Mechanika techniczna

i wytrzymało

ść

materiałów

W02 – Statyka punktu i układów

materialnych

Prawa równowagi

Prawa równowagi

Działanie siły na ciało materialne (brył

ę

, układ brył,

element maszyny itp.) ujawnia si

ę

zazwyczaj poprzez

jego przyspieszony ruch, zmian

ę

charakteru ruchu lub

odkształcenie.

Bywa tak,

ż

e ciało pozostaje w

spoczynku

mimo

działania sił, ale tylko w tym przypadku, kiedy efekty

działania wszystkich sił nawzajem si

ę

znosz

ą

, tzn.

kiedy istnieje taki rezultat ko

ń

cowy, jak w przypadku,

gdyby nie działała

ż

adna siła.

Prawa równowagi

Prawa równowagi

O takich siłach mówimy,

ż

e si

ę

równowa

żą

lub

ż

e s

ą

w równowadze, albo te

ż

ż

e s

ą

równe zeru.

Ten ko

ń

cowy rezultat znoszenia si

ę

działa

ń

sił

nazywamy

równowag

ą

.

nazywamy

równowag

ą

.

Badaniem warunków, przy których spełnieniu siły

działaj

ą

ce na ciało b

ą

d

ź

układ ciał (zwany inaczej

układem mechanicznym) zajmuje si

ę

dział mechaniki

nazywany

statyk

ą

.

Prawa równowagi

Prawa równowagi

Fundamentem, na którym opiera si

ę

statyka,

s

ą

ogólne prawa przyrody.

Na podstawie tych praw sformułowano tzw.

zasady (aksjomaty, pewniki) statyki.

Do praw nie wymagaj

ą

cych dowodów

matematycznych zalicza si

ę

prawa Newtona

(Isaac Newton, angielski fizyk, matematyk,

astronom z Londynu,

ż

ył w latach 1642 –

1727).

Prawa Newtona

Prawa Newtona

W

statyce

wykorzystuje si

ę

tylko dwa z tych praw:

pierwsze i trzecie.

I prawo Newtona

. Je

ż

eli na ciało (lub układ ciał) nie

działa

ż

adna siła, to pozostaje ono w ruchu

działa

ż

adna siła, to pozostaje ono w ruchu

jednostajnym prostoliniowym lub w stanie spoczynku.

III prawo Newtona

. Je

ż

eli na dane ciało działa siła, to

jej działaniu odpowiada zawsze równe

przeciwdziałanie.

Pewniki statyki

Pewniki statyki

Je

ż

eli ciało pod działaniem siły jest

w równowadze

, to

równowaga ta zostanie zachowana równie

ż

w tym

przypadku, gdy sił

ę

przesuniemy wzdłu

ż

jej kierunku

działania.

działania.

Je

ż

eli ciało jest w równowadze pod działaniem dwóch

sił, to siły te musz

ą

le

ż

e

ć

na wspólnej prostej oraz by

ć

sobie równe co do warto

ś

ci i mie

ć

przeciwne zwroty.

Pewniki statyki

Pewniki statyki

Je

ż

eli linie działania dwu sił przecinaj

ą

si

ę

, to mo

ż

na je

zast

ą

pi

ć

jedn

ą

sił

ą

zgodnie z reguł

ą

równoległoboku lub

trójk

ą

ta wektorów. Sił

ę

t

ę

nazywamy

wypadkow

ą

dwu

sił.

sił.

Je

ż

eli na ciało, np. na układ mechaniczny, s

ą

narzucone wi

ę

zy (tj. ograniczenia swobody jego ruchu),

to odrzucaj

ą

c je nale

ż

y do ciała przyło

ż

y

ć

siły,

odpowiednie do rodzaju wi

ę

zu. Jest to

zasada uwolnie-

nia ciała od wi

ę

zów

.

Stopnie swobody ciała. Wi

ę

zy

Stopnie swobody ciała. Wi

ę

zy

Ciało sztywne, które mo

ż

e zajmowa

ć

dowolne poło

ż

enie w

przestrzeni, nazywamy

ciałem swobodnym

. Je

ż

eli punkt

materialny pozostaje swobodny, oznacza to,

ż

e mo

ż

e

wykonywa

ć

dowolne ruchy.

wykonywa

ć

dowolne ruchy.

Ograniczenie swobody ruchu (np. poprzez stworzenie takich

warunków,

ż

e punkt materialny b

ę

dzie mógł si

ę

porusza

ć

tylko na płaszczy

ź

nie lub wzdłu

ż

pewnej prostej) oznacza,

ż

e

na punkt materialny zostaj

ą

nało

ż

one pewne

wi

ę

zy

lub

ż

e

zostaje cz

ęś

ciowo odebrana swoboda jego ruchu.

Stopnie swobody ciała. Wi

ę

zy

Stopnie swobody ciała. Wi

ę

zy

Stopie

ń

swobody

punktu materialnego wi

ąż

e si

ę

z mo

ż

liwo

ś

ci

ą

wykonywania przez ten punkt

okre

ś

lonego ruchu.

Punkt materialny

w przestrzeni mo

ż

e porusza

ć

si

ę

ruchem dowolnym, a do jednoznacznego

okre

ś

lenia jego poło

ż

enia w danej chwili trzeba

poda

ć

trzy

współrz

ę

dne.

Statyka punktu i układu punktów

Statyka punktu i układu punktów
materialnych

materialnych

Poło

ż

enie punktu materialnego zmuszonego do

pozostawania na pewnym torze b

ę

dzie okre

ś

lone

przez jedn

ą

współrz

ę

dn

ą

, np. przez długo

ść

łuku

tego toru od punktu pocz

ą

tkowego do punktu

tego toru od punktu pocz

ą

tkowego do punktu

rozpatrywanego.

Taki punkt ma

jeden stopie

ń

swobody

.

Statyka punktu i

Statyka punktu i
układu punktów materialnych

układu punktów materialnych

Punkt zmuszony do pozostawania na pewnej

powierzchni ma

dwa stopnie swobody

.

Punkt nie maj

ą

cy

ż

adnych wi

ę

zów ma

trzy

punkty swobody

.

Statyka punktu i

Statyka punktu i
układu punktów materialnych

układu punktów materialnych

Odbieraj

ą

c punktowi jeden stopie

ń

swobody,

zmuszamy go do pozostawania na jakiej

ś

powierzchni.

Punkt, któremu odbierzemy dwa stopnie swobody,

pozostaje stale na jakiej

ś

linii.

Punkt, któremu zabrano trzy stopnie swobody, jest

punktem

nieswobodnym

i nie mo

ż

e wykonywa

ć

ż

adnych ruchów.

Statyka

Statyka

Reakcja

– jest to siła zast

ę

puj

ą

ca oddziaływanie

rozpatrywanego wi

ę

zu.

Reakcja danego wi

ę

zu jest jego odpowiedzi

ą

na

Reakcja danego wi

ę

zu jest jego odpowiedzi

ą

na

siły czynne, na które jest nara

ż

one dane ciało.

Kierunek reakcji pokrywa si

ę

z tym kierunkiem, w

którym wi

ę

zy nie pozwalaj

ą

ciału (układowi)

porusza

ć

si

ę

.

Układy sił

Układy sił

Dwie lub wi

ę

cej sił działaj

ą

cych na dane ciało (lub

układ ciał) nazywamy

układem sił

.

Gdy linie działania wszystkich sił układu znajduj

ą

si

ę

(le

żą

) w jednej płaszczy

ź

nie, to taki układ sił

nazywamy

układem płaskim

.

Gdy linie działania wszystkich sił s

ą

dowolnie

usytuowane w przestrzeni, to taki układ sił nazywamy

układem dowolnym

(

przestrzennym

)

Układy sił

Układy sił

Gdy linie działania wszystkich sił przecinaj

ą

si

ę

w

jednym punkcie, to taki układ sił nazywamy

układem sił zbie

ż

nych

(płaskim lub

przestrzennym).

przestrzennym).

Gdy linie działania wszystkich sił s

ą

równoległe, to

taki układ sił nazywamy

układem sił równoległych

(płaskim lub przestrzennym).

Rodzaje wi

ę

zów

Rodzaje wi

ę

zów

W zagadnieniach praktycznych najcz

ęś

ciej

spotykamy zaledwie kilka modeli wi

ę

zów, dla

których kierunki działania reakcji ogólnie mo

ż

na

przewidzie

ć

.

przewidzie

ć

.

Wi

ę

zy bez tarcia nazywamy

wi

ę

zami idealnymi

.

Płaski układ sił zbie

ż

nych

Płaski układ sił zbie

ż

nych

Je

ż

eli do rozpatrywanego ciała s

ą

przyło

ż

one dwie siły

F

1

,

F

2

, których linie działania przecinaj

ą

si

ę

, to –

zgodnie z zasad

ą

statyki o sumowaniu sił za pomoc

ą

zgodnie z zasad

ą

statyki o sumowaniu sił za pomoc

ą

równoległoboku, wypadkowa

W

przyło

ż

ona w punkcie

przeci

ę

cia si

ę

linii działania sił

F

1

i

F

2

jest równa

odpowiedniej przek

ą

tnej równoległoboku.

F

2

W

Płaski układ sił zbieżnych

Płaski układ sił zbieżnych

F

1

W

Płaski układ sił zbie

ż

nych

Płaski układ sił zbie

ż

nych

Dodawanie wektorów sił za pomoc

ą

prawa

równoległoboku (lub trójk

ą

ta) sił nazywa si

ę

sumowaniem geometrycznym

.

Wielobok sił mo

ż

e by

ć

zamkni

ę

ty (koniec

ostatniego wektora znajduje si

ę

w pocz

ą

tku

ostatniego wektora znajduje si

ę

w pocz

ą

tku

pierwszego wektora). Wypadkowa jest wtedy
równa zeru.

Płaski układ sił zbie

ż

nych

Płaski układ sił zbie

ż

nych

Skutek działania takiego układu sił na ciało
sztywne jest taki sam, jak w sytuacji, gdy na ciało
nie działa

ż

adna siła.

Mówimy,

ż

e

dany układ sił jest w równowadze

.

Sił

ę

równ

ą

wypadkowej kilku sił, lecz o

Sił

ę

równ

ą

wypadkowej kilku sił, lecz o

przeciwnym do niej zwrocie, nazywamy sił

ą

równowa

żą

c

ą

i oznaczamy j

ą

R

=

-

W

.

Płaski układ sił zbie

ż

nych

Płaski układ sił zbie

ż

nych

Geometryczny warunek równowagi

zbie

ż

nego

układu sił stanowi równanie:

0

0

0

1

2

1

=

=

+

+

+

=

∑

=

n

i

i

n

F

F

F

F

W

K

Płaski układ sił zbie

ż

nych

Płaski układ sił zbie

ż

nych

Analityczny warunek równowagi

ma posta

ć

:

0

2

2

=

+

=

y

x

W

W

W

0

0

0

0

0

1

2

1

1

2

1

=

⇒

=

+

+

+

=

=

⇒

=

+

+

+

=

=

+

=

∑

∑

=

=

n

i

iy

ny

y

y

yx

n

i

ix

nx

x

x

x

y

x

F

F

F

F

W

F

F

F

F

W

W

W

W

K

K

Przykład

Przykład

A

B

S

1

S

2

S

1

α

β

β

x

O

G

G

S

2

α

y

α

β

α

β

cos

cos

0

sin

sin

0

2

1

1

2

1

1

⋅

−

⋅

−

⇒

=

⋅

+

⋅

−

⇒

=

∑

∑

=

=

S

S

G

F

S

S

F

n

i

iy

n

i

ix