FUNKCJE ZESPOLONE CWICZENIA 4 Szeregi liczbowe o wyrazach zespolonych
ZAD.1
Zbadać zbie\ność szeregów ( odpowiedz uzasadnić) :
" "
e2Ä„i " 1 i e1+4i " (3 + 2i)n
1. , , ,
ìÅ‚ ÷Å‚
" "ëÅ‚ 2n + n öÅ‚, " "
n n!(5 - i)
íÅ‚ Å‚Å‚ n
n=1 n=1 n=1 n=1
" Ä…Ä„i
"
i
2.
ìÅ‚ ÷Å‚
"1e n2 , "ëÅ‚ n1 + n2 öÅ‚,
+ +1
íÅ‚ Å‚Å‚
n=0 n=1
ZAD.2
Zbadać zbie\ność bezwzględną szeregów ( odpowiedz uzasadnić) :
"
eĄi " (2 + i)n " eĄi " " 1 i
a) , , ,
ìÅ‚ ÷Å‚
" " " "in , "ëÅ‚ n2 + (-1)n 3n öÅ‚ ,
n
n5 3n n=1 2
íÅ‚ Å‚Å‚
n=1 n=1 n=1 n=1
"
e3ni " (1+ 3i)3 " eĄi " (1+ i)n " eĄni " in
b) , , , , , einÄ… ,
" " " " " "
6n (2n)! n!
10 n
n=1 n=1 n=1 n=1 n=0 n=0
2n 2n +1
2
" " "
e2i " ni eĄ " sin n n ein " n
c) , , , , , ,
" " " " " "
n (3 - i)n n=1 (6 + i)n n=1 i(1+ n2 ) 2n n=1 (ni)n
n=1 n=1 n=1
ZAD.3
Zbadać zbie\ność bezwzględną szeregu oraz obliczyć jego sumę ( odpowiedz uzasadnić) :
n
" "
eĄ
a)
ìÅ‚ ÷Å‚
"ëÅ‚1+ i öÅ‚ , "
2 (6 + i)n
íÅ‚ Å‚Å‚
n=1 n=1
n
"
e3ni "
b) ,
ìÅ‚ ÷Å‚
" "ëÅ‚1+ i öÅ‚
6n 2
íÅ‚ Å‚Å‚
n=0 n=0
" "
n n
c) cos nt ,
"r "r sin nt
n=1 n=1
Ä„ Ä„
ëÅ‚ öÅ‚
sin n cos n
ìÅ‚ ÷Å‚
"
d)
"ìÅ‚ 2n 4 + i 3n 2 ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
n=1
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ZAD.4
"
1
Znalezć sumę częściową i zbadać zbie\ność szeregu .
"
(n + i)(n +1+ i)
n=1
ZAD.5
Wykazać, \e je\eli szereg o wyrazach zespolonych jest bezwzględnie zbie\ny, to jest zbie\ny.
ZAD.6
"
n
Pokazać, \e szereg geometryczny jest bezwzględnie zbie\ny dla z < 1, wyznaczyć sumę tego szeregu.
"z
n=1