AIAA-85-0491

The Görtler Instability on an Airfoil

S. M. Mangalam

Old Dominion University

Hampton, VA 23665

J. R. Dagenhart

NASA Langley Research Center

Hampton, VA 23665

T. E. Hepner

United States Army (AVRADCOM)

Hampton, VA 23665

and

J. F. Meyers

NASA Langley Research Center

Hampton, VA 23665

AIAA 23rd Aerodynamic Sciences Meeting

January 14-17, 1985/ Reno, Nevada

For permission to copy or republish, contact the American Institute of Aeronautics and Astronautics

1633 Broadway, New York, NY 10019

T h e G ö r t l e r I n s t a b i l i t y o n a n A i r f o i l

S. M . M a n g a l a m *

O l d D o m i n i o n U n i v e r s i t y

N o r f o l k , Vi r g i n i a 2 3 5 0 8

J. R . D a g e n h a r t * *

N A S A L a n g l e y R e s e a r c h C e n t e r

H a m p t o n , Vi r g i n i a 2 3 6 6 5

T. E . H e p n e r * * *

U n i t e d S t a t e s A r m y ( AV R A D C O M )

H a m p t o n , Vi r g i n i a 2 3 6 6 5

J. F. M e y e r s * * * *

N A S A L a n g l e y R e s e a r c h C e n t e r

H a m p t o n , Vi r g i n i a 2 3 6 6 5

A b s t r a c t

G ö r t l e r v o r t i c e s a r i s e i n b o u n d a r y l a y e r s a l o n g c o n c a v e s u r f a c e s d u e t o
c e n t r i f u g a l e f f e c t s . T h i s p a p e r p r e s e n t s s o m e r e s u l t s o f a n e x p e r i m e n t
c o n d u c t e d t o s t u d y t h e d e v e l o p m e n t o f t h e s e v o r t i c e s o n a n a i r f o i l w i t h
a p r e s s u r e g r a d i e n t i n t h e c o n c a v e r e g i o n w h e r e a n a t t a c h e d l a m i n a r
b o u n d a r y l a y e r w a s i n s u r e d w i t h s u c t i o n t h r o u g h a p e r f o r a t e d p a n e l .
T h e s u b l i m a t i n g c h e m i c a l t e c h n i q u e w a s u s e d t o v i s u a l i z e G ö r t l e r
v o r t i c e s a n d t h e v e l o c i t y f i e l d w a s m e a s u r e d b y l a s e r v e l o c i m e t r y. T h e
v o r t e x w a v e l e n g t h c l e a r l y v a r i e d w i t h G ö r t l e r n u m b e r a s p r e d i c t e d b y
l i n e a r t h e o r y.

B o t h f l o w v i s u a l i z a t i o n a n d v e l o c i t y m e a s u r e m e n t s

i n d i c a t e d v o r t e x d a m p i n g i n t h e c o n v e x z o n e . S e c o n d a r y i n s t a b i l i t y
w a s o b s e r v e d a t t h e h i g h e r G ö r t l e r n u m b e r s .

*

R e s e a r c h A s s o c i a t e P r o f e s s o r, M e m b e r A I A A

* *

A e r o s p a c e E n g i n e e r, T r a n s o n i c A e r o d y n a m i c s D i v i s i o n

* * *

E l e c t r o n i c Te c h n i c i a n , I n s t r u m e n t R e s e a r c h D i v i s i o n

* * * * E l e c t r o n i c E n g i n e e r, I n s t r u m e n t R e s e a r c h D i v i s i o n

S y m b o l s

C

p

p r e s s u r e c o e f f i c i e n t

c

c h o r d l e n g t h

G

U

r

r

r

δ

ν

δ

G ö r t l e r n u m b e r

G

M

G ö r t l e r n u m b e r a t m a x i m u m c u r v a t u r e

M

¥

f r e e - s t r e a m M a c h n u m b e r

R

c

R e y n o l d s n u m b e r b a s e d o n c h o r d

R

U

'

ν

u n i t R e y n o l d s n u m b e r

r

r a d i u s o f c u r v a t u r e

U

¥

f r e e - s t r e a m v e l o c i t y

U, V, W

v e l o c i t y c o m p o n e n t s i n l a s e r c o o r d i n a t e s

u

s t r e a m w i s e b o u n d a r y - l a y e r v e l o c i t y c o m p o n e n t

x , y, z

m o d e l c o o r d i n a t e s

α

w a v e n u m b e r

δ

ν

r

X

U

b o u n d a r y l a y e r t h i c k n e s s p a r a m e t e r

Λ

ν

λ

n o n d i m e n s i o n a l w a v e l e n g t h

I n t r o d u c t i o n

G ö r t l e r v o r t i c e s a r i s e i n b o u n d a r y l a y e r s a l o n g c o n c a v e s u r f a c e s d u e t o
c e n t r i f u g a l e f f e c t s . T h e s e c o u n t e r - r o t a t i n g s t r e a m w i s e v o r t i c e s a r e
o n e o f t h r e e k n o w n f l o w i n s t a b i l i t i e s w h i c h l e a d t o b o u n d a r y l a y e r
t r a n s i t i o n .

C o u p l e d w i t h To l l m i e n - S c h l i c h t i n g w a v e s a n d c r o s s f l o w

v o r t i c e s t h e s e G ö r t l e r v o r t i c e s c a n t r i g g e r e a r l y t r a n s i t i o n t o

2

t u r b u l e n c e . G ö r t l e r v o r t i c e s m a y p l a y a n i m p o r t a n t r o l e i n i n t e r n a l
f l o w s w i t h c o n c a v e c u r v a t u r e a n d o n m o d e r n s u p e r c r i t i c a l l a m i n a r -
f l o w - c o n t r o l w i n g s w h i c h h a v e c o n c a v e r e g i o n s n e a r t h e l e a d i n g a n d
t r a i l i n g e d g e s o f t h e l o w e r s u r f a c e s .

T h i s c e n t r i f u g a l i n s t a b i l i t y w a s f i r s t t r e a t e d a n a l y t i c a l l y b y G ö r t i e r

1

a f t e r w h o m t h e v o r t i c e s a r e n a m e d . T h e s t a b i l i t y i s g o v e r n e d b y t h e
p a r a m e t e r

G

U

r

r

r

δ

ν

δ

w h e r e

δ

r

i s a s u i t a b l e b o u n d a r y l a y e r t h i c k n e s s , r i s t h e r a d i u s o f

c u r v a t u r e , a n d

ν

i s t h e f l u i d k i n e m a t i c v i s c o s i t y. M a n y s t u d i e s h a v e

s i n c e b e e n d e v o t e d t o t h e i m p r o v e m e n t a n d e x t e n s i o n o f G ö r t l e r ’ s
a n a l y s i s a n d a t h o r o u g h s u r v e y o f t h e s e e f f o r t s h a s b e e n r e p o r t e d b y
H e r b e r t .

2

T h e r e a r e a n u m b e r o f f u n d a m e n t a l d i f f e r e n c e s i n t h e s e

t h e o r e t i c a l s t u d i e s a s t o t h e d e t a i l s o f t h e f o r m u l a t i o n o f t h e p r o b l e m a s
w e l l a s i n t h e c o m p u t e d r e s u l t s .

T h e s e a r e d i s c u s s e d i n F l o r y a n ’ s

t h e s i s .

3

T h e i n f l u e n c e o f e x t e r n a l d i s t u r b a n c e s i s a n a l y z e d b y F l o r y a n

a n d S a r i c

4

a n d t h e i n f l u e n c e o f p r e s s u r e g r a d i e n t i s d i s c u s s e d b y H a l l .

5

T h e r e h a v e a l s o b e e n a n u m b e r o f e x p e r i m e n t a l s t u d i e s o f t h i s p r o b l e m ,
m o s t l y c o n d u c t e d i n c u r v e d c h a n n e l f l o w s . Ta n i

e t a l ,

6-9

a t t e m p t e d t o

c o r r e l a t e t h e s t r e a m w i s e v o r t e x w a v e l e n g t h w i t h w a l l c u r v a t u r e a n d
f r e e s t r e a m v e l o c i t y ( i . e . , G ö r t l e r n u m b e r ) a s p r e d i c t e d b y t h e o r y. T h e
f a i l u r e t o f i n d s u c h a c o r r e l a t i o n l e d t h e m t o t h e c o n c l u s i o n t h a t t h e
v o r t e x w a v e l e n g t h i s d e t e r m i n e d m o r e b y t h e p a r t i c u l a r e d g e e f f e c t s o f
t h e e x p e r i m e n t a l a p p a r a t u s a n d l e s s b y t h e c u r v a t u r e o f t h e m o d e l o r
t h e v e l o c i t y o f t h e o n c o m i n g f l o w.

S e v e r a l o t h e r e x p e r i m e n t e r s

i n c l u d i n g B i p p e s ,

10

M c C o r m a c k

e t a l ,

11

Wi n t o

e t a l ,

12

Yu r c h e n c o

e t a l ,

1 3

B a b e n k o

1 4

a n d Y u r c h e n c o

1 5

, a n d S w e a r i n g e n a n d

B l a c k w e l d e r

16

h a v e a l s o f o u n d t h a t t h e w a v e l e n g t h i s e s s e n t i a l l y

i n d e p e n d e n t o f t h e G ö r t l e r n u m b e r. B i p p e s

10

d i d f i n d t h a t w h e n t h e

s t r e a m t u r b u l e n c e w a s m a d e i s o t r o p i c , t h e m o s t a m p l i f i e d d i s t u r b a n c e
a c c o r d i n g t o t h e o r y c o u l d b e g e n e r a t e d . E x p e r i m e n t a l d a t a f r o m t h e s e
s t u d i e s s e e m t o i n d i c a t e t h a t s o m e p r e f e r r e d w a v e n u m b e r d i s t u r b a n c e
i s s e l e c t e d i n i t i a l l y f r o m t h o s e u n s t a b l e o n e s a n d i s a m p l i f i e d w i t h
i n c r e a s i n g G ö r t l e r n u m b e r w h i l e r o u g h l y f o l l o w i n g l i n e s o f c o n s t a n t

Λ

U r

r

ν

λ

3
2

w h e r e

λ

i s t h e w a v e l e n g t h . T h e p r e s e n t p a p e r e v a l u a t e s t h i s p a r a m e t e r

o n t h e b a s i s o f t e s t s c o n d u c t e d o n a t w o - d i m e n s i o n a l a i r f o i l m o d e l .

3

R e s u l t s f r o m f l o w v i s u a l i z a t i o n t e s t s u s i n g s u b l i m a t i n g c h e m i c a l s a n d
l a s e r v e l o c i m e t e r m e a s u r e m e n t s a r e c o m p a r e d .

Te s t A p p a r a t u s

A 1 . 8 3 - m e t e r c h o r d a i r f o i l m o d e l w a s t e s t e d i n t h e N A S A L a n g l e y L o w -
T u r b u l e n c e P r e s s u r e T u n n e l ( LT P T ) . A p h o t o g r a p h o f t h e m o d e l i s
s h o w n i n f i g u r e 1 . T h e m o d e l c o n s i s t s o f t w o p a r t s

a s t r u c t u r a l

e l e m e n t a n d a t e s t e l e m e n t . T h e t e s t e l e m e n t i n c l u d e s t h e l e a d i n g e d g e
a n d t h e u p p e r s u r f a c e b a c k t o m i d c h o r d .

T h e s t r u c t u r a l e l e m e n t

c o n s i s t s o f t h e s p a r a n d t h e r e m a i n d e r o f t h e a i r f o i l s u r f a c e i n c l u d i n g a
1 0 % c h o r d f l a p . Wi t h t h i s d e s i g n , s e v e r a l t e s t r e g i o n g e o m e t r i e s c a n b e
e x a m i n e d . T h e p r e s e n t t e s t e l e m e n t i n c l u d e s a c o n c a v e r e g i o n f r o m
x / c = 0 . 1 7 5 t o x / c = 0 . 2 7 5 . T h e m i n i m u m r a d i u s o f c u r v a t u r e i s 0 . 2 4 m .
At t a c h e d l a m i n a r b o u n d a r y - l a y e r f l o w i s i n s u r e d b y m e a n s o f s u c t i o n
t h r o u g h a 0 . 1 1 x 0 . 7 6 - m p e r f o r a t e d t i t a n i u m p a n e l l o c a t e d i n t h e
c o m p r e s s i o n p a r t o f t h e c o n c a v e r e g i o n . T h e s u c t i o n r e g i o n i s d i v i d e d
i n t o t h r e e s p a n w i s e s u c t i o n s t r i p s .

T h e s u c t i o n i n e a c h s t r i p i s

i n d e p e n d e n t l y c o n t r o l l e d b y i t s o w n n e e d l e v a l v e . T h e m o d e l s u r f a c e i s
p a i n t e d f l a t b l a c k o v e r g e l c o a t a n d f i b e r g l a s s .

F i g u r e 2 s h o w s t h e

m o d e l p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n . T h e 1 0 % c h o r d f l a p i s u s e d t o c o n t r o l t h e
s t a g n a t i o n p o i n t l o c a t i o n t o m a i n t a i n a f l a t o r s l i g h t l y f a v o r a b l e
p r e s s u r e g r a d i e n t a h e a d o f t h e c o n c a v e r e g i o n .

T h e LT P T i s a p r e s s u r i z e d , c l o s e d - c i r c u i t , c o n t i n u o u s f l o w w i n d
t u n n e l . T h e t e s t s e c t i o n i s 2 . 2 9 m h i g h , 2 . 2 9 m l o n g , a n d 0 . 9 1 m w i d e .
T h e c o n t r a c t i o n r a t i o i s 1 7 . 6 . T h e t u n n e l h a s e x c e l l e n t f l o w q u a l i t y
d u e , i n p a r t , t o t h e n i n e s c r e e n s i n t h e s e t t l i n g c h a m b e r. T h e v e l o c i t y
f l u c t u a t i o n s i n t h e t e s t s e c t i o n w e r e f o u n d t o b e 0 . 0 2 5 p e r c e n t a t 0 . 0 5
M a c h n u m b e r.

1

T h e p r e s s u r e f l u c t u a t i o n s a t t h e t e s t s e c t i o n w a l l ,

n o r m a l i z e d w i t h r e s p e c t t o f r e e - s t r e a m p r e s s u r e w e r e

1 0

-5

a t t h i s

M a c h n u m b e r.

T h e p r e s e n t e x p e r i m e n t w a s c o n d u c t e d a t a t m o s p h e r i c p r e s s u r e . T h e
c h o r d R e y n o l d s n u m b e r w a s v a r i e d f r o m 1 . 0 m i l l i o n t o 5 . 9 m i l l i o n a n d
t h e M a c h n u m b e r r a n g e d f r o m 0 . 0 2 4 t o 0 . 1 2 5 y i e l d i n g a G ö r t l e r n u m b e r
o f u p t o 4 6 .

A s p e c i a l i z e d s i n g l e a x i s t h r e e - c o m p o n e n t l a s e r v e l o c i m e t e r w a s u s e d
t o s t u d y t h e f l o w f i e l d i n t h e t e s t r e g i o n ( f i g . 3 ) . T h e s i n g l e a x i s , f i v e -
b e a m o p t i c a l c o n f i g u r a t i o n

1

u s e s t h e s t a n d a r d t w o c o l o r, t w o -

c o m p o n e n t b e a m p a t t e r n w i t h t h e t w o g r e e n b e a m s ( 5 1 4 . 5 n m )
a r r a n g e d i n t h e h o r i z o n t a l p l a n e a n d t h e t w o b l u e b e a m s ( 4 8 8 . 0 n m )
a r r a n g e d i n t h e v e r t i c a l p l a n e f o r m i n g a d i a m o n d p a t t e r n t o m e a s u r e
t h e

U o r s t r e a m w i s e c o m p o n e n t ( g r e e n b e a m s ) a n d t h e V o r v e r t i c a l

4

c o m p o n e n t ( b l u e b e a m s ) . A t h i r d g r e e n b e a m i s p l a c e d a l o n g t h e o p t i c a l
a x i s b i s e c t i n g t h e a n g l e b e t w e e n t h e o r i g i n a l t w o g r e e n b e a m s . T h e
a d d i t i o n o f t h i s b e a m c r e a t e s t w o a d d i t i o n a l f r i n g e p a t t e r n s w i t h i n t h e
s a m p l e v o l u m e .

T h e s e a d d i t i o n a l f r i n g e p a t t e r n s a r e i n c l i n e d

s y m m e t r i c a l l y a b o u t t h e o p t i c a l a x i s y i e l d i n g e q u a l c o n t r i b u t i o n s o f
t h e

U c o m p o n e n t a n d e q u a l b u t o p p o s i t e c o n t r i b u t i o n s o f t h e W o r

s p a n w i s e v e l o c i t y c o m p o n e n t .

T h e

W

v e l o c i t y c o m p o n e n t i s t h e n

o b t a i n e d f r o m t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e t w o s i g n a l f r e q u e n c i e s . T h i s
i s a c h i e v e d b y i n c o r p o r a t i n g B r a g g c e l l s i n t h e t w o o u t s i d e b e a m s t o
s e p a r a t e b y f r e q u e n c y t h e t h r e e s i g n a l s o b t a i n e d f r o m t h e t h r e e g r e e n
f r i n g e p a t t e r n s . A f i l t e r n e t w o r k i s o l a t e s t h e

U c o m p o n e n t s i g n a l

f r e q u e n c y a n d t h e t w o s i g n a l f r e q u e n c i e s f r o m t h e i n c l i n e d f r i n g e
p a t t e r n s w h i c h a r e t h e n i n p u t t o a n e l e c t r o n i c d o u b l e b a l a n c e d m i x e r.
T h e l o w e r f r e q u e n c y s i g n a l f r o m t h e m i x e r i s t h e f r e q u e n c y d i f f e r e n c e
b e t w e e n t h e t w o i n p u t s i g n a l s a n d i s t h e

W c o m p o n e n t s i g n a l f r e q u e n c y

w i t h a k n o w n b i a s d e p e n d i n g o n B r a g g c e l l f r e q u e n c i e s . T h e f l o w w a s
s e e d e d w i t h t r i d e c a n e p a r t i c l e s u s i n g a p a r t i c l e g e n e r a t o r l o c a t e d
u p s t r e a m o f t h e s e t t l i n g c h a m b e r s c r e e n s . T h e LV d a t a w e r e r e c o r d e d
a n d p r o c e s s e d b y a d e d i c a t e d c o m p u t e r s y s t e m .

T h e v e l o c i t y

c o m p o n e n t s w e r e m e a s u r e d i n t h e l a s e r v e l o c i m e t e r c o o r d i n a t e s y s t e m
w h i c h l o o k e d d o w n o n t h e m o d e l a t a n a n g l e o f 1 1 . T h e s e v e l o c i t y
c o m p o n e n t s w e r e t h e n t r a n s f o r m e d i n t o w i n d - t u n n e l a n d m o d e l
c o o r d i n a t e s y s t e m s f o r a n a l y s i s .

R e s u l t s a n d D i s c u s s i o n

A t h i n l a y e r o f s o l i d w h i t e b i p h e n y l m a t e r i a l w a s s p r a y e d o v e r t h e b l a c k
m o d e l s u r f a c e t o v i s u a l i z e t h e f l o w.

T h i s h y d r o c a r b o n m a t e r i a l

s u b l i m e s d u e t o t h e h e a t t r a n s f e r a t t h e a i r f o i l s u r f a c e w h i c h i s
p r o p o r t i o n a l t o t h e s u r f a c e s h e a r s t r e s s

19

. T h e f l o w p a t t e r n i s m a d e

v i s i b l e d u e t o t h e d i f f e r e n t i a l s u r f a c e s h e a r s t r e s s d i s t r i b u t i o n u n d e r
t h e l a y e r o f c o u n t e r - r o t a t i n g G ö r t l e r v o r t i c e s . E l a p s e d t i m e s o f a b o u t
3 0 m i n u t e s t o 1 h o u r w e r e r e q u i r e d f o r t h e p a t t e r n t o e m e r g e c l e a r l y,
d e p e n d i n g o n t h e f r e e - s t r e a m v e l o c i t y. R e p r e s e n t a t i v e f l o w p a t t e r n s
a r e s h o w n i n F i g u r e s 4 ( a ) , ( b ) , a n d ( c ) t a k e n a t c h o r d R e y n o l d s n u m b e r s
o f 2 . 2 4 , 3 . 2 1 , a n d 3 . 6 7 m i l l i o n r e s p e c t i v e l y. T h e d a r k b a n d s r e p r e s e n t
t h e h i g h s h e a r s t r e s s r e g i o n s w h e r e t h e c h e m i c a l l a y e r h a s s u b l i m a t e d
r e v e a l i n g t h e b l a c k b a c k g r o u n d o f t h e a i r f o i l s u r f a c e , w h e r e a s , t h e
w h i t e b a n d s c o r r e s p o n d t o l o w s h e a r r e g i o n s . A s e t o f b l a c k a n d w h i t e
b a n d s c o n s t i t u t e s a p a i r o f c o u n t e r - r o t a t i n g v o r t i c e s a n d r e p r e s e n t s
t h e w a v e l e n g t h o f t h e s e v o r t i c e s .

T h e p h o t o g r a p h s i n f i g u r e 4 s h o w t h e r e g i o n 0 . 2 0 <

x / c < 0 . 4 0 n e a r t h e

c e n t e r o f t h e m o d e l s p a n . T h e p e r f o r a t e d t i t a n i u m s u c t i o n p a n e l i s
v i s i b l e a t t h e u p s t r e a m e d g e o f e a c h p h o t o g r a p h .

N o s t r e a m w i s e

5

s t r e a k s w e r e o b s e r v e d i n t h e r e g i o n a h e a d o f t h e c o n c a v e z o n e . T h e
s t r e a k s o b s e r v e d d o w n s t r e a m o f t h e s u c t i o n p a n e l a r e e s s e n t i a l l y
u n i f o r m l y s p a c e d a l o n g t h e s p a n .

Wa v e l e n g t h w a s d e t e r m i n e d b y

t a k i n g t h e a v e r a g e o f t h e n u m b e r o f p a i r s o f s t r e a k s o v e r a 1 5 t o 4 5 c m
s p a n . T h e n o n d i m e n s i o n a l w a v e l e n g t h p a r a m e t e r

Λ

w a s c o m p u t e d

u s i n g t h i s v a l u e o f d i m e n s i o n a l w a v e l e n g t h a n d t h e m e a n f l o w a n d
g e o m e t r i c p a r a m e t e r s . T h e d i m e n s i o n a l w a v e l e n g t h a p p e a r s t o r e m a i n
c o n s t a n t t h r o u g h o u t t h e c o n c a v e r e g i o n . B e y o n d t h e c o n c a v e r e g i o n
t h e s t r e a k s d e c r e a s e c o n s i d e r a b l y i n c o n t r a s t b u t r e m a i n v i s i b l e b a c k t o
t h e j a g g e d t r a n s i t i o n l i n e .

T h i s i n d i c a t e s d a m p i n g o f t h e G ö r t l e r

v o r t i c e s i n t h e c o n v e x r e g i o n w h i c h i s c o n f i r m e d b y t h e l a s e r
v e l o c i m e t e r m e a s u r e m e n t s d i s c u s s e d b e l o w.

F u r t h e r m o r e , i n t h e

c o n v e x z o n e , o c c a s i o n a l v o r t e x m e r g e r s a r e v i s i b l e .

F i g u r e s 5 a n d 6 s h o w t h e v a r i a t i o n o f t h e s t r e a m w i s e v e l o c i t y
c o m p o n e n t a l o n g t h e s p a n f r o m 1 . 5 t o 4 . 5 c m l e f t o f m i d s p a n a t s e v e r a l
h e i g h t s a b o v e t h e m o d e l s u r f a c e f o r c h o r d R e y n o l d s n u m b e r s o f 1 . 0 a n d
2 . 1 m i l l i o n , r e s p e c t i v e l y. T h e s e R e y n o l d s n u m b e r s c o r r e s p o n d t o M a c h
n u m b e r s o f 0 . 0 2 4 a n d 0 . 0 5 . T h e m e a s u r e m e n t s p r e s e n t e d a r e f o r c h o r d
l o c a t i o n s o f

x / c = 0 . 1 5 , 0 . 1 7 5 , 0 . 2 0 , 0 . 2 2 5 , 0 . 2 5 , 0 . 2 7 5 , 0 . 3 0 , a n d 0 . 3 3 7 5

f o r

M

¥

= 0 . 0 5 a n d a l l o f t h e s e e x c e p t

x / c = 0 . 1 5 f o r M

¥

= 0 . 0 2 4 . T h e

f i r s t a n d l a s t o f t h e s e l o c a t i o n s a r e j u s t a h e a d a n d a f t o f t h e c o n c a v e
z o n e , r e s p e c t i v e l y. A l l t h r e e b o u n d a r y - l a y e r v e l o c i t y c o m p o n e n t s w e r e
m e a s u r e d , b u t o n l y t h e s t r e a m w i s e b o u n d a r y - l a y e r c o m p o n e n t d a t a a r e
s h o w n s i n c e t h i s c o m p o n e n t i s m u c h l a r g e r t h a n t h e o t h e r t w o . T h e
s p a n w i s e s c a n l i n e s f o r t h e h i g h e r R e y n o l d s n u m b e r d a t a w e r e t a k e n i n
a v e r t i c a l p l a n e . T h e s c a n n i n g m e t h o d w a s l a t e r c h a n g e d s o t h a t t h e
s c a n l i n e s f o r t h e l o w e r R e y n o l d s n u m b e r d a t a l i e i n a p l a n e n o r m a l t o
t h e m o d e l s u r f a c e . F i g u r e s 5 a n d 6 s h o w a g e n e r a l d e c r e a s e i n v e l o c i t y
w i t h i n c r e a s i n g

z . T h i s i s c a u s e d b y m i n u t e d e f l e c t i o n s o f t h e f l o o r

s u p p o r t i n g t h e h e a v y l a s e r o p t i c s t r a v e r s i n g m e c h a n i s m . T h e h e i g h t s

y

i n d i c a t e d o n t h e f i g u r e k e y s a r e c o r r e c t a t

z = 1 . 5 c m . T h e m a x i m u m

d e f l e c t i o n o f t h e l a s e r c o n t r o l v o l u m e w a s m e a s u r e d t o b e

∆

y = 0 . 0 1 8 c m . T h e c o n c a v e r e g i o n o f t h e m o d e l b e g i n s a t x / c = 0 . 1 7 5 .

H o w e v e r, f i g u r e s 5 ( a ) , 6 ( a ) , a n d 6 ( b ) s h o w s m a l l , b u t d e f i n i t e , p e r i o d i c
v e l o c i t y v a r i a t i o n s a l o n g t h e s p a n a t

x / c = 0 . 1 7 5 . T h e d i s t u r b a n c e

w a v e l e n g t h w a s d e t e r m i n e d b y d i r e c t e x a m i n a t i o n o f t h e s t r e a m w i s e
v e l o c i t y p l o t s a n d b y e x a m i n a t i o n o f t h e a u t o c o v a r i a n c e f u n c t i o n
d e t e r m i n e d u s i n g t h e Fa s t Fo u r i e r T r a n s f o r m ( F F T ) t e c h n i q u e .

Fo r

G

M

= 2 9 . 9 , f i g u r e 5 ( d ) s h o w s t h a t t h e p e r i o d i c v e l o c i t y p a t t e r n i s

w e l l d e v e l o p e d b y

x / c = 0 . 2 5 . T h e i n c r e a s e o f t h e d i s t u r b a n c e a m p l i t u d e

f r o m

x / c = 0 . 1 7 5 t o 0 . 2 7 5 i s c l e a r l y e v i d e n t ( f i g s . 5 ( a ) - ( e ) ) . I n t h e

c o n v e x z o n e b e y o n d

x / c = 0 . 2 7 5 , t h e d i s t u r b a n c e a m p l i t u d e d e c r e a s e s

( f i g . 5 ( f ) a n d 5 ( g ) ) . T h e d i m e n s i o n a l d i s t u r b a n c e w a v e l e n g t h r e m a i n s
e s s e n t i a l l y c o n s t a n t a t

λ

= 0 . 6 c m t h r o u g h o u t t h e m e a s u r e m e n t r a n g e

6

a t a l l h e i g h t s e x c e p t p o s s i b l y n e a r t h e b o u n d a r y - l a y e r e d g e a t
x / c = 0 . 2 7 5 w h e r e a d o u b l i n g o r t r i p l i n g o f t h e w a v e l e n g t h m a y b e
b e g i n n i n g .

Fo r

G

M

= 3 6 . 0 , t h e d i s t u r b a n c e v e l o c i t y p a t t e r n i s m o r e c o m p l e x .

Pe r i o d i c s p a n w i s e v a r i a t i o n s a r e c l e a r l y e v i d e n t f r o m

x / c = 0 . 1 5 ,

( f i g . 6 ( a ) ) a n d a r e w e l l d e v e l o p e d a t t h e l o w e r l e v e l s o f t h e b o u n d a r y
l a y e r b y

x / c = 0 . 2 2 5 ( f i g .

6 ( d ) ) .

H o w e v e r, a s t r o n g s e c o n d a r y

d i s t u r b a n c e w i t h w a v e l e n g t h 4 t o 5 t i m e s t h a t o f t h e b a s i c i n s t a b i l i t y
a b r u p t l y a p p e a r s a t

x / c = 0 . 2 2 5 ( f i g . 6 ( d ) ) . T h e m a x i m u m v e l o c i t y

d i f f e r e n c e r e a c h e s s i x t y p e r c e n t o f t h e l o c a l e d g e v e l o c i t y f o r

y = 0 . 2 c m

( f i g .

6 ( d ) ) .

T h i s s e c o n d a r y i n s t a b i l i t y h a s b e e n n o t e d b e f o r e b y

Wo r t m a n

20

a n d B i p p e s

10

. T h e s e c o n d a r y d i s t u r b a n c e d e c a y s m a r k e d l y

i n t h e a c c e l e r a t e d f l o w r e g i o n b e y o n d

x / c = 0 . 2 2 5 a n d t h e f o l l o w i n g

c o n v e x r e g i o n ( f i g . 6 ( d ) - 6 ( h ) ) . Vi s u a l e x a m i n a t i o n o f t h e v e l o c i t y p l o t s
a n d t h e a u t o c o v a r i a n c e f u n c t i o n s f o r t h e d a t a o f f i g u r e 6 i n d i c a t e a
d i s t u r b a n c e w a v e l e n g t h o f

λ

= 0 . 3 c m .

T h i s w a v e l e n g t h i s c l e a r l y

e v i d e n t f r o m

x / c = 0 . 2 2 5 t o 0 . 3 0 .

At

x / c = 0 . 3 3 7 5 , t h e d o m i n a n t

w a v e l e n g t h a p p e a r s t o b e

λ

= 0 . 6 c m o r t w i c e t h e b a s i c w a v e l e n g t h ;

h o w e v e r, t h e a u t o c o v a r i a n c e f u n c t i o n s f o r t h i s d a t a i n d i c a t e t h a t
v a r i a t i o n s o f t h e s h o r t e r w a v e l e n g t h a r e s t i l l p r e s e n t .

L a s e r v e l o c i m e t e r m e a s u r e m e n t s o f s t r e a m w i s e v e l o c i t y a t a l l c h o r d
l o c a t i o n s a s w e l l a s a t a l l h e i g h t s a b o v e t h e s u r f a c e w e r e u s e d t o
d e t e r m i n e d i s t u r b a n c e w a v e l e n g t h , u s i n g a u t o c o v a r i a n c e f u n c t i o n .
E x c e p t w h e r e s e c o n d a r y i n s t a b i l i t y w a s p r e s e n t , t h e w a v e l e n g t h d i d
n o t v a r y b y m o r e t h a n 1 0 % t h r o u g h o u t t h e m e a s u r e m e n t z o n e a t a g i v e n
f r e e s t r e a m c o n d i t i o n .

W a v e l e n g t h s , d e t e r m i n e d f r o m l a s e r

m e a s u r e m e n t s , a g r e e w e l l w i t h t h o s e o b s e r v e d i n f l o w v i s u a l i z a t i o n . A s
i n a l l p r e v i o u s e x p e r i m e n t s , t h e d i m e n s i o n a l w a v e l e n g t h o f t h e
d i s t u r b a n c e w a s c o n s e r v e d i n t h e f l o w d i r e c t i o n b u t u n l i k e e a r l i e r
e x p e r i m e n t s t h e w a v e l e n g t h w a s o b s e r v e d t o v a r y a p p r e c i a b l y w i t h f r e e
s t r e a m c o n d i t i o n s . T h e v a r i a t i o n i n w a v e l e n g t h w a s m o s t n o t i c e a b l e a t
l o w e r s p e e d s a s s e e n f r o m f i g u r e 7 w h e r e

λ

i s p l o t t e d a g a i n s t G ö r t l e r

n u m b e r. T h e t h e o r e t i c a l c u r v e c o r r e s p o n d s t o w a v e l e n g t h c o m p u t e d
f r o m m a x i m u m a m p l i f i c a t i o n c o n d i t i o n s .

3

I t i s s e e n t h a t e x p e r i m e n t a l

v a l u e s o f

λ

l i e v e r y c l o s e t o w a v e l e n g t h s p r e d i c t e d o n t h e b a s i s o f l i n e a r

t h e o r y. T h e n o n d i m e n s i o n a l w a v e l e n g t h p a r a m e t e r

Λ

o b t a i n e d f r o m

f l o w v i s u a l i z a t i o n a n d l a s e r v e l o c i m e t e r m e a s u r e m e n t s i s a l s o s h o w n
p l o t t e d a s a f u n c t i o n o f G ö r t l e r n u m b e r

G

M

i n f i g u r e 8 w h e r e i t i s

c o m p a r e d w i t h e x i s t i n g e x p e r i m e n t a l d a t a a n d F l o r y a n ’ s

3

t h e o r e t i c a l

r e s u l t s .

7

C o n c l u s i o n s

1 .

A f i x e d , e s s e n t i a l l y u n i f o r m , v o r t e x s p a c i n g w a s o b s e r v e d i n t h e
c o n c a v e z o n e b y b o t h f l o w v i s u a l i z a t i o n a n d l a s e r v e l o c i m e t e r
m e a s u r e m e n t s f o r e a c h f l o w c o n d i t i o n .

2 .

B o t h f l o w v i s u a l i z a t i o n a n d l a s e r v e l o c i m e t e r m e a s u r e m e n t s
s h o w a v o r t e x w a v e l e n g t h w h i c h v a r i e d w i t h G ö r t l e r n u m b e r i n
a c c o r d a n c e w i t h l i n e a r s t a b i l i t y t h e o r y.

3 .

A s i g n i f i c a n t , a b r u p t d e c r e a s e i n s t r e a k c o n t r a s t i n d i c a t e d v o r t e x
d a m p i n g i n t h e c o n v e x z o n e .

4 .

T h e v e l o c i t y m e a s u r e m e n t s s h o w e d b o t h d i s t u r b a n c e
a m p l i f i c a t i o n i n t h e c o n c a v e z o n e a n d d a m p i n g i n t h e f o l l o w i n g
c o n v e x z o n e .

5 .

F l o w v i s u a l i z a t i o n d i d n o t i n d i c a t e a v o r t e x p a t t e r n a h e a d o f t h e
c o n c a v e z o n e ; h o w e v e r, v e l o c i t y m e a s u r e m e n t s i n d i c a t e d s m a l l
s p a n w i s e v a r i a t i o n s o f t h e s t r e a m w i s e v e l o c i t y c o m p o n e n t a t o r
j u s t a h e a d o f t h e b e g i n n i n g o f t h e c o n c a v e z o n e . T h e w a v e l e n g t h
o f t h i s v a r i a t i o n m a t c h e d t h e o b s e r v e d w a v e l e n g t h i n t h e
d o w n s t r e a m c o n c a v e r e g i o n .

6 .

T h e f l o w v i s u a l i z a t i o n s h o w e d s o m e a p p a r e n t v o r t e x m e r g e r s i n
t h e c o n v e x z o n e .

7 .

T h e v e l o c i t y m e a s u r e m e n t s i n d i c a t e d a s t a t i o n a r y s e c o n d a r y
i n s t a b i l i t y i n t h e c o n c a v e z o n e .

A c k n o w l e d g m e n t s

T h i s r e s e a r c h w a s i n i t i a t e d w h e n t h e f i r s t a u t h o r w a s a R e s e a r c h
A s s o c i a t e i n t h e N a t i o n a l R e s e a r c h C o u n c i l A s s o c i a t e s h i p P r o g r a m .
T h e a u t h o r s w i s h t o s i n c e r e l y t h a n k W. P f e n n i n g e r a n d W. D. H a r v e y f o r
t h e i r u s e f u l c o m m e n t s a n d d i s c u s s i o n s a t v a r i o u s s t a g e s o f t h e
e x p e r i m e n t .

R e f e r e n c e s

1 .

G ö r t l e r, H . :

I n s t a b i l i t a t l a m i n a r e n G r e n z c h i c h t e n a n k o n k a v e n

Wa n d e n g e g e n i i b e r g e w i s s e n d r e i d i m e n s i o n a l e n S t o r u n g e n .
Z A M M Vo l . 2 1 . , N o . 1 , 1 9 4 1 , p p . 2 5 0 - 2 5 2 .

8

2 .

H e r b e r t , T h . :

O n t h e s t a b i l i t y o f t h e b o u n d a r y l a y e r a l o n g a

c o n c a v e w a l l . A r c h . M e c h a n i k i S t o s o w a n e j , Vo l . 2 8 , N o . 5 - 6 , 1 9 7 6 ,
p p . 1 0 3 9 - 1 0 5 5 .

3 .

F l o r y a n , J. M . :

S t a b i l i t y o f B o u n d a r y - L a y e r F l o w s o v e r C u r v e d

Wa l l s .

P h . D. T h e s i s , Vi r g i n i a Po l y t e c h n i c I n s t i t u t e a n d S t a t e

U n i v e r s i t y, B l a c k s b u r g , VA . , J a n . 1 9 8 0 .

4 .

F l o r y a n , H . M . a n d S a r i c , W. S. :

S t a b i l i t y o f G ö r t l e r Vo r t i c e s i n

B o u n d a r y L a y e r s . A I A A J. , Vo l . 2 0 , N o . 3 , M a r c h 1 9 8 3 , p p . 3 1 6 -
3 2 4 .

5 .

H a l l , P. :

T h e L i n e a r D e v e l o p m e n t o f G ö r t l e r Vo r t i c e s i n G r o w i n g

B o u n d a r y L a y e r . J. F l u i d M e c h . , Vo l . 3 0 , 1 9 8 3 , p p . 4 1 - 5 8 .

6 .

Ta n i , I . :

S o m e A s p e c t s o f B o u n d a r y - L a y e r T r a n s i t i o n a t S u b s o n i c

S p e e d s . A d v a n c e s I n A e r o n a u t i c a l S c i e n c e s , Vo l . 3 , 1 9 6 1 , p p . 1 4 3 -
1 6 0 .

7 .

Ta n i , I . :

P r e d i c t i o n o f L o n g i t u d i n a l Vo r t i c e s i n t h e B o u n d a r y

L a y e r A l o n g a C u r v e d Wa l l .

J. G e o p h y s . R e s . , Vo l . 6 7 , 1 9 6 2 ,

p p . 3 0 7 5 - 3 0 8 0 .

8 .

Ta n i , I . a n d A i h a r a , Y. :

G ö r t l e r Vo r t i c e s a n d B o u n d a r y - L a y e r

T r a n s i t i o n . Z A M P, Vo l . 2 0 , 1 9 6 9 , p p . 6 0 9 - 6 1 8 .

9 .

Ta n i , I . a n d S a k a g a m i , J. :

B o u n d a r y - L a y e r I n s t a b i l i t y a t S u b s o n i c

S p e e d s . P r o c . I CA S, T h i r d C o n g r e s s , S t o c k h o l m , 1 9 6 2 , p p . 3 9 1 -
4 0 3 .

1 0 .

B i p p e s , H . :

E x p e r i m e n t a l S t u d y o f t h e L a m i n a r - T u r b u l e n t

T r a n s i t i o n o n a C o n c a v e Wa l l i n a Pa r a l l e l F l o w . N A S A T M 7 5 2 4 3 ,
1 9 7 8 .

1 1 .

M c C o r m a c k , P. D. ,

e t a l : Ta y l o r- G ö r t l e r Vo r t i c e s a n d T h e i r E f f e c t

o n H e a t T r a n s f e r .

J. H e a t T r a n s f e r, T r a n s . A S M E , Fe b . 1 9 8 0 ,

p p . 1 0 1 - 1 1 2 .

1 2 .

Wi n o t o , S. H . ,

e t a l : M e a s u r e m e n t s w i t h i n G ö r t l e r Vo r t i c e s .

J.

F l u i d s E n g i n e e r i n g , T r a n s . A S M E , Vo l . 1 0 1 , 1 9 7 9 , p p . 5 1 7 - 5 2 0 .

1 3 .

Yu r c h e n k o , N. F. ,

e t a l : E x p e r i m e n t a l I n v e s t i g a t i o n o f G ö r t l e r

I n s t a b i l i t y i n B o u n d a r y L a y e r.

i n : S t r a t i f i e d a n d T u r b u l e n t

F l o w s / i n R u s s i a n / , N a u k a D u m k a , K i e v, 1 9 7 9 , p p . 5 0 - 5 9 .

9

1 4 .

B a b e n k o , V. V. , a n d Yu r c h e n k o , N. F. :

E x p e r i m e n t a l I n v e s t i g a t i o n

o f G ö r t l e r I n s t a b i l i t y o n R i g i d a n d E l a s t i c F l a t P l a t e s .
G i d r o m e k h a n i k a , N o . 4 1 , 1 9 8 0 , p p . 1 0 3 - 1 0 8 .

1 5 .

Yu r c h e n k o , N. F. :

E x p e r i m e n t a l I n v e s t i g a t i o n o f S t r e a m w i s e

Vo r t i c e s i n B o u n d a r y L a y e r . I n z h . F i z . Z h u r n a l , Vo l . X L I , N o . 6 ,
D e c e m b e r 1 9 8 1 , p p . 9 9 6 - 1 0 0 2 .

1 6 .

S w e a r i n g e n , J. D. a n d B l a c k w e l d e r, R . F. :

Pa r a m e t e r s C o n t r o l l i n g

t h e S p a c i n g o f S t r e a m w i s e Vo r t i c e s o n C o n c a v e Wa l l s . A I A A 2 1
A e r o s p a c e S c i e n c e s M e e t i n g , R e n o , N e v a d a , 1 9 8 3 . ( A I A A - 8 3 -
0 3 8 0 ) .

1 7 .

S t a i n b a c k , P. C . , a n d O w e n , F. K . :

D y n a m i c F l o w Q u a l i t y

M e a s u r e m e n t s i n t h e L a n g l e y L o w -T u r b u l e n c e P r e s s u r e T u n n e l .
Pa p e r N o . 8 4 - 0 6 2 1 , A I A A 1 3

A e r o d y n a m i c Te s t i n g C o n f e r e n c e ,

S a n D i e g o , C a l i f o r n i a , M a r c h 1 9 8 4 .

1 8 .

M e y e r s , J. F. , a n d H e p n e r, T. E . :

Ve l o c i t y Ve c t o r A n a l y s i s o f a

J u n c t u r e F l o w U s i n g a T h r e e - C o m p o n e n t L a s e r Ve l o c i m e t e r .
S e c o n d I n t e r n a t i o n a l S y m p o s i u m o n A p p l i c a t i o n s o f L a s e r
A n e m o m e t r y t o F l u i d M e c h a n i c s , J u l y 2 - 4 , 1 9 8 4 , L i s b o n ,
Po r t u g a l .

1 9 .

H o l m e s , B . J. , C r o o m , C. C. , a n d O b a r a , C. J. :

S u b l i m a t i n g

C h e m i c a l M e t h o d f o r D e t e c t i n g L a m i n a r B o u n d a r y - L a y e r
T r a n s i t i o n . N A S A Te c h . B r i e f L A R - 1 3 0 8 9 ( 1 9 8 2 ) .

2 0 .

Wo r t m a n , F. X . :

Vi s u a l i z a t i o n o f T r a n s i t i o n .

J. F l u i d M e c h . ,

Vo l . 3 8 , Pa r t 3 , 1 9 6 9 , p p . 4 7 3 - 4 8 0 .

10

F i g u r e 1 . - G ö r t l e r m o d e l i n L T P T .

F i g u r e 2 . - M o d e l s c h e m a t i c d i a g r a m a n d p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n .

11

Porous

structure

B

A

Test

insert

10% c flap

Basic wing

Suction ports

C

p

x/c

F i g u r e 3 . - L a s e r v e l o c i m e t e r o p t i c s .

F i g u r e 4 ( a ) . -

F l o w v i s u a l i z a t i o n u s i n g s u b l i m a t i n g c h e m i c a l s

M

¥

= 0 . 0 5 ,

R

c

= 2 . 2 4 x 1 0

6

.

12

F i g u r e 4 ( b ) . - F l o w v i s u a l i z a t i o n u s i n g s u b l i m a t i n g c h e m i c a l s

M

¥

= 0 . 0 7 5 ,

R

c

= 3 . 2 1 x 1 0

6

.

F i g u r e 4 ( c ) . - F l o w v i s u a l i z a t i o n u s i n g s u b l i m a t i n g c h e m i c a l s

M

¥

= 0 . 0 8 9 ,

R

c

= 3 . 6 7 x 1 0

6

.

13

F i g u r e 5 ( a ) . -

S p a n w i s e v a r i a t i o n o f s t r e a m w i s e v e l o c i t y c o m p o n e n t

R

c

= 1 . 0 x 1 0

6

,

M

¥

= 0 . 0 2 4 ,

G = 29.9, x/c = 0.175.

F i g u r e 5 ( b ) . -

S p a n w i s e v a r i a t i o n o f s t r e a m w i s e v e l o c i t y c o m p o n e n t

R

c

= 1 . 0 x 1 0

6

,

M

¥

= 0 . 0 2 4 ,

G = 29.9, x/c = 0.20.

14

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

U/U

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

Z, cm

Y = 0.14

Y = 0.09

Y = 0.06

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

U/U

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

Z, cm

Y = 0.14

Y = 0.09

Y = 0.04

F i g u r e 5 ( c ) . -

S p a n w i s e v a r i a t i o n o f s t r e a m w i s e v e l o c i t y c o m p o n e n t

R

c

= 1 . 0 x 1 0

6

,

M

¥

= 0 . 0 2 4 ,

G = 29.9, x/c = 0.225.

F i g u r e 5 ( d ) . -

S p a n w i s e v a r i a t i o n o f s t r e a m w i s e v e l o c i t y c o m p o n e n t

R

c

= 1 . 0 x 1 0

6

,

M

¥

= 0 . 0 2 4 ,

G = 29.9, x/c = 0.25.

15

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

U/U

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

Z, cm

Y = 0.19

Y = 0.14

Y = 0.09

Y = 0.07

Y = 0.04

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

U/U

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

Z, cm

Y = 0.18

Y = 0.13

Y = 0.09

Y = 0.06

Y = 0.04

F i g u r e 5 ( e ) . -

S p a n w i s e v a r i a t i o n o f s t r e a m w i s e v e l o c i t y c o m p o n e n t

R

c

= 1 . 0 x 1 0

6

,

M

¥

= 0 . 0 2 4 ,

G = 29.9, x/c = 0.275.

F i g u r e 5 ( f ) . -

S p a n w i s e v a r i a t i o n o f s t r e a m w i s e v e l o c i t y c o m p o n e n t

R

c

= 1 . 0 x 1 0

6

,

M

¥

= 0 . 0 2 4 ,

G = 29.9, x/c = 0.30.

16

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

U/U

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

Z, cm

Y = 0.21

Y = 0.17

Y = 0.13

Y = 0.08

Y = 0.06

Y = 0.04

Y = 0.02

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

U/U

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

Z, cm

Y = 0.23

Y = 0.18

Y = 0.14

Y = 0.09

Y = 0.07

Y = 0.04

F i g u r e 5 ( g ) . -

S p a n w i s e v a r i a t i o n o f s t r e a m w i s e v e l o c i t y c o m p o n e n t

R

c

= 1 . 0 x 1 0

6

,

M

¥

= 0 . 0 2 4 ,

G = 29.9, x/c = 0.3375.

F i g u r e 6 ( a ) . -

S p a n w i s e v a r i a t i o n o f s t r e a m w i s e v e l o c i t y c o m p o n e n t

R

c

= 2 . 1 x 1 0

6

,

M

¥

= 0 . 0 5 ,

G = 36.0, x/c = 0.15.

17

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

U/U

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

Z, cm

Y = 0.14

Y = 0.09

Y = 0.07

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

U/U

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

Z, cm

Y = 0.19

Y = 0.14

Y = 0.09

F i g u r e 6 ( b ) . -

S p a n w i s e v a r i a t i o n o f s t r e a m w i s e v e l o c i t y c o m p o n e n t

R

c

= 2 . 1 x 1 0

6

,

M

¥

= 0 . 0 5 ,

G = 36.0, x/c = 0.175.

F i g u r e 6 ( c ) . -

S p a n w i s e v a r i a t i o n o f s t r e a m w i s e v e l o c i t y c o m p o n e n t

R

c

= 2 . 1 x 1 0

6

,

M

¥

= 0 . 0 5 ,

G = 36.0, x/c = 0.20.

18

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

U/U

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

Z, cm

Y = 0.14

Y = 0.09

Y = 0.07

Y = 0.04

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

U/U

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

Z, cm

Y = 0.14

Y = 0.09

Y = 0.07

Y = 0.05

F i g u r e 6 ( d ) . -

S p a n w i s e v a r i a t i o n o f s t r e a m w i s e v e l o c i t y c o m p o n e n t

R

c

= 2 . 1 x 1 0

6

,

M

¥

= 0 . 0 5 ,

G = 36.0, x/c = 0.225.

F i g u r e 6 ( e ) . -

S p a n w i s e v a r i a t i o n o f s t r e a m w i s e v e l o c i t y c o m p o n e n t

R

c

= 2 . 1 x 1 0

6

,

M

¥

= 0 . 0 5 ,

G = 36.0, x/c = 0.25.

19

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

U/U

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

Z, cm

Y = 0.50

Y = 0.40

Y = 0.30

Y = 0.20

Y = 0.15

Y = 0.11

Y = 0.06

Y = 0.05

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

U/U

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

Z, cm

Y = 0.30

Y = 0.20

Y = 0.15

Y = 0.11

Y = 0.05

F i g u r e 6 ( f ) . -

S p a n w i s e v a r i a t i o n o f s t r e a m w i s e v e l o c i t y c o m p o n e n t

R

c

= 2 . 1 x 1 0

6

,

M

¥

= 0 . 0 5 ,

G = 36.0, x/c = 0.275.

F i g u r e 6 ( g ) . -

S p a n w i s e v a r i a t i o n o f s t r e a m w i s e v e l o c i t y c o m p o n e n t

R

c

= 2 . 1 x 1 0

6

,

M

¥

= 0 . 0 5 ,

G = 36.0, x/c = 0.30.

20

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

U/U

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

Z, cm

Y = 0.30

Y = 0.25

Y = 0.20

Y = 0.15

Y = 0.11

Y = 0.05

Y = 0.03

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

U/U

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

Z, cm

Y = 0.25

Y = 0.20

Y = 0.15

Y = 0.11

Y = 0.05

F i g u r e 6 ( h ) . -

S p a n w i s e v a r i a t i o n o f s t r e a m w i s e v e l o c i t y c o m p o n e n t

R

c

= 2 . 1 x 1 0

6

,

M

¥

= 0 . 0 5 ,

G = 36.0, x/c = 0.3375.

F i g u r e 7 . -

V a r i a t i o n o f d i m e n s i o n a l w a v e l e n g t h w i t h G ö r t l e r n u m b e r ,

c o m p a r i s o n w i t h t h e o r y .

21

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

U/U

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

Z, cm

Y = 0.20

Y = 0.15

Y = 0.11

Y = 0.07

Y = 0.05

50

45

40

35

30

25

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Wavelength, , cm

λ

Görtler

number

,G

M

Theory (ref. 3)
Flow visualization
Laser velocimetry

F i g u r e 8 . - V a r i a t i o n o f n o n d i m e n s i o n a l w a v e l e n g t h p a r a m e t e r w i t h G ö r t l e r

n u m b e r , c o m p a r i s o n w i t h t h e o r y a n d o t h e r e x p e r i m e n t s .

22

Ref. 9

Ref. 10

Theory, Ref. 3

Present, flow visualization

Present, laser velocimeter

40
20
10
5
2
1
0.5
0.2
0.1
0.05
0.02
0.01

0.0

Maximum amplification

-4
-2

-1

-0.5

-0.1

100

10

1

0.1

Görtler

number

,G

10

1

10

2

10

3

10

4

Wavelength parameter,

Λ