Arkusz nr 3

1. Oblicz granice:

a) lim

n→∞

2−n

1+2n

,

n

2

−3

n(2+n)

b) lim

n→∞

2

n

−3

n+1

2

n

+3

n

,

3

4

n

(n+1)

c) lim

n→∞

n

√

3

n

+ 5 · 2

2n

,

2

n

√

n

, sin

1

n

2. Wyznacz i naszkicuj dziedzinę naturalną funkcji f określonej wzorem:

a) f (x, y) =

√

4 − x

2

− y

2

b) f (x, y) = ln(x · y)

c) f (x, y) =

1

e

x y

−1

d) f (x, y) =

√

1−|x−2|

x

2

−xy

e) f (x, y) = arc sin(y − x)

f) f (x, y) =

ln(4−y−x

2

)

√

4y−y

2

−3

3. Naszkicuj wykresy funkcji:

a) f (x, y) = 2x

2

+ y

2

b) f (x, y) = −

√

x

2

+ y

2

c) f (x, y) = 4 − x + 2y

d) f (x, y) = 1 − |x|

e) f (x, y) = 1 −

√

3 − x

2

− y

2

f) f (x, y) =

√

2x − x

2

− 4y − y

2

4. Wyznacz i naszkicuj dziedzinę naturalną funkcji f określonej wzorem:

a) f (x, y, z) =

x−y

x

2

+y

2

+z

2

b) f (x, y, z) =

√

1 − x

2

− y

2

c) f (x, y, z) =

ln(z−x

2

−y

2

)

√

2−z

5. Oblicz granice:

a)

lim

(x,y)→(1,−1)

x

x

2

+y

2

b)

lim

(x,y)→(0,0)

x

4

−y

4

x+y

c)

lim

(x,y)→(0,0)

x−2

x

4

+y

4

6. Wyznacz pochodne cząstkowe pierwszego rzędu następujących funkcji:

a) f (x, y) = 2xy + y

3

− x

2

b) f (x, y) =

x

2

y

+

y
x

c) f (x, y) = ln(x + y

2

)

7. Wyznacz pochodne cząstkowe drugiego rzędu następujących funkcji:

a) f (x, y) = x

3

+ xy

2

− y

4

b) f (x, y) =

e

xy

c) f (x, y) = x ln

2

y + y

2

ln x

8. Wyznacz pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu następujących funkcji:

a) f (x, y, z) = x

2

z + yz

2

+ z

3

b) f (x, y, z) = 3x + arc tg

y

2

z

c) f (x, y, z) =

√

z · cos(x + y

2

)

9. Oblicz wskazane pochodne funkcji f:

a)

∂

3

f

∂x∂y

2

,

f (x, y) =

e

x

y

3

b)

∂

4

f

∂y

2

∂x

2

,

f (x, y) = ln x + x

2

arc tg y

c)

∂

2

f

∂z∂y

,

f (x, y, z) = sin(

√

x + 2y − z)

10. Korzystając z reguł różniczkowania funkcji złożonych oblicz pochodne cząstkowe pierwszego rzędu

względem zmiennych x i y funkcji F w punkcie p

0

= (x

0

, y

0

):

a) F (x, y) = f (u, v) = u

3

+ uv − v

2

, u = x − y, v = x + 2y, p

0

= (1, 0)

b) F (x, y) = f (u, v) = ln

u

2

v

, u = x cos y, v = x sin y, p

0

= (π, 2)

c) F (x, y) = f (u, v, w) = u

√

v

2

+ w

2

, u = x + y, v = xy, w =

x
y

, p

0

= (3, 4)

1