POLITECHNIKA POZNAŃSKA
INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH
Zakład Mechaniki Budowli
Ćwiczenie nr 4
W Y Z N A C Z A N I E S I Ł W P R Ę T A C H
K R A T O W N I C P Ł A S K I C H
Prowadzący
:
mgr inŜ. A. Kaczor
Wykonał:
Dariusz Włochal
gr. B6
rok akad. 2003/2004
Politechnika Poznańska
→
Instytut Konstrukcji Budowlanych
→
Zakład Mechaniki Budowli
Wyznaczanie sił w prętach kratownicy – metoda równowaŜenia węzłów, metoda Rittera
Proj.1
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Darek Włochal, 2003/2004
2
Zadanie: Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równowaŜenia
węzłów. W zaznaczonych prętach wyznaczyć siły metodą Rittera.
1. Dana jest następująca kratownica:
2. Dyskusja statycznej wyznaczalności układu:
Warunek konieczny geometrycznej niezmienności i statycznej wyznaczalności kratownicy o
strukturze prostej:
r
w
p
−
=
2
gdzie odpowiednio: p – liczba prętów kratownicy
w – liczba węzłów kratownicy
r – liczba stopni swobody odbieranych przez podpory
Dla danej kratownicy mamy:
3
1
2
9
15
=
+
=
=
=
r
w
p
Zatem:
0
0
15
15
3
9
2
15
=
=
−
⋅
=
Warunek konieczny geometrycznej niezmienności kratownicy o strukturze prostej jest więc
spełniony.
3. Dyskusja geometrycznej niezmienności układu:
Politechnika Poznańska
→
Instytut Konstrukcji Budowlanych
→
Zakład Mechaniki Budowli
Wyznaczanie sił w prętach kratownicy – metoda równowaŜenia węzłów, metoda Rittera
Proj.1
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Darek Włochal, 2003/2004
3
Dana kratownica, to kratownica płaska o strukturze prostej. Jest ona więc geometrycznie
niezmienna (moŜemy traktować ją jak tarczę zastępczą). Cały ten niezmienny układ
przytwierdzony jest do podłoŜa za pomocą podpory przegubowo-przesuwnej (z lewej strony)
i podpory przegubowo-nieprzesuwnej (z prawej). Podparcie odbiera więc: 1 + 2 = 3 stopnie
swobody. Przegub nie leŜy na kierunku pręta - cały układ jest zatem geometrycznie
niezmienny.
4. Uwolnijmy daną kratownicę od więzów i wyznaczmy reakcje:
Napiszmy równania równowagi i wyznaczmy reakcje:
0
13
5
=
−
=
∑
H
X
kN
13
5
=
H
0
12
5
7
20
3
10
2
13
1
5
=
⋅
+
⋅
−
⋅
−
⋅
−
=
∑
V
M
,
kN
,
/
16667
17
12
206
12
0
12
206
0
12
150
30
26
1
1
1
1
=
=
⋅
=
⋅
+
−
=
⋅
+
−
−
−
V
V
V
V
kN
,
,
83333
12
0
30
16667
17
0
10
20
5
5
5
1
=
=
+
−
=
+
−
−
=
∑
V
V
V
V
Y
Sprawdzenie poprawności wyznaczenia sił zewnętrznych:
0
00004
0
99998
76
26
00002
103
6
83333
12
26
30
30
6
16667
17
6
2
13
3
10
5
1
20
6
5
1
3
≈
=
−
−
=
=
⋅
−
−
+
−
⋅
=
=
⋅
−
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
=
∑
,
,
,
V
V
M
,
,
,
5. Zestawienie – reakcje:
Politechnika Poznańska
→
Instytut Konstrukcji Budowlanych
→
Zakład Mechaniki Budowli
Wyznaczanie sił w prętach kratownicy – metoda równowaŜenia węzłów, metoda Rittera
Proj.1
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Darek Włochal, 2003/2004
4
6. Wyznaczmy siły w prętach kratownicy:
Siły w prętach kratownicy wyznaczymy metodą równowaŜenia węzłów. Dla trzech
zaznaczonych prętów wyznaczymy teŜ siły metodą Rittera sprawdzając w ten sposób
przebieg obliczeń pierwszą metodą.
Długość krzyŜulców:
A więc:
6
0
5
2
5
1
8
0
5
2
2
,
,
,
cos
,
,
sin
=
=
=
=
α
α
WĘZEŁ 1:
kN
,
,
/
,
,
,
sin
,
45834
21
8
0
16667
17
8
0
0
8
0
16667
17
0
16667
17
9
1
9
1
9
1
9
1
−
=
−
=
⋅
=
⋅
+
=
⋅
+
=
∑
−
−
−
−
S
S
S
,
S
Y
α
kN
,
,
,
,
cos
87500
12
0
87500
12
0
45834
21
6
0
0
2
1
2
1
2
1
9
1
2
1
=
=
−
=
⋅
−
=
⋅
+
=
∑
−
−
−
−
−
S
S
S
S
S
X
α
WĘZEŁ 9:
( )
m
5
2
25
6
4
25
2
2
5
1
2
2
,
,
,
,
k
=
=
+
=
+
=
Politechnika Poznańska
→
Instytut Konstrukcji Budowlanych
→
Zakład Mechaniki Budowli
Wyznaczanie sił w prętach kratownicy – metoda równowaŜenia węzłów, metoda Rittera
Proj.1
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Darek Włochal, 2003/2004
5
kN
,
,
/
,
,
,
,
,
,
sin
sin
,
45834
21
8
0
45834
21
8
0
8
0
0
8
0
8
0
45834
21
0
45834
21
2
9
2
9
2
9
2
9
=
⋅
=
⋅
=
⋅
−
⋅
=
⋅
−
⋅
=
∑
−
−
−
−
S
S
S
S
Y
α
α
kN
,
,
,
,
,
,
,
cos
,
cos
75001
25
0
45834
21
6
0
2
0
6
0
45834
21
6
0
45834
21
0
45834
21
8
9
8
9
8
9
8
9
2
9
−
=
=
⋅
⋅
+
=
⋅
+
+
⋅
=
⋅
+
+
⋅
=
∑
−
−
−
−
−
S
S
S
S
S
X
α
α
WĘZEŁ 2:
kN
,
,
/
,
,
-
,
,
,
,
sin
sin
,
45834
21
8
0
45834
21
8
0
8
0
8
0
8
0
45834
21
0
45834
21
8
2
8
2
8
2
8
2
−
=
⋅
=
⋅
⋅
−
=
⋅
=
⋅
+
⋅
=
∑
−
−
−
−
S
S
S
S
Y
α
α
kN
,
,
,
,
,
,
)
cos
,
(
cos
,
,
62501
38
0
6
0
45834
21
6
0
45834
21
87500
12
0
45834
21
45834
21
87500
12
3
2
3
2
3
2
=
=
+
⋅
−
+
⋅
−
−
=
+
⋅
−
+
+
⋅
−
−
=
∑
−
−
−
S
S
S
X
α
α
WĘZEŁ 8:
kN
,
,
/
,
,
,
,
sin
sin
,
54166
3
8
0
833328
2
8
0
0
8
0
8
0
45834
21
20
0
45834
21
20
2
9
8
3
8
3
8
3
−
=
=
⋅
=
⋅
−
⋅
+
−
=
⋅
−
⋅
+
−
=
∑
−
−
−
−
S
,
-
S
S
S
Y
α
α
kN
,
,
)
,
(
,
,
,
cos
)
,
(
cos
,
,
5000
36
0
6
0
54166
3
6
0
45834
21
75001
25
0
54166
3
45834
21
75001
25
8
7
8
7
8
7
−
=
=
⋅
−
+
+
⋅
+
+
=
⋅
−
+
+
⋅
+
+
=
∑
−
−
−
S
S
S
X
α
α
WĘZEŁ 3:
Politechnika Poznańska
→
Instytut Konstrukcji Budowlanych
→
Zakład Mechaniki Budowli
Wyznaczanie sił w prętach kratownicy – metoda równowaŜenia węzłów, metoda Rittera
Proj.1
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Darek Włochal, 2003/2004
6
kN
,
,
,
,
sin
sin
,
54166
3
54166
3
8
0
8
0
0
54166
3
7
3
7
3
7
3
=
⋅
=
⋅
=
⋅
+
⋅
−
=
∑
−
−
−
S
S
S
Y
α
α
kN
,
,
,
,
cos
,
cos
,
,
37501
34
0
2
6
0
54166
3
62501
38
0
54166
3
54166
3
62501
38
4
3
4
3
4
3
=
=
+
⋅
⋅
+
−
=
+
⋅
+
+
⋅
+
−
=
∑
−
−
−
S
S
S
X
α
α
WĘZEŁ 7:
kN
,
,
/
,
,
-
,
,
,
,
sin
sin
,
54166
3
8
0
54166
3
8
0
8
0
0
8
0
8
0
54166
3
0
54166
3
7
4
7
4
7
4
7
4
−
=
⋅
=
⋅
=
⋅
−
⋅
−
=
⋅
−
⋅
−
=
∑
−
−
−
−
S
S
S
S
Y
α
α
kN
,
,
,
,
,
cos
,
cos
)
,
(
,
25001
32
0
6
0
54166
3
6
0
54166
3
50000
36
0
54166
3
54166
3
50000
36
7
6
7
6
7
6
=
=
⋅
−
+
⋅
−
+
=
⋅
−
+
⋅
−
+
+
=
∑
−
−
−
S
,
S
S
X
α
α
WĘZEŁ 4:
kN
,
,
,
,
sin
sin
,
04166
16
10
54166
3
8
0
8
0
0
54166
3
10
6
4
6
4
6
4
=
+
⋅
=
⋅
=
⋅
+
⋅
−
−
=
∑
−
−
−
S
S
S
Y
α
α
kN
,
,
,
,
,
,
cos
,
cos
,
,
62502
22
0
6
0
54166
3
6
0
04166
16
37501
34
0
54166
3
04166
16
37501
34
5
4
5
4
5
4
=
=
+
⋅
+
+
⋅
+
−
=
+
⋅
+
+
⋅
+
−
=
∑
−
−
−
S
S
S
X
α
α
WĘZEŁ 6:
Politechnika Poznańska
→
Instytut Konstrukcji Budowlanych
→
Zakład Mechaniki Budowli
Wyznaczanie sił w prętach kratownicy – metoda równowaŜenia węzłów, metoda Rittera
Proj.1
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Darek Włochal, 2003/2004
7
kN
,
,
/
,
,
-
,
,
,
,
sin
sin
,
04166
16
8
0
04166
16
8
0
8
0
0
8
0
8
0
04166
16
0
04166
16
7
4
7
4
7
4
6
5
−
=
⋅
=
⋅
=
⋅
−
⋅
−
=
⋅
−
⋅
−
=
∑
−
−
−
−
S
S
S
S
Y
α
α
(sprawdzenie)
kN
,
,
,
,
cos
,
cos
,
04169
16
0
13
6
0
04166
16
25001
32
6
0
0
04166
16
13
25001
32
6
5
6
5
6
5
−
=
=
−
⋅
−
+
⋅
=
⋅
−
+
⋅
+
−
=
∑
−
−
−
S
S
,
S
X
α
α
WĘZEŁ 5 (sprawdzenie):
0
83333
12
83333
12
8
0
04166
16
83333
12
04166
16
83333
12
=
−
=
=
⋅
−
=
=
⋅
−
=
∑
,
,
,
sin
,
,
,
,
Y
α
0
00002
0
13
62500
9
62502
22
13
6
0
04166
16
62502
22
13
04166
16
62502
22
≈
=
+
+
−
=
=
+
⋅
+
−
=
=
+
⋅
+
−
=
∑
,
-
,
X
,
,
,
,
cos
,
,
α
7. Wyznaczymy siły w zaznaczonych prętach metodą Rittera:
Siła:
2
9
−
S
kN
,
,
/
,
,
,
,
,
,
,
75001
25
0
2
50001
51
0
2
0
0
2
50001
51
0
0
2
0
3
16667
17
8
9
8
9
8
9
8
9
−
=
−
=
⋅
=
⋅
+
=
⋅
+
⋅
=
∑
−
−
−
−
S
S
S
S
M
R
Siła:
3
2
−
S
Politechnika Poznańska
→
Instytut Konstrukcji Budowlanych
→
Zakład Mechaniki Budowli
Wyznaczanie sił w prętach kratownicy – metoda równowaŜenia węzłów, metoda Rittera
Proj.1
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Darek Włochal, 2003/2004
8
kN
,
,
/
,
,
,
,
,
,
)
,
,
(
,
,
62501
38
0
2
250015
77
0
2
0
0
2
5
4
16667
17
0
0
2
0
3
5
1
16667
17
3
2
3
2
3
2
3
2
=
=
⋅
=
⋅
−
⋅
=
⋅
−
+
⋅
=
∑
−
−
−
S
S
S
S
M
R
Siła:
7
3
−
S
kN
,
,
,
sin
,
,
54166
3
0
8
0
83333
2
0
16667
17
20
7
3
7
3
7
3
=
=
⋅
+
−
=
⋅
+
+
−
=
∑
−
−
S
S
S
Y
α
Uzyskaliśmy identyczne wyniki w obu metodach.
8. Zestawienie wyników: