ZADANIE 13

Dany jest schemat obwodu elektrycznego w układzie mostka Thomsona. Należy sporządzić
graf obwodu, wybrać z niego drzewo i wyrazić wszystkie prądy poprzez prądy gałęzi
łączących. Korzystając z tej zależności napisać równania I i II prawa Kirchhoffa.

Rozwiązanie

Przyjmujemy dowolne strzałki kierunku prądu a następnie ustalamy strzałki napięć. Z grafu
obwodu wybieramy jedno z możliwych drzew (zaznaczone pogrubioną linią na rysunku
poniżej).














I1

÷ I4 przyjęto jako prądy gałęzi łączących, pozostałe jako prądy gałęzi drzewa. Każdemu

z prądów I1

÷ I4 odpowiada jedno oczko.

I6 I4

I7

I8

I2

I1 I3

I5

Macierz C wyrażająca zależność między prądami gałęzi łączących a prądami drzewa wygląda
następująco.

Nr oczek

Nr gałęzi

I II III IV

1

1 0 0 0

2 0 1 0 0
3 0 0 1 0
4 0 0 0 1
5 0 0 1

1

6 -1 0 1

1

7 -1 0 1 0
8 -1

-1

1 0

Uwzględniając, że I = C

⋅⋅⋅⋅

J gdzie: I prądy wszystkich gałęzi, J prądy gałęzi łączących można

napisać cztery równania I prawa Kirchhoffa

I3

I2

I1

I8

I3

I1

I7

I4

I3

I1

I6

I4

I3

I5

++++

−−−−

−−−−

====

++++

−−−−

====

++++

++++

−−−−

====

++++

====

(Powyższe równania możemy interpretować w oparciu o geometrię oczek
następująco: np. prąd I5 jest sumą I3 i I4, gdyż gałąź piąta należy do oczek
3 i 4 oraz jej kierunek jest zgodny z I3 i I4.)

oraz, że C

t

U =

0 można napisać cztery równania II prawa Kirchhoffa

0

0

0

0

====

++++

++++

====

++++

++++

++++

++++

====

−−−−

====

−−−−

−−−−

−−−−

U6

U5

U4

U8

U7

U6

U5

U3

U8

U2

U8

U7

U6

U1

które po uwzględnieniu prądów mają postać:

0

0

0

0

====

⋅⋅⋅⋅

++++

−−−−

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

====

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

++++

−−−−

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

====

⋅⋅⋅⋅

−−−−

⋅⋅⋅⋅

====

⋅⋅⋅⋅

−−−−

⋅⋅⋅⋅

−−−−

⋅⋅⋅⋅

−−−−

⋅⋅⋅⋅

R6

I6

E

R5

I5

R4

I4

R8

I8

R7

I7

R6

I6

E

R5

I5

R3

I3

R8

I8

R2

I2

R8

I8

R7

I7

R6

I6

R1

I1

ZADANIE 14

Obliczyć prąd w przekątnej mostka pokazanego na rysunku, korzystając z metody prądów
oczkowych Maxwella.
Dane: E = 10V, R1 = 20

Ω, R2 = 10Ω, R3 = 10Ω, R4 = 20Ω, R5 = 20Ω, R6 = 10Ω.

Rozwiązanie

((((

))))

((((

))))

((((

))))

0

0

====

++++

++++

++++

⋅⋅⋅⋅

−−−−

⋅⋅⋅⋅

−−−−

====

⋅⋅⋅⋅

−−−−

++++

++++

++++

⋅⋅⋅⋅

−−−−

====

⋅⋅⋅⋅

−−−−

⋅⋅⋅⋅

−−−−

++++

++++

R5

R4

R2

I3

R5

I2

R2

I1

R5

I3

R5

R3

R1

I2

R1

I1

E

R2

I3

R1

I2

R6

R2

R1

I1

Po podstawieniu danych liczbowych

0

50

20

10

0

20

50

20

10

10

20

40

====

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

−−−−

⋅⋅⋅⋅

−−−−

====

⋅⋅⋅⋅

−−−−

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

−−−−

====

⋅⋅⋅⋅

−−−−

⋅⋅⋅⋅

−−−−

⋅⋅⋅⋅

I3

I2

I1

I3

I2

I1

I3

I2

I1

Rozwiązując układ równań otrzymujemy:

I2 = 0,235A, I3 = 0,177A

Prąd na przekątnej mostka

0,058A

0,177

0,235

====

−−−−

====

−−−−

====

I3

I2

Ip

ZADANIE 15

W poniżej podanym układzie dobrać tak wartość Rz, aby napięcie na SPM wynosiło
Uz = 4,38V. Do rozwiązania należy wykorzystać metodę prądów oczkowych Maxwella.

Rozwiązanie

Dla oznaczenia prądów oczkowych podanego na rysunku, równania prądów oczkowych będą
miały postać

((((

))))

((((

))))

1

10

3

3

5

3

3

2

====

−−−−

++++

====

++++

++++

⋅⋅⋅⋅

−−−−

−−−−

====

⋅⋅⋅⋅

−−−−

++++

I1

I2

Uz

Rz

I2

I1

Uz

I2

I1

Rozwiązując otrzymujemy Rz = 4

Ω.

ZADANIE 16

Obliczyć zakres zmienności oporności R potrzebny do zapewnienia zmian napięcia
U w granicach 10

÷ 20V w układzie podanym na rysunku.

Rozwiązanie

Przykład ten można rozwiązać korzystając np. z metody prądów oczkowych lub metody
potencjałów węzłowych. W sposób najszybszy można uzyskać wyniki jeżeli wykorzystamy
zasadę Thevenina doprowadzając w ten sposób układ do postaci:

Uo

R

Ro

R

U

E2

R2

R2

R1

E2

E1

Uo

R2

R1

R2

R1

Ro

⋅⋅⋅⋅

++++

====

====

−−−−

⋅⋅⋅⋅

++++

++++

====

−−−−

⋅⋅⋅⋅

++++

++++

====

====

====

++++

⋅⋅⋅⋅

====

++++

⋅⋅⋅⋅

====

70V

50

20

20

10

50

130

6,67Ω

30

200

20

10

20

10

U jest rosnącą funkcją R, więc

2,68Ω

6,67

70

20

20V;

1,11Ω

6,67

70

10

10V;

====

⇒

⇒

⇒

⇒

⋅⋅⋅⋅

++++

====

⋅⋅⋅⋅

++++

====

====

====

⇒

⇒

⇒

⇒

⋅⋅⋅⋅

++++

====

⋅⋅⋅⋅

++++

====

====

Rmax

Rmax

Rmax

Rmax

Rmax

Ro

Uo

Umax

Umax

Rmin

Rmin

Rmin

Rmin

Rmin

Ro

Uo

Umin

Umin