W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
M
ETODA SIŁ
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
1
Olga Kopacz, Adam Łodygowski, Wojciech Pawłowski,
Michał Płotkowiak, Krzysztof Tymper
Konsultacje naukowe: prof. dr hab. J
ERZY
R
AKOWSKI
Poznań 2002/2003
MECHANIKA BUDOWLI 7
3. SPRAWDZENIE
3.1 SPRAWDZENIE GLOBALNE
Sprawdzenie to polega na zbudowaniu pewnego fikcyjnego
(„sztucznego”) wykresu momentów M
S
, będącego sumą wszystkich
wykresów jednostkowych (tzn. M
1
, M
2
, ...,M
i
):
∑
=
=
n
i
i
S
M
M
1
(3.1.1)
Na podstawie tak sporządzonego wykresu obliczamy współczynnik δ
SS
ze
wzoru:
∫
⋅
=
S
S
S
SS
ds
EJ
M
M
δ
(3.1.2)
Okazuje się że spełniona jest następująca zależność:
∑∑
=
=
=
n
i
n
k
ik
SS
1
1
δ
δ
(3.1.3)
Dowód:
∑∑
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
=
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=
⋅
+
+
⋅
+
⋅
+
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
=
+
+
+
⋅
+
+
+
=
=
⋅
=
n
i
n
k
ik
nn
n
S
n
n
S
S
S
S
S
n
S
n
n
S
S
S
SS
ds
EJ
M
M
ds
EJ
M
M
ds
EJ
M
M
ds
EJ
M
M
ds
EJ
M
M
ds
EJ
M
M
ds
M
M
M
M
M
M
EJ
ds
EJ
M
M
1
1
22
21
1
12
11
2
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
2
1
)
(
)
(
1
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
K
K
K
K
K
K
(3.1.4)
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
M
ETODA SIŁ
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
2
W ten sposób otrzymaliśmy możliwość sprawdzenia poprawności
wyliczeń wszystkich uzyskanych współczynników δ
ik
(z pominięciem
∆
ip
).
Jeżeli powyższa równość jest spełniona przeprowadzone dotychczas
obliczenia są prawidłowe. Jeżeli nie, to lokalizujemy dany błąd
sprawdzeniem lokalnym.
3.2 SPRAWDZENIE LOKALNE
Sprawdzenie to, zwane także wierszowym bądź kolumnowym,
polega na zlokalizowaniu danego błędu, przez odrębne rozpatrywanie
(sumowanie) elementów danego wiersza macierzy (lub danej kolumny,
bo macierz ta jest symetryczna). Sumowania te wyrażone są
następującym wzorem:
∑
∫
=
=
=
⋅
=
n
k
ik
S
S
i
is
ds
EJ
M
M
1
...
δ
δ
(3.2.1)
Sprawdzenia poprawności obliczeń ∆
ip
dokonujemy podobnie jak
powyżej. Obliczamy mianowicie ∆
sp
i porównujemy otrzymaną wielkość
z wyrażeniem
∑
=
∆
n
i
ip
1
, gdyż obie wielkości powinny być sobie równe.
∑
∫
=
∆
=
=
⋅
=
∆
n
i
ip
S
S
o
p
sp
ds
EJ
M
M
1
...
(3.2.2)
Dowód tych zależności jest analogiczny jak dla sprawdzenia globalnego.
Po zlokalizowaniu i poprawieniu błędu przystępujemy do dalszej analizy
wyników.
3.3 SPRAWDZENIE WARTOŚCI NIEWIADOMYCH SIŁ
Sprawdzenie to polega na podstawieniu wyznaczonych wielkości
X
k
do równań kanonicznych i stwierdzeniu, że układ równań jest dla
obliczonych wartości sił spełniony.
3.4 SPRAWDZENIE STATYCZNE
To sprawdzenie mówi nam, czy przy wyznaczonych siłach
wewnętrznych spełnione są warunki statycznej równowagi (ΣX=0, ΣY=0,
ΣM=0). Polega ono na wykazaniu, że spełnione są one dla całości układu
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
M
ETODA SIŁ
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
3
jak i dla wybranych jego części. Warto zaznaczyć, że sprawdzenie te nie
bada poprawności wyliczonych X
k
,
a jedynie sprawdza poprawność wykresów sił wewnętrznych od tych
obciążeń (niekoniecznie prawidłowych).
3.5 SPRAWDZENIE KINEMATYCZNE
Sprawdzenie to jest najważniejsze, gdyż tak naprawdę to dopiero
ono mówi nam czy uzyskane wyniki są prawidłowe. Polega na
wykazaniu, że dla wybranych punktów (na ogół punktów, które nie
doznają przemieszczeń w układzie statycznie niewyznaczalnym)
przemieszczenia są równe wartościom rzeczywiście tam występującym.
Zagadnienie wyznaczania przemieszczeń w układach statycznie
niewyznaczalnych wydaje się stosunkowo złożone gdyż zgodnie z
uniwersalną zasadą pracy wirtualnej w celu określenia przemieszczenia,
należy znaleźć wykresy sił wewnętrznych w układzie statycznie
niewyznaczalnym zarówno dla stanu rzeczywistego obciążenia jak i
wirtualnego.
∫
+
⋅
=
⋅
S
n
n
j
ds
EJ
M
M
K
)
(
)
(
1
δ
0
1
=
∆
+
⋅
∑
=
n
k
iP
k
ik
X
δ
oraz
0
1
=
∆
+
⋅
∑
=
n
k
ip
k
ik
X
δ
(3.5.1)
W sukurs przychodzą nam twierdzenia redukcyjne, z których wynika, że
licząc przemieszczenia w układzie statycznie niewyznaczalnym, jeden ze
stanów (rzeczywisty lub wirtualny) możemy wyliczyć dla dowolnego
układu podstawowego.
Pierwsze twierdzenie redukcyjne
W celu obliczenia dowolnego przemieszczenia w układzie statycznie
niewyznaczalnym, wystarczy rozwiązać układ ten od obciążenia
rzeczywistego, zaś wirtualny stan obciążeń określić dla dowolnego
układu podstawowego statycznie wyznaczalnego.
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
M
ETODA SIŁ
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
4
Dowód tego twierdzenia jest następujący (przytoczymy go uwzględniając
w obliczeniach przemieszczeń jedynie wpływ momentów zginających):
∫
⋅
=
⋅
S
n
n
j
ds
EJ
M
M
)
(
)
(
1
δ
Zgodnie z zasadą superpozycji mamy:
n
n
i
o
p
n
n
n
o
p
n
X
M
X
M
X
M
M
M
X
M
X
M
X
M
M
M
⋅
+
+
⋅
+
⋅
+
=
⋅
+
+
⋅
+
⋅
+
=
K
K
2
2
1
)
(
2
2
1
1
)
(
(3.5.2)
Iloczyn w wyrażeniu podcałkowym (dla uproszczenia zapisu pominięto
mianownik EJ) możemy przedstawić jako:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2
2
1
2
2
1
1
2
1
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
n
n
n
n
o
p
n
n
n
n
o
p
n
n
o
p
n
n
o
p
o
p
n
n
o
p
n
n
o
p
X
M
X
M
M
X
M
M
M
M
X
X
M
M
X
M
X
M
M
M
M
X
X
M
M
X
M
M
X
M
M
M
X
X
M
X
M
X
M
M
M
X
M
X
M
X
M
M
X
M
X
M
X
M
M
⋅
+
+
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
+
⋅
+
+
⋅
⋅
+
+
+
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
+
+
+
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
+
+
⋅
+
⋅
+
=
⋅
+
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
⋅
+
+
⋅
+
⋅
+
K
K
K
K
K
K
K
(3.5.3)
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
M
ETODA SIŁ
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
5
Biorąc pod uwagę, że:
∫
=
S
ds
EJ
M
2
1
11
δ
,
∫
⋅
=
=
S
ds
EJ
M
M
2
1
21
12
δ
δ
∫
=
S
ds
EJ
M
2
2
22
δ
,
∫
⋅
=
=
S
n
n
n
ds
EJ
M
M
1
1
1
δ
δ
∫
=
S
n
nn
ds
EJ
M
2
δ
,
∫
⋅
=
=
S
n
n
n
ds
EJ
M
M
2
2
2
δ
δ
∫
⋅
=
∆
S
o
p
p
ds
EJ
M
M
1
1
,
∫
⋅
=
∆
S
o
p
p
ds
EJ
M
M
2
2
,…,
∫
⋅
=
∆
S
o
p
n
np
ds
EJ
M
M
dostaniemy:
∫
⋅
+
∆
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
+
+
∆
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
+
+
∆
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
⋅
S
n
p
o
p
np
nn
n
n
n
n
p
n
n
p
n
n
j
ds
EJ
M
M
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
)
(
2
2
1
1
2
2
22
2
21
1
2
1
1
12
2
11
1
1
)
(
)
(
)
(
1
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
K
K
K
,
(3.5.4)
Na mocy równań kanonicznych metody sił, wartości w nawiasach są
równe zeru.
Ostatecznie twierdzenie to przyjmie postać:
ds
EJ
M
M
ds
EJ
M
M
S
o
n
S
n
n
j
∫
∫
⋅
=
⋅
=
⋅
)
(
)
(
)
(
1
δ
(3.5.5)
Uogólnienie relacji (3.5.5) na przypadek, w którym uwzględnia się wpływ
wszystkich przyczyn na przemieszczenia nie nastręcza żadnych trudności.
Drugie twierdzenie redukcyjne
W celu obliczenia dowolnego przemieszczenia w układzie statycznie
niewyznaczalnym, wystarczy rozwiązać układ ten od obciążenia
wirtualnego, zaś rzeczywisty stan obciążeń określić dla dowolnego
układu podstawowego statycznie wyznaczalnego.
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
M
ETODA SIŁ
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
6
Dowód tego twierdzenia jest analogiczny jak przy twierdzeniu pierwszym
z tym, że w grupowaniu wyrażeń przed nawiasami występują czynniki
X
k
.
Ostatecznie twierdzenie to przyjmie postać:
ds
EJ
M
M
ds
EJ
M
M
S
n
o
S
n
n
j
∫
∫
⋅
=
⋅
=
⋅
)
(
)
(
)
(
1
δ
(3.5.6)
Warto zaznaczyć, że sprawdzeń kinematycznych jest bardzo dużo, gdyż
możemy przyjąć wiele różnych układów podstawowych. Reasumując,
kontrole kinematyczną najlepiej przeprowadzać na innym układzie
podstawowym niż przy liczeniu niewiadomych, ponieważ efektem tego
sprawdzenia byłoby wykazanie poprawności równania kanonicznego.
4. PRZYKŁAD 1
Dokonać sprawdzenia obliczonego wcześniej układu statycznie
niewyznaczalnego przedstawionego na rysunku Rys.4.0.1a.
Rys.4.0.1 Dany układ a) rzeczywisty z obciążeniem zewnętrznym; b) układ podstawowy
z niewiadomymi X
1
i X
2
oraz układem równań kanonicznych
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
M
ETODA SIŁ
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
7
Zestawienie wykresów:
Rys.4.0.2 Wykresy momentów zginających w układzie podstawowym pochodzące
kolejno od: a) siły jedynkowej przyłożonej w miejsce niewiadomej X
1
; b) siły
jedynkowej przyłożonej w miejsce niewiadomej X
2
; c) obciążenia rzeczywistego P w
postaci siły skupionej oraz obciążenia rozłożonego.
Rys.4.0.3 Analiza końcowa zadania: a) stan obciążenia siłami zewnętrznymi oraz
obliczonymi niewiadomymi x
1
i x
2
; b) wykres momentów rzeczywistych M
(n)
; c) wykres
rzeczywistych sił tnących T
(n)
; d) wykres rzeczywistych sił normalnych N
(n)
Zestawienie wyników współczynników:
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
M
ETODA SIŁ
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
8
3
11
27
m
EJ
=
δ
,
3
22
27
m
EJ
=
δ
,
3
21
12
18
m
EJ
−
=
=
δ
δ
3
1
468
m
kN
EJ
P
⋅
=
∆
,
3
2
540
m
kN
EJ
P
⋅
−
=
∆
(4.0.1)
Układ równań kanonicznych przyjął więc postać:
0
540
27
18
0
468
18
27
3
2
3
1
3
3
2
3
1
3
=
−
+
−
=
+
−
EJ
kNm
X
EJ
m
X
EJ
m
EJ
kNm
X
EJ
m
X
EJ
m
(4.0.2)
Po obliczeniu powyższego układu równań otrzymano następujące wyniki:
kN
X
kN
X
2
,
15
2
,
7
2
1
=
−
=
(4.0.3)
4.1 Sprawdzenie globalne
Rys.4.1.1 Wykresy momentów zginających w układzie podstawowym pochodzące
kolejno od: a) siły jedynkowej przyłożonej w miejsce niewiadomej X
1
; b) siły
jedynkowej przyłożonej w miejsce niewiadomej X
2
; c) od sumy wszystkich wykresów
jedynkowych (wykres zbiorczy momentów M
i
)
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
M
ETODA SIŁ
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
9
3
1
1
18
18
18
27
27
m
EJ
EJ
n
i
n
k
ik
=
−
−
+
=
∑∑
=
=
δ
3
18
)
2
3
3
2
2
3
3
(
1
m
EJ
EJ
SS
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
δ
EJ
EJ
18
18
=
(4.1.1)
4.2 Sprawdzenie lokalne
Rys.4.2.1 Wykresy momentów zginających w układzie podstawowym pochodzące
kolejno od: a) siły jedynkowej przyłożonej w miejsce niewiadomej X
1
; b) od sumy
wszystkich wykresów jedynkowych (wykres zbiorczy momentów M
i
)
3
1
1
9
18
27
m
EJ
EJ
n
k
k
=
−
=
∑
=
δ
3
1
9
)
3
3
2
2
3
3
(
1
m
EJ
EJ
S
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
δ
EJ
EJ
9
9
=
(4.2.1)
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
M
ETODA SIŁ
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
10
Rys.4.2.1 Wykresy momentów zginających w układzie podstawowym pochodzące
kolejno od: a) obciążenia rzeczywistego P w postaci siły skupionej oraz obciążenia
rozłżonego; b) od sumy wszystkich wykresów jedynkowych (wykres zbiorczy
momentów M
i
)
3
1
72
540
468
m
kN
EJ
EJ
n
i
ip
−
=
−
=
∆
∑
=
3
72
2
3
1
3
3
2
2
1
54
1
m
kN
EJ
EJ
sp
−
=
⋅
+
⋅
⋅
−
=
∆
EJ
EJ
72
72
−
=
−
(4.2.2)
4.3 Sprawdzenie wartości niewiadomych sił
0
0
0
468
2
,
15
18
)
2
,
7
(
27
=
→
=
+
⋅
−
−
⋅
EJ
EJ
EJ
0
0
0
540
2
,
15
27
)
2
,
7
(
18
=
→
=
−
⋅
+
−
⋅
−
EJ
EJ
EJ
(4.3.1)
4.4 Sprawdzenie statyczne
Rys.4.4.1 Rama „zawieszona” na wewnętrznych siłach przypodporowych
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
M
ETODA SIŁ
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
11
0
8
,
58
4
36
1
54
3
2
,
15
2
4
9
3
2
,
7
0
0
54
2
,
7
2
,
15
46
0
0
9
4
36
0
=
−
⋅
+
⋅
+
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
−
→
=
=
−
−
+
→
=
=
⋅
+
−
→
=
∑
∑
∑
k
M
Y
X
(4.4.1)
4.5 Sprawdzenie kinematyczne
Rys.4.5.1 Wykresy momentów zginających od: a) jedynkowej siły wirtualnej w innym
układzie podstawowym; b) obciążenia rzeczywistego w układzie rzeczywistym
(statycznie niewyznaczalnym)
rad
EJ
EJ
EJ
EJ
0
0
1
8
4
9
4
3
2
80
,
58
2
1
20
,
13
2
1
4
1
2
1
40
,
8
3
2
40
,
30
3
1
2
1
1
2
1
4
,
8
3
1
40
,
30
3
2
2
1
3
2
1
2
1
1
4
,
30
3
2
2
1
3
2
2
2
1
60
,
21
3
2
2
1
3
2
1
1
1
2
=
=
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
ϕ
δ
(4.5.1)
5. METODA SIŁ DLA INNYCH OBCIĄŻEÑ
Podstawową różnicą między obliczaniem układów statycznie
wyznaczalnych a niewyznaczalnych jest to, że w tych drugich obciążenia takie
jak: temperatura, osiadanie czy błąd montażu wywołują obok przemieszczeń
konstrukcji także siły wewnętrzne. Dlatego obciążenia te należy uwzględnić w
wyrazach wolnych w równaniach kanonicznych, tzn. δ
ik
pozostaje bez zmian,
natomiast w zależności od obciążenia ∆
ip
zmienia się następująco:
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
M
ETODA SIŁ
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
12
a) temperatura
ds
t
N
ds
h
t
M
S
o
t
i
S
t
i
it
∫
∫
⋅
⋅
+
∆
⋅
⋅
=
∆
α
α
(5.0.1)
- gdzie oznaczenia: α
t
,
∆
t, t
o
takie same jak dla układów statycznie
wyznaczalnych
stąd równanie kanoniczne przyjmie postać:
0
1
=
∆
+
∑
=
n
k
it
k
ik
x
δ
(5.0.2)
b) osiadanie
∑
∑
⋅
−
∆
⋅
−
=
∆
∆
i
i
i
i
i
i
i
M
R
ϕ
(5.0.3)
stąd równanie kanoniczne przyjmie postać:
0
1
=
∆
+
∑
=
∆
n
k
i
k
ik
x
δ
(5.0.4)
c) błędy montażu
∑
⋅
=
∆
i
im
im
im
b
B
(5.0.5)
- gdzie oznaczenia: B
im
, b
im
takie same jak dla układów statycznie
wyznaczalnych
stąd równanie kanoniczne przyjmie postać:
0
1
=
∆
+
∑
=
n
k
im
k
ik
x
δ
(5.0.6)
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
M
ETODA SIŁ
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
13
6. PRZYKŁAD
Obliczyć siły wewnętrzne w analizowanej ramie, wywołane
działaniem temperatury (pominiemy wpływ równomiernego ogrzania)
oraz osiadaniem podpór. Dane przedstawione są na rysunku (Rys.6.0.1a.).
Do obliczeń przyjęto inny (lepszy) układ podstawowy wykorzystując
symetrie układu oraz grupowanie niewiadomych (Rys.6.0.1b.).
Rys.6.0.1 Dany układ a) rzeczywisty z obciążeniem zewnętrznym; b) inny (lepszy) układ
podstawowy z niewiadomymi Z
1
i Z
2
oraz układem równań kanonicznych
W zadaniu przyjęto:
- współczynnik rozszerzalności liniowej równy:
C
o
t
1
10
2
,
1
5
−
⋅
=
α
(6.0.1)
- konstrukcje o przekrojach:
- rygiel ramy I200
- słup ramy 2 I200
o następujących parametrach:
2
4
8
2
6
614
,
4408
10
2140
,
10
01
,
206
01
,
206
m
kN
J
E
m
J
m
kN
GPa
E
x
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
=
=
−
(6.0.2)
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
M
ETODA SIŁ
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
14
Rys.6.0.2 Wykresy momentów zginających w układzie podstawowym
pochodzące kolejno od: a) siły jedynkowej przyłożonej w miejsce
niewiadomej Z
1
; b) siły jedynkowej przyłożonej w miejsce niewiadomej
Z
2
Obliczenie współczynników:
3
11
18
3
3
2
2
3
3
2
1
m
EJ
EJ
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
δ
[
]
3
22
90
6
4
6
2
1
18
m
EJ
EJ
EJ
=
⋅
⋅
+
=
δ
3
21
12
0 m
=
=
δ
δ
(6.0.3)
Układ równań kanonicznych przyjmie więc postać:
0
90
0
18
2
3
1
3
=
∆
+
=
∆
+
ip
ip
Z
EJ
m
Z
EJ
m
(6.0.4)
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
M
ETODA SIŁ
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
15
6.1 Obciążenie temperaturą
m
t
p
0189
,
0
30
2
3
3
40
2
3
3
20
,
0
10
2
,
1
5
1
1
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
=
∆
=
∆
−
m
t
p
0171
,
0
10
4
6
30
2
3
3
40
2
3
3
20
,
0
10
2
,
1
5
2
2
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
=
∆
=
∆
−
3
1
323
,
83
614
,
4408
0189
,
0
m
kN
J
E
t
⋅
=
⋅
=
∆
⋅
⋅
3
2
387
,
75
614
,
4408
0171
,
0
m
kN
J
E
t
⋅
=
⋅
=
∆
⋅
⋅
(6.1.1)
Układ równań kanonicznych przyjmie więc postać:
0
387
,
75
90
0
323
,
83
18
2
1
=
+
=
+
Z
Z
(6.1.2)
Po obliczeniu powyższych równań otrzymano następujące wyniki:
kN
Z
kN
Z
838
,
0
629
,
4
2
1
−
=
−
=
(6.1.3)
Kontrola kinematyczna
Rys.6.1.1 Wykresy momentów zginających od: a) jedynkowej siły wirtualnej w innym
układzie podstawowym; b) obciążenia rzeczywistego w układzie rzeczywistym
(statycznie niewyznaczalnym)
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
M
ETODA SIŁ
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
16
rad
EJ
EJ
EJ
0
000001
,
0
20
,
0
10
10
2
,
1
2
028
,
5
1
4
20
,
0
30
10
2
,
1
373
,
11
3
2
1
2
1
3
2
1
20
,
0
40
10
2
,
1
401
,
16
3
2
1
2
1
3
2
1
1
5
5
5
≈
=
=
⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
−
−
−
ϕ
δ
(6.1.4)
Zestawienie wyników
Rys.6.1.2 Zestawienie wyników: a) wykres rzeczywistych sił normalnych N
(n)
; c) wykres
rzeczywistych sił tnących T
(n)
; c) wykres momentów rzeczywistych M
(n)
Warto zwrócić uwagę, że wykresy momentów zginających odłożone są po
stronie zimniejszej, co wynika z istnienia (działania) dodatkowych więzów.
6.2 Obciążenie osiadaniem
Rys.6.2.1 Obciążenie osiadaniem a) układ rzeczywisty; b) reakcje powstałe od siły
jedynkowej przyłożonej w miejsce niewiadomej Z
1
; c) reakcje powstałe od siły
jedynkowej przyłożonej w miejsce niewiadomej Z
2
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
M
ETODA SIŁ
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
17
[
]
m
p
015
,
0
1
015
,
0
1
1
=
⋅
−
−
=
∆
=
∆
∆
[
]
m
p
045
,
0
01
,
0
6
1
015
,
0
2
2
=
⋅
−
⋅
−
=
∆
=
∆
∆
3
1
129
,
66
614
,
4408
015
,
0
m
kN
J
E
⋅
=
⋅
=
∆
⋅
⋅
∆
3
2
388
,
198
614
,
4408
045
,
0
m
kN
J
E
⋅
=
⋅
=
∆
⋅
⋅
∆
(6.2.1)
Układ równań kanonicznych przyjmie więc postać:
0
388
,
198
90
0
129
,
66
18
2
1
=
+
=
+
Z
Z
(6.2.2)
Po obliczeniu powyższych równań otrzymano następujące wyniki:
kN
Z
kN
Z
204
,
2
674
,
3
2
1
−
=
−
=
(6.2.3)
Kontrola kinematyczna
Rys.6.2.2 Kontrola kinematyczna od: a) układ rzeczywisty poddany obciążeniu; b)
wykres momentów zginających od jedynkowej siły wirtualnej w innym układzie
podstawowym; c) wykres momentów zginających od obciążenia rzeczywistego w
układzie rzeczywistym (statycznie niewyznaczalnym)
[
]
rad
rad
EJ
EJ
0
000001
,
0
015
,
0
6
1
01
,
0
1
224
,
13
1
4
2
1
410
,
4
3
2
2
1
3
2
1
634
,
17
3
2
2
1
3
2
1
1
1
≈
−
=
⋅
−
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
ϕ
δ
(6.2.4)
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
M
ETODA SIŁ
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
18
Zestawienie wyników
Rys.6.2.3 Zestawienie wyników: a) wykres rzeczywistych sił normalnych N
(n)
; c) wykres
rzeczywistych sił tnących T
(n)
; c) wykres momentów rzeczywistych M
(n)
7. PROJEKTOWANIE KONSTRUKCJI METODĄ SIŁ
Zaprojektować konstrukcję tzn. wyliczyć przekroje (np. prętów) w taki
sposób by spełnić warunek dopuszczalności.
dop
eks
W
M
σ
≤
(7.1.1)
Przystępując do projektowania zakładamy pewne przekroje. Po
przeprowadzeniu obliczeń okazuje się, że przyjęte przekroje nie spełniają
naszych założeń wytrzymałościowych, ekonomicznych bądź innych i zmuszeni
jesteśmy je zmienić. Przyjmując w konstrukcji inne przekroje zmuszeni jesteśmy
do ponownego rozwiązania układu metodą sił, ponieważ zmiana sztywności
prętów pociągnęła za sobą zmianę macierzy podatności (δ
ik
) oraz wektora
wyrazów wolnych (∆
ip
) w równaniach kanonicznych. Po dokonaniu obliczeń
ponownie sprawdzam, czy przyjęte do obliczeń przekroje prętów w drugim
etapie spełniają narzucone kryteria. Jeżeli nie, to dokonujemy ponownej zmiany
przekrojów prętów i powtarzamy obliczenia.
Reasumując konstrukcję statycznie niewyznaczalną projektujemy metodą
kolejnych przybliżeń.