Za rozwiàzanie

wszystkich zadaƒ

mo˝na otrzymaç

∏àcznie 50 punktów.

PRZYK¸ADOWY ARKUSZ

EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

POZIOM PODSTAWOWY

Czas pracy: 170 minut

Instrukcja dla zdajàcego

1.

Sprawdê, czy arkusz zawiera 11 stron.

2.

W zadaniach od 1. do 25. sà podane 4 odpowiedzi:
A, B, C, D, z których tylko jedna jest prawdziwa. Wybierz
tylko jednà odpowiedê.

3.

Rozwiàzania zadaƒ od 26. do 33. zapisz starannie i czytel-
nie w wyznaczonych miejscach. Przedstaw swój tok rozu-
mowania prowadzàcy do ostatecznego wyniku.

4.

Pisz czytelnie. U˝ywaj d∏ugopisu/pióra tylko z czarnym
tuszem/atramentem.

5.

Nie u˝ywaj korektora. B∏´dne zapisy przekreÊl.

6.

Pami´taj, ˝e zapisy w brudnopisie nie podlegajà ocenie.

7.

Obok numeru ka˝dego zadania podana jest maksymal-
na liczba punktów mo˝liwych do uzyskania.

8.

Mo˝esz korzystaç z zestawu wzorów matematycznych,
cyrkla i linijki oraz kalkulatora.

˚yczymy powodzenia!

ARKUSZ 18

MATURA 2010

Arkusz opracowany przez Wydawnictwo Pedagogiczne OPERON

na wzór arkuszy opublikowanych przez Centralnà Komisj´ Egzaminacyjnà

ZADANIA ZAMKNI¢TE

W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jednà poprawnà odpowiedê.

Zadanie 1. (1 pkt)

Rozwiàzaniem równania

a

8

5

3

-

=

jest liczba:

A. 5

B.

5

1

C. 5

D. 5 5

Zadanie 2. (1 pkt)

Prosta y

ax

b

2

=

+

jest równoleg∏a do prostej

(

)

y

a

b x

a

=

+

-

, gdzie

,

a

b

0

0

!

! . Wynika stàd, ˝e:

A. a

b

0

+

=

B. a

b

0

-

=

C.

b

a

2

=

D. ab

2

=

Zadanie 3. (1 pkt)

Okràg o równaniu (

)

x

y

r

1

2

2

2

-

+

=

, gdzie >

r

0

, ma z prostà x

3

=

dwa punkty wspólne. Zatem:

A. <

r

2

B. >

r

2

C. r

4

=

D. < <

r

1

2

Zadanie 4. (1 pkt)

Zbiorem wartoÊci funkcji kwadratowej f okreÊlonej wzorem ( )

f x

x

bx

c

2

=

+

+

jest przedzia∏

,

)

2 3

-

.

Funkcja przyjmuje wartoÊci ujemne dla argumentów nale˝àcych do przedzia∏u (

, )

4 6

-

. Wska˝ wzór

funkcji f .
A. ( )

(

)(

)

f x

x

x

2

4

6

= -

+

-

B. ( )

(

)(

)

f x

x

x

4

6

2

=

+

-

-

C. ( )

(

)(

)

f x

x

x

4

6

23

=

+

-

+

D. ( )

(

)(

)

f x

x

x

4

6

23

=

-

+

-

Zadanie 5. (1 pkt)

Wyra˝enie a

a

5

5

2

1

2

1

-

+

-

-

d

d

n

n

, dla a

0

! , mo˝na zapisaç w postaci:

A. a

25

-

B. a

25

2

-

C. a

25

1

-

-

D. a

25

2

-

-

Zadanie 6. (1 pkt)

Funkcja wyk∏adnicza f okreÊlona wzorem ( )

(

)

f x

a

2

3

x

=

+

jest rosnàca dla:

A. >

a

1

-

B. >

,

a

1 5

-

C. <

a

1

-

D.

, <

<

a

1 5

1

-

-

Zadanie 7. (1 pkt)

Wiadomo, ˝e

a jest kàtem ostrym i

,

sin

cos

0 5

=

a

a

. Wynika stàd, ˝e wartoÊç wyra˝enia

cos

sin

4

4

+

a

a jest równa:

A. 1

B. ,

0 5

C. ,

0 25

D. ,

0 75

Zadanie 8. (1 pkt)

OÊmiocyfrowe numery telefonów w pewnym mieÊcie sà tworzone z cyfr: , , , , , , , , ,

0 1 2 3 4 5 6

8 6

9 5

Matematyka. Poziom podstawowy

Zadanie 9. (1 pkt)

%

33

3

1

liczby m jest równa wartoÊci wyra˝enia

2

1

2

16

1

1

2

2

1

+

-

-

-

c

c

m

m

. Liczba m jest wi´c równa:

A. 3

B. 6

C. 2

D. 30

-

Zadanie 10. (1 pkt)

Najmniejsza wartoÊç wyra˝enia x

x

2

+

+

jest równa:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 2

-

Zadanie 11. (1 pkt)

Rozwiàzaniem równania

x

6

2

1

-

=

sà liczby:

A. przeciwne

B. ró˝niàce si´ o 1

C. ca∏kowite

D. niewymierne

Zadanie 12. (1 pkt)

Zbiorem wartoÊci funkcji f okreÊlonej wzorem:

( )

,

,

,

f x

x

x

x

x

x

dla

dla

dla

3

3 0

3

0 2

1

2

2

3

!

!

!

=

+

-

-

+

-

j

j

j

Z

[

\

]

]

]

]

jest:
A.

,

1 3

-

B. (

, 3

3

-

C. ,

)

3 3

D.

,

)

1 3

-

Zadanie 13. (1 pkt)

Prosta (

)

m

x

y

2

4

2

1

0

-

+

+

=

jest nachylona do dodatniej pó∏osi osi OX pod kàtem 45c, gdy liczba m

jest równa:

A. 2

B.

2

1

C. 1

-

D. 1

Zadanie 14. (1 pkt)

Pole trójkàta ABC jest cztery razy mniejsze od pola trójkàta EFG. Trójkàty te sà podobne. D∏ugoÊç
boku AB jest równa 16. D∏ugoÊç boku EF, odpowiadajàcego bokowi AB, jest równa:
A. 64

B. 32

C. 4

D. 8

Zadanie 15. (1 pkt)

Pierwiastkami wielomianu stopnia trzeciego ( )

W x

sà liczby:

, ,

3 1 4

-

i wspó∏czynnik liczbowy stojàcy

przy najwy˝szej pot´dze zmiennej jest równy 2. Wielomian ten mo˝emy zapisaç w postaci:
A. ( )

(

)(

)(

)

W x

x

x

x

2

3

1

4

=

+

+

+

B. ( )

(

)(

)(

)

W x

x

x

x

2

3 2

1 2

4

=

+

-

-

C. ( )

(

)(

)(

)

W x

x

x

x

2

3

1

4

=

+

-

-

D. ( )

(

)(

)(

)

W x

x

x

x

2

3

1

4

=

+

-

-

Zadanie 16. (1 pkt)

Na trójkàcie równobocznym opisano ko∏o, którego pole jest równe 4

r. D∏ugoÊç boku tego trójkàta

jest równa:
A. 3

B. 2 3

C. 4 3

D. 3

Zadanie 17. (1 pkt)

W trapezie równoramiennym podstawy sà równe 10 i 16, a kàt rozwarty ma miar´ 120c. Obwód
trapezu jest równy:
A. 38

B. 26

C. 26

6 3

+

D. 32

4

Zadanie 18. (1 pkt)

Pole figury ograniczonej fragmentem wykresu funkcji f danej wzorem ( )

f x

x

4

2

=

-

i osià OX jest:

A. mniejsze od 8

B. wi´ksze od 8

C. równe 8

D. wi´ksze od 16

Zadanie 19. (1 pkt)

Kosmonauta ma do wyboru dwie identyczne kapsu∏y ratunkowe. Prawdopodobieƒstwo, ˝e kapsu∏a

pierwsza spadnie na Ziemi´ nieuszkodzona jest równe

2

1. Prawdopodobieƒstwo, ˝e druga kapsu∏a

spadnie na Ziemi´ nieuszkodzona jest równe

5

2. Kosmonauta wybiera losowo kapsu∏´.

Prawdopodobieƒstwo, ˝e doleci na Ziemi´ w nieuszkodzonej kapsule jest równe:

A.

10

9

B.

20

9

C.

10

2

D.

5

1

Zadanie 20. (1 pkt)

Obj´toÊç kuli jest równa

6

1 r. Pole powierzchni tej kuli wyra˝a si´ liczbà:

A. wymiernà wi´kszà od 3

B. wymiernà mniejszà od 3

C. niewymiernà wi´kszà od 3

D. niewymiernà mniejszà od 3

Zadanie 21. (1 pkt)

SzeÊcian i czworoÊcian foremny majà równe d∏ugoÊci kraw´dzi. Stosunek obj´toÊci szeÊcianu do
obj´toÊci czworoÊcianu jest równy:

A.

3

4 3

B. 12 2

C. 6 2

D.

12

3

Zadanie 22. (1 pkt)

Suma trzech pierwszych wyrazów ciàgu geometrycznego jest równa

,

3 5

-

. Iloraz tego ciàgu jest

równy ,

0 5

. Czwarty wyraz tego ciàgu jest równy:

A. ,

0 25

B. 1

C.

,

0 25

-

D. 1

-

Zadanie 23. (1 pkt)

Wska˝ równoÊç prawdziwà.

A. 4

25

log 5

2

=

B. 2

5

log

1

5

2

=

-

C. 4

4

log 4

2

=

D. 5

5

log

5

25

=

Zadanie 24. (1 pkt)

Pole równoleg∏oboku jest równe 24. Stosunek jego wysokoÊci jest równy :

3 4

. D∏ugoÊci boków i d∏u-

goÊci przekàtnych wyra˝ajà si´ liczbami naturalnymi i d∏ugoÊç ka˝dej z wysokoÊci jest wi´ksza od 5.
Boki równoleg∏oboku sà równe:
A. 3 i 4

B. 6 i 8

C. 6 i 4

D. 3 i 8

Zadanie 25. (1 pkt)

Punkty , , ,

E L K A

le˝à na okr´gu w podanej kolejnoÊci. Ci´ciwy EK i LA przecinajà si´ w punkcie M.

Zatem:
A. LMK

EMA

2

E

=

B. LMK

LAK

2

E

E

=

C. LEK

LKA

E

E

=

D. KEL

LAK

E

E

=

Matematyka. Poziom podstawowy

5

Matematyka. Poziom podstawowy

ZADANIA OTWARTE

Rozwiàzania zadaƒ o numerach od 26. do 33. nale˝y zapisaç w wyznaczonych miejscach pod

treÊcià zadania.

Zadanie 26. (2 pkt)

Suma drugiego i trzeciego wyrazu ciàgu arytmetycznego (a

n

) jest równa 0, a ró˝nica trzeciego

i czwartego wyrazu tego ciàgu jest równa

.

2

-

Wyznacz ró˝nic´ tego ciàgu i jego pierwszy wyraz.

Zadanie 27. (2 pkt)

Wyka˝, ˝e liczba

,

log

log

a

8

0 25

2

2

2

1

=

-

nie jest ani liczbà pierwszà, ani z∏o˝onà.

6

Zadanie 28. (2 pkt)

Rozwià˝ równanie cos

2

2

0

-

=

a

, gdy

<

<

0

90

c

c

a

.

Zadanie 29. (2 pkt)

Wyka˝, ˝e liczba 6 3

12

+

jest wi´ksza od 4.

Matematyka. Poziom podstawowy

7

Matematyka. Poziom podstawowy

Zadanie 30. (2 pkt)

Wiadomo, ˝e >

a

0

i a a

1

2

+

=

. Wyka˝, ˝e a

a

a

a

1

1

2

2

+

=

+

.

8

Zadanie 31. (4 pkt)

Liczb´ przekàtnych wielokàta o n bokach mo˝na obliczyç ze wzoru

(

)

n n

2

3

-

, gdzie

,

n

n

N

3

!

H

. Ile

boków ma wielokàt, który ma 35 przekàtnych?

Matematyka. Poziom podstawowy

9

Matematyka. Poziom podstawowy

Zadanie 32. (5 pkt)

Ze zbioru liczb naturalnych spe∏niajàcych nierównoÊç

<

x

x

2

3

3

1

0

-

-

-

losujemy dwie ró˝ne liczby

,

m p

. Oblicz prawdopodobieƒstwo zdarzenia: punkt o wspó∏rz´dnych ( , )

m p

nale˝y do wykresu

funkcji y

x

4

=

+

.

10

Zadanie 33. (6 pkt)

D∏ugoÊci kraw´dzi prostopad∏oÊcianu tworzà ciàg geometryczny. Obj´toÊç bry∏y jest równa 27,
a suma d∏ugoÊci jej kraw´dzi jest równa 13. Znajdê d∏ugoÊç najkrótszej kraw´dzi prostopad∏oÊcianu.

Matematyka. Poziom podstawowy

11