WYKŁAD 1. 
 
System powinien spełniać 4 podstawowe postulaty: 
- wyodrębnienie z otoczenia, 
- budowa z podsystemów, które oddziałują na siebie wzajemnie przy czym oddziaływania te maja istotny wpływ na własności 
systemu, - spełnianie celu założonego działania, - ograniczoność zmienności w czasie – zachowuje swoje podstawowe 
właściwości. 
Model w nauce jest rozumiany jako uproszczona – przy czym umyślnie i celowo – reprezentacja rzeczywistości, ujmuje tylko jej 
część, jest pozbawiony wielu szczegółów i cech nieistotnych z punktu widzenia celów modelowania. Model uwzględnia tylko 
wybrane czynniki wpływające i tylko w ograniczonym zakresie zmienności.  
Cele budowy modeli systemów: 
- opis i wyjaśnienie mechanizmu działania systemu (modele fenomenologiczne / systemy biologiczne), 
- przewidywanie zachowania się systemów w przyszłości i przy różnorodnych warunkach działania otoczenia na system (modele 
prognostyczne / systemy ekonomiczne), 
- wybór właściwych oddziaływań wejściowych, spełniających określone warunki (modele decyzyjne / systemy sterowania), 
- wybór struktury lub parametrów systemu, spełniającego określone zadania (modele normatywne / systemy techniczne) 
Rodzaje modeli: 
- lingwistyczne (opis słowny), - graficzne (np. schemat obwodu, wykresy charakterystyk), - fizyczne, - matematyczne. 
Model matematyczny – zbiór symboli i relacji matematycznych oraz bezwzględnie ścisłych zasad operowania nimi, przy czym 
zawarte w modelu symbole i relacje mają interpretację odnoszącą się do konkretnych elementów modelowanego wycinka 
rzeczywistości. 
Model lingwistyczny: określenie właściwości modelu za pomocą tekstu 
Model graficzny: wizualizacja za pomocą obrazków 
Modelowanie to doświadczalna lub matematyczna metoda badania złożonych układów, zjawisk i procesów na podstawie 
konstruowania modeli. 
Modelowanie doświadczalne opiera się na podobieństwie fizycznym (np. badania aerodynamiczne) lub na analogiach 
fizycznych (modele elektryczne). 
Modelowanie matematyczne polega na tworzeniu modeli matematycznych i wykorzystaniu aparatu matematycznego do ich 
analizy. Zastosowanie w tej analizie znajdują komputery (symulacja komputerowa). 
Symulacja komputerowa – odtworzenie działania badanego systemu rzeczywistego na podstawie jego modelu matematycznego 
za pomocą komputera oraz zbadanie wpływu otoczenia (zmienne wejściowe) i wewnętrznych właściwości systemu (parametry 
modelu) na charakterystyki systemu. Zastosowanie: procesy chemia, biologia, ekonomia itp. 
Zalety i wady symulacji komputerowej: 
- łatwość wprowadzania różnego rodzaju wymuszeń i zakłóceń, w  szczególności losowych, - badanie stanów ekstremalnych, 
- łatwość wprowadzania zmian w modelu symulowanego systemu - łatwość uzupełniania modelu o nowe zjawiska, 
- stosunkowo niewielki koszt i czas przygotowania symulacji w porównaniu z budową systemu rzeczywistego, 
- wiarygodność wyników symulacji – szczególnie w tych przypadkach, gdy możemy porównać otrzymane wyniki symulacji z 
danymi otrzymanymi z rzeczywistego systemu, 
- możliwość sterowania czasem symulacji (wydłużanie i skracanie), - rezultaty symulacji mogą być trudne do zidentyfikowania. 
 
WYKŁAD 2. 
 
PROCES MODELOWANIA: 
Sformułowanie problemu: zrozumienie rozważanego problemu, wstępne określenie celów modelowania, współpraca 
modelującego z potencjalnym użytkownikiem. 
Określenie szczegółowych celów i wymagań dotyczących tworzenia i działania modelu: 
zrozumienie i opracowanie planu działań, organizacja pracy (czas, koszty, sprzęt, oprogramowanie, ludzie). 
Opracowania modelu konceptualnego: 
- zapisanie działania systemu rzeczywistego i zachodzących w nim relacji przy pomocy algorytmów, grafów, tabel, opisów 
słownych lub zależności matematycznych: sformalizowanie, -stopniowe uszczegóławianie modelu, 
-udział użytkownika końcowego podczas formułowania modelu konceptualnego ma duże znaczenie dla jego dokładności. 
Zbieranie i analiza danych koniecznych do określenia wartości parametrów modelu:- dostępność danych, - jakość danych  
Model komputerowy – model konceptualny z ustalonymi wartościami parametrów i zapisany przy pomocy wybranego języka 
programowania lub zrealizowany przy pomocy pakietu do symulacji. 
Model komputerowy powinien zapewniać: 
- zgodność z modelowanym system w zakresie interesujących nas zależności (podobieństwo geometryczne, kinematyczne i 
dynamiczne), - łatwość użytkowania, zgodnie z przeznaczeniem. 
Ocena modelu: 
Weryfikacja – analiza kodu programu w celu wykrycia nieprawidłowości w zapisie. Często przeprowadzana 
automatycznie podczas kompilacji programu. Weryfikacja daje odpowiedź na pytanie: czy poprawnie zbudowano model? 
Walidacja – badanie zachowania opracowanego modelu i porównania działania tego modelu z działaniem (zachowaniem) 
obiektu rzeczywistego. Walidacja powinna być przeprowadzana z uwzględnieniem celów stawianych na początku procesu 
modelowania i odpowiada na pytanie, czy zbudowano poprawny model. 

Model poprawny jest kompletny, logiczny i jednoznaczny. Warunek poprawności modelu jest związany z postulatem 
poprawnego sformułowania zadania, które posiada rozwiązania w określonych zbiorach, te rozwiązania są jednoznaczne i ciągłe 
względem parametrów i zmiennych. 
Użyteczny model matematyczny powinien zapewniać: 
- istnienie i jednoznaczność rozwiązania równań, z których jest zbudowany, - możliwość uzyskania wyników ilościowych, 
- możliwość empirycznego porównania tych wyników z wielkościami wytwarzanymi przez modelowany system rzeczywisty. 
Kategorie modeli matematycznych: 
- Model deterministyczny – model, w którym każdemu elementowi u zbioru wielkości wejściowych U przyporządkowany jest 
jednoznacznie określony element y zbioru wielkości wyjściowych Y. Zależności między zmiennymi oraz same zmienne modelu są 
ściśle określone. 
- Model stochastyczny – model, w którym każdemu elementowi u zbioru wielkości wejściowych U odpowiada nie jeden, lecz 
wiele elementów zbioru wielkości wyjściowych Y. Zależności między zmiennymi wejściowymi a zmiennymi wyjściowymi są 
opisane przez rozkłady prawdopodobieństwa. (przykład: zadania rozładowania kolejek, działanie węzła usługowego (okienko 
bankowe, kasa, CPN), zadania układania harmonogramów produkcyjnych)) 
Model dynamiczny – model, w którym wyjście y zależy od wartości wejścia u w całym nieskończonym poprzedzającym 
przedziale czasowym. 
Model statyczny – zaniedbuje właściwości akumulacyjne systemu, zakładając bądź rozpatrywanie obiektu w stanie ustalonym, 
bądź przemijalność składowych przejściowych w przebiegach poszczególnych zmiennych. Określa jedynie zależności funkcyjne 
między zmiennymi wejściowymi a zamiennymi wyjściowymi. Przykład: badania operacyjne(Badania operacyjne zajmują się 
zagadnieniami podejmowania decyzji w systemach sieciowych, systemach obsługi sieciowej, przechowywania i podziału 
ograniczonych zasobów, wyznaczania ścieżek krytycznych.), badanie zależności między wartościami uśrednionymi, badanie 
systemów o wejściach wolnozmiennych 
Model ciągły – wartości zmiennych modelu określone są w każdej dowolnej chwili t. Czas zmienia się w sposób ciągły, a więc 
zbiór τ wszystkich wartości zmiennych czasu jest zbiorem nieprzeliczalnym. Modele ciągłe opisujemy przy pomocy równań 
różniczkowych zwyczajnych lub cząstkowych. 
Model dyskretny – wartości zmiennych modelu określone są w danych dyskretnych chwilach czasu. Czas przyjmuje tylko 
wyróżnione wartości dyskretne, a tym samym zbiór τ wszystkich wartości zmiennych czasu jest zbiorem przeliczalnym. Modele 
dyskretne opisujemy przy pomocy równań różnicowych. Modele dyskretne stosujemy również w przypadku procesu ciągłego, 
jeżeli model ten ma służyć do symulacji tego procesu za pomocą komputera 
model kwantowy - zmienne modelu przyjmują tylko określone wartości 
model skończony - zmienne modelu przyjmują tylko skończoną liczbę wartości 
Model stacjonarny – model, którego parametry nie zmieniają się w czasie. 
Model niestacjonarny – parametry modelu zmieniają się w czasie. 
Modele matematyczne większości systemów rzeczywistych sformułowane są w postaci nieliniowych równań różniczkowych lub 
różnicowych, są modelami nieliniowymi. Pewne uproszczenia tych modeli prowadzą do stworzenia modeli liniowych. 
 
WYKŁAD 3: 
 
Stanem systemu nazywamy najmniejszą liczbę danych, których znajomość w danej chwili, przy znajomości wielkości 
wejściowych, począwszy od tej chwili – pozwala jednoznacznie określić stan i wielkości wyjściowe systemu w przyszłości. 
Wielkości charakteryzujące stan systemu reprezentowane są przez zmienne stanu, których zbiór przedstawiany jest w postaci 
wektora stanu. 
Zmienne stanu to zestaw zmiennych, których znajomość w danej chwili t zawiera całą informację o przeszłości systemu, przy 
czym powinien to być zestaw o minimalnej liczbie zmiennych. 
Przestrzeń stanów – n-wymiarowa przestrzeń, w której każdy stan może być przedstawiony jako punkt w tej przestrzeni. 
Zbiór parametrów opisujących właściwości systemu można podzielić na dwie grupy: 
parametry techniczne – określają różnicę pomiędzy poszczególnymi systemami działającymi w tych samych warunkach, 
parametry środowiska i warunków działania – określają różnice pomiędzy warunkami działania tego samego systemu. 
System dynamiczny można opisać za pomocą równania stanu. Uzupełnieniem opisu są równania wyjścia określające związek 
między wielkościami wyjściowymi a zamiennymi stanu i wejścia 
Najczęściej stosowaną, a jednocześnie najbardziej ogólną metodą formułowania modeli systemów dynamicznych opisanych 
przy pomocy równań stanu i równań wyjście jest metoda bilansowa.  
Etapy budowy modelu: 



 

wybór wielkości bilansowych, - ułożenie równań bilansowych, - wybór wielkości stanu, - ułożenie równań stanu, - 
określenie wielkości wyjściowych. 

Innymi metodami formułowania modeli systemów dynamicznych opisanych przy pomocy równań stanu są metody 
wariacyjne. Ich podstawą są zasady wariacyjne mówiące, że ruch układu dynamicznego przebiega tak, aby charakteryzujący ten 
układ funkcjonał czasowy, zwany działaniem, osiągnął wartość stacjonarną (zwykle minimalną). Najczęściej wykorzystywana jest 
zasada wariacyjna Hamiltona (zasada najmniejszego działania). Zasada najmniejszego działania jest najbardziej ogólnym 
sformułowaniem praw ruchu systemów mechanicznych. Dzięki zastosowaniu odpowiednich analogii zasada ta pozwala budować 
modele innych systemów (elektromechanicznych, elektrycznych). 
 
 

WYKŁAD 4: 
 
Model dynamiczny – rozwiązywanie równań stanu 
Rozwiązaniem równania różniczkowego nazywamy każdą funkcję y=y(x) spełniającą to równanie w pewnym przedziale. Każde 
rozwiązanie, które zawiera n dowolnych stałych c1, c2, ... , cn, tak że możemy na nie nałożyć n dodatkowych warunków 
początkowych, nazywamy rozwiązaniem ogólnym. Jeśli ustalimy wartości tych stałych to otrzymamy rozwiązanie szczególne. 
Metoda Eulera (często nazywana metodą siecznych ze względu na interpretację geometryczną) jest najprostszą z metod 
rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych. Metoda ta pomimo swej prostoty jest rzadko stosowana ze względu na 
bardzo wolną zbieżność. Istnieją szybciej zbieżne modyfikacje metody Eulera (ulepszona metoda Eulera i zmodyfikowana 
metoda Eulera), ale obliczenie jednego kroku to ponad dwukrotnie większy koszt w porównaniu z wersją podstawową. 
Metody Rungego-Kutty – mogą osiągać różne rzędy dokładności. Najczęściej stosuje się metodę IV rzędu dokładności. 
Metoda Adams’a-Bashfort’a należy do grupy metod wielokrokowych, w których wykorzystuje się informacje o poprzednio 
obliczonych wartościach funkcji. W sytuacji gdy korzystamy z informacji w dwóch punktach otrzymamy metodę dwukrokową. 
 
WYKŁAD 5: 
  
Model dynamiczny – sposoby opisu 
Nieliniowe systemy dynamiczne:- opis zależności wejście-wyjście za pomocą równań różniczkowych, - za pomocą równań stanu. 
Liniowe systemy dynamiczne: - opis zależności „wejście-wyjście” za pomocą równań różniczkowych, - opis za pomocą równań 
stanu, - opis zależności „wejście-wyjście” w formie operatorowej 
Operatory odwzorowują wielkości wejściowe, będące funkcjami np. czasu – w inne funkcje czasu – reprezentujące wielkości 
wyjściowe. Posługiwanie się operatorami ułatwia obliczenia, bo pozwala operacje na funkcjach zastąpić operacjami na liczbach. 
Przekształcenie Laplace'a jest operatorem przekształcającym funkcję zmiennej rzeczywistej f(t) na pewną funkcję F(s) zmiennej 
zespolonej s = c + j  
Odwrotne przekształcenie Laplace'a – znając transformatę funkcji F(s) możemy wyznaczyć samą funkcję f(t) 
Właściwości transformaty Laplace'a: 
- addytywność i liniowość -  przekształcenie Laplace'a spełnia zasadę superpozycji, - skalowanie - tłumienie oryginału 
- przesunięcie w prawo o a (a – liczba rzeczywista, dodatnia), - przesunięcie w lewo o a , - różniczkowanie oryginału, 
- całkowanie oryginału, - różniczkowanie obrazu, - całkowanie obrazu, - transformata splotu 
Transmitancja operatorowa G(s) jest zdefiniowana jako stosunek transformaty Laplace’a sygnału wyjściowego Y(s) 
do transformaty Laplace’a sygnału wejściowego U(s), przy założeniu, że wszystkie warunki początkowe są zerowe. 
Właściwości transmitancji operatorowej: 
- transmitancja jest własnością samego systemu, niezależnie od wielkości i natury sygnału wejściowego, 
- transmitancja przedstawia związki pomiędzy sygnałami wyjściowym i wejściowym, nie dostarcza natomiast żadnej 
informacji dotyczącej fizycznej struktury systemu, 
- transmitancje wielu fizycznie różnych systemów mogą być identyczne 
- łatwość stosowania transmitancji do tworzenia modeli o skomplikowanej strukturze 
- jeśli transmitancja układu jest znana, to możemy określić sygnał wyjściowy dla różnych sygnałów wejściowych, 
- raz określona transmitancja daje pełny opis charakterystyk dynamicznych układu, w odróżnieniu od jego opisu fizycznego, 
- stosując podstawienie s=j

otrzymujemy transmitancję widmową, znajomość której pozwala na wyznaczanie charakterystyk 

częstotliwościowych systemu. 
 
WYKŁAD 6: 
 
Model dynamiczny – transmitancja operatorowa → równania stanu 
Istnieją wzajemne ekwiwalentne przekształcenia pomiędzy modelami matematycznymi opisanymi za pomocą transmitancji a 
modelami opisanymi w przestrzeni stanów. Ze względu na niejednoznaczność wyboru wektora zmiennych stanu jednej 
transmitancji może odpowiadać zbiór modeli zapisanych w przestrzeni stanów. Przekształcenie odwrotne jest jednoznaczne 
 
WYKŁAD 7: 
 
Linearyzacja jest procesem tworzenia modelu liniowego, który aproksymuje model nieliniowy. 
Liniowość i nieliniowość to właściwości systemu, które są związane ze strukturą równań opisujących ten system. Metody:  
- uproszczenia, - rozkład w szereg Taylora, - małych odchyleń od ruchu bazowego,- z zastosowaniem identyfikacji. 
Założenia warunki, które określają zakres ważności modelu, a więc zmniejszają zakres ogólności modelu, np.: zwoje sprężyny 
nigdy nie są zblokowane (nigdy nie stykają się), kąt wychylenia wahadła w rozpatrywanym ośrodku nie jest większy niż 7o. 
Uproszczenia to te warunki, które pogarszają dokładność modelu, przez to że zezwalają na pominięcie w modelu fizycznym 
określonych zjawisk, o których sądzimy że w danych konkretnych warunkach mało wpływają na dokładność odwzorowania 
oryginału przez jego model 
linearyzacja – rozkład w szereg Taylora uzyskujemy liniowy model przyrostowy, który odpowiada modelowi nieliniowemu tylko 
w bliskim otoczeniu ustalonego punktu pracy. 
 
 

WYKŁAD 8: 
 
Model dynamiczny systemu dyskretnego. System dyskretny to system, w którym zbiór rozpatrywanych wartości argumentu t 
jest dyskretny i chociażby część współrzędnych, albo też oddziaływań, jest ciągiem impulsów. 
SYSTEMY DYSKRETNE: - tylko urządzenia dyskretne (komputery, filtry cyfrowe), - systemy ciągło dyskretne (elementy ciągłe i 
dyskretne (układ ciągły z regulatorem cyfrowym). 
Kwantowanie - Proces przekształcenia sygnału ciągłego w dyskretny. 
Twierdzenie Shannona-Kotielnikowa: Do tego, aby sygnał ciągły o widmie ograniczonym maksymalną częstotliwością  c można 
było odtworzyć dokładnie, według jego wartości dyskretnych, konieczne jest aby częstotliwość kwantowania spełniała warunek: 
R-a różnicowe określają stan systemu w chwili [k+1] w zależności od stanu z chwili poprzedniej [k] i wartości wymuszenia u[k]. 
Metody przekształcania równań różniczkowych (ciągłych) na równania różnicowe (dyskretne) 
- metoda różnicowa Eulera w przód (algorytm ekstrapolacyjny), - metoda różnicowa Eulera wstecz (algorytm interpolacyjny) 
Przekształcenie Laurenta (przekształcenie Z) przyporządkowuje danej dyskretnej funkcji czasu f[k] funkcję zmiennej zespolonej z, 
F(z), którą nazywamy transformatą Z (Laurenta) Przekształcenie Laurenta umożliwia sprowadzenie układu równań różnicowych 
reprezentujących model dyskretny liniowy i stacjonarny do układu równań algebraicznych. 
Transmitancja operatorowa G(z) jest zdefiniowana jako stosunek transformaty Z sygnału wyjściowego Y(z) do transformaty Z 
sygnału wejściowego U(z), przy założeniu, że wszystkie warunki początkowe są zerowe. 
 
WYKŁAD 9: 
 
Zadanie identyfikacji układów systemów polega na określeniu struktury i parametrów modeli matematycznych tych systemów 
na podstawie doświadczalnych obserwacji procesów w nich zachodzących. 
Klasyfikacja zadań identyfikacji ze względu na: 
- charakter opisu matematycznego procesów, - charakter analitycznego opisu sygnałów wejściowych i wyjściowych, - ilość 
informacji danych a priori. 
Zadanie identyfikacji w sensie szerokim 
- brakuje informacji a priori o obiekcie lub jest ona nieznana, - obiekt przedstawiamy w postaci „czarnej skrzynki”, - przedmiot 
identyfikacji: struktura i parametry tego obiektu 
Zadanie identyfikacji w sensie ścisłym 
- kategoria i struktura znane, - informacja a priori o obiekcie wystarczająca, - przedmiot identyfikacji: parametry tego obiektu 
 
Identyfikacja na podstawie metody najmniejszych kwadratów 
Poszukiwane rozwiązanie zadania identyfikacji parametrów. Jest to zadanie metody najmniejszych kwadratów i zalicza się do 
regresywnych metod identyfikacji. Regresją y względem x będziemy nazywać jakąkolwiek funkcję g(x), w przybliżeniu 
przedstawiającą zależność statystyczną y od x. 
Algorytmy identyfikacji oparte na MNK wymagają rozwiązania całego zadnia w każdym kroku identyfikacji. Prowadzi to do 
nieekonomicznego wykorzystania możliwości komputera. Taka organizacja algorytmu powoduje zbyt wolne rozwiązanie 
zadania identyfikacji. 
Rekurencyjna metoda identyfikacji – ocena parametrów w danym momencie pomiarów kształtuje się jako ocena w poprzednim 
momencie pomiarów plus pewna poprawka.  
Każdy model matematyczny, nawet ten najdokładniejszy, jest tylko pewnym przybliżeniem obiektu rzeczywistego, ale np. w 
sztuce model może być doskonalszy od swojego obrazu. 
Kalibracja – proces poprawiania wartości liczbowych parametrów modelu, w celu osiągnięcia możliwie najlepszej zgodności 
miedzy danymi obserwacyjnymi i wygenerowanymi przez model. 
Techniki nieformalne polegają głównie na ocenie działania modelu na podstawie subiektywnych ocen ekspertów. Używa się ich 
do określania czy zależności logiczne zawarte w modelu konceptualnym są poprawne oraz do badania relacji wejście-wyjście.  
Ocena modelu 
- test Turinga - ekspert ocenia czy przedstawione wyniki pochodzą z systemu rzeczywistego czy modelu, 
- face validation - porównanie zachowania modelu i systemu rzeczywistego dla jednakowych warunków początkowych. 
Techniki statyczne dotyczą przede wszystkim procesu weryfikacji modelu komputerowego i nie wymagają uruchamiania tego 
modelu. Ocenia się poprawność kodu programu komputerowego, przeprowadza analizę semantyczną i składniową. Bada się 
strukturę i działanie interfejsu użytkownika. 
Techniki dynamiczne badają zachowanie modelu na podstawie jego działania. Ocena działania może polegać na porównaniu 
kilku różnych modeli symulacyjnych tego samego systemu rzeczywistego z takimi samymi danymi początkowymi. 
Ocena modelu 
- techniki statystyczne (analiza wariancji, analiza regresji, testy statystyczne i inne), 
- analiza wrażliwości, która pozwala badać jak zmienia się zachowanie modelu pod wpływem zmian zmiennych wejściowych, 
- wizualizacja i animacja zachowania modelu. 
Techniki formalne bazują na matematycznym dowodzeniu poprawności modelu. Pomimo, że dzisiejszy stan wiedzy nie pozwala 
zastosować ich dla systemów złożonych, stanowią podstawę dla innych technik walidacji i weryfikacji modeli. 
Ocena modelu 



 

indukcja, wnioskowanie i dedukcja logiczna, rachunek predykatów.