Stateczność skarpy
1
Stateczność skarp w gruntach spoistych
Metoda Felleniusa
Zakłada się, że
obsunięcie
skarpy w gruntach
spoistych
następuje
wzdłuż
powierzchni
krzywoliniowej
, zaś w gruntach niejednorodnych
wzdłuż powierzchni łamanej.
Skarpy, dla których wzdłuż powierzchni poślizgu
istnieje stan graniczny, co oznacza, że naprężenia
ś
cinające są równe wytrzymałości gruntu na
ś
cinanie, nazywane są skarpami granicznymi.
Istnieje wiele metod do określania warunków
stateczności skarp, znacznie różniących się od
siebie założeniami.
Metoda Felleniusa (szwedzka) jest jedną z metod
zalecaną przez PN–83/B–03010.
Stateczność skarpy
2
Metoda Felleniusa opiera się na przyjęciu
cylindrycznej powierzchni osuwiskowej.
Bryłę osuwającego się gruntu w chwili rozpoczęcia
się zsuwu uważa się za sztywną, jej podziału na „n”
bloków dokonuje się w celach obliczeniowych.
Wymiar bloków w kierunku prostopadłym do
powierzchni
przekroju
poprzecznego
skarpy
przyjmuje się = 1.
O
O
1
β
1
Bryła osuwiskowa skarpy w gruncie spoistym
Stateczność skarpy
3
N
1
B
1
T
1
G
1
B
2
T
2
T
3
N
2
N
3
G
2
G
3
B
3
B
i
T
i
G
i
N
i
α
1
α
2
α
3
α
i
O
Schemat sił działających na skarpę
Ciężar G
i
każdej z brył rozkłada się na dwie
składowe:
N
i
– normalną do powierzchni zsuwu,
B
i
– styczną do powierzchni zsuwu.
Stateczność skarpy
4
Przesuwowi bloków skarpy przeciwstawiają się siły
tarcia T
i
(pochodzące od tarcia na granicy bryły
poślizgu oraz od spójności gruntu), działające
stycznie do powierzchni poślizgu.
i
u
u
i
i
A
C
tgΦ
N
T
⋅
+
⋅
=
i
u
u
i
i
i
A
C
tgΦ
α
G
T
⋅
+
⋅
⋅
=
cos
gdzie:
α
i
– kąt nachylenia siły T
i
do poziomu;
l
i
– długość podstawy bloku
(łuku powierzchni
poślizgu)
;
A
i
– powierzchnia podstawy bloku;
A
i
= l
i
• 1 m
Równowaga całej bryły zostanie zachowana, jeżeli
suma momentów sił zsuwających (obracających)
M
0
będzie równa bądź mniejsza od sumy
momentów sił utrzymujących M
u
.
M
o
≤ m ·M
u
Stateczność skarpy
5
Stosunek
tych
momentów
nazywa
się
współczynnikiem stateczności skarpy
.
u
o
M
M
m
≥
,
o
u
M
M
m
F
≤
=
1
gdzie:
M
o
-
moment obracający, względem punktu obrotu O,
M
u
-
moment utrzymujący, względem punktu obrotu O.
W celu uzyskania najniekorzystniejszej wartości
tego
współczynnika
należy
ustalić
najniebezpieczniejszy punkt obrotu
.
Dla ułatwienia obliczeń wyznacza się linię
najbardziej niebezpiecznych punktów obrotu O.
Linia ta przebiega przez punkty O’ i O’’.
o
Pierwszy z nich znajduje się na głębokości równej
wysokości skarpy i w odległości 4,5- krotnej tej
wysokości liczonej od dolnej krawędzi skarpy.
o
Drugi z nich leży na przecięciu linii biegnących
pod kątami odpowiednio
δ
1
i
δ
2
od dolnej i górnej
krawędzi skarpy.
Stateczność skarpy
6
Wielkości kątów
δ
1
i
δ
2
w zależności od nachylenia
skarpy
β
1 : m
δ
1
δ
2
45
o
1 : 1
28
o
37
o
33
o
41’
1 : 1,5
26
o
35
o
26
o
34’
1 : 2
25
o
35
o
18
o
21’
1 : 3
25
o
35
o
11
o
19’
1 : 5
25
o
37
o
Po wyznaczeniu linii O’ – O’’ oblicza się n wartości
współczynnika m
n
dla punktów obrotu O
n
, tak aby
uzyskać sytuację gdy z trzech kolejnych środkowy ma
wartość najmniejszą.
Punkty te znajdujemy w ten sposób, że współrzędną
(x) są kolejne kroki na linii najniebezpieczniejszych
punktów obrotu, a (y) wartość współczynnika
stateczności skarpy m.
o
Stosując funkcję wielomianu drugiego stopnia,
podstawiając wartości tych trzech punktów,
wyznaczamy współczynniki kierunkowe funkcji, a
następnie jej ekstremum.
o
W miejscu ekstremum obliczamy minimalną
wartość współczynnika m.
Stateczność skarpy
7
4,5 H
H
H
O'
O''
δ
1
δ
2
β
O
1
O
2
O
n
x
y
F
1
F
2
F
n
F
m
in
Wyznaczenie linii najbardziej niebezpiecznych punktów obrotu
Stateczność skarpy
8
Jeżeli w zboczu, wskutek różnicy poziomów wody
gruntowej,
występuje
przepływ
wody,
przy
sprawdzaniu warunku stateczności do wartości
momentu obracającego M
o
należy dodać dodatkowy
moment
∆
M
o
.
P
s
R
s
R
O
ψ
l
∆
h
Stateczność skarpy przy działaniu ciśnienia spływowego
Wartość tego przyrostu obliczamy ze wzoru:
s
s
o
R
P
∆
M
⋅
=
gdzie:
R
s
- promień działania siły P
s
w stosunku do środka
obrotu O,
P
s
- ciśnienie spływowe,
w
s
ρ
i
P
⋅
=
i - spadek hydrauliczny;
i =
∆
h
/
l = sin
ψ
Stateczność skarpy
9
Zadanie
Okre
ś
li
ć
współczynnik stateczno
ś
ci skarpy dla
nast
ę
puj
ą
cych danych:
rodzaj gruntu
I
L,
I
D
h [m]
a [m]
b [m]
q [kN/m
2
]
nachylenie
skarpy
h
a
b
q
Stateczność skarpy
10
Stateczność skarpy
11
α
b
l
α
W
T
S
N
h
ś
r
h
L
h
P
Stateczność skarpy
12
W
i
= Q
i
+ G
i
Q
i
– ci
ęż
ar bloku „i”
G
i
– ci
ęż
ar obiektu (podany jako obci
ąż
enie ci
ą
głe) na bloku „i”
gdzie:
b
i
- szeroko
ść
bloku (paska),
h
ś
r,i
-
ś
rednia wysoko
ść
bloku (paska),
l
i
- długo
ść
podstawy bloku (łuku powierzchni po
ś
lizgu),
A
i
- pole powierzchni podstawy bloku = l
i
·1m,
V
i
- obj
ę
to
ść
bloku.
Przykład obliczenia współczynnika m
1
dla punktu obrotu O
1
tg
Ф
u
R
1
[m]
h [m]
q [kN/m
2
]
c
u
[kPa]
Ф
u
[º]
ϱ
[kg·10
3
/m
3
]
g [m/s
2
]
0,0787017
6,8
3,9
42
29
4,5
1,8
9,81
numer bloku
b
i
[m]
h
ś
r,i
[m]
α
i
[º]
sin
α
i
cos
α
i
l
i
[m]
A
i
[m
2
]
V
i
[m
3
]
1
1
0,80
59,00
0,8572
0,5150
1,94
1,94
1,55
2
1
2,10
45,00
0,7071
0,7071
1,41
1,41
2,97
3
0,5
2,80
37,00
0,6018
0,7986
0,63
0,63
1,75
4
1
2,95
29,00
0,4848
0,8746
1,14
1,14
3,37
5
1
2,75
20,00
0,3420
0,9397
1,06
1,06
2,93
6
1
2,35
11,00
0,1908
0,9816
1,02
1,02
2,39
7
1
1,80
3,00
0,0523
0,9986
1,00
1,00
1,80
8
1
1,10
6,00
0,1045
0,9945
1,01
1,01
1,11
9
0,8
0,35
13,00
0,2250
0,9744
0,82
0,82
0,29
Suma:
8,3
Stateczność skarpy
13
W
i
[kN]
S
i
[kN]
N
i
[kN]
T
i
[kN]
Mu
i
[kNm]
Mo
i
[kNm]
m
1
69,43
59,51
35,76
59,12
402,02
404,68
52,44
37,08
37,08
43,93
298,73
252,16
30,95
18,63
24,72
20,10
136,69
126,68
59,56
28,87
52,09
37,26
253,35
196,35
51,68
17,67
48,56
34,68
235,84
120,18
42,27
8,07
41,50
32,81
223,10
54,85
31,83
1,67
31,78
31,54
214,48
11,33
19,53
-2,04
19,42
30,69
208,68
-13,88
5,07
-1,14
4,94
24,20
164,56
-7,76
0,54
Suma
Suma
2137,45
1144,57
Przykład obliczenia współczynnika m
2
dla punktu obrotu O
2
tg
Ф
u
R
2
[m]
h [m]
q [kN/m
2
]
c
u
[kPa]
Ф
u
[º]
ϱ
[kg·10
3
/m
3
]
g [m/s
2
]
0,0787017
6,7
3,9
42
29
4,5
1,8
9,81
numer bloku
b
i
[m]
h
ś
r,i
[m]
α
i
[º]
sin
α
i
cos
α
i
l
i
[m]
A
i
[m
2
]
V
i
[m
3
]
1
1
0,85
60,00
0,8660
0,5000
2,00
2,00
1,70
2
0,5
2,00
49,00
0,7547
0,6561
0,76
0,76
1,52
3
0,5
2,55
43,00
0,6820
0,7314
0,68
0,68
1,74
4
1
3,15
34,00
0,5592
0,8290
1,21
1,21
3,80
5
1
3,40
24,00
0,4067
0,9135
1,09
1,09
3,72
6
1
3,10
15,00
0,2588
0,9659
1,04
1,04
3,21
7
1
2,60
6,50
0,1132
0,9936
1,01
1,01
2,62
8
1
1,95
2,00
0,0349
0,9994
1,00
1,00
1,95
9
1
1,20
11,00
0,1908
0,9816
1,02
1,02
1,22
10
0,8
0,40
18,50
0,3173
0,9483
0,84
0,84
0,34
Suma:
8,8
W
i
[kN]
S
i
[kN]
N
i
[kN]
T
i
[kN]
Mu
i
[kNm]
Mo
i
[kNm]
m
2
72,02
62,37
36,01
60,83
407,59
417,88
47,92
36,16
31,44
24,58
164,66
242,29
30,78
20,99
22,51
21,60
144,71
140,66
67,09
37,52
55,62
39,36
263,70
251,37
65,72
26,73
60,04
36,47
244,35
179,09
56,67
14,67
54,74
34,33
230,02
98,27
46,21
5,23
45,91
32,80
219,77
35,05
34,45
-1,20
34,43
31,73
212,58
-8,06
21,59
-4,12
21,19
31,21
209,11
-27,60
5,96
-1,89
5,65
24,91
166,89
-12,67
0,58
Suma
Suma
2263,36
1316,29
Stateczność skarpy
14
Przykład obliczenia współczynnika m
3
dla punktu obrotu O
3
tg
Ф
u
R3 [m]
h [m]
q [kN/m2]
c
u
[kPa]
Ф
u
[º]
ϱ
[kg·10
3
/m
3
]
g [m/s
2
]
0,0787017
7
3,9
42
29
4,5
1,8
9,81
numer bloku
b
i
[m]
h
ś
r,i
[m]
α
i
[º]
sin
α
i
cos
α
i
l
i
[m]
A
i
[m
2
]
V
i
[m
3
]
1
0,7
0,60
60,90
0,8738
0,4863
1,44
1,44
0,86
2
0,5
1,50
51,56
0,7833
0,6217
0,80
0,80
1,21
3
1
2,25
44,00
0,6947
0,7193
1,39
1,39
3,13
4
1
2,70
37,46
0,6082
0,7938
1,26
1,26
3,40
5
1
2,55
31,26
0,5189
0,8548
1,17
1,17
2,98
6
1
2,15
25,26
0,4267
0,9044
1,11
1,11
2,38
7
1
1,65
19,54
0,3345
0,9424
1,06
1,06
1,75
8
1
1,05
14,02
0,2423
0,9702
1,03
1,03
1,08
9
0,8
0,35
8,63
0,1501
0,9887
0,81
0,81
0,28
Suma:
8
W
i
[kN]
S
i
[kN]
N
i
[kN]
T
i
[kN]
Mu
i
[kNm]
Mo
i
[kNm]
m
3
44,65
39,01
21,71
43,45
304,15
273,09
21,30
16,69
13,24
24,37
170,56
116,80
55,23
38,37
39,73
43,44
304,09
268,57
60,06
36,53
47,68
40,29
282,00
255,71
52,68
27,33
45,03
37,47
262,28
191,34
41,98
17,91
37,96
35,05
245,38
125,39
30,92
10,34
29,14
33,07
231,46
72,38
19,11
-4,63
18,54
31,35
219,45
-32,41
5,00
-0,75
4,94
23,85
166,98
-5,25
0,58
Suma
Suma
2186,35
1265,63
Stateczność skarpy
15
Algorytm postępowania
1.
wyznaczyć linię najniebezpieczniejszych punktów obrotu,
2.
przyjąć pierwszy punkt obrotu (
pierwszy promień poślizgu
),
3.
określić płaszczyznę obojętną,
4.
dokonać podziału skarpy na bloki (
co 1m, ale i tak aby
linie podziału wypadały pod punktami charakterystycznymi
),
5.
wyznaczyć parametry geometryczne bloków,
6.
obliczyć siły,
7.
obliczyć momenty,
8.
obliczyć wartość współczynnika stateczności skarpy,
9.
powtarzać cykl obliczeń dla kolejnych punktów obrotu, aż
uzyska się mniejszą wartość współczynnika
bezpieczeństwa w otoczeniu 2 o większej wartości, lub
wyznaczyć ekstremum funkcji F (R) lub m (R) określając
wartość promienia poślizgu, przy którym „F” osiąga wartość
minimalną, lub „m” – maksymalną.
Stateczność skarpy
16
Rysunki do wyznaczenia funkcji F(R)
1 : 2
1
2
3
4 5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
1 : 2
1
2
3
4 5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
1 m
Stateczność skarpy
17
1 : 2
1
2
3
4 5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
16
17
18
19
21
20
22
23
24
25
26
27
28
2 m
13
1 : 2
1
2
3
4 5 6
7
8
9
10
11
12
14
15
16
17
18
19
21
20
22
23
24
25
26
27
3 m
13