Analiza Matematyczna
Kolokwium 2
Zestaw B1
Zadanie 1
Prosz� obliczyć
e
x
" dx.
1 - x4
Rozwi�
azanie
Stosujemy podstawienie y = x2.
x 1 y 1 1
" dx = dy = arcsin y + C = arcsin x2 + C
2
1 - x4 2 (1 - y)2 2
Zadanie 2
Prosz� obliczyć pole obszaru ograniczonego przez wykresy funkcji f(x) = x2
e
i g(x) = 1 - x2
Rozwi�
azanie
Znajdujemy punkty wspólne parabol, rozwiazuj� układ równań y = x2 i y = 1 - x2.
� ac
" "
Otrzymujemy punkty (- 2/2, 1/2), ( 2/2, 1/2).
Zauważmy, że obszar O jest symetryczny wzgl� osi OY, st� jego pole P (O)
edem ad
" "
2/2 2/2
2"
|P (O)| = (1 - x2 - x2)dx = 2 (1 - 2x2)dx = 2.
"
3
- 2/2 0
Zadanie 3
Prosz� wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji
e
ln(x)
"
f(x) = .
x
1
Rozwi�
azanie
Dziedzin� funkcji f(x) jest jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich.
a
Obliczamy pochodn� rz� pierwszego funkcji f(x).
a edu
"
x
lnx
"
-
x(2 - lnx)
x 2 x
f (x) = " = " .
x2 2 x5
f (x) > 0, gdy x " (0, e2).
f (x) < 0, gdy x " (e2, ").
Funkcja f(x) jest ściśle rosn� na przdziale (0, e2) i ściśle malejaca na (e2, ").
aca �
W punkcie (e2, 2/e) posiada maksimum lokalne właściwe.
Zadanie 4
Prosz� napisać trzy pierwsze wyrazy rozwini� Taylora w otoczeniu punktu a = 1
e ecia
dla funkcji
f(x) = 2x.
Rozwi�
azanie
(x - 1)2 (x - 1)3
f(x) = f(0) + f(1)(1)(x - 1) + f(2)(1) + f(3)(c) .
2! 3!
gdzie c " [0, x].
Obliczamy kolejne pochodne funkcji f(x) do rz� trzeciego wł�
edu acznie.
f(1) = 21 = 2.
f(1)(x) = 2xln(2), f (1) = 2ln2.
f(2)(x) = 2xln2(2), f(2)(1) = 2ln2(2).
f(3)(c) = 2xln3(2) , f(3)(1) = 2cln3(2).
St�
ad
2c
f(x) = 2x = 2 + 2ln(2)(x - 1) + ln2(2)(x - 1)2 + ln3(2)(x - 1)3.
6
gdzie c " [1, x].
2
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
02 01 114 egzamin202 01 114 an kol1 1 702 01 114 Kolokwium2A102 01 11X am102 01 11Q kol202 01 11 am2 za2 kol I02 01 11H egzamin1p02 01 11G am2 kol II przyklad02 01 11 kolokwium21102 01 11V test0102 01 11A Kolokwium1A02 01 11( kolokwium#więcej podobnych podstron