Analiza Matematyczna
Kolokwium 2
Zestaw B1
Zadanie 1
Prosz¸ obliczyć
e

x
" dx.
1 - x4
Rozwi¸
azanie
Stosujemy podstawienie y = x2.

x 1 y 1 1
" dx = dy = arcsin y + C = arcsin x2 + C
2
1 - x4 2 (1 - y)2 2
Zadanie 2
Prosz¸ obliczyć pole obszaru ograniczonego przez wykresy funkcji f(x) = x2
e
i g(x) = 1 - x2
Rozwi¸
azanie
Znajdujemy punkty wspólne parabol, rozwiazuj¸ ukÅ‚ad równaÅ„ y = x2 i y = 1 - x2.
¸ ac
" "
Otrzymujemy punkty (- 2/2, 1/2), ( 2/2, 1/2).
Zauważmy, że obszar O jest symetryczny wzgl¸ osi OY, st¸ jego pole P (O)
edem ad
" "

2/2 2/2
2"
|P (O)| = (1 - x2 - x2)dx = 2 (1 - 2x2)dx = 2.
"
3
- 2/2 0
Zadanie 3
Prosz¸ wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziaÅ‚y monotonicznoÅ›ci funkcji
e
ln(x)
"
f(x) = .
x
1
Rozwi¸
azanie
Dziedzin¸ funkcji f(x) jest jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich.
a
Obliczamy pochodn¸ rz¸ pierwszego funkcji f(x).
a edu
"
x
lnx
"
-
x(2 - lnx)
x 2 x
f (x) = " = " .
x2 2 x5
f (x) > 0, gdy x " (0, e2).
f (x) < 0, gdy x " (e2, ").
Funkcja f(x) jest Å›ciÅ›le rosn¸ na przdziale (0, e2) i Å›ciÅ›le malejaca na (e2, ").
aca ¸
W punkcie (e2, 2/e) posiada maksimum lokalne właściwe.
Zadanie 4
Prosz¸ napisać trzy pierwsze wyrazy rozwini¸ Taylora w otoczeniu punktu a = 1
e ecia
dla funkcji
f(x) = 2x.
Rozwi¸
azanie
(x - 1)2 (x - 1)3
f(x) = f(0) + f(1)(1)(x - 1) + f(2)(1) + f(3)(c) .
2! 3!
gdzie c " [0, x].
Obliczamy kolejne pochodne funkcji f(x) do rz¸ trzeciego wÅ‚¸
edu acznie.
f(1) = 21 = 2.
f(1)(x) = 2xln(2), f (1) = 2ln2.
f(2)(x) = 2xln2(2), f(2)(1) = 2ln2(2).
f(3)(c) = 2xln3(2) , f(3)(1) = 2cln3(2).
St¸
ad
2c
f(x) = 2x = 2 + 2ln(2)(x - 1) + ln2(2)(x - 1)2 + ln3(2)(x - 1)3.
6
gdzie c " [1, x].
2