2
Z istnienia granicy
( )
( )
c
x
g
x
f
x
x
=
′
′
→
0
lim
wynika, e
( )
( )
c
c
g
c
f
n
n
n
=
′
′
∃
+∞
→
lim
z czego na postawie równo ci
( )
( )
( )
( )
n
n
n
n
c
g
c
f
x
g
x
f
′
′
=
wynika
( )
( )
c
x
g
x
f
n
n
n
=
′
′
∃
+∞
→
lim
Uwaga
Z istnienia
( )
( )
x
g
x
f
x
x
′
′
→
0
lim
wynika istnienie
( )
( )
x
g
x
f
x
x
0
lim
→
Przykład
Niech
( )
x
x
x
f
1
sin
2
=
,
( )
x
x
g
sin
=
dla
( )
1
,
0
∈
x
oraz niech
0
0
=
x
.
Wtedy
( )
( )
( )
( )
x
g
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
g
x
f
x
x
x
x
′
′
∃
−
⋅
=
−
⋅
⋅
+
⋅
=
′
′
+
+
+
+
→
→
→
→
0
0
2
2
0
0
lim
~
cos
1
cos
1
sin
2
lim
cos
1
1
cos
1
sin
2
lim
lim
lecz st d nie mo emy wnioskowa o nie istnieniu
( )
( )
x
g
x
f
x
+
→0
lim
( )
( )
( )
( )
x
g
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
g
x
f
x
x
x
x
+
+
+
+
→
→
→
→
∃
=
==
=
0
0
2
0
0
lim
0
1
sin
sin
lim
sin
1
sin
lim
lim
Uzupełnienie
Reguł de L’Hospitala mo na rozszerzy na funkcje
( )
R
D
g
f
∈
,
i
R
x
ˆ
0
∈
.
Symbole nieoznaczone:
∞
∞
∞
−
∞
∞
⋅
∞
∞
1
,
,
0
,
,
0
,
,
0
0
0
0
3
Przykłady
N
n
∈
[ ]
0
!
lim
!
lim
lim
lim
0
lim
1
=
=
⋅
=
=
=
∞
∞
=
=
⋅
∞
=
⋅
+∞
→
+∞
→
−
+∞
→
+∞
→
−
+∞
→
x
x
H
x
x
H
x
n
x
H
x
n
x
x
n
x
e
n
e
x
n
e
nx
e
x
e
x
( )
0
!
lim
ln
1
lim
ln
lim
ln
lim
2
1
=
=
=
⋅
−
=
∞
∞
=
⋅
=
∞
∞
=
+∞
→
−
+∞
→
−
+∞
→
+∞
→
x
k
x
x
k
k
x
x
k
x
x
x
k
x
H
k
x
H
k
x