WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 1
WPA
YW TEMPERATURY I BA

DÓW, SPOSÓB WERESZCZEGINA- MOHRA OBLICZANIA CAA
EK
Olga Kopacz, Adam A
odygowski, Wojciech Pawłowski,
Michał Płotkowiak, Krzysztof Tymper
Konsultacje naukowe: prof. dr hab. JERZY RAKOWSKI
Poznań 2002/2003
MECHANIKA BUDOWLI 5
UWZGL
DNIENIE WPA
YWU TEMPERATURY, OSIADANIA
PODPÓR I BA

DÓW MONTAŻOWYCH W RÓWNANIU PRACY
WIRTUALNEJ.
1.1. Krótko o podporach sprężystych.
Pod nazwą podpór sprężystych rozumiemy takie, które przemieszczają się pod
wpływem występujących w nich reakcji wprost proporcjonalnie do ich wartości. Oto
dwa przykłady podpór sprężystych (rys.1.1):
W przypadku podpory pierwszej (rys.1.1a)
pod wpływem reakcji R sprężyna ulegnie skróceniu-
zaobserwujemy osiadanie podpory. Druga zaś
podpora (rys.1.1b) to podpora podatna na obrót-tym
razem zaobserwujemy obrót podpory wywołany
występującym w niej momentem podporowym.
Sprężyna z rys.1.1a może być modelem
pręta podporowego.
Rys.1.1a i b
Przykład:
Załóżmy, że w naszej podporze (rys.1.2)
pod wpływem działania siły normalnej N, pręt o
l "l
długości początkowej ulegnie skróceniu o .
Zgodnie z prawem Hooka możemy zapisać, że:
(1.1)
N �"l
"l =
E �" A
z powyższego związku otrzymujemy proporcjonalną
zależność między siłą działającą na pręt a jego
skróceniem (bądz
wydłużeniem):
Rys.1.2
Politechnika Poznańska� Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 2
WPA
YW TEMPERATURY I BA

DÓW, SPOSÓB WERESZCZEGINA- MOHRA OBLICZANIA CAA
EK
(1.2)
[m]
l
f =
"l = N �" f [N]
E �" A
gdzie:
lub inaczej:
(1.3)
1
N
�ł łł
N
� =
"l =
�łm śł
f
�ł �ł
�
gdzie:
przy czym:
�
-to tzw. sztywność podpory-jest to wartość siły jaką należy przyłożyć do
podpory by zmienić jej długość o jednostkowe wydłużenie.
f
-to tzw. podatność podpory-jest to wartość wyrażona w jednostkach
długości, która stanowi wynik działania siły jednostkowej.
1.2. Wpływ temperatury.
Dowolny układ może doznać odkształcenia pod wpływem działania określonej
temperatury. Jeżeli wszystkie włókna doznają tego samego ogrzania mówimy o tzw.
ogrzaniu równomiernym jeśli zaś temperaturą zróżnicowaną o tzw. ogrzaniu
nierównomiernym.
Załóżmy, że mamy pręt o przekroju jak na rysunku (rys.1.3) poddany działaniu
pola dodatniej temperatury, przy czym temperaturę w włóknach dolnych oznaczać
tg
td
będziemy przez , temperaturę przy włóknach górnych przez .
Rys.1.3
Zgodnie z zasadą superpozycji zastąpiliśmy pole temperatury dwoma polami, z
t0
czego pierwszy określa nam -temperaturę w środku ciężkości przekroju. Wyznaczmy
ją:
" dla przekrojów niesymetrycznych :
zgodnie z twierdzeniem Talesa mamy:
Politechnika Poznańska� Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 3
WPA
YW TEMPERATURY I BA

DÓW, SPOSÓB WERESZCZEGINA- MOHRA OBLICZANIA CAA
EK
(1.4)
t0 - tg hg
= �! (t0 - tg )hd = hg (td - t0)
td - tg hd
tg �" hd + td �" hg tg �" hd + td �" hg
t0 = =
hd + hg h
czyli :
tg �"hd + td �" hg + tg �" hg - tg �" hg
t0 = �!
h
lub inaczej:
hg
t0 = tg + (td - tg)
h
" dla przekrojów symetrycznych :
(1.5)
t0 - tg 1
1
= �! t0 - tg = (td - tg )
td - tg 2 2
tg + td
t0 =
2
Zastanówmy się teraz jaki efekt da równomierne ogrzanie.
tg = td włókna dolne jak i górne doznają jednakowego wydłużenia (bądz

Przy
skrócenia), wracając zatem do równania pracy wirtualnej w którym jednym z członów
jest całka :
l
(1.6)
N �" � �" ds
t
+"
0
�t
(przy czym przez rozumiemy odkształcenie wywołane temperaturą) i uwzględniając
to, że:
(1.7)
"(ds)= ds �"ąt �" "t = ds �"ąt �" (t0 - tm ) = ds �"ąt �" t
gdzie:
Politechnika Poznańska� Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 4
WPA
YW TEMPERATURY I BA

DÓW, SPOSÓB WERESZCZEGINA- MOHRA OBLICZANIA CAA
EK
ds
-to długość początkowa odcinka pręta
ąt -współczynnik rozszerzalności termicznej
"t = t0 - tm -różnica temperatury obecnej i temperatury montażu ( UWAGA!
t
w dalszej części rozważań oznaczana jest ona przez )
a:
(1.8)
"(ds)
� =
ds
to po uwzględnieniu powyższych zależności (1.7 i 1.8) nasza całka (1.6) przyjmuje
postać:
l
(1.9)
N �"ą �" t �" ds
t
+"
0
i wyraża wpływ równomiernego ogrzania.
td > tg
Natomiast przy ogrzewaniu pręta temperaturą zróżnicowaną (u nas ),
dojdzie do wydłużenia włókien dolnych przy jednoczesnym skróceniu górnych, czego
wynikiem będzie powstanie krzywizny (rys.1.4).
W równaniu pracy wirtualnej mamy:
l
(1.10
)
+"M �"� �" ds
"
0
�
"
tym razem jednak, krzywizna nie jest wywołana
działaniem momentu, lecz różnicą temperatur. Jeżeli
zatem przez:
ld -oznaczymy długość włókien dolnych
lg - długość włókien górnych,
to zmianę ich długości możemy wyrazić związkami:
Rys.1.4
(1.11)
"ld = ds �"ą �" (td - t0 )
t
Politechnika Poznańska� Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 5
WPA
YW TEMPERATURY I BA

DÓW, SPOSÓB WERESZCZEGINA- MOHRA OBLICZANIA CAA
EK
(1.12)
"lg = ds�"ąt �" (tg - t0 )
d�
przyjmując jednocześnie że, to zmiana kąta i:
(1.13)
"ld - "lg
d� =
h
to po uwzględnieniu powyższych zależności (1.11, 1.12) otrzymujemy:
(1.14)
ąt �" "t
d�t = �" ds
h
gdzie:
"t = td - tg
a nasza całka (1.10) przyjmuje postać:
l
(1.15
ąt �" "t
)
+"M �" h ds
0
i wyraża wpływ nierównomiernego ogrzania.
1.3. Równanie pracy wirtualnej.
Zapiszemy teraz równanie pracy wirtualnej uwzględniając wszystkie wpływy (także
te powyższe z punktu 1.1 i 1.2).
p v(x)
P
Jeżeli przez rozumiemy siły skupione, -rozkład sił, -przemieszczenie
pionowe to równanie pracy przyjmuje postać:
(1.16
p(x) �"v(x) + �" �i + K �" "
"P "R
K
+"
)
iK
ńł �ł
M N Tp �"5!
�ł �ł
p p
�ł �ł �ł
�ł
"ół M �ł EI + ąt �" "t �ł + N�ł EA + ąt �" t�łds + �" GA dsżł
+" +"+"T
�ł �łds �ł
h
�ł łł �ł łł
s ss �ł
+ j �" R �" f + n �" bn
"R "B
j j
j
1n42 43
a
gdzie:
RK
-to reakcje wirtualne w podporach o wymuszeniach kinematycznych
Rj
-reakcje wirtualne w podporach sprężystych
Rj
-reakcje w podporach sprężystych wywołane obciążeniem rzeczywistym
Politechnika Poznańska� Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 6
WPA
YW TEMPERATURY I BA

DÓW, SPOSÓB WERESZCZEGINA- MOHRA OBLICZANIA CAA
EK
"
K
-znane przemieszczenia (osiadanie podpór)
a
-człon uwzględniający tzw. błędy montażowe. Jest to suma po n-punktach, w
których owe błędy występują. Mogą być one spowodowane mała precyzją
wykonania poszczególnych elementów konstrukcji, lub ich złym
zamontowaniem. Przypuśćmy np. , że w dowolnej kratownicy
bn
zamontowaliśmy zbyt krótki pręt. Jeżeli to wartość wielkości
Bn �" bn
określającej błąd montażowy, to nasz iloczyn wyrażać będzie pracę,
jaką wykona siła w tym pręcie na odcinku równym długości o jaką owy pręt
jest za krótki. Wielkością określającą błąd montażowy może być także kąt:
d�
w przypadku nie uzyskania w danym punkcie zadanego kąta (czyli
takiego jaki chcieliśmy uzyskać). Wtedy nasz iloczyn wyrażać będzie pracę
momentu na kącie równym różnicy kąta rzeczywistego i zadanego.
2.SPOSÓB WERESZCZEGINA-MOHRA OBLICZANIA CAA
EK
Zauważmy, że w równaniu (1.16) występują całki z iloczynu dwóch funkcji
M �" M
p
(np. ). W przypadku, gdy obie są ciągłe, a jedna z nich jest liniowa w
określonym przedziale, to całkę z ich iloczynu można obliczyć w prosty sposób,
korzystając z wykresów tych funkcji.
Słuszne jest twierdzenie:
Jeśli w pewnym przedziale określone są
dwie różne funkcje ciągłe, z których co najmniej
jedna jest liniowa, to całka z ich iloczynu równa jest
&!
iloczynowi pola wykresu funkcji krzywoliniowej
przez rzędną wykresu liniowego występującą pod
środkiem ciężkości wykresu krzywoliniowego.
F(x)
Niech jest funkcją krzywoliniową,
�
�(x)
zaś liniową. Wówczas:
�
�
� �
b
(2.1)
F(x) �"�(x) �" dx = &! �"�0
+"
a
Rys.2.1
Dowód:
Politechnika Poznańska� Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 7
WPA
YW TEMPERATURY I BA

DÓW, SPOSÓB WERESZCZEGINA- MOHRA OBLICZANIA CAA
EK
zgodnie z tw.(2.1) możemy zapisać:
b
(2.2)
+"F (x) �"�(x)�" dx = &! �"�0
a
ale:
�b -�a
�(X ) = �a + �" x
l
stąd po podstawieniu do wzoru (2.2) otrzymujemy:
b b
(2.3)
�b
�ł� + -�a
�" xłł �" dx = (x) �"�0 �" dx +
a
+"F (x) �" �ł śł +"F
l
�ł �ł
a a
b
�b -�a �b - �a b
+ �" x �" F(x) �" dx = �0 +
+"�" F (x) �" x �" dx =
+"
l l
a a
�b -�a �b -�a
&! �"�a + �" S0 = &!�a + &! �" �" x0 =
{
l l
&!�" x0
�ł� �b - �a �" x0 łł
&! �" + = &!�"�0
a
�ł śł
l
�ł �ł
S0 - to moment statyczny pola &! względem punkty 0.
c.n.d
Wróćmy do przykładu z wcześniejszego wykładu, gdzie obliczaliśmy
A
przemieszczenie pionowe punktu belki jak na poniższym rysunku (rys.2.2a).
u
A
Otrzymaliśmy, że (przemieszczenie) wynosi:
4
(2.4)
q �" l
u =
A
8 �" E �" I
Można je wyznaczyć w znacznie prostszy
sposób!
Wykreślmy wykresy momentów dla naszej
q
belki przy obciążeniu równym (rys.2.2a)oraz przy
1(rys.2.2b). Jeżeli
obciążeniu siłą wirtualną równą
�C to rzędna funkcji liniowej odpowiadająca
C
�
położeniu środka ciężkości pola wykresu
Politechnika Poznańska� Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 8
WPA
YW TEMPERATURY I BA

DÓW, SPOSÓB WERESZCZEGINA- MOHRA OBLICZANIA CAA
EK
krzywoliniowego-, to szukane przemieszczenie
wynosi:
Rys.2.2
�ł �ł
1 1 q �" l2 �ł 3 q �" l4 (2.5)
�ł
uA = �" l �"
�ł �ł�" �" l =
E �" I 3 2 4 8�" E �" I
�ł łł
2
1 q �" l 3
&! = �" l �" �C = l
3 2
4
gdzie: a . Otrzymaliśmy więc, wynik identyczny z
wynikiem gdy dokonywaliśmy całkowania(2.4).
2.1. Pola powierzchni figur.
" środki ciężkości figur(rys.2.3) :
Rys.2.3
Ax2
Środek ciężkości a)trójkąta, b)prostokąta, c)pola wykresu
Axn
d)pola wykresu krzywoliniowego
" pola powierzchni
-wykresy prostoliniowe
Politechnika Poznańska� Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 9
WPA
YW TEMPERATURY I BA

DÓW, SPOSÓB WERESZCZEGINA- MOHRA OBLICZANIA CAA
EK
Figurę trapezową dzieli się zazwyczaj na odpowiedni prostokąt i trójkąt,
względnie- dwa trójkąty(rys.2.4):
M
p
M
Zakładając, iż pierwszy wykres to , drugi ,
to zgodnie z twierdzeniem(2.3) możemy zapisać, że:
(2.6)
1 2 1
�ł �ł
p
+"M �" M �" ds = 2 �" a �" l �" �ł 3 �" c + 3 �" d �ł +
�ł łł
1 1 2
�ł �ł
�" b �" l �" �" c + �" a
�ł �ł
2
�ł3 3 łł
Należy także pamiętać o uwzględnieniu znaku!(patrz
Rys.2.4
przykład poniżej rys.2.5).
Rys.2.5
-wykresy krzywoliniowe
Przy wykresie symetrycznym jak na rysunku(rys.2.6) pole wykresu wynosi:
(2.7)
2
A = �" f �" l
3
gdzie:
(2.8)
q �" l2
f =
8
Rys.2.5
Zastanówmy się, ile wynosi pole wykresów
krzywoliniowych przy położeniach jak na rysunku
poniżej(rys.2.6):
Politechnika Poznańska� Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 10
WPA
YW TEMPERATURY I BA

DÓW, SPOSÓB WERESZCZEGINA- MOHRA OBLICZANIA CAA
EK
(2.9)
q �" l 1
= �" x - q �" x �" �" x - Mą -ą = 0
"Mą -ą
2 2
- q �" l q �" l l x l
Mą -ą = �" x2 + �" x cos� = = �! x = x'�"
2 2 l' x' l'
ale:
� � �
Rys.2.6
- q �" x2 q �" l l
Mą - ą = + �" x x = x'�"
2 2 l'
po podstawieniu za :
- q �" x'2 l2 q �" l l 1
Mą - ą = �" + �" x'�" x'= �" l'
2 l'2 2 l' 2
dla
2
(2.10
- q l2 �ł 1 q �" l2 1 - q l2 1
)
M = �" �" �" l'�ł + �" �" l'= �" �" �" l'2+
�ł �ł
1
x '= l '
2 l' 2 2 �" l' 2 2 l'2 4
�ł łł
2
q �"l2 1 - q �" l2 q �" l2 q �" l2
�" �" l'= + =
2 �" l' 2 8 4 8
Pole wynosi zatem:
(2.11)
2 2 q�" l
A = �" f �" l = �" �"l'
3 3 8
Dla obciążenia jak na rysunku b) (rys.2.6b):
Politechnika Poznańska� Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 11
WPA
YW TEMPERATURY I BA

DÓW, SPOSÓB WERESZCZEGINA- MOHRA OBLICZANIA CAA
EK
, , x
"M A "MB "
Po wykorzystaniu trzech równań równowagi: wiemy, że:
h2 - h2
VB = �" q VA = �" q
HA = q �" h
2 �" l 2 �" l
zatem:
1
= -VA �" x + H �" y - q �" y �" �" y - Mą -ą = 0
"Mą -ą A
2
q - h2 q
Mą - ą = -VA �" x + H �" y - �" y2 = �" q �" x + q �" h �" y - �" y2
A
2 2 �" l 2
y h h
tg� = �! y = tg� tg� = �! y = �" x
x l l
ale:
x l
cos� = �! x = cos� �" x' = �" x'
h2 + l2 = l'2 �! h2 = l'2 -l2
x' l'
i
więc po podstawieniu otrzymujemy::
(l'2 -l2)�" x'�"q (l'2-l2)�" x'2�"q 1
Mą - ą = - x'= �"l'
2 �"l' 2 �" l'2 dla 2
mamy:
1 1
(l'2-l2)�" �" l'�"q (l'2 -l2)�" �"l'2�"q
(l'2 -l2)�" q (l'2 -l2)�" q
2 4
M = - = -
1
x'= l '
2�" l' 2 �" l'2 4 8
2
(2.12)
(l'2-l2)�" q
M =
1
x'= l '
8
2
Pole wynosi zatem:
(2.13)
2 2 h2 �" q
A = �" f �" l = �" �" l'
3 3 8
Dla trzeciego obciążenia (rys.2.6c):
q �" l' q �" x'�"x
= VA �" x + q �" l'-Mą -ą = 0 �! Mą -ą = �" x -
"Mą -ą
2 2
x l
cos� = �! x = cos� �" x'= �" x'
x' l'
równanie momentów ma zatem postać:
Politechnika Poznańska� Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 12
WPA
YW TEMPERATURY I BA

DÓW, SPOSÓB WERESZCZEGINA- MOHRA OBLICZANIA CAA
EK
q �" l �" x' q �" x'2�"l 1
Mą - ą = - x'= �"l'
2 2 �" l' 2
dla mamy:
1 1
q �" l �" �" l' q �" �" l'2�"l
(2.14
q �" l �" l' q �" l �" l' q �" l �" l'
2 4
Mą - ą = - = - =
)
2 2 �" l' 4 8 8
Pole wynosi zatem:
(2.15)
2 2 q �" l'2�"l
A = �" f �" l = �"
3 3 8
Chcąc zaś wyznaczyć pole wykresu jak na rysunku (rys.2.7a) korzystamy z
zasady superpozycji zapisując je jako sumę dwóch pól: paraboli i trójkąta
(rys.2.7b). Sprawdz
my na prostym przykładzie czy nasze założenie je4st
rzeczywiście słuszne. Nasza belka (rys.2.7) obciążona jest obciążeniem ciągłym q i
z jednej strony utwierdzona zatem:
Rys.2.7
Po wykorzystaniu trzech równań równowagi wiemy, że:
(1.12)
MA = -40kNm H = 0kN VA = 30kN
A
2
A = �" x2 + 30 �" x - 40)dx =
+"(5
Mą -ą = -5�" x2 + 30�" x - 40 a pole 0
2 2 2
1 1 1 -100
= - 5 �" �" x3 + 30 �" �" x2 - 40 �" �" x =
3 2 1 3
0 0 0
Jeżeli zaś do pola trójkąta dodamy pole paraboli (rus.2.7b) to otrzymamy:
(2.13)
1 2 10 �" 22 100
A = Atrójk ?ró - Aparaboli = �" 2 �" (-40) + �" �" 2 = - '
2 3 8 3
c.n.d.
Politechnika Poznańska� Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 13
WPA
YW TEMPERATURY I BA

DÓW, SPOSÓB WERESZCZEGINA- MOHRA OBLICZANIA CAA
EK
Politechnika Poznańska� Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper