Ć w i c z e n i e 5
Wyznaczanie współczynnika Coriolisa
1. Wprowadzenie
Celem ćwiczenia jest doświadczalne określenie strumienia objętościowego,
prędkości średniej oraz współczynnika poprawkowego Coriolisa dla strugi powietrza
przepływającego przez przewód o kołowym przekroju poprzecznym.
Podczas przepływu płynu rzeczywistego przez przewody zamknięte jego lepkość i
związane z nią naprężenia styczne powodują niejednorodność rozkładu prędkości w
przekrojach poprzecznych. Prędkość maksymalna występuje w pobliżu środka
przekroju i w sposób ciągły maleje w kierunku ścianek, osiągając na ich powierzchni
wartość równą zeru.
W obliczeniach technicznych wprowadza się zazwyczaj założenie upraszczające,
polegające na przyjęciu jednorodnego rozkładu prędkości w przekroju poprzecznym,
przy czym charakterystyczna prędkość przyjmowana jest jako równa prędkości
średniej, określonej zależnością:
&
V
Uśr = (1)
F
w której:
&
V - strumień objętości przepływu,
F - pole przekroju poprzecznego.
Założenie to pozwala na wykorzystanie w obliczeniach przewodów równania
Bernoulli ego w postaci wyprowadzonej dla strugi elementarnej. Odnosząc strumień
energii do strumienia objętości, możemy równanie Bernoulli ego dla przekrojów
kontrolnych 1 i 2 strugi elementarnej zapisać następująco:
2 2
ÁU1 ÁU2
+ p1 + Á g z1 = + p2 + Á g z2 + "pstr1-2 (2)
2 2
lub w tradycyjnym ujęciu, związanym z  ciężarowym [1] układem jednostek:
2 2
U1 p1 U2 p2
+ + z1 = + + z2 + "hstr1-2 (3)
2g Ág 2g Ág
Pierwsze wyrazy obydwu stron równań (2) i (3) określają energię kinetyczną w
odpowiednich przekrojach kontrolnych, drugie i trzecie odpowiednio energię ciśnienia
i energię potencjalną wysokości, a wyraz ostatni stratę energii między przekrojami.
Założenie o jednorodnym rozkładzie prędkości w przekroju poprzecznym przewodu
pociąga jednak za sobą konsekwencje w postaci błędnego obliczenia strumienia
energii kinetycznej przenikającego przez ten przekrój.
Rozpatrzmy niejednorodne, ustalone w czasie pole prędkości w przekroju
poprzecznym przewodu o ścianach cylindrycznych.
Dla pÅ‚ynu nieÅ›ciÅ›liwego (Á = const) zakÅ‚adajÄ…c, że wektory prÄ™dkoÅ›ci sÄ… normalne do
rozpatrywanego przekroju, strumień energii kinetycznej przenikający przez pole
elementarne dF jest równy:
39
Rys. 1. Szkic do wyznaczania rzeczywistego strumienia energii kinetycznej oraz
strumienia objętościowego przepływu
2
U
&
dE = Á U dF , (4)
2
skąd po scałkowaniu otrzymujemy:
Á
&
E = (5)
+"+"U 3dF
2
F
Strumień energii wyznaczony w oparciu o prędkość średnią, nazywany dalej
&
pozornym strumieniem energii Ep , wyraża się wzorem:
2 3
Uśr Uśr
& &
Ep = ÁV = ÁF (6)
2 2
Wykorzystując dla wyznaczenia prędkości średniej definicyjną zależność (1)
przepisanÄ… w postaci:
&
V 1
Uśr = = (7)
+"+"U dF
F F
F
pozorny strumień energii przestawić można jako:
3
ëÅ‚ öÅ‚
Á 1
& ìÅ‚
Ep = (8)
+"+"U dF ÷Å‚
2
ìÅ‚ ÷Å‚
2
F
íÅ‚ F Å‚Å‚
Nietrudno stwierdzić, że wyrażenia (8) i (5) nie są jednoznaczne i zawsze spełniony
& &
jest warunek E > Ep .
&
Stosunek rzeczywistego strumienia energii kinetycznej E do strumienia
&
obliczonego z prędkości średniej Ep nazywa się współczynnikiem Coriolisa lub
rzadziej współczynnikiem Saint-Venante`a [3]:
Á Á
+"+"U 3dF +"+"U 3dF
2 2
F F
Ä… = = (9)
3
Á
2
&
ëÅ‚ öÅ‚
VUśr
Á 1
ìÅ‚
2
+"+"U dF ÷Å‚
2
ìÅ‚ ÷Å‚
2
F
íÅ‚ F Å‚Å‚
a wartość jego jest większa od jedności. Energia kinetyczna występująca w równaniu
Bernoulli ego (2) lub (3), a wyrażona za pomocą prędkości średniej, winna być
zapisana w postaci:
40
2 2
Ä…ÁUÅ›r Ä…UÅ›r
lub
2 2g
Rozpatrzmy często spotykany w praktyce przypadek przewodu o kołowym
przekroju poprzecznym, w którym formuje się osiowosymetryczny rozkład prędkości
U = U(r) (rys. 2). Elementarny strumień objętościowy wyniesie:
&
dV = 2Ä„r drU (r) (10)
a całkowity strumień objętości:
D / 2
&
V = 2Ä„ (11)
+"U(r)r dr
0
Prędkość średnia określona jest wówczas wzorem:
D / 2 D / 2
2Ä„ rU(r)dr 8 rU(r)dr
+" +"
0 0
Uśr = = (12)
Ä„D2 D2
4
Rys. 2. Rozkład prędkości w przewodzie o przekroju kołowym
Korzystając z zależności (5) i (6), możemy wyrazić rzeczywisty i pozorny strumień
energii kinetycznej przenikającej przez przekrój kołowy w postaci:
D / 2 D / 2
2
&
E = 2Ä„r dr Á U(r)U (r) = Ä„Á (13)
+" +"rU 3(r)dr
2
0 0
3 3
D / 2 D / 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
Á 1 64Ä„Á
& ìÅ‚ ÷Å‚
Ep = rU(r)dr (14)
+"U(r)2Ä„r dr ÷Å‚ = ìÅ‚ +"
2
ìÅ‚ ÷Å‚ ÷Å‚
2
D4 ìÅ‚ 0
ëÅ‚Ä„D2 öÅ‚
íÅ‚ 0 Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
4
íÅ‚ Å‚Å‚
Współczynnik Coriolisa w przepływie osiowosymetrycznym będzie równy:
D / 2
3
rU (r)dr
+"
&
E D4 0
Ä… = = (15)
3
&
Ep 64
D / 2
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
rU(r)dr
+"
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ 0 Å‚Å‚
41
Sprawdz
my obecnie, jaką wartość osiąga współczynnik Coriolisa w przepływie
laminarnym i turbulentnym. Rozkład prędkości uzyskany poprzez rozwiązanie
równania Naviera-Stokesa dla przepływu laminarnego w przewodach kołowych,
wykazujący bardzo dobrą zgodność z wynikami doświadczeń, ma postać:
2 2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2r 2r
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
U(r) = Umax 1- ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚ śł H" 2UÅ›r 1- ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚ śł (16)
D D
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Po wprowadzeniu zależności (16) do wzoru (15) stwierdzić można, że w przepływach
laminarnych, dla których charakterystyczny jest paraboliczny rozkład prędkości,
wartość współczynnika Coriolisa jest stała i równa ą = 2.
Dla przepływu turbulentnego w przewodach o przekroju kołowym promieniowy
rozkład prędkości możemy wyrazić za pomocą doświadczalnej formuły potęgowej
zaproponowanej przez Prandtla i Karmana [1]:
1/ n
2r
U(r) = Umax îÅ‚1- Å‚Å‚ (17)
ïÅ‚ śł
D
ðÅ‚ ûÅ‚
sÅ‚usznej dla Re < 4 · 106, przy czym wartość n jest zależna od liczby Reynoldsa n =
f(Re) i zmienia siÄ™ w granicach n = 6 ÷ 11. RozwiÄ…zanie caÅ‚ek wystÄ™pujÄ…cych we
wzorze (15) pozwala uzyskać dla przepływu turbulentnego zależność:
(2n +1)3(n +1)3
Ä… = (18)
4n4(n + 3)(2n + 3)
z której wynika, że w tym typie przepływu współczynnik Coriolisa jest również
zależny od liczby Reynoldsa.
Przykładowe wartości n i ą dla kilku liczb Reynoldsa zestawiono poniżej:
Re = 4 · 103; n = 6; Ä… = 1,08
Re = 1,1 · 104; n = 7; Ä… = 1,06
Re = 3,2 · 106; n = 10; Ä… = 1,03.
W praktyce podczas obliczania przepływów turbulentnych w przewodach długich
opuszczamy zwykle współczynnik Coriolisa przyjmując, że jest on równy jedności.
Niedokładności popełnione przy określaniu strat (liniowych i lokalnych) przewyższają
na ogół nieścisłości wynikające z założenia ą = 1.
2. Stanowisko pomiarowe
Schemat stanowiska pomiarowego pokazano na rys. 3. Wentylator promieniowy 1
o regulowanej prędkości obrotowej tłoczy powietrze do komory uspokajającej 2, w
której dzięki systemowi prostownic i siatek strumień powietrza zostaje
ujednorodniony. Z komory przez odpowiednio ukształtowaną dyszę powietrze
przepływa do przewodu 3 o średnicy D. W wybranym przekroju kontrolnym tego
przewodu jest dokonywany pomiar rozkładu prędkości. Rurka Pitota ciśnienia
całkowitego 4 zamocowana w suporcie 5 umożliwiającym jej promieniowy przesuw,
mierzy ciśnienie całkowite, natomiast impuls ciśnienia statycznego jest odbierany z
otworka wykonanego w ściance przewodu. Przewody impulsowe ciśnień całkowitego i
statycznego są połączone z różnicowym mikromanometrem pochylnym 6, którego
wskazanie pozwala obliczyć ciśnienie dynamiczne w wybranym punkcie
pomiarowym.
42
Rys. 3. Schemat stanowiska pomiarowego
3. Metodyka pomiarów i obliczeń
Z rozdziału 1 wynika, że dla wyznaczenia prędkości średniej i współczynnika
Coriolisa w przepływie osiowosymetrycznym niezbędna jest znajomość rozkładu
prędkości w kierunku promieniowym. Prędkość w danym punkcie określić można
znając wartość ciśnienia dynamicznego, z zależności:
2 pd
U = , m/s (19)
Á
w której Á  gÄ™stość przepÅ‚ywajÄ…cego czynnika, kg/m3.
W układzie pomiarowym opisanym powyżej, ciśnienie dynamiczne wyznacza się ze
wzoru:
pd = Ám g l i, N/m2 (20)
w którym:
Ám - gÄ™stość cieczy manometrycznej, kg/m3,
g - przyspieszenie ziemskie, m/s2,
l - długość słupa cieczy manometrycznej, m,
i - przełożenie mikromanometru.
Znajomość doświadczalnie określonego rozkładu prędkości U(r) pozwala na
wyznaczenie wartości całek oznaczonych, występujących w zależnościach (11), (12) i
(15):
D / 2
!1 = (21)
+"U(r)r dr
0
D / 2
!2 = (r)r dr (22)
+"U 3
0
przez zastosowanie jednej z metod całkowania przybliżonego, np. metody prostokątów
zilustrowanej na rys. 4.
Promień przewodu dzielimy na n równych przedziałów o szerokości:
D
"r = , m (23)
2n
43
Rys. 4. Ilustracja metody wyznaczania przybliżonej wartości całek
a wartość całek ! i ! wyznaczamy ze wzorów:
1 2
n
!1 = "r rk (24)
"U
k
k=1
n
!2 = "r rk (25)
"U 3
k
k=1
w których:
k - numer kolejnego przedziału,
rk - promień środka k-tego przedziału, m,
Uk - prędkość w środku k-tego przedziału, m/s.
Wzór (11) określający strumień objętości przepływu przyjmie postać:
&
V = 2Ä„ !1, m3/s (26)
Prędkość średnia zgodnie z (12) wyraża się jako:
8
Uśr = !1, m/s (27)
D2
a współczynnik Coriolisa określony z zależności (15) przyjmie postać:
D4 !2
Ä… = (28)
64
(!1)3
Liczbę Reynoldsa charakteryzującą badany przepływ obliczamy z zależności:
Uśr D
Re = (29)
½
w której ½  kinematyczny współczynnik lepkoÅ›ci, m2/s.
4. Szczegółowy program ćwiczenia
Po uruchomieniu tunelu aerodynamicznego i ustaleniu warunków jego pracy,
należy dokonać sondowania pola prędkości wzdłuż promienia przewodu. Dla
uproszczenia póz
niejszych obliczeń współrzędne promieniowe punktów pomiarowych
należy dobrać tak, aby leżały one w środkach przedziałów o szerokości "r:
r1 = 0,5"r
44
r2 = (2 - 0,5) "r
& & & & & & & & ......
rk = (k - 0,5) "r
Wyniki wskazań mikromanometru lk wpisujemy w tablicę pomiarowo-obliczeniową i
dla każdego z punktów pomiarowych obliczamy:
- ciśnienie dynamiczne pdk  wzór (20),
- prędkość przepływu Uk  wzór (19),
- iloczyn rkUk,
- iloczyn rkUk3,
a następnie określamy wartości sum:
n n
3
"r Uk ; "r Uk
k k
k =1 k =1
które pomnożone przez "r pozwalają zgodnie z (24) i (25) obliczyć wartości całek !
1
oraz ! . Korzystając z zależności (26), (27), (28), (29) obliczamy kolejno:
2
&
- strumień objętości przepływu V , m3/s
- prędkość średnią Uśr, m/s
- współczynnik Coriolisa ą,
- liczbÄ™ Reynoldsa Re.
Po wykonaniu pomiarów i obliczeń należy sprawdzić, czy uzyskana wartość
współczynnika Coriolisa zawiera się w zakresie charakterystycznym dla liczby
Reynoldsa badanego przepływu.
Literatura:
1. Bukowski J.: Mechanika płynów, PWN, Warszawa 1959
2. Czetwertyński E., Utrysko B.: Hydraulika i hydromechanika, PWN, Warszawa 1969
3. Walden H., Stasiak J.: Mechanika cieczy i gazów w inżynierii sanitarnej, Arkady,
Warszawa 1971
45
Tabela pomiarowo-obliczeniowa
D = & & & .m; t = & & & .oC; Á = & & .......kg/m3; Ám = & & & & kg/m3;
½ = & & ..m2/s; n = & & ..; "r = & & & .m;
n n
&
!1 = "r U = ..........; !2 = "r U = ..........; V = 2Ä„ !1 = ..........;
"r "r 3
k k k k
k=1 k=1
8 D4 !2 Uśr D
Uśr = !1 = ...........; ą = = .........; Re = = .........
3
64 ½
D2 !1
rk lk pdk Uk rkUk rkUk3
L.p.
m m N/m2 m/s m2/s m4/s3
20
"
k=1
46