Stateczność skarpy

1

Stateczność skarp w gruntach spoistych

Metoda Felleniusa

Zakłada się, że

obsunięcie

skarpy w gruntach

spoistych

następuje

wzdłuż

powierzchni

krzywoliniowej

, zaś w gruntach niejednorodnych

wzdłuż powierzchni łamanej.

Skarpy, dla których wzdłuż powierzchni poślizgu

istnieje stan graniczny, co oznacza, że naprężenia
ś

cinające są równe wytrzymałości gruntu na

ś

cinanie, nazywane są skarpami granicznymi.

Istnieje wiele metod do określania warunków
stateczności skarp, znacznie różniących się od
siebie założeniami.

Metoda Felleniusa (szwedzka) jest jedną z metod
zalecaną przez PN–83/B–03010.

Stateczność skarpy

2

Metoda Felleniusa opiera się na przyjęciu
cylindrycznej powierzchni osuwiskowej.

Bryłę osuwającego się gruntu w chwili rozpoczęcia
się zsuwu uważa się za sztywną, jej podziału na „n”
bloków dokonuje się w celach obliczeniowych.

Wymiar bloków w kierunku prostopadłym do
powierzchni

przekroju

poprzecznego

skarpy

przyjmuje się = 1.

O

O

1

β

1

Bryła osuwiskowa skarpy w gruncie spoistym

Stateczność skarpy

3

N

1

B

1

T

1

G

1

B

2

T

2

T

3

N

2

N

3

G

2

G

3

B

3

B

i

T

i

G

i

N

i

α

1

α

2

α

3

α

i

O

Schemat sił działających na skarpę

Ciężar G

i

każdej z brył rozkłada się na dwie

składowe:

N

i

– normalną do powierzchni zsuwu,

B

i

– styczną do powierzchni zsuwu.

Stateczność skarpy

4

Przesuwowi bloków skarpy przeciwstawiają się siły
tarcia T

i

(pochodzące od tarcia na granicy bryły

poślizgu oraz od spójności gruntu), działające
stycznie do powierzchni poślizgu.

i

u

u

i

i

A

C

tgΦ

N

T

⋅

+

⋅

=

i

u

u

i

i

i

A

C

tgΦ

α

G

T

⋅

+

⋅

⋅

=

cos

gdzie:

α

i

– kąt nachylenia siły T

i

do poziomu;

l

i

– długość podstawy bloku

(łuku powierzchni

poślizgu)

;

A

i

– powierzchnia podstawy bloku;

A

i

= l

i

• 1 m

Równowaga całej bryły zostanie zachowana, jeżeli
suma momentów sił zsuwających (obracających)
M

0

będzie równa bądź mniejsza od sumy

momentów sił utrzymujących M

u

.

M

o

≤ m ·M

u

Stateczność skarpy

5

Stosunek

tych

momentów

nazywa

się

współczynnikiem stateczności skarpy

.

u

o

M

M

m

≥

,

o

u

M

M

m

F

≤

=

1

gdzie:

M

o

-

moment obracający, względem punktu obrotu O,

M

u

-

moment utrzymujący, względem punktu obrotu O.

W celu uzyskania najniekorzystniejszej wartości
tego

współczynnika

należy

ustalić

najniebezpieczniejszy punkt obrotu

.

Dla ułatwienia obliczeń wyznacza się linię
najbardziej niebezpiecznych punktów obrotu O.
Linia ta przebiega przez punkty O’ i O’’.

o

Pierwszy z nich znajduje się na głębokości równej
wysokości skarpy i w odległości 4,5- krotnej tej
wysokości liczonej od dolnej krawędzi skarpy.

o

Drugi z nich leży na przecięciu linii biegnących
pod kątami odpowiednio

δ

1

i

δ

2

od dolnej i górnej

krawędzi skarpy.

Stateczność skarpy

6

Wielkości kątów

δ

1

i

δ

2

w zależności od nachylenia

skarpy

β

1 : m

δ

1

δ

2

45

o

1 : 1

28

o

37

o

33

o

41’

1 : 1,5

26

o

35

o

26

o

34’

1 : 2

25

o

35

o

18

o

21’

1 : 3

25

o

35

o

11

o

19’

1 : 5

25

o

37

o

Po wyznaczeniu linii O’ – O’’ oblicza się n wartości
współczynnika m

n

dla punktów obrotu O

n

, tak aby

uzyskać sytuację gdy z trzech kolejnych środkowy ma
wartość najmniejszą.

Punkty te znajdujemy w ten sposób, że współrzędną
(x) są kolejne kroki na linii najniebezpieczniejszych
punktów obrotu, a (y) wartość współczynnika
stateczności skarpy m.

o

Stosując funkcję wielomianu drugiego stopnia,
podstawiając wartości tych trzech punktów,
wyznaczamy współczynniki kierunkowe funkcji, a
następnie jej ekstremum.

o

W miejscu ekstremum obliczamy minimalną
wartość współczynnika m.

Stateczność skarpy

7

4,5 H

H

H

O'

O''

δ

1

δ

2

β

O

1

O

2

O

n

x

y

F

1

F

2

F

n

F

m

in

Wyznaczenie linii najbardziej niebezpiecznych punktów obrotu

Stateczność skarpy

8

Jeżeli w zboczu, wskutek różnicy poziomów wody
gruntowej,

występuje

przepływ

wody,

przy

sprawdzaniu warunku stateczności do wartości
momentu obracającego M

o

należy dodać dodatkowy

moment

∆

M

o

.

P

s

R

s

R

O

ψ

l

∆

h

Stateczność skarpy przy działaniu ciśnienia spływowego

Wartość tego przyrostu obliczamy ze wzoru:

s

s

o

R

P

∆

M

⋅

=

gdzie:

R

s

- promień działania siły P

s

w stosunku do środka

obrotu O,

P

s

- ciśnienie spływowe,

w

s

ρ

i

P

⋅

=

i - spadek hydrauliczny;

i =

∆

h

/

l = sin

ψ

Stateczność skarpy

9

Zadanie

Okre

ś

li

ć

współczynnik stateczno

ś

ci skarpy dla

nast

ę

puj

ą

cych danych:

rodzaj gruntu

I

L,

I

D

h [m]

a [m]

b [m]

q [kN/m

2

]

nachylenie

skarpy

h

a

b

q

Stateczność skarpy

10

Stateczność skarpy

11

α

b

l

α

W

T

S

N

h

ś

r

h

L

h

P

Stateczność skarpy

12

W

i

= Q

i

+ G

i

Q

i

– ci

ęż

ar bloku „i”

G

i

– ci

ęż

ar obiektu (podany jako obci

ąż

enie ci

ą

głe) na bloku „i”

gdzie:

b

i

- szeroko

ść

bloku (paska),

h

ś

r,i

-

ś

rednia wysoko

ść

bloku (paska),

l

i

- długo

ść

podstawy bloku (łuku powierzchni po

ś

lizgu),

A

i

- pole powierzchni podstawy bloku = l

i

·1m,

V

i

- obj

ę

to

ść

bloku.

Przykład obliczenia współczynnika m

1

dla punktu obrotu O

1

tg

Ф

u

R

1

[m]

h [m]

q [kN/m

2

]

c

u

[kPa]

Ф

u

[º]

ϱ

[kg·10

3

/m

3

]

g [m/s

2

]

0,0787017

6,8

3,9

42

29

4,5

1,8

9,81

numer bloku

b

i

[m]

h

ś

r,i

[m]

α

i

[º]

sin

α

i

cos

α

i

l

i

[m]

A

i

[m

2

]

V

i

[m

3

]

1

1

0,80

59,00

0,8572

0,5150

1,94

1,94

1,55

2

1

2,10

45,00

0,7071

0,7071

1,41

1,41

2,97

3

0,5

2,80

37,00

0,6018

0,7986

0,63

0,63

1,75

4

1

2,95

29,00

0,4848

0,8746

1,14

1,14

3,37

5

1

2,75

20,00

0,3420

0,9397

1,06

1,06

2,93

6

1

2,35

11,00

0,1908

0,9816

1,02

1,02

2,39

7

1

1,80

3,00

0,0523

0,9986

1,00

1,00

1,80

8

1

1,10

6,00

0,1045

0,9945

1,01

1,01

1,11

9

0,8

0,35

13,00

0,2250

0,9744

0,82

0,82

0,29

Suma:

8,3

Stateczność skarpy

13

W

i

[kN]

S

i

[kN]

N

i

[kN]

T

i

[kN]

Mu

i

[kNm]

Mo

i

[kNm]

m

1

69,43

59,51

35,76

59,12

402,02

404,68

52,44

37,08

37,08

43,93

298,73

252,16

30,95

18,63

24,72

20,10

136,69

126,68

59,56

28,87

52,09

37,26

253,35

196,35

51,68

17,67

48,56

34,68

235,84

120,18

42,27

8,07

41,50

32,81

223,10

54,85

31,83

1,67

31,78

31,54

214,48

11,33

19,53

-2,04

19,42

30,69

208,68

-13,88

5,07

-1,14

4,94

24,20

164,56

-7,76

0,54

Suma

Suma

2137,45

1144,57

Przykład obliczenia współczynnika m

2

dla punktu obrotu O

2

tg

Ф

u

R

2

[m]

h [m]

q [kN/m

2

]

c

u

[kPa]

Ф

u

[º]

ϱ

[kg·10

3

/m

3

]

g [m/s

2

]

0,0787017

6,7

3,9

42

29

4,5

1,8

9,81

numer bloku

b

i

[m]

h

ś

r,i

[m]

α

i

[º]

sin

α

i

cos

α

i

l

i

[m]

A

i

[m

2

]

V

i

[m

3

]

1

1

0,85

60,00

0,8660

0,5000

2,00

2,00

1,70

2

0,5

2,00

49,00

0,7547

0,6561

0,76

0,76

1,52

3

0,5

2,55

43,00

0,6820

0,7314

0,68

0,68

1,74

4

1

3,15

34,00

0,5592

0,8290

1,21

1,21

3,80

5

1

3,40

24,00

0,4067

0,9135

1,09

1,09

3,72

6

1

3,10

15,00

0,2588

0,9659

1,04

1,04

3,21

7

1

2,60

6,50

0,1132

0,9936

1,01

1,01

2,62

8

1

1,95

2,00

0,0349

0,9994

1,00

1,00

1,95

9

1

1,20

11,00

0,1908

0,9816

1,02

1,02

1,22

10

0,8

0,40

18,50

0,3173

0,9483

0,84

0,84

0,34

Suma:

8,8

W

i

[kN]

S

i

[kN]

N

i

[kN]

T

i

[kN]

Mu

i

[kNm]

Mo

i

[kNm]

m

2

72,02

62,37

36,01

60,83

407,59

417,88

47,92

36,16

31,44

24,58

164,66

242,29

30,78

20,99

22,51

21,60

144,71

140,66

67,09

37,52

55,62

39,36

263,70

251,37

65,72

26,73

60,04

36,47

244,35

179,09

56,67

14,67

54,74

34,33

230,02

98,27

46,21

5,23

45,91

32,80

219,77

35,05

34,45

-1,20

34,43

31,73

212,58

-8,06

21,59

-4,12

21,19

31,21

209,11

-27,60

5,96

-1,89

5,65

24,91

166,89

-12,67

0,58

Suma

Suma

2263,36

1316,29

Stateczność skarpy

14

Przykład obliczenia współczynnika m

3

dla punktu obrotu O

3

tg

Ф

u

R3 [m]

h [m]

q [kN/m2]

c

u

[kPa]

Ф

u

[º]

ϱ

[kg·10

3

/m

3

]

g [m/s

2

]

0,0787017

7

3,9

42

29

4,5

1,8

9,81

numer bloku

b

i

[m]

h

ś

r,i

[m]

α

i

[º]

sin

α

i

cos

α

i

l

i

[m]

A

i

[m

2

]

V

i

[m

3

]

1

0,7

0,60

60,90

0,8738

0,4863

1,44

1,44

0,86

2

0,5

1,50

51,56

0,7833

0,6217

0,80

0,80

1,21

3

1

2,25

44,00

0,6947

0,7193

1,39

1,39

3,13

4

1

2,70

37,46

0,6082

0,7938

1,26

1,26

3,40

5

1

2,55

31,26

0,5189

0,8548

1,17

1,17

2,98

6

1

2,15

25,26

0,4267

0,9044

1,11

1,11

2,38

7

1

1,65

19,54

0,3345

0,9424

1,06

1,06

1,75

8

1

1,05

14,02

0,2423

0,9702

1,03

1,03

1,08

9

0,8

0,35

8,63

0,1501

0,9887

0,81

0,81

0,28

Suma:

8

W

i

[kN]

S

i

[kN]

N

i

[kN]

T

i

[kN]

Mu

i

[kNm]

Mo

i

[kNm]

m

3

44,65

39,01

21,71

43,45

304,15

273,09

21,30

16,69

13,24

24,37

170,56

116,80

55,23

38,37

39,73

43,44

304,09

268,57

60,06

36,53

47,68

40,29

282,00

255,71

52,68

27,33

45,03

37,47

262,28

191,34

41,98

17,91

37,96

35,05

245,38

125,39

30,92

10,34

29,14

33,07

231,46

72,38

19,11

-4,63

18,54

31,35

219,45

-32,41

5,00

-0,75

4,94

23,85

166,98

-5,25

0,58

Suma

Suma

2186,35

1265,63

Stateczność skarpy

15

Algorytm postępowania

1.

wyznaczyć linię najniebezpieczniejszych punktów obrotu,

2.

przyjąć pierwszy punkt obrotu (

pierwszy promień poślizgu

),

3.

określić płaszczyznę obojętną,

4.

dokonać podziału skarpy na bloki (

co 1m, ale i tak aby

linie podziału wypadały pod punktami charakterystycznymi

),

5.

wyznaczyć parametry geometryczne bloków,

6.

obliczyć siły,

7.

obliczyć momenty,

8.

obliczyć wartość współczynnika stateczności skarpy,

9.

powtarzać cykl obliczeń dla kolejnych punktów obrotu, aż

uzyska się mniejszą wartość współczynnika

bezpieczeństwa w otoczeniu 2 o większej wartości, lub

wyznaczyć ekstremum funkcji F (R) lub m (R) określając

wartość promienia poślizgu, przy którym „F” osiąga wartość

minimalną, lub „m” – maksymalną.

Stateczność skarpy

16

Rysunki do wyznaczenia funkcji F(R)

1 : 2

1

2

3

4 5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

1 : 2

1

2

3

4 5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

1 m

Stateczność skarpy

17

1 : 2

1

2

3

4 5

6

7

8

9

10

11

12

14

15

16

17

18

19

21

20

22

23

24

25

26

27

28

2 m

13

1 : 2

1

2

3

4 5 6

7

8

9

10

11

12

14

15

16

17

18

19

21

20

22

23

24

25

26

27

3 m

13