FUNKCJE ZESPOLONE CWICZENIA 4  Szeregi liczbowe o wyrazach zespolonych
ZAD.1
Zbadać zbie\
ność szeregów ( odpowiedz
uzasadnić) :
" "
e2Ąi " 1 i e1+4i " (3 + 2i)n
1. , , ,
�ł �ł
" "�ł 2n + n �ł, " "
n n!(5 - i)
�ł łł n
n=1 n=1 n=1 n=1
" ąĄi
"
i
2.
�ł �ł
"1e n2 , "�ł n1 + n2 �ł,
+ +1
�ł łł
n=0 n=1
ZAD.2
Zbadać zbie\
ność bezwzględną szeregów ( odpowiedz
uzasadnić) :
"
eĄi " (2 + i)n " eĄi " " 1 i
a) , , ,
�ł �ł
" " " "in , "�ł n2 + (-1)n 3n �ł ,
n
n5 3n n=1 2
�ł łł
n=1 n=1 n=1 n=1
"
e3ni " (1+ 3i)3 " eĄi " (1+ i)n " eĄni " in
b) , , , , , einą ,
" " " " " "
6n (2n)! n!
10 n
n=1 n=1 n=1 n=1 n=0 n=0
2n 2n +1
2
" " "
e2i " ni eĄ " sin n n ein " n
c) , , , , , ,
" " " " " "
n (3 - i)n n=1 (6 + i)n n=1 i(1+ n2 ) 2n n=1 (ni)n
n=1 n=1 n=1
ZAD.3
Zbadać zbie\
ność bezwzględną szeregu oraz obliczyć jego sumę ( odpowiedz
uzasadnić) :
n
" "
eĄ
a)
�ł �ł
"�ł1+ i �ł , "
2 (6 + i)n
�ł łł
n=1 n=1
n
"
e3ni "
b) ,
�ł �ł
" "�ł1+ i �ł
6n 2
�ł łł
n=0 n=0
" "
n n
c) cos nt ,
"r "r sin nt
n=1 n=1
Ą Ą
�ł �ł
sin n cos n
�ł �ł
"
d)
"�ł 2n 4 + i 3n 2 �ł
�ł �ł
n=1
�ł �ł
�ł łł
ZAD.4
"
1
Znalez
ć sumę częściową i zbadać zbie\
ność szeregu .
"
(n + i)(n +1+ i)
n=1
ZAD.5
Wykazać, \
e je\
eli szereg o wyrazach zespolonych jest bezwzględnie zbie\
ny, to jest zbie\
ny.
ZAD.6
"
n
Pokazać, \
e szereg geometryczny jest bezwzględnie zbie\
ny dla z < 1, wyznaczyć sumę tego szeregu.
"z
n=1