Elementy algebry abstrakcyjnej
Grupy
1. Które z nast¦puj¡cych zbiorów stanowi¡ grup¦ wzgl¦dem wskazanego dziaªania:
1) Zbiór liczb caªkowitych parzystych, ze wzgl¦du na zwykªe dodawanie,
2) Zbiór liczb caªkowitych nieparzystych, ze wzgl¦du na zwykªe mno»enie,
3) Zbiór caªkowitych wielokrotno±ci liczby naturalnej n, ze zwykªym dodawaniem,
4) Zbiór macierzy kwadratowych stopnia
n
, o wyrazach rzeczywistych, wraz z
mno»eniem macierzowym,
5) Zbiór macierzy kwadratowych, nieosobliwych, stopnia n, wraz z mno»eniem
macierzowym.
2. W zbiorze liczb caªkowitych okre±lamy dziaªanie
a
◦ b = a + b + 2.
Czy zbiór liczb caªkowitych stanowi grup¦ ze wzgl¦du na to dziaªanie?
3. W zbiorze liczb rzeczywistych nale»¡cych do przedziaªu A = [−1, ∞) okre±lamy
dziaªanie
a
∗ b = ab + a + b.
Sprawdzi¢, czy zbiór A wraz z dziaªaniem ∗ stanowi grup¦ abelow¡.
4. Niech (G
1
,
◦) oraz (G
2
,
) b¦da dwiema grupami. Udowodni¢, »e zbiór par
(g
1
, g
2
) ,
gdzie g
1
∈ G
1
,
g
2
∈ G
2
, tworzy grup¦ wzgl¦dem dziaªania okre±lonego
wzorem:
(g
1
, g
2
)
5 (g
0
1
, g
0
2
) = (g
1
◦ g
0
1
, g
2
g
0
2
) ,
g
1
, g
0
1
∈ G
1
, g
2
, g
0
2
∈ G
2
.
Grup¦ t¦ nazywamy sum¡ prost¡ grup (G
1
,
◦) oraz (G
2
,
) .
5
?
. Niech G = [0, 2). Okre±lmy w G dziaªanie
a
⊕ b = a + b − 2 [a + b] .
Sprawdzi¢, czy G wraz z dziaªaniem ⊕ stanowi grup¦.
6. Zbada¢, czy zbiór wielomianów R[x] podzielnych przez wielomian x
2
+ 1
stanowi grup¦ ze wzgl¦du na mno»enie.
7.
Wykaza¢, »e zbiór B
n
wszystkich ciagów n-elementowych (a
1
, a
2
, ..., a
n
)
,
których elementami s¡ zera i jedynki jest grup¡ abelow¡ sko«czon¡ wzgl¦dem dzi-
aªania
(a
1
, a
2
, ..., a
n
)
5 (b
1
, b
2
, ..., b
n
) =
a
1
+
2
b
1
, a
2
+
2
b
2
, ..., a
n
+
2
b
n
.
1
Okre±li¢ rz¡d tej grupy.
8. Udowodni¢, »e grupa której ka»dy element speªnia warunek a
2
= e (e
-element neutralny)
jest abelowa.
9. Sprawdzi¢, czy zbiór liczb rzeczywistych z dziaªaniem
x ~ y =
5
√
x +
5
√
y
5
, x, y
∈ R,
stanowi grup¦ abelow¡.
10. Centrum grupy
G
nazywamy zbiór tych elementów
G,
które s¡
przemienne z dowolnym elementem grupy G :
Z(G) =
a
∈ G; ∧
g
∈G
ag = ga
.
Wykaza¢, »e Z (G) jest podgrup¡ grupy G.
11. Wyznaczy¢ centrum grupy macierzy postaci:
1 a b
0 1 c
0 0 1
,
gdzie a, b, c ∈ R.
12. Czy nast¦puj¡ca podgrupa grupy wszystkich izometrii pªaszczyzny jest cyk-
liczna:
a) podgrupa wszystkich przesuni¦¢,
b) podgrupa przesuni¦¢ o ustalony wektor v,
c) podgrupa zªo»ona z to»samo±ci i ustalonej symatrii osiowej,
d) podgrupa obrotów dokoªa ustalonego punktu o k¡t π,
e) podgrupa wszystkich obrotów dokoªa ustalonego punktu?
13.
Udowodni¢, »e dla dowolnej liczby naturalnej n, grupa reszt Z/n jest
cykliczna.
Grupy permutacji
14. Obliczy¢ τσ, τσ
2
, στ σ
−1
, (τ σ)
2
, στ
−1
,
gdzie
σ =
1 2 3 4 5 6 7 8
7 3 1 8 2 4 5 6
,
τ =
1 2 3 4 5 6 7 8
4 8 6 5 2 3 1 7
.
15. Rozªo»y¢ na iloczyn cykli permutacje:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
8 3 1 7 2 9 6 4 5
,
1 2 3 4 5 6 7 8 9
6 8 4 5 2 9 1 7 3
.
2
16. Znale¹¢ permutacj¦ ξ speªniaj¡ca równanie τξσ = ρ, gdzie
σ =
1 2 3 4 5
5 3 1 4 2
,
τ =
1 2 3 4 5
4 5 1 2 3
,
ρ =
1 2 3 4 5
2 4 5 3 1
.
17. Niech
σ =
1 2 3 4 5 6 7 8 9
8 5 1 9 2 7 6 4 3
, τ =
1 2 3 4 5 6 7 8 9
6 9 1 4 2 3 7 8 5
.
a) Przedstawi¢ permutacje w postaci iloczynu transpozycji.
b) Obliczy¢ sgn σ, i sgn τ.
18. Dla jakich liczb naturalnych n permutacja
1
2
... n
− 1 n
n n
− 1 ...
2
1
jest parzysta ?
19. Obliczy¢ ilo±¢ inwersji w nast¦puj¡cych ci¡gach:
a)
1, 2, ... , m, n, n
− 1, ... , m + 1
, (m < n) ,
b)
n, n
− 1, ... , m + 1, 1, 2, ... , m
(m < n)
.
Homomorzmy, izomorzmy grup
20. Wskaza¢, które z przeksztaªce« grupy addytywnej liczb caªkowitych na siebie
s¡ homomorzmami:
a) ϕ (n) = 2n,
b) ϕ (n) = 2n + 1,
c) ϕ (n) = n?
W przypadku gdy ϕ jest homomorzmem wyznaczy¢ j¡dro.
21. Wykaza¢, »e grupa macierzy nieosobliwych stopnia n o elementach rzeczy-
wistych odwzorowuje si¦ homomorcznie na grup¦ multiplikatywn¡ liczb rzeczy-
wistych. Co jest j¡drem tego homomoprzmu?
22. Dla jakich grup odwzorowanie a → a
−1
jest automorzmem?
23. Zbada¢, czy grupa multiplikatywna liczb rzeczywistych ró»nych od zera jest
izomorczna z grup¡ addytywn¡ liczb rzeczywistych.
24
∗
. Wyznaczy¢ nietrywialny homomorzm grup:
3
a) Z/8 → Z/12,
b) Z/12 → Z/8.
25
∗∗
. Wykaza¢, »e zbiór A = [0, 1) z dziaªaniem
x
⊕ y = x + y − [x + y]
jest grup¡ izomorczn¡ z grup¡ multiplikatywn¡ liczb zespolonych o module równym
jeden.
26. Wykaza¢, »e zbiór U macierzy postaci
1 x
0 1
,
gdzie x ∈ R, stanowi podgrup¦ macierzy trójk¡tnych stopnia 2 izomorczn¡ z
multiplikatywn¡ grup¡ R
+
.
27. Wykaza¢, »e zbiór obrotów dowolnego n-k¡ta foremnego dokoªa jego ±rodka
stanowi grup¦ izomorczn¡ z pewn¡ podgrup¡ grupy permutacji parzystych grupy
S
n
.
Pier±cienie i ciaªa
28. Sprawdzi¢, które z nast¦pujacych zbiorów s¡ pier±cieniami (za ka»dym razem
jako dzialania rozpatruje si¦ zwykªe w tym zbiorze dodawanie i mno»enie):
a) zbiór liczb zespolonych postaci bi, gdzie b jest liczba rzeczywist¡,
b zbiór liczb postaci a + b
√
2 + c
√
3,
gdzie a, b, c s¡ liczbami wymiernymi,
c) zbiór liczb postaci
a + b
√
2 + c
√
3 + d
√
6,
gdzie
a, b, c, d
s¡ liczbami
wymiernymi,
d) zbiór macierzy postaci
a
b
2b a
,
gdzie a, b s¡ liczbami wymiernymi,
e) zbiór funkcji rzeczywistych okre±lonych na prostej.
29. W pier±cieniu Z/10 rozwi¡za¢ ukªad równa«
x + y = 3,
x
− y = 1.
30. W Z/12 rozwi¡za¢ równania
a)
x
2
− 7x = 0,
b)
x
3
− 2x
2
+ 3 = 0,
c)
(x
− 1) (x + 1) = 1.
4
31. Czy zbiór wektorów przestrzeni R
3
wraz z dodawaniwm wektorów i iloczynem
wektorowym stanowi pier±cie«? Czy istniej¡ tu dzielniki zera?
32. Sprawdzi¢, które z nast¦pujacych zbiorów s¡ ciaªami (za ka»dym razem jako
dzialania rozpatruje si¦ zwykªe w tym zbiorze dodawanie i mno»enie):
a) wielomiany o wspóªczynnikach caªkowitych,
b) zbiór liczb postaci a + b
3
√
2 + c
3
√
4,
gdzie a, b, c s¡ liczbami wymiernymi?
c) zbiór postaci a + b
3
√
2
, gdzie a, b s¡ liczbami wymiernymi.
33. Udowodni¢,»e zbiór liczb rzeczywistych z dziaªaniami
a
⊕ b = a + b + 1,
a } b = a + b + ab
jest ciaªem. (Nie jest to ciaªo liczbowe.)
Homomorzmy, izomorzmy ciaª i pier±cieni
34. Czy ciaªo liczbowe zªo»one z liczb postaci: a + b
√
2,
a, b
∈ Q, jest izomor-
czne z ciaªem liczbowym zªo»onym z liczb postaci: a + b
√
3,
a, b
∈ Q?
35. Udowodni¢, »e ciaªo macierzy postaci
a
b
2b a
,
gdzie a, b ∈ Q, jest izomorczne z ciaªem liczb postaci a + b
√
2,
a, b
∈ Q.
36. Udowodni¢, »e pier±cie« wielomianów jednej zmiennej o wspóªczynnikach rzeczy-
wistych odwzorowuje sie homomorcznie na ciaªo liczb rzeczywistych.
Wielomiany
37. Na przykªadzie odpowiednio dobranych wielomianów o wspóªczynnikach z pier±-
cienia Z/8 pokaza¢,»e stopie« iloczynu dwu wielomianów mo»e by¢ mniejszy od
sumy stopni czynników.
38. Wykaza¢, »e wielomiany 1 − x oraz 1 − x
3
okre±laj¡ w ciele Z/3 jedn¡
i t¦ sam¡ funkcj¦.
39. Znale¹¢ warto±ci wielomianów
x
5
+ 3x
4
− x
2
+ 1,
3x
5
+ 2x
4
− 2x
2
+ x
− 3,
w pier±cieniu Z/6, dla x = 3.
5
40. Przedstawi¢ wielomian
x
4
+ 3x
3
+ x
2
+ x + 2
z pier±cienia wielomianów nad pier±cieniem Z/4 w postaci iloczynu wielomianów
stopnia pierwszego.
41. Obliczy¢ ilorazy i reszty powstaªe z dzielenia podanych wielomianów w R [x].
a) P (x) = 6x
4
+ 3x
2
− x − 3, Q (x) = x
2
− 1,
b) P (x) = x
3
+ 3x
2
− x − 2, Q (x) = x
2
− 2x + 3.
c) P (x) = 2x
7
+ 3x
4
− x + 1, Q (x) = x
3
+ x
4
+ x + 1.
42. Wyznaczy¢ iloraz i reszt¦ z dzielenia wielomianu f przez g w Z [x] oraz
Z/8 [x] ,
gdy
f (x) = 5x
3
+ 2x
2
− x − 7,
g(x) = x
2
+ 3x
− 1.
43. Znale¹¢ wszystkie pierwiastki caªkowite podanych wielomianów:
a) x
3
− 2x
2
+ 5x + 8,
b) x
4
− 7x
3
+ 4x
2
+ 3,
c) 4x
4
− 4x
3
− 7x
2
− x − 2.
44. Znale¹¢ wszystkie pierwiastki wymierne podanych wielomianów:
a) 24x
3
− 10x
2
− 3x + 1,
b) 4x
4
+ x
2
− 3x + 1.
45. Policzy¢ najwi¦kszy wspólny dzielnik wielomianów
8x
5
− 2x
4
− 2x
3
+ 8x
2
− 7x + 2,
x
4
− 4x + 3 ∈ R [x] .
46. Dane s¡ wielomiany
f (x) = 3 (x
− 1)
4
(x + 1)
3
x
2
+ 1
,
g (x) =
−6 (x − 1)
2
(x + 1)
7
x
2
+ 1
2
x
2
+ 4
.
Znale¹¢ najwi¦kszy wspólny dzielnik i najmniejsz¡ wspóln¡ wielokrotno±¢ tych wielo-
mianów.
6