mgr Ewa Pªonkowska
26.10.2008
2 Funkcja Zmiennej Zespolonej
Przez C oznaczamy pªaszczyzn¦ zespolon¡.
Denicja 2.1 .
Niech D oznacza pewien nie pusty zbiór liczb zespolonych .
Odwzorowanie f(z) przyporz¡dkowuj¡ce ka»dej liczbie zespolonej dokªadnie jedn¡ liczb¦ zespolon¡
f : D → C, gdzie D ⊂ C
nazywamy funkcj¦ zespolon¡ zmiennej zespolonej.
Argument z funkcji f i jej warto±¢ w = f(z) rozkªadamy na cz¦±¢ rzeczywist¡ i urojon¡ tzn.
z = x + iy
, w = u + iv.
Otrzymujemy w ten sposóob rozkªad funkcji
w = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)
na cz¦±¢ rzeczywist¡ Ref(z) := u(x, y) i cz¦±¢ urojona Imf(z) := v(x, y).
Cz¦±¢ rzeczywista i urojona funkcji zespolonej f jest funkcj¡ rzeczywist¡ dwóch zmiennych x i y.
Przykªad 2.1 Znale±¢ cz¦±¢ rzeczywist¡ i urojon¡ funkcji f(z) = iz
2
.
f (z) = iz
2
= i(x + iy)
2
= i(x
2
+ 2ixy − y
2
) = ix
2
− 2xy − iy
2
= −2xy + i(x
2
− y
2
)
Zatem
Ref (z) = u(x, y) = −2xy
; Imf(z) = v(x, y) = x
2
− y
2
Przykªad 2.2 Dane s¡ cz¦±¢ rzeczywista u(x, y) = x − y i urojona v(x, y) = 4xy funkcji f.
Przedstawi¢ t¦ funkcj¦ jako funkcj¦ zmiennej zespolonej z.
z = x + iy
, ¯z = x − iy ⇒ x =
z + ¯
z
2
, y =
z − ¯
z
2i
Podstawiamy
f (z) = u(x, y) + iv(x, y) = (x − y) + i4xy =
z + ¯
z
2
−
z − ¯
z
2i
+ 4i
z + ¯
z
2
·
z − ¯
z
2i
=
z
1
2
−
1
2i
+ ¯
z
1
2
+
1
2i
− z
2
− ¯
z
2
2.1 Granica Funkcji Zmiennej Zespolonej
Denicja 2.2 .
Liczb¦ zespolon¡ g nazywamy granic¡ funkcji f(z) w pkunkcie z
0
gdy:
lim
z→z
0
f (z) = g ⇔ ∀ > 0
, ∃δ > 0 , ∀z ∈ D : 0 < d(z, z
0
) < δ ⇒ d (f (z), g) <
gdzie d jest metryk¡ euklidesow¡ na C tzn.
d(z
1
, z
2
) :=
q
(Rez
1
− Rez
2
)
2
+ (Imz
1
− Imz
2
)
2
= |z
1
− z
2
|
Stwierdzenie 2.1
lim
z→z
0
f (z) = g ⇔
lim
(x,y)→(x
0
,y
0
)
u(x, y) = Reg
i
lim
(x,y)→(x
0
,y
0
)
v(x, y) = Img
gdzie z
0
= x
0
+ iy
0
oraz f(z) = u(x, y) + iv(x, y)
1
http : //www.mini.pw.edu.pl/ ∼ eplonkow/
mgr Ewa Pªonkowska
26.10.2008
Denicja 2.3 Funkcja f jest ci¡gªa w z
0
⇔
lim
z→z
0
f (z) = f (z
0
)
Twierdzenie 2.1 Funkcja f(z) = u(x, y) + iv(x, y) jest ci¡gªa w z
0
⇔
funkcje u i v s¡ ciag¡gªe w
(x
0
, y
0
)
.
Denicja 2.4 Funkcja f jest ci¡gª¡ w ∞ , je±li funkcja f
1
z
jest ci¡gªa w zerze.
2.2 Pochodna Funkcji Zmiennej Zespolonej
Denicja 2.5 .
Granic¦ wªa±ciw¡ ilorazu ró»nicowego
lim
∆z→0
f (z + ∆z) − f (z)
∆z
nazywamy pochodn¡ funkcji f w punkcie z i oznaczamy f
0
(z)
.
f
0
(z) := lim
∆z→0
f (z + ∆z) − f (z)
∆z
f
0
(z
0
) := lim
z→z
0
f (z) − f (z
0
)
z − z
0
.
Stwierdzenie 2.2 Je±li funkcjie f i g maj¡ pochodn¡ w punkcie z to:
1. (f + g)
0
(z) = f
0
(z) + g
0
(z)
2. (f − g)
0
(z) = f
0
(z) − g
0
(z)
3. (f · g)
0
(z) = f
0
(z) · g(z) + f (z) · g
0
(z)
4.
f
g
0
(z) =
f
0
(z)·g(z)−f (z)·g
0
(z)
[g(z)]
2
, z /∈ g
−1
(0)
5. (f ◦ g)
0
(z) = f
0
(g(z)) g
0
(z)
Twierdzenie 2.2 (warunek konieczny istnienia pochodnej)
Je»eli funkcja f(z) = u(x, y)+iv(x, y) ma w punkcie z
0
= x
0
+ iy
0
pochodn¡ f
0
(z
0
)
, to istniej¡ w punkcie
(x
0
, y
0
)
pochodne cz¡stkowe
∂u
∂x
,
∂u
∂y
,
∂v
∂x
,
∂v
∂y
i speªniaj¡ w punkcie (x
0
, y
0
)
warunki:
∂u
∂x
=
∂v
∂y
,
∂u
∂y
= −
∂v
∂x
zwane warunkami Cauchy'ego Riemanna.
Twierdzenie 2.3 (warunek dostateczny istnienia pochodnej)
Je»eli funkcje u(x, y) i v(x, y) s¡ ró»niczkowalne w punkcie (x
0
, y
0
)
i speªniaj¡ w tym punkcie warunki
Cauchy'ego Riemanna, to funkcja f(z) = u(x, y) + iv(x, y) ma pochodn¡ f
0
(z
0
)
.
Przykªad 2.3 Dla jakich punktów z ∈ C funkcja f(z) = z¯z = |z|
2
= x
2
+ y
2
ma pochodn¡ ?
Rozwi¡zanie:
Ref (z) = u(x, y) = x
2
+ y
2
, Imf(z) = v(x, y) ≡ 0
Funkcje u i v s¡ ró»niczkowalne dla ∀(x, y) ∈ R
2
. Sprawdzamy warunki C-R.
u
0
x
= 2x
, u
0
y
= 2y
, v
0
x
= 0
, v
0
y
= 0
,
2
http : //www.mini.pw.edu.pl/ ∼ eplonkow/
mgr Ewa Pªonkowska
26.10.2008
St¡d
u
0
x
= v
0
y
⇔ x = 0
, u
0
y
= −v
0
x
⇔ y = 0
Zatem warunki Cauche'go Riemanna s¡ speªnione tylko w punkcie z
0
= 0
. Zatem tylko w tym punkcie
speªniony jest warunek konieczny istnienia pochodnej funkcji f.
Pochodn¡ funkcji policzymy z defnicji.
f
0
(0) = lim
z→0
f (z) − f (0)
z − 0
= lim
z→0
z ¯
z
z
= lim
z→0
¯
z = 0
Denicja 2.6 Pochodne formalne funkcji f(z) defniujemy nast¦puj¡aco:
∂f
∂z
:=
1
2
∂f
∂x
− i
∂f
∂y
,
∂f
∂ ¯
z
:=
1
2
∂f
∂x
+ i
∂f
∂y
gdzie
∂f
∂x
=
∂u
∂x
+ i
∂v
∂x
,
∂f
∂y
=
∂u
∂y
+ i
∂v
∂y
Twierdzenie 2.4 (warunek ró»niczkowalno±ci funkcji w postaci zespolonej)
Funkcja f(z) ma pochodn¡ w punkcie z
0
= x
0
+ iy
0
wtedy i tylko wtedy gdy
∂f
∂ ¯
z
(z
0
) = 0
2.3
Funkcje holomorfczne
Denicja 2.7 Funkcj¦ f(z) nazywamy holomorczn¡ w punkcie z
0
, je±li jest ró»niczkowalna w tym
punkcie i w jego pewnym otoczeniu.
Denicja 2.8 Funkcj¦ f(z) nazywamy holomorczn¡ (analityczn¡, ró»niczkowaln¡ w sensie zespolonym)
w obszarze D je±li w ka»dym punkcie z ∈ D istnieje pochodna f
0
(z)
.
Oznaczenie f ∈ H(D). Wªasno±ci
1. je±li f, g ∈ H(D) to (f ± g) ∈ H(D) oraz fg ∈ H(D)
2. je±li f, g ∈ H(D) to
f
g
∈ H(D − (g
−1
(0))
3. je±li f, g ∈ H(D) to (f ◦ g)2H(D)
Przykªad 2.4 Zbada¢ holomorczno±¢ funkcji f(z) = |z|
2
= z ¯
z
3
http : //www.mini.pw.edu.pl/ ∼ eplonkow/
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
więcej podobnych podstron