ZADANIE 13
Dany jest schemat obwodu elektrycznego w układzie mostka Thomsona. Należy sporządzić
graf obwodu, wybrać z niego drzewo i wyrazić wszystkie prądy poprzez prądy gałęzi
łączących. Korzystając z tej zależności napisać równania I i II prawa Kirchhoffa.
Rozwiązanie
Przyjmujemy dowolne strzałki kierunku prądu a następnie ustalamy strzałki napięć. Z grafu
obwodu wybieramy jedno z możliwych drzew (zaznaczone pogrubioną linią na rysunku
poniżej).
I1
÷ I4 przyjęto jako prądy gałęzi łączących, pozostałe jako prądy gałęzi drzewa. Każdemu
z prądów I1
÷ I4 odpowiada jedno oczko.
I6 I4
I7
I8
I2
I1 I3
I5
Macierz C wyrażająca zależność między prądami gałęzi łączących a prądami drzewa wygląda
następująco.
Nr oczek
Nr gałęzi
I II III IV
1
1 0 0 0
2 0 1 0 0
3 0 0 1 0
4 0 0 0 1
5 0 0 1
1
6 -1 0 1
1
7 -1 0 1 0
8 -1
-1
1 0
Uwzględniając, że I = C
⋅⋅⋅⋅
J gdzie: I prądy wszystkich gałęzi, J prądy gałęzi łączących można
napisać cztery równania I prawa Kirchhoffa
I3
I2
I1
I8
I3
I1
I7
I4
I3
I1
I6
I4
I3
I5
++++
−−−−
−−−−
====
++++
−−−−
====
++++
++++
−−−−
====
++++
====
(Powyższe równania możemy interpretować w oparciu o geometrię oczek
następująco: np. prąd I5 jest sumą I3 i I4, gdyż gałąź piąta należy do oczek
3 i 4 oraz jej kierunek jest zgodny z I3 i I4.)
oraz, że C
t
U =
0 można napisać cztery równania II prawa Kirchhoffa
0
0
0
0
====
++++
++++
====
++++
++++
++++
++++
====
−−−−
====
−−−−
−−−−
−−−−
U6
U5
U4
U8
U7
U6
U5
U3
U8
U2
U8
U7
U6
U1
które po uwzględnieniu prądów mają postać:
0
0
0
0
====
⋅⋅⋅⋅
++++
−−−−
⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
====
⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
++++
−−−−
⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
====
⋅⋅⋅⋅
−−−−
⋅⋅⋅⋅
====
⋅⋅⋅⋅
−−−−
⋅⋅⋅⋅
−−−−
⋅⋅⋅⋅
−−−−
⋅⋅⋅⋅
R6
I6
E
R5
I5
R4
I4
R8
I8
R7
I7
R6
I6
E
R5
I5
R3
I3
R8
I8
R2
I2
R8
I8
R7
I7
R6
I6
R1
I1
ZADANIE 14
Obliczyć prąd w przekątnej mostka pokazanego na rysunku, korzystając z metody prądów
oczkowych Maxwella.
Dane: E = 10V, R1 = 20
Ω, R2 = 10Ω, R3 = 10Ω, R4 = 20Ω, R5 = 20Ω, R6 = 10Ω.
Rozwiązanie
((((
))))
((((
))))
((((
))))
0
0
====
++++
++++
++++
⋅⋅⋅⋅
−−−−
⋅⋅⋅⋅
−−−−
====
⋅⋅⋅⋅
−−−−
++++
++++
++++
⋅⋅⋅⋅
−−−−
====
⋅⋅⋅⋅
−−−−
⋅⋅⋅⋅
−−−−
++++
++++
R5
R4
R2
I3
R5
I2
R2
I1
R5
I3
R5
R3
R1
I2
R1
I1
E
R2
I3
R1
I2
R6
R2
R1
I1
Po podstawieniu danych liczbowych
0
50
20
10
0
20
50
20
10
10
20
40
====
⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
−−−−
⋅⋅⋅⋅
−−−−
====
⋅⋅⋅⋅
−−−−
⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
−−−−
====
⋅⋅⋅⋅
−−−−
⋅⋅⋅⋅
−−−−
⋅⋅⋅⋅
I3
I2
I1
I3
I2
I1
I3
I2
I1
Rozwiązując układ równań otrzymujemy:
I2 = 0,235A, I3 = 0,177A
Prąd na przekątnej mostka
0,058A
0,177
0,235
====
−−−−
====
−−−−
====
I3
I2
Ip
ZADANIE 15
W poniżej podanym układzie dobrać tak wartość Rz, aby napięcie na SPM wynosiło
Uz = 4,38V. Do rozwiązania należy wykorzystać metodę prądów oczkowych Maxwella.
Rozwiązanie
Dla oznaczenia prądów oczkowych podanego na rysunku, równania prądów oczkowych będą
miały postać
((((
))))
((((
))))
1
10
3
3
5
3
3
2
====
−−−−
++++
====
++++
++++
⋅⋅⋅⋅
−−−−
−−−−
====
⋅⋅⋅⋅
−−−−
++++
I1
I2
Uz
Rz
I2
I1
Uz
I2
I1
Rozwiązując otrzymujemy Rz = 4
Ω.
ZADANIE 16
Obliczyć zakres zmienności oporności R potrzebny do zapewnienia zmian napięcia
U w granicach 10
÷ 20V w układzie podanym na rysunku.
Rozwiązanie
Przykład ten można rozwiązać korzystając np. z metody prądów oczkowych lub metody
potencjałów węzłowych. W sposób najszybszy można uzyskać wyniki jeżeli wykorzystamy
zasadę Thevenina doprowadzając w ten sposób układ do postaci:
Uo
R
Ro
R
U
E2
R2
R2
R1
E2
E1
Uo
R2
R1
R2
R1
Ro
⋅⋅⋅⋅
++++
====
====
−−−−
⋅⋅⋅⋅
++++
++++
====
−−−−
⋅⋅⋅⋅
++++
++++
====
====
====
++++
⋅⋅⋅⋅
====
++++
⋅⋅⋅⋅
====
70V
50
20
20
10
50
130
6,67Ω
30
200
20
10
20
10
U jest rosnącą funkcją R, więc
2,68Ω
6,67
70
20
20V;
1,11Ω
6,67
70
10
10V;
====
⇒
⇒
⇒
⇒
⋅⋅⋅⋅
++++
====
⋅⋅⋅⋅
++++
====
====
====
⇒
⇒
⇒
⇒
⋅⋅⋅⋅
++++
====
⋅⋅⋅⋅
++++
====
====
Rmax
Rmax
Rmax
Rmax
Rmax
Ro
Uo
Umax
Umax
Rmin
Rmin
Rmin
Rmin
Rmin
Ro
Uo
Umin
Umin