KOD

ZDAJĄCEGO

Miejsce na identyfikację szkoły

LISTOPAD

2011

Za rozwiązanie

wszystkich zadań

można otrzymać

łącznie 50 punktów.

PESEL ZDAJĄCEGO

Wpisuje zdajàcy przed rozpocz´ciem pracy

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY

Z OPERONEM

MATEMATYKA

POZIOM ROZSZERZONY

Czas pracy: 180 minut

In struk cja dla zda ją ce go

1.

Sprawdź, czy ar kusz eg za mi na cyj ny za wie ra 13 stron
(za da nia 1–11). Ewen tu al ny brak zgłoś prze wod ni czą -
ce mu ze spo łu nad zo ru ją ce go eg za min.

2.

Roz wią za nia zadań i od po wie dzi za pisz w miej scu
na to prze zna czo nym.

3.

W roz wią za niach za dań ra chun ko wych przed staw tok
ro zu mo wa nia pro wa dzą cy do osta tecz ne go wy ni ku.

4.

Pisz czy tel nie. Uży waj dłu go pi su/pió ra tyl ko z czar nym
tu szem/atra men tem.

5.

Nie uży waj ko rek to ra, a błęd ne za pi sy wy raź nie prze -
kreśl.

6.

Za pi sy w brud no pi sie nie będą oce niane.

7.

Obok nu me ru każ de go za da nia po da na jest mak sy -
mal na licz ba punk tów moż li wych do uzy ska nia.

8. Możesz ko rzy stać z zestawu wzorów matematycznych,

cyrkla i li nij ki oraz kal ku la to ra.

Życzymy powodzenia

!

Arkusz opracowany przez Wydawnictwo Pedagogiczne OPERON.

Kopiowanie w całości lub we fragmentach bez zgody wydawcy zabronione. Wydawca zezwala na kopiowanie zadań

przez dyrektorów szkół biorących udział w programie Próbna Matura z OPERONEM.

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”

Zadanie 1. (4 pkt)

Znajdź ujemny pierwiastek równania ||

|

|

.

x

2

1

2

4

-

-

=

2

Zadanie 2. (4 pkt)

Prostokąt o bokach długości ,

jest podobny do prostokąta o bokach długości

,

. Wykaż,

że te prostokąty są kwadratami.

a b

5

a +

5

b +

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”

3

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”

Zadanie 3. (5 pkt)

Dla jakich liczby

,

,

w podanej kolejności są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego?

x

2

x

1

tg

cos x sin x

4

Zadanie 4. (4 pkt)

Wykaż, że dla dowolnej liczby

zachodzi nierówność

.

0

a >

log

log

log

log

a

a

10

2

a

2

2

H

r

r

r

+

+

-

r

r

+

]

]

g

g

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”

5

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”

Zadanie 5. (5 pkt)

Wierzchołki trójkąta równobocznego

leżą na paraboli, będącej wykresem funkcji

.

Punkt

leży w wierzchołku paraboli. Znajdź współrzędne jednego z pozostałych wierzchołków

trójkąta.

( )

6

f x

x

x

2

=

-

ABC

C

6

Zadanie 6. (4 pkt)

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym długość krawędzi podstawy jest równa

. Miara kąta

między przekątną podstawy a przekątną ściany bocznej wychodzącą z tego samego wierzchołka jest
równa . Oblicz objętość graniastosłupa.

2a

a

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”

7

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”

Zadanie 7. (5 pkt)

W konkursie Jaka to piosenka? uczestnik zna

spośród przygotowanych

piosenek.

Prowadzący przedstawia mu

piosenki. Uczestnik musi odgadnąć tytuł co najmniej jednej piosenki,

aby przejść do dalszego etapu konkursu. Oblicz prawdopodobieństwo, że uczestnik przejdzie do
dalszego etapu konkursu. Wynik podaj z dokładnością do

.

20

12

4

0,01

8

Zadanie 8. (4 pkt)

Oblicz, dla jakich wartości parametru

punkt przecięcia prostych o równaniach

,

należy do koła o nierówności

.

y

x

k

= +

y

x

= -

k

(

1)

(

1)

10

x

y

2

2

G

+

+

+

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”

9

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”

Zadanie 9. (6 pkt)

Wiadomo, że pierwiastkami wielomianu

są liczby

i .

Rozwiąż nierówność

.

2

1

-

( )

6

W x

x

ax

bx

3

2

=

+

+

+

( )

0

W x >

10

Zadanie 10. (5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru

, dla których równanie

ma jedno rozwiązanie.

2 (

1)

4

0

m

x

m

x

m

1

2

-

+

+

+

+

=

]

g

m

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”

11

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”

Zadanie 11. (4 pkt)

W trójkącie o polu

dwa boki mają długości

i . Znajdź długość trzeciego boku.

b

a

ab

4

1

12

BRUD NO PIS (nie pod le ga oce nie)

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”

13