Kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu „Algebra liniowa”
WETI, kierunek EiT, 1 sem., r. ak. 2010/2011
1. [4p.] Wyznaczyć macierz X z równania (
1
2
B · X
−1
)
−1
= 2A − X, gdzie
A =
"
1 2
0 2
#
,
B
−1
=
"
1 1
1 0
#
2. [4p.] a) Stosując operacje elementarne na wierszach lub kolumnach obliczyć wartość wyznacznika
i sprawdzić, czy
4
2
1 1
1 −1 0 2
3
0
1 3
2
2
0 3
= 13
[2p.] b) Podać i zilustrować na przykładach cztery własności wyznaczników.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [4p.] a) W zależności od parametru λ podać liczbę rozwiązań układu równań
x + y + z = 6
λx + 4y + z = 5
6x + (λ + 2)y + 2z = 13
[2p.] b) Podać po jednym przykładzie macierzy osobliwej i macierzy nieosobliwej stopnia co
najmniej trzeciego.
4. [4p.] Dana jest płaszczyzna π o równaniu x + 2y − 3z = 1 oraz punkt P (1, 2, 0).
Znaleźć:
a) symetryczne odbicie punktu P względem płaszczyzny π,
b) odległość punktu P od płaszczyzny π.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [4p.] a) Znaleźć funkcję holomorficzną f (z), gdy dana jest jej część urojona
v(x, y) = x
3
− 3xy
2
+ x
[2p.] b) Rozwiązać w płaszczyźnie zespolonej równanie z
3
− 2i = 0. Wyniki przedstawić w
postaci algebraicznej.
6. [4p.] Znaleźć oryginał, gdy dana jest transformata Laplace’a
F (s) =
4s
2
+ 20s + 26
s
3
+ 6s
2
+ 13s
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Znaleźć długość wektora ~a = 5~
p − 4~
q jeżeli wiadomo, że |~
p| = 2, |~
q| = 5,
a kąt między wektorami ~
p i ~
q wynosi
6
(~
p, ~
q) =
2
3
π.
