f danej wzorem ( )
f x
x
4
2
=
-
i osià OX jest:
A. mniejsze od 8
B. wi´ksze od 8
C. równe 8
D. wi´ksze od 16
Zadanie 19. (1 pkt)
Kosmonauta ma do wyboru dwie identyczne kapsu∏y ratunkowe. Prawdopodobieƒstwo, ˝e kapsu∏a
pierwsza spadnie na Ziemi´ nieuszkodzona jest równe
2
1. Prawdopodobieƒstwo, ˝e druga kapsu∏a
spadnie na Ziemi´ nieuszkodzona jest równe
5
2. Kosmonauta wybiera losowo kapsu∏´.
Prawdopodobieƒstwo, ˝e doleci na Ziemi´ w nieuszkodzonej kapsule jest równe:
A.
10
9
B.
20
9
C.
10
2
D.
5
1
Zadanie 20. (1 pkt)
Obj´toÊç kuli jest równa
6
1 r. Pole powierzchni tej kuli wyra˝a si´ liczbà:
A. wymiernà wi´kszà od 3
B. wymiernà mniejszà od 3
C. niewymiernà wi´kszà od 3
D. niewymiernà mniejszà od 3
Zadanie 21. (1 pkt)
SzeÊcian i czworoÊcian foremny majà równe d∏ugoÊci kraw´dzi. Stosunek obj´toÊci szeÊcianu do
obj´toÊci czworoÊcianu jest równy:
A.
3
4 3
B. 12 2
C. 6 2
D.
12
3
Zadanie 22. (1 pkt)
Suma trzech pierwszych wyrazów ciàgu geometrycznego jest równa
,
3 5
-
. Iloraz tego ciàgu jest
równy ,
0 5
. Czwarty wyraz tego ciàgu jest równy:
A. ,
0 25
B. 1
C.
,
0 25
-
D. 1
-
Zadanie 23. (1 pkt)
Wska˝ równoÊç prawdziwà.
A. 4
25
log 5
2
=
B. 2
5
log
1
5
2
=
-
C. 4
4
log 4
2
=
D. 5
5
log
5
25
=
Zadanie 24. (1 pkt)
Pole równoleg∏oboku jest równe 24. Stosunek jego wysokoÊci jest równy :
3 4
. D∏ugoÊci boków i d∏u-
goÊci przekàtnych wyra˝ajà si´ liczbami naturalnymi i d∏ugoÊç ka˝dej z wysokoÊci jest wi´ksza od 5.
Boki równoleg∏oboku sà równe:
A. 3 i 4
B. 6 i 8
C. 6 i 4
D. 3 i 8
Zadanie 25. (1 pkt)
Punkty , , ,
E L K A
le˝à na okr´gu w podanej kolejnoÊci. Ci´ciwy EK i LA przecinajà si´ w punkcie M.
Zatem:
A. LMK
EMA
2
E
=
B. LMK
LAK
2
E
E
=
C. LEK
LKA
E
E
=
D. KEL
LAK
E
E
=
Matematyka. Poziom podstawowy
5
Matematyka. Poziom podstawowy
ZADANIA OTWARTE
Rozwiàzania zadaƒ o numerach od 26. do 33. nale˝y zapisaç w wyznaczonych miejscach pod
treÊcià zadania.
Zadanie 26. (2 pkt)
Suma drugiego i trzeciego wyrazu ciàgu arytmetycznego (a
n
) jest równa 0, a ró˝nica trzeciego
i czwartego wyrazu tego ciàgu jest równa
.
2
-
Wyznacz ró˝nic´ tego ciàgu i jego pierwszy wyraz.
Zadanie 27. (2 pkt)
Wyka˝, ˝e liczba
,
log
log
a
8
0 25
2
2
2
1
=
-
nie jest ani liczbà pierwszà, ani z∏o˝onà.
6
Zadanie 28. (2 pkt)
Rozwià˝ równanie cos
2
2
0
-
=
a
, gdy
<
<
0
90
c
c
a
.
Zadanie 29. (2 pkt)
Wyka˝, ˝e liczba 6 3
12
+
jest wi´ksza od 4.
Matematyka. Poziom podstawowy
7
Matematyka. Poziom podstawowy
Zadanie 30. (2 pkt)
Wiadomo, ˝e >
a
0
i a a
1
2
+
=
. Wyka˝, ˝e a
a
a
a
1
1
2
2
+
=
+
.
8
Zadanie 31. (4 pkt)
Liczb´ przekàtnych wielokàta o n bokach mo˝na obliczyç ze wzoru
(
)
n n
2
3
-
, gdzie
,
n
n
N
3
!
H
. Ile
boków ma wielokàt, który ma 35 przekàtnych?
Matematyka. Poziom podstawowy
9
Matematyka. Poziom podstawowy
Zadanie 32. (5 pkt)
Ze zbioru liczb naturalnych spe∏niajàcych nierównoÊç
<
x
x
2
3
3
1
0
-
-
-
losujemy dwie ró˝ne liczby
,
m p
. Oblicz prawdopodobieƒstwo zdarzenia: punkt o wspó∏rz´dnych ( , )
m p
nale˝y do wykresu
funkcji y
x
4
=
+
.
10
Zadanie 33. (6 pkt)
D∏ugoÊci kraw´dzi prostopad∏oÊcianu tworzà ciàg geometryczny. Obj´toÊç bry∏y jest równa 27,
a suma d∏ugoÊci jej kraw´dzi jest równa 13. Znajdê d∏ugoÊç najkrótszej kraw´dzi prostopad∏oÊcianu.
Matematyka. Poziom podstawowy
11