Rys. 3.1 Rozpatrywana kratownica
Mechanika Budowli
AlmaMater
Rys. 3.1 Rozpatrywana kratownica
Mechanika Budowli
AlmaMater
Zgodnie ze sposobem rozwiązywania układów statycznie niewyznaczalnych (hiperstatycznych)
metodą sił, zamieniamy rozpatrywany, jednokrotnie statycznie niewyznaczalny układ (Rys. 3.1.1 a)), na tzw.
układ podstawowy (układ zastępczy), tak samo obciąŜony i geometrycznie identyczny z rozpatrywanym ale
statycznie wyznaczalny (Rys. 3.1.1 b)).
[m]
4,4
3
,3
4,4
4,4
4,4
3
,3
1
1
[m]
4,4
3
,3
4,4
4,4
4,4
3
,3
[m]
3
,3
3
,3
K
5
K
1
K
2
K
3
K
4
G
1
G
2
G
3
G
4
D
1
D
2
D
3
D
4
S
1
S
2
S
3
S
4
K
1
G
1
D
1
K
2
G
2
D
2
K
3
G
3
D
3
K
4
G
4
D
4
K
5
K
5
S
1
S
2
S
3
S
4
Rys. 3.1.1 Dany układ: a) rzeczywisty jednokrotnie statycznie niewyznaczalny; b) układ podstawowy (zastępczy),
statycznie wyznaczalny, z niewiadomą siłą X
1
PowyŜszy układ podstawowy (Rys. 3.1.1 b)) dla dowolnych X
1
nie spełnia warunku identyczności
kinematycznej z rzeczywistym układem, poniewaŜ dozna on przemieszczenia na końcach rozciętego pręta.
Aby spełnić ten warunek, do układu podstawowego wprowadzamy dodatkowy warunek na X
1
, w postaci
równania liniowego (tzw. równania kanonicznego), wyraŜających zgodność przemieszczeń układu
rzeczywistego i podstawowego, przez liczenie przemieszczeń w układzie statycznie wyznaczalnym, takich
punktów, których znamy konkretne wartości w układzie statycznie niewyznaczalnym. Dla naszego
przypadku równanie kanoniczne przyjmie postać (3.1.1):
1 1
X
1
1 p
0
(3.1.1)
gdzie δ
11
i ∆
1p
to odpowiednie przemieszczenia wyraŜone następującymi wzorami:
1 1
j
S
j
1
S
j
1
EA
j
l
j
1
kN m
2
m
2
m
m
kN
(3.1.2)
1 p
j
S
j
1
S
j
p
EA
j
l
j
kN
kN m
2
m
2
m m
(3.1.3)
W celu obliczenia powyŜszych współczynników (3.1.2 i 3.1.3), znajdujemy odpowiednie wielkości sił
normalnych w danych prętach kratownicy (Rys. 3.1.2).
Krzysztof Tymper Mechanika Budowli
AlmaMater
[m]
4,4
3
,3
4,4
4,4
4,4
3
,3
[m]
4,4
3
,3
4,4
4,4
4,4
533
1
3
400
266
2
3
133
1
3
266
2
3
133
1
3
0
400
100
100
100
100
16
6
2
3
16
6
2
3
16
6
2
3
16
6
2
3
0,468
1,872
0,351
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,5
85
0,5
85
1,404
Rys. 3.1.2 Wartości siły normalnej w danych prętach kratownicy, w układzie podstawowym powstałe wskutek
działania: a) obciąŜenia zewnętrznego; b) siły jedynkowej przyłoŜonej w miejsce niewiadomej X
1
Poszukiwane współczynniki otrzymano po odpowiednich sumowaniach (Tab. 3.1.1), a następnie na ich
podstawie uzyskano wartość poszukiwanej niewiadomej X
1
(Tab. 3.1.1), co z kolei pozwoliło na znalezienie
poszukiwanych rzeczywistych sił wewnętrznych w rozpatrywanym układzie statycznie niewyznaczalnym
(Tab. 3.1.1 oraz Rys.3.1.3).
Tab. 3.1.1 Obliczenia poszukiwanych sił wewnętrznych
Krzysztof Tymper Mechanika Budowli
AlmaMater
Pręt
l
j
[m]
EA
j
[kN]
S
(j)
P
[kN]
S
(j)
1
[-]
S
j
1
S
j
P
EA
j
⋅
l
j
[m]
S
j
1
S
j
1
EA
j
⋅
l
j
[m/kN]
X
1
=
−
1 p
1 1
[kN]
S
(j)n
= S
(j)
1
.
X
1
+S
(j)
P
[kN]
G
1
4,4
EA
0
533,3333
-1,872
-4392,95973
15,41929
G
2
4,4
EA
0
400
-1,404
-2471,04
8,67335
G
3
4,4
EA
0
266,6667
0
0
0
G
4
4,4
EA
0
133,3333
0
0
0
D
1
4,4
EA
0
-400
0,468
-823,68
0,96371
D
2
4,4
EA
0
-266,6667
0
0
0
D
3
4,4
EA
0
-133,3333
0
0
0
D
4
4,4
EA
0
0
0
0
0
S
1
3,3
0,6 EA
0
100
-0,351
-193,05386
0,67762
S
2
3,3
0,6 EA
0
100
0
0
0
S
3
3,3
0,6 EA
0
100
0
0
0
S
4
3,3
0,6 EA
0
100
0
0
0
K
1
5,5
0,7 EA
0
-166,6667
0,585
-766,08644
2,68896
K
2
5,5
0,7 EA
0
-166,6667
0,585
-766,08644
2,68896
K
3
5,5
0,7 EA
0
-166,6667
0
0
0
K
4
5,5
0,7 EA
0
-166,6667
0
0
0
K
5
9,3984 0,7 EA
0
0
1
0
13,42655
1 p
=
j
S
j
1
S
j
p
EA
j
⋅
l
j
,
1 1
=
j
S
j
1
S
j
1
EA
j
⋅
l
j
9412,90647
EA
0
44,53845
EA
0
Krzysztof Tymper Mechanika Budowli
AlmaMater
[m]
4,4
3,
3
4,4
4,4
4,4
3,
3
o
o
o
o
o
o
o
o
[m]
4,4
3,
3
4,4
4,4
4,4
103,27
0
301,09
25,82
100
100
100
211,3
4
137,70
43
,03
43
,03
266,67
133,33
266,67
133,33
16
6,6
7
16
6,6
7
Rys. 3.1.3 Zestawienie wyników (rzeczywistych wartości siły normalnej w danych prętach) dla rozpatrywanej
kratownicy statycznie niewyznaczalnej
Jest to najwaŜniejsze sprawdzenie w metodzie sił, gdyŜ dopiero one daje nam pewność poprawności
uzyskanych wyników. Polega na wykazaniu, Ŝe dla wybranych punktów (na ogól punktów, które nie doznają
przemieszczeń
w
układzie
statycznie
niewyznaczalnym)
przemieszczenia
są
równe
wartościom
rzeczywistym tam występującym. Przemieszczenia wyliczymy korzystając z równania pracy wirtualnej oraz
z twierdzeń redukcyjnych, z których wynika, Ŝe licząc przemieszczenia w układzie statycznie
niewyznaczalnym, jeden ze stanów (rzeczywisty lub wirtualny), moŜemy wyliczyć dla dowolnego układu
podstawowego (3.2.1).
j
S
j
n
S
j
n
EA
j
l
j
j
S
o
j
S
j
n
EA
j
l
j
j
S
j
n
S
o
j
EA
j
l
j
kN
kN m
2
m
2
m m
(3.2.1)
Z uwagi na specyfikę oraz prostotę rozpatrywanej przez nas kratownicy (układ jednokrotnie wewnętrznie
statycznie niewyznaczalny), kontrola kinematyczna nie jest w tym przypadku do końca miarodajna. Wynika
to z faktu, Ŝe w
szystkie moŜliwe do zastosowania układy podstawowy są ze sobą toŜsame. Dlatego sprawdzenia
dokonamy (Tab. 3.2.1) wykorzystując ten sam co poprzednio (uŜyty podczas liczenia współczynników równania
kanonicznego) układ podstawowy (Rys. 3.1.1 b)).
Krzysztof Tymper Mechanika Budowli
AlmaMater
Tab. 3.2.1 Kontrola kinematyczna rozpatrywanego układu kratowego
Pręt
l
j
[m]
EA
j
[kN]
S
j
n
[kN]
S
o
j
[-]
S
j
n
S
o
j
EA
j
⋅
l
j
[m]
G
1
4,4
EA
0
137,70
-1,872
-1134,19482
G
2
4,4
EA
0
103,27
-1,404
-637,98474
G
3
4,4
EA
0
266,67
0
0
G
4
4,4
EA
0
133,33
0
0
D
1
4,4
EA
0
-301,09
0,468
-620,00719
D
2
4,4
EA
0
-266,67
0
0
D
3
4,4
EA
0
-133,33
0
0
D
4
4,4
EA
0
0
0
0
S
1
3,3
0,6 EA
0
25,82
-0,351
-49,84355
S
2
3,3
0,6 EA
0
100
0
0
S
3
3,3
0,6 EA
0
100
0
0
S
4
3,3
0,6 EA
0
100
0
0
K
1
5,5
0,7 EA
0
-43,03
0,585
-197,79158
K
2
5,5
0,7 EA
0
-43,03
0,585
-197,79158
K
3
5,5
0,7 EA
0
-166,67
0
0
K
4
5,5
0,7 EA
0
-166,67
0
0
K
5
9,3984
0,7 EA
0
211,34
1
2837,61346
j
S
j
n
S
o
j
EA
j
l
j
Na zakończenie warto dodać Ŝe w przypadku bardziej skomplikowanych układów kratowych wewnętrznie
statycznie niewyznaczalnych sprawdzenia uzyskanych wyników moŜna równieŜ dokonać w następujący
sposób:
- obliczyć rzeczywiste przemieszczenie danego punktu, w dwóch róŜnych układach dla wirtualnego stanu
obciąŜenia (wykorzystując twierdzenie redukcyjne w dwóch róŜnych układach podstawowych), które musi
być takie samo;
- ponownie przeprowadzić obliczenia metodą sił, ale dla innego układu podstawowego i porównać
otrzymane w ten sposób wyniki, z wyliczonymi wcześniej;
Krzysztof Tymper Mechanika Budowli
AlmaMater