Egzamin, matematyka A, 13 wrze´snia 2006

Rozwia

,

zania r´o˙znych zada´

n maja

,

znale´z´c sie

,

na r´o˙znych kartkach.

Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pisza

,

cego, jego nr.

indeksu oraz nazwiskiem osoby prowadza

,

cej ´cwiczenia i nr. grupy ´cwiczeniowej.

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n elektronicz-

nych; je´sli kto´s ma, musza

,

by´

c schowane i wy la

,

czone!

Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

,

na twierdzenia, kt´ore zosta ly

udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

1. Niech ~u =

4

0
3

, ~v =

0

−5

0

, ~

w =

1
5

~u × ~v , ~x =

x

1

x

2

x

3

, Niech M =





5 −4 0
4

5 3

0 −3 5



.

(i) Znale´z´c M~u , M~v , M ~

w . Napisa´c r´ownanie p laszczyzny P , kt´ora przechodzi przez punkt 0 =

(0, 0, 0) i kt´ora jest prostopad la do wektora ~

w . Wykaza´c, ˙ze je´sli wektor ~x jest prostopad ly do

wektora ~

w , to r´ownie˙z wektor M~x jest prostopad ly do ~

w .

(ii) Znale´z´c liczby α, β ∈ R takie, ˙ze M~u = α~u + β~v .

(ii) Znale´z´c wszystkie warto´sci w lasne (rzeczywiste lub zespolone) i wektory w lasne macierzy M .

(iii) Wykaza´c, ˙ze macierz M ma macierz odwrotna

,

i znale´z´c warto´sci i wektory w lasne macierzy M

−1

.

(iv) Znale´z´c warto´sci i wektory w lasne macierzy M

2

.

2. Znale´z´c cze

,

´s´c rzeczywista

,

, cze

,

´s´c urojona

,

, warto´s´c bezwzgle

,

dna

,

i argument wszystkich tych liczb zespo-

lonych z , dla kt´orych z

4

− 4z

2

+ 16 = 0 . Znale´z´c z

6

dla ka˙zdej z nich.

3. Obliczy´c

R

∞

0

x

3

− x

2

e

−3·x

dx .

4. Naszkicowa´c obszar A = {(x, y):

0 ≤ x ≤ y ≤ 4x(4 − x)} i znale´z´c jego ´srodek masy przyjmuja

,

c, ˙ze

jest on jednorodny.

5. Znale´z´c rozwia

,

zanie og´olne r´ownania x

(3)

(t) − x

00

(t) + x

0

(t) − x(t) = 0 .

Znale´z´c rozwia

,

zanie og´olne r´ownania x

(3)

(t) − x

00

(t) + x

0

(t) − x(t) = 6te

−2t

+ 25 cos t .

6. Niech f (x, y) = 6x

2

+ 4xy + 9y

2

− 20x − 40y i niech T = {(x, y) ∈ R

2

:

0 ≤ x i 0 ≤ y i x + y ≤ 4} .

(a) Znale´z´c wszystkie lokalne ekstrema funkcji f : R

2

−→ R .

(b) Znale´z´c najmniejsza

,

warto´s´c funkcji f : R

2

−→ R , je´sli funkcja f ma najmniejsza

,

warto´s´c lub

wykaza´c, ˙ze nie ma ona najmniejszej warto´sci.

(c) Wykaza´c, ˙ze funkcja f : T −→ R ma najwie

,

ksza

,

warto´s´c i znale´z´c te

,

liczbe

,

.

Wzory, kt´orych cze

,

´s´c mo˙ze sie

,

przyda´c:

sin(2α) = 2 sin α cos α ,

tg(2α) =

2 tg α

1−tg

2

α

, cos(π − x) = − cos x , tg(x + π) = tg x ,

cos(2α) = cos

2

α − sin

2

α = 1 − 2 sin

2

α = 2 cos

2

α − 1 ,

ctg(2α) =

ctg

2

α−1

2 ctg α

,

sin

π

6

=

1
2

, sin

π

4

=

√

2

2

, sin

π

3

=

√

3

2

, cos

π

6

=

√

3

2

, cos

π

4

=

√

2

2

, cos

π

3

=

1
2

, sin

5π

6

=

1
2

, sin

π

4

=

√

2

2

,

√

2 ≈ 1,4142 ,

√

3 ≈ 1,7321 ,

√

5 ≈ 2,2361 ,

√

7 ≈ 2,6458 ,

√

17 ≈ 4,1231 ,

√

37 ≈ 6,0828 ,

√

71 ≈ 8,4262 ,

√

73 ≈ 8,5440 ,

√

137 ≈ 11,7047 ,

√

713 ≈ 26,7021 .