Metoda Sił 

w ujęciu macierzowym

Belka statycznie 

niewyznaczalna

Obciążenia pozastatyczne

Wykonanie w programie Matlab

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Szczególne przypadki obciążenia układu 

statycznego – obciążenia pozastatyczne

J. Ledziński „Mechanika budowli cz.2” 

Jak  wiadomo  w 

statycznie  wyznaczalnych

 układach 

siły  przekrojowe  oblicza  się  w  oparciu  o  równanie 

równowagi  i 

są  one  niezależne

 od  pozastatecznych 

wpływów takich jak osiadanie podpór, błędy montażowe, 

zmiany warunków termicznych, itp.

W  przypadku  układów 

statycznie  niewyznaczalnych

 

równania równowagi muszą być uzupełnione równaniami 

zgodności  przemieszczeń,  toteż  wszelkie  oddziaływania 

pozastatyczne 

mają wpływ

 na rozkład sił wewnętrznych. 

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Szczególne przypadki obciążenia układu 

statycznego – obciążenia pozastatyczne

J. Ledziński „Mechanika budowli cz.2”

 

Ponieważ  rodzaj  obciążenia  nie  ma  wpływu  na 

macierz  ,  która  zależy  jedynie  od  przyjętego  układu 

podstawowego,  obciążenia  pozastatyczne,  podobnie  jak 

to  miało  miejsce  przy  obciążeniu  statycznym,  wpływa 

jedynie na wektor 

p

.

W  konstukcji  tego  wektora  odbija  się  zatem  sposób 

obciążenia.  Współrzędnymi  wektora  

p 

są  przemie-

szczenia  w  układzie  podstawowym  odpowiadające 

niewiadomym siłom X

i

.

Zgodnie 

ze 

wzorem 

Mohra 

przemieszczenia 

spowodowane obciążeniami pozastatecznymi są równe:

















k

ki

o

i

i

i

ds

t

ds

v

R

N

h

t

M





Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Rozważana belka

Obciążenia:



Statyczne – rozwiązanie jest już znane



Pozastatyczne – niesprężyste osiadanie podpory

q=1,0 kN/m

4,0 m

6,0 m

EI

2EI

M=4 kNm

P=2 kN

v=0,01m

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Modyfikacja skryptu

Obecnie rozważamy tylko obciążenie pozastatyczne, 

stąd:



Nie ma wektora M

p



Elementy wektora 

p

 będą obliczane z odpowiedniego 

członu wzoru Maxwella-Mohra. W rozważanym 

przypadku niesprężystego osiadania podpory:

gdzie:
v

k

–  przemieszczenie podpory o numerze „k”

R

ki

–  reakcja podpory „k” od obciążenia

jednostkowego „i”









k

ki

ip

v

R

Δ

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Mając wykresy jednostkowe momentów obliczamy 

siły  poprzeczne  i  następnie  reakcje  podporowe. 

Korzystamy z zależności:

Obliczenie elementów wektora 



p

1,0

1

/

4

1

/

6

l =

 4,0

l =

 6,0

1

/

6

M

1

1

/

4

1,0

1,0

R

21

=1/4+1/6=10/24

R

31

=1/6

R

11

=1/4

s

M

Q

d

d



Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Obliczenie elementów wektora 



p

 – c.d.

Postępując analogicznie obliczamy:

R

22

=1/6

R

32

=1/6

1,0

M

2

1,0

R

12

=0

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Obliczenie elementów wektora 



p

 – c.d.

0)

R

v

R

0

(R

0)

R

v

R

0

(R

32

22

11

2p

31

21

11

1p

































Elementy wektora 

p

 obliczamy ze wzoru:









k

ki

ip

v

R

Δ

Uwaga:  Reakcję 

 uważamy  za  dodatnią  jeśli  jej 

zwrot jest zgodny ze zwrotem osiadania.

ki

R































































0

01

.

0

6

1

0

0

01

.

0

24

10

0

2p

1p

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Obliczenie elementów wektora 



p

 – 

modyfikacja skryptu

W skrypcie elementy wektora 

p

 zapisujemy zatem jako:

Powyższym zastępujemy dotychczasowe:

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Wyniki

W  przypadku  obciążeń  pozastatycznych  należy 

pamiętać  o  tym,  że  otrzymane  rozwiązanie  jest 
zależne  od  materiału,  z  którego  wykonana  jest 
konstrukcja  (E,    oraz  charakterystyk  geometry-

cznych elementów (I, A, h).

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Wyniki – c.d.

Wynika to z faktu, że rozwiązujemy 

równanie 

, w którym:

●

elementy macierzy  obliczane z  

są zależne

 od EI

●

elementy wektora 

p

 obliczane z  

nie są zależne

 od EI





ds

j

i

EI

M

M

Δ









k

ki

ip

v

R

Δ

0

p







Δ

X

Δ

W  przypadku  niesprężystego  osiadania  więzów 

wektor wynikowy X jest zależny od iloczynu E·I.

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Wyniki – c.d.

W  skrypcie  uwzględniono  dotychczas  stosunek 

sztywności 

elementów 

(przy 

definiowaniu 

macierzy  A

i

),  teraz  wystarczy  wprowadzić 

wartości E oraz I.

Jednostki to: N i m

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Wyniki dla obciążenia statycznego

Przemieszczenia

Momenty zginające [kNm] – wyniki z poprzedniej części

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Wyniki dla obciążenia pozastatycznego

Momenty zginające [kNm]

Wyniki uzyskane z Matlaba:

Mnożnik przed 

macierzą 

interpretujemy 

jako [kNm]

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Wyniki dla obciążenia pozastatycznego

Przemieszczenia

Momenty zginające [kNm]

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Wyniki dla obu rodzajów obciążeń 

rozpatrywanych jednocześnie

Przemieszczenia

Momenty zginające [kNm]

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Wniosek

Nawet  bardzo  małe  co  do  wartości

(w  omawianym  przykładzie  belki  v=1cm) 
niesprężyste  osiadanie  podpory  ma  istotny 
wpływ 

na 

rozkład 

sił 

wewnętrznych

w konstrukcji.

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Politechnika Rzeszowska, Katedra Mechaniki Konstrukcji, 10'2003

Sprawozdanie

Sprawozdanie z tej części projektu powinno zawierać:

1)

schemat belki wraz z obciążeniem pozastatycznym

2)

wykresy jednostkowe wraz z obliczonymi reakcjami 

więzów podporowych

3)

wyrażenia na obliczanie elementów wektora 

p

 tak, 

jak to pokazano na stronie 8. 

4)

wykres momentów zginających od obciążenia 

statycznego – przerysować z części pierwszej projektu

5)

wykres momentów zginających wywołanych 

osiadaniem podpory

6)

rysunek ugięcia belki (wg przykładu ze strony 15.)