Metoda Sił

w ujęciu macierzowym

Belka statycznie

niewyznaczalna

Obciążenia pozastatyczne

Wykonanie w programie Matlab

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Szczególne przypadki obciążenia układu

statycznego – obciążenia pozastatyczne

J. Ledziński „Mechanika budowli cz.2”

Jak wiadomo w

statycznie wyznaczalnych

układach

siły przekrojowe oblicza się w oparciu o równanie

równowagi i

są one niezależne

od pozastatecznych

wpływów takich jak osiadanie podpór, błędy montażowe,

zmiany warunków termicznych, itp.

W przypadku układów

statycznie niewyznaczalnych

równania równowagi muszą być uzupełnione równaniami

zgodności przemieszczeń, toteż wszelkie oddziaływania

pozastatyczne

mają wpływ

na rozkład sił wewnętrznych.

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Szczególne przypadki obciążenia układu

statycznego – obciążenia pozastatyczne

J. Ledziński „Mechanika budowli cz.2”

Ponieważ rodzaj obciążenia nie ma wpływu na

macierz , która zależy jedynie od przyjętego układu

podstawowego, obciążenia pozastatyczne, podobnie jak

to miało miejsce przy obciążeniu statycznym, wpływa

jedynie na wektor 

p

.

W konstukcji tego wektora odbija się zatem sposób

obciążenia. Współrzędnymi wektora 

p

są przemie-

szczenia w układzie podstawowym odpowiadające

niewiadomym siłom X

i

.

Zgodnie

ze

wzorem

Mohra

przemieszczenia

spowodowane obciążeniami pozastatecznymi są równe:

















k

ki

o

i

i

i

ds

t

ds

v

R

N

h

t

M





Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Rozważana belka

Obciążenia:



Statyczne – rozwiązanie jest już znane



Pozastatyczne – niesprężyste osiadanie podpory

q=1,0 kN/m

4,0 m

6,0 m

EI

2EI

M=4 kNm

P=2 kN

v=0,01m

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Modyfikacja skryptu

Obecnie rozważamy tylko obciążenie pozastatyczne,

stąd:



Nie ma wektora M

p



Elementy wektora 

p

będą obliczane z odpowiedniego

członu wzoru Maxwella-Mohra. W rozważanym

przypadku niesprężystego osiadania podpory:

gdzie:
v

k

– przemieszczenie podpory o numerze „k”

R

ki

– reakcja podpory „k” od obciążenia

jednostkowego „i”









k

ki

ip

v

R

Δ

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Mając wykresy jednostkowe momentów obliczamy

siły poprzeczne i następnie reakcje podporowe.

Korzystamy z zależności:

Obliczenie elementów wektora



p

1,0

1

/

4

1

/

6

l =

4,0

l =

6,0

1

/

6

M

1

1

/

4

1,0

1,0

R

21

=1/4+1/6=10/24

R

31

=1/6

R

11

=1/4

s

M

Q

d

d



Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Obliczenie elementów wektora



p

– c.d.

Postępując analogicznie obliczamy:

R

22

=1/6

R

32

=1/6

1,0

M

2

1,0

R

12

=0

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Obliczenie elementów wektora



p

– c.d.

0)

R

v

R

0

(R

0)

R

v

R

0

(R

32

22

11

2p

31

21

11

1p

































Elementy wektora 

p

obliczamy ze wzoru:









k

ki

ip

v

R

Δ

Uwaga: Reakcję

uważamy za dodatnią jeśli jej

zwrot jest zgodny ze zwrotem osiadania.

ki

R































































0

01

.

0

6

1

0

0

01

.

0

24

10

0

2p

1p

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Obliczenie elementów wektora



p

–

modyfikacja skryptu

W skrypcie elementy wektora 

p

zapisujemy zatem jako:

Powyższym zastępujemy dotychczasowe:

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Wyniki

W przypadku obciążeń pozastatycznych należy

pamiętać o tym, że otrzymane rozwiązanie jest
zależne od materiału, z którego wykonana jest
konstrukcja (E,  oraz charakterystyk geometry-

cznych elementów (I, A, h).

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Wyniki – c.d.

Wynika to z faktu, że rozwiązujemy

równanie

, w którym:

●

elementy macierzy  obliczane z 

są zależne

od EI

●

elementy wektora 

p

obliczane z 

nie są zależne

od EI





ds

j

i

EI

M

M

Δ









k

ki

ip

v

R

Δ

0

p







Δ

X

Δ

W przypadku niesprężystego osiadania więzów

wektor wynikowy X jest zależny od iloczynu E·I.

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Wyniki – c.d.

W skrypcie uwzględniono dotychczas stosunek

sztywności

elementów

(przy

definiowaniu

macierzy A

i

), teraz wystarczy wprowadzić

wartości E oraz I.

Jednostki to: N i m

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Wyniki dla obciążenia statycznego

Przemieszczenia

Momenty zginające [kNm] – wyniki z poprzedniej części

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Wyniki dla obciążenia pozastatycznego

Momenty zginające [kNm]

Wyniki uzyskane z Matlaba:

Mnożnik przed

macierzą

interpretujemy

jako [kNm]

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Wyniki dla obciążenia pozastatycznego

Przemieszczenia

Momenty zginające [kNm]

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Wyniki dla obu rodzajów obciążeń

rozpatrywanych jednocześnie

Przemieszczenia

Momenty zginające [kNm]

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Wniosek

Nawet bardzo małe co do wartości

(w omawianym przykładzie belki v=1cm)
niesprężyste osiadanie podpory ma istotny
wpływ

na

rozkład

sił

wewnętrznych

w konstrukcji.

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Sprawozdanie

Sprawozdanie z tej części projektu powinno zawierać:

1)

schemat belki wraz z obciążeniem pozastatycznym

2)

wykresy jednostkowe wraz z obliczonymi reakcjami

więzów podporowych

3)

wyrażenia na obliczanie elementów wektora 

p

tak,

jak to pokazano na stronie 8.

4)

wykres momentów zginających od obciążenia

statycznego – przerysować z części pierwszej projektu

5)

wykres momentów zginających wywołanych

osiadaniem podpory

6)

rysunek ugięcia belki (wg przykładu ze strony 15.)