M16: Pomiar współczynnika lepkości cieczy metodą

Stokesa

Tajemniczy Student

Fizyka

9 października 2017

1

Wprowadzenie

Lepkością nazywamy opór jaki stawiają warstwy płynu względem siebie poru-
szające się z różną prędkością. Lepkość dynamiczna η jest wielkością fizyczną
definiowaną zależnością:

η =

τ

˙γ

(1)

Gdzie: τ - oznacza naprężenia ścinające, a ˙γ - prędkość ścinania (będąca miarą
różnicy prędkości poruszających się warstw cieczy).
Na obiekt kulisty poruszający się w wodzie działa siła oporu wynikająca z rów-
nania Stokesa [

1

]:

F

T

= −6πηrv

(2)

Gdzie: r - promień kuli, v - prędkość kuli.
Kulka wrzucona do cieczy (o mniejszej gęstości niż ona sama) po przepłynięciu
pewnego odcinka uzyska stałą prędkość - działające na nią siły będą się równo-
ważyć. Uwzględniając siłę wyporu oraz siłę grawitacji można otrzymać zależność
na współczynnik lepkości cieczy [

1

]:

η =

2(ρ

k

− ρ

p

)gr

2

t

9l

(3)

Gdzie: g - przyspieszenie ziemskie, l - długość odcinka przebytego przez kulkę w
czasie t, ρ

p

- oznacza gęstość cieczy, w której pływa kulka (w przypadku tego

ćwiczenia - parafiny), ρ

k

- gęstość kulki (w przypadku tego ćwiczenia - wody).

Korzystając z cech ciśnienia hydrostatycznego za pomocą naczynia połączonego
tzw. u-rurki można wyznaczyć gęstość nieznanej cieczy mając do dyspozycji ciecz
o danej gęstości. Wyraża się to zależnością [

1

]:

ρ

p

= ρ

k

h

k

h

p

(4)

W ćwiczeniu wykorzystano wodę destylowaną i parafinę. W powyższym równa-
niu: h

k

- wysokość słupa wody, h

p

- wysokość słupa parafiny.

Rysunek 1: Naczynie połączone służące do wyznaczenia gęstości parafiny [

2

]

1

2

Opis Doświadczenia

Celem doświadczenia był pomiar współczynnika lepkości parafiny. W tym celu
wykorzystano: cylinder wypełniony parafiną, wodę destylowaną, pipetę, u-rurkę,
stoper, biuretę z kroplomierzem, termometr.
Najpierw odczytano temperaturę w celu bardziej precyzyjnego wyznaczenia gę-
stości wody z danych tablicowych [

3

]. Następnie wykorzystano tzw. u-rurkę (ry-

sunek

1

), z której odczytano wysokości słupa wody i parafiny w celu wyznaczenia

gęstości badanej cieczy. Kolejny etap polegał na wypełnieniu biurety wodą de-
stylowaną i odkręceniu kranika na tyle, aby byłby widoczne pojedyncze krople
w dogodnych odstępach do pomiaru ich czasu przelotu przez odcinek określo-
ny na podziałce przymocowanej do cylindra wypełnionego parafiną. Dokonano
pomiarów czasu dla 2 różnych wielkości kropel (modyfikowanych przez zmianę
końcówki, przez którą wypływa woda) po 3 serie po 10 pomiarów czasu każda.
Notowano przy tym ilość kropel n

k

i ubytek wody w biurecie V (który był uzu-

pełniany co serię) w celu wyznaczenia objętości pojedynczej kropli za pomocą

Rysunek 2: Układ wykorzystywany w ćwiczeniu (fot. własna)

2

wzoru na objętość kuli:

r =

3

s

3V

4πn

k

(5)

Współczynnik lepkości wyznaczono na podstawie równania (

3

). Jednak ten wzór

jest ścisły dla płynu o nieskończonej szerokości. W celu zwiększenia dokładności
przyjęto pewną poprawkę uwzględniającą promień przekroju cylindra R [

1

]:

η

popr

= η

1 −

r

R

n

(6)

Gdzie współczynnik n może zostać wyznaczony w przypadku, gdy dokonujemy
pomiaru dla różnych wielkości kulek r

1

, r

2

[

1

]:

n =

log

r

2
2

t

2

r

2
1

t

1

log

R−r

1

R−r

2

(7)

Gdzie t

1

oraz t

2

oznacza odpowiadające im czasy spadku.

3

Opracowanie wyników pomiarów

3.1

Wyznaczanie gęstości parafiny

Na podstawie jednokrotnego odczytu wysokości poziomów cieczy otrzymano
wraz z niepewnościami systematycznymi:

• h

k

= 19, 4(4)cm

• h

p

= 22, 6(4)cm

Gęstość została wyznaczona na podstawie danych tablicowych [

3

] przy zmierzo-

nej temperaturze T = 22, 5(5)

◦

C. Przyjęta została gęstość wody ρ

k

= 0, 9976(1)

g

cm

3

- pośrednia między wartościami tablicowymi dla 22

◦

C i 23

◦

C.

Na tej podstawie wyznaczona gęstość parafiny wynosi ρ

p

= 0, 856(32)

g

cm

3

, gdzie

niepewność systematyczna została wyznaczona na podstawie metody różniczki
zupełnej (przyjmując niepewność gęstości wody za pomijalną):

∆ρ

p

=

ρ

k

h

p

· ∆h

k

+

h

k

+ ρ

k

h

2

p

· ∆h

p

(8)

3.2

Wyznaczanie średnicy kulki

Na podstawie równania (

5

) wyznaczono promień kulek w każdej serii. Na pod-

stawie danych z tabeli I z kopii wyników z zeszytu laboratoryjnego otrzymano
w każdej serii kolejno:

• r

I

= 1, 88(25)mm

• r

II

= 1, 71(23)mm

3

• r

III

= 1, 76(21)mm

Dzięki czemu uzyskano wartość średnią r

1

= 1, 78(23)mm.

Analogicznie na podstawie danych z tabeli II:

• r

I

= 2, 46(11)mm

• r

II

= 2, 43(13)mm

• r

III

= 2, 57(6)mm

Dzięki czemu uzyskano, jako wartość średnią r

2

= 2, 49(10)mm.

Niepewności systematyczne promienia wyznaczono z zależności:

∆r =

3

s

1

36n

k

π · V

2

· ∆V

(9)

3.3

Wyznaczanie wykładnika n

W celu wyznaczenia wykładnika n wykorzystano promień cylindra R = 45, 8mm
(z wartością promienia uznaną jako dokładną) oraz czas spadku, jako średnia
arytmetyczna z pomiarów wraz z niepewnością statystyczną z odchylenia stan-
dardowego średniej.
Dla danych w tabeli I otrzymano (indeksy oznaczają nr serii pomiarowej):

• t

I

= 25, 85 ± 0, 20 ± 0, 17s (Gdzie pierwsza niepewność jest systematyczna.

Jeżeli nie podano inaczej, dotyczy to każdego wyniku z 2 niepewnościami)

• t

II

= 26, 38 ± 0, 20 ± 0, 11s

• t

III

= 27, 70 ± 0, 20 ± 0, 16s

Przy pomiarze czasu należy jeszcze uwzględnić czas reakcji człowieka szacowany
na ok. 0, 2s (niepewność systematyczna). Jako czas spadku przyjęto średnią aryt-
metyczną powyższych wyników, czyli t

1

= 26, 64 ± 0, 20 ± 0, 14, gdzie pierwsza

niepewność jest systematyczna.
Dla danych w tabeli II otrzymano:

• t

I

= 17, 53 ± 0, 20 ± 0, 09s

• t

II

= 17, 79 ± 0, 20 ± 0, 05s

• t

III

= 15, 43 ± 0, 20 ± 0, 07s

Jako czas spadku przyjęto średnią arytmetyczną powyższych wyników, czyli t

2

=

16, 92 ± 0, 20 ± 0, 07.
Wykorzystując wzór (

7

) uzyskano n = 42, 31 ± 4, 83 ± 0, 52, gdzie pierwsza nie-

pewność jest systematyczna.
Niepewność wykładnika n została wyznaczona za pomocą zależności na oblicza-
nie niepewności statystycznych względnych i w przypadku niepewności systema-
tycznej metodą różniczki zupełnej.

4

3.4

Wyznaczanie współczynnika lepkości parafiny

Lepkość wyznaczono na podstawie (

3

). Przyjęto przyspieszenie ziemskie g =

9, 81

m

s

2

.

Dla kropli o promieniu r

1

uzyskano lepkość η

1

= 0, 170(120)P a · s.

Dla kropli r

2

uzyskano η

2

= 0, 220(100)P a · s.

Niepewność systematyczną pomiaru współczynnika lepkości wyznaczono na pod-
stawie zależności:

∆η =

η

ρ

k

− ρ

p

· ∆ρ

p

+

η

l

· ∆l +

η

r

· ∆r +

η

t

· ∆t

(10)

Niepewność statystyczną pomiaru współczynnika lepkości na podstawie poniż-
szej zależności okazała się znikoma (3 rzędy mniejsza niż niepewność systema-
tyczna) i została pominięta:

σ

η

=

η

t

· σ

t

(11)

Wykorzystując poprawkę do wzoru uwzględniającą średnicę cylindra (

6

) dla pro-

mienia kropli r

1

otrzymano η

popr

= 0, 032(33)P a · s.

Niepewność systematyczną wyznaczono z zależności:

∆η

popr

=

1 −

r

1

R

n

·∆η

1

+η

popr

ln

1 −

r

1

R

·∆n+

η

1

· n · 1 −

r

1

R

n−1

R

·∆r

1

(12)

Niepewność statystyczna (pochodząca od niepewności pomiaru wykładnika n)
okazała się znikoma i została pominięta.

4

Dyskusja uzyskanych wyników

Uzyskana gęstość parafiny jest zgodna z danymi tablicowymi dostępnymi w pra-
cowni [

4

]. Podobnie wartość współczynnika lepkości (bez poprawki) mieści się w

zakresie niepewności pomiarowej z wartością tablicową zarówno dla promienia
r

1

, jak i r

2

. Jednak na uwagę zasługuje fakt, że są obarczone znaczną niepew-

nością względną odpowiednio 70% i 45%. Składa się na to m. in. duża ilość
mierzonych parametrów składająca się na wynik. Wzór z tzw. poprawką oka-
zał się nieskuteczny i uzyskana za jego pomocą wartość współczynnika lepkości
znacznie odbiega od wartości tablicowej. Znajduje to potwierdzenie u innych
osób wykonujących to ćwiczenie.
Na niedokładność pomiaru i znaczną niepewność pomiaru miały wpływ takie
czynniki, jak:

• pomiar drogi o dużej niepewności (dobrym pomysłem byłoby użycie miarki

z gęstszą podziałką w przyszłym doświadczeniu),

• zakręcenie kranika dla drugiej wielkości kropli pomiędzy serią pomiaro-

wą drugą a trzecią - wystąpiła niewielka zmiana jej rozmiaru zakłócająca
wynik,

• przy odczycie poziomu cieczy w U-rurce widoczny menisk utrudniający

odczyt, co zwiększyło niepewność pomiarową,

5

• spowolnienie częstotliwości spadku kropel w tracie trwania pomiaru - w

niewielkim stopniu modyfikował ich rozmiar i czas spadku.

Zauważono, że kropla wody w parafinie formowała się stopniowo i zajmowa-
ło to najczęściej ponad minutę (pomijając ostatnią serię), aby się uformowała.
Prawdopodobnie może mieć na to wpływ np. napięcie powierzchniowe parafiny
- dopiero, gdy kropla wody osiągnie odpowiedni ciężar, przeważy siłę napięcia
powierzchniowego i oderwie się.

Literatura

[1]

http://www.1pf.if.uj.edu.pl/c/document library/get file?uuid=25517653-
5c71-4dc1-9683-9ccf77b19736&groupId=5046939

Instrukcja do ćwiczenia M16 ze strony 1. Pracowni Fizycznej UJ [dostęp
9 października 2017]

[2]

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/28/Manometer
(schematic U-tube).svg

Rysunek u-rurki z serwisu Wikipedia Commons [dostęp 9 października
2017]

[3]

http://www.1pf.if.uj.edu.pl/documents/5046939/0/M16+tab+g%C4%99sto
%C5%9Bci+wody+w+zal+od+temp.pdf/44525215-463d-4eb7-806e-
127b76b4ad56

Tabela gęstości wody w zależności od temperatury ze strony 1. Pracowni
Fizycznej UJ [dostęp 9 października 2017]

[4]

http://www.1pf.if.uj.edu.pl/documents/5046939/0/M16+parametry+
OLEJU+PARAFINOWEGO.pdf/3940ed92-e560-4df8-9823-6874dca209b4

Tabela właściwości oleju parafinowego używanego w 1. Pracowni Fizycznej
UJ [dostęp 9 października 2017]

6