1
WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY
ELEKTROTECHNIKA
Studia Niestacjonarne
Semestr II
LISTA ZADAŃ Nr 12
SZEREGI LICZBOWE
Zad.1. Zbadać zbieżność szeregów na podstawie definicji:
a)
∑
∞
=
+
−
1
)
1
4
)(
3
4
(
1
n
n
n
b)
∑
∞
=
+
+
1
)
2
)(
1
(
1
n
n
n
n
c)
∑
∞
=
+
+
+
1
2
)
1
(
1
n
n
n
n
n
d)
(
)
∑
∞
=
+
−
1
2
1
1
1
ln
n
n
e)
(
)
∑
∞
=
+
+
−
+
1
1
2
2
n
n
n
n
f)
∑
∞
=
1
n
a
, gdzie
R
∈
a
g)
∑
∞
=
⋅
⋅
−
⋅
1
8
7
3
4
5
2
n
n
n
n
h)
∑
∞
=
+
1
1
1
ln
n
n
Zad.2. Dla jakich wartości x poniższe szeregi są zbieżne, a ponadto ich sumy S są równe odpowiednio:
a)
(
)
3
,
1
1
=
+
∑
∞
=
S
x
n
n
b)
(
)
5
,
2
1
=
−
∑
∞
=
S
x
n
n
c)
(
)
5
1
,
1
3
1
2
−
=
+
−
∑
∞
=
S
x
x
n
n
Zad.3. Sprawdzić, czy dla podanych szeregów spełniony jest warunek konieczny zbieżności. Co można
powiedzieć na temat zbieżności (rozbieżności) tych szeregów?
a)
∑
∞
=
+
+
+
+
+
1
2
4
3
)
2
(
...
6
4
2
n
n
n
b)
(
)
∑
∞
=
+
−
+
1
1
10
n
n
n
c)
∑
∞
=
1
1000
1
n
n
n
d)
∑
∞
=
1
arctg
n
n
n
e)
∑
∞
=
+
+
+
+
+
+
1
5
8
9
)
1
2
(
...
7
5
3
n
n
n
f)
∑
∞
=
+
1
)
3
(
6
4
n
n
n
n
g)
∑
∞
=
+
+
1
3
3
2
7
9
1
n
n
n
h)
∑
∞
=
−
1
2
2
2
7
n
n
n
n
i)
∑
∞
=
+
1
5
3
2
1
n
n
n
n
k)
(
)
∑
∞
=
+
π
1
1
2
2
1
sin
n
n
n
n
l)
+
+
+
+
+
+
∑
∞
=
4
2
arcctg
)
2
(
)
3
(
1
4
4
1
2
4
6
n
n
n
n
n
n
n
n
Zad.4. Stosując kryterium porównawcze zbadać zbieżność szeregów:
a)
∑
∞
=
+
+
1
1
2
)
1
(
1
n
n
n
b)
∑
∞
=
1
1
tg
n
n
c)
∑
∞
=
1
2
ln
n
n
n
n
d)
n
n
n
1
sin
1
1
∑
∞
=
e)*
∑
∞
=
+
−
1
1
ln
1
n
n
n
n
f)
∑
∞
=
+
1
3
2
2
sin
n
n
n
π
g)
∑
∞
=
−
+
1
1
n
n
n
n
h)
∑
∞
=
+
+
1
2
3
2
1
1
n
n
n
i)
∑
∞
=
+
1
3
3
1
ln
n
n
n
j)
∑
∞
=
+
1
2
)
1
(
cos
n
n
n
n
k)
∑
∞
=
1
1
n
n
n
e
l)
∑
∞
=
1
1
tg
sin
n
n
m)
∑
∞
=
+
−
1
2
6
2
1
n
n
n
n)*
∑
∞
=
1
2
1
arctg
n
n
o)
∑
∞
=
1
4
5
ln
n
n
n
p)
∑
∞
=
+
1
2
5
3
n
n
r)
∑
∞
=
+
+
1
2
1
1
n
n
n
s)
∑
∞
=
−
+
2
3
1
n
n
n
n
t)
(
)
∑
∞
=
−
−
1
1
n
n
n
u)
∑
∞
=
+
1
)
3
ln(
1
n
n
Zad.5. Korzystając z kryterium porównawczego ilorazowego, zbadać zbieżność szeregów:
a)
∑
∞
=
π
1
2
sin
n
n
b)
∑
∞
=
1
2
1
tg
n
n
c)
∑
∞
=
+
+
1
3
1
1
n
n
n
d)
∑
∞
=
+
+
1
2
2
1
n
n
n
n
Zad.6. Korzystając z kryterium d’Alemberta zbadać zbieżność następujących szeregów:
a)
( )
( )
∑
∞
=
1
2
!
!
2
n
n
e
n
n
b)
∑
∞
=
+
⋅
+
1
1
3
1
4
n
n
n
n
c)*
( )
∑
∞
=
⋅
−
+
1
!
2
3
)!
1
(
)!
2
(
n
n
n
n
n
d)*
∑
∞
=
π
1
2
tg
n
n
n
2
e)
( )
∑
∞
=
−
1
!
ln
2
n
n
f)
e
a
a
n
n
a
n
n
n
≠
>
∑
∞
=
,
0
!
1
g)
∑
∞
=
⋅
1
!
2
n
n
n
n
h)
∑
∞
=
π
⋅
1
2
2
)
!
(
n
n
n
n
n
i)
∑
∞
=
+
⋅
⋅
1
1
2
3
2
5
n
n
n
n
n
j)
∑
∞
=
⋅
1
2
3
)
!
2
(
n
n
n
n
n
k)
(
)
∑
∞
=
+
+
+
⋅
1
2
1
1
2
5
2
3
n
n
n
n
n
l)
(
)
∑
∞
=
+
⋅
⋅
+
1
1
7
2
5
5
n
n
n
n
n
m)
( )
[
]
∑
∞
=
⋅
1
2
!
2
)!
3
(
!
n
n
n
n
n)
∑
∞
=
+
⋅
1
1
2
4
!
n
n
n
n
o)*
∑
∞
=
+
1
2
2
!
n
n
n
n
p)
∑
∞
=
+
⋅
1
1
2
!
n
n
n
n
n
Zad.7. Korzystając z kryterium Cauchy’ego rozstrzygnąć, które z podanych szeregów są zbieżne:
a)
∑
∞
=
⋅
1
3
2
3
2
n
n
n
n
b)
(
)
(
)
∑
∞
=
+
1
2
1
arctg
n
n
n
c)
∑
∞
=
+
1
5
3
2
n
n
n
n
d)
∑
∞
=
⋅
1
15
17
27
n
n
n
n
e)
∑
∞
=
+
⋅
+
1
3
3
5
)
1
(
n
n
n
n
f)
∑
∞
=
⋅
+
1
2
1
2
n
n
n
n
n
g)
∑
∞
=
−
1
2
1
n
n
en
n
h)
(
)
∑
∞
=
2
ln
1
n
n
n
i)
∑
∞
=
1
1
arcsin
n
n
n
j)
(
)
∑
∞
=
−
1
1
n
n
n
n
k)
∑
∞
=
+
+
1
6
5
3
n
n
n
n
l)
∑
∞
=
−
1
2
1
1
n
n
n
m)
∑
∞
=
+
1
4
1
tg
arcctg
n
n
n
n
π
n)
∑
∞
=
+
1
2
1
2
n
n
n
n
o)
∑
∞
=
+
⋅
1
2
2
)
1
(
3
n
n
n
n
n
n
p)
(
)
[
]
( )
∑
∞
=
⋅
+
1
14
!
!
1
n
n
n
n
n
n
Zad.8. Na podstawie kryterium całkowego zbadać zbieżność szeregów:
a)
∑
∞
=
+
1
3
2
5
n
n
n
b)
(
)
∑
∞
=
+
2
2
1
2
1
n
n
c)
∑
∞
=
2
ln
1
n
n
n
d)
∑
∞
=
+
3
2
9
n
n
n
e)
∑
∞
=
2
2
ln
1
n
n
n
f)
∑
∞
=
1
2
ln
n
n
n
g)
1
1
ln
1
2
−
+
∑
∞
=
n
n
n
n
h)
∑
∞
=
1
1
n
n
α
Zad.9. Zbadać zbieżność następujących szeregów o wyrazach dowolnych, w przypadku zbieżności
rozstrzygnąć, czy jest to zbieżność bezwzględna, czy tylko warunkowa:
a)
( )
(
)
∑
∞
=
+
⋅
+
−
1
1
5
2
1
1
n
n
n
n
b)
( )
∑
∞
=
+
−
1
1
1
sin
1
n
n
n
c)
( )
∑
∞
=
−
+
−
1
2
5
1
1
n
n
n
n
d)
( )
∑
∞
=
+
−
1
100
1
n
n
n
n
e)
(
)
∑
∞
=
+
π
1
5
1
2
2
sin
n
n
n
f)
( )
∑
∞
=
+
+
−
1
1
3
100
2
1
n
n
n
n
n
g)*
(
)
( )
∑
∞
=
−
−
1
1
2
2
1
sin
!
7
n
n
n
n
n
n
h)
( )
∑
∞
=
−
1
ln
1
n
n
n
n
i)
( )
∑
∞
=
−
−
1
1
1
tg
1
n
n
n
n
j)
( )
(
)
∑
∞
=
+
+
−
1
1
1
log
1
n
n
n
k)
(
)
(
)
∑
∞
=
+
π
1
3
2
3
1
cos
n
n
n
n
l)
( )
(
)
∑
∞
=
+
+
−
1
1
1
1
n
n
n
n
m)
∑
∞
=
1
cos
n
n
n
π
n)
( )
(
)
∑
∞
=
+
+
−
1
2
1
cos
1
n
n
n
n
n
o)
( )
∑
∞
=
+
−
1
1
1
ln
100
1
n
n
n
n
p)
∑
∞
=
1
5
cos
n
n
n
Zad.10. Zbadać zbieżność następujących szeregów (korzystając z różnych kryteriów):
a)
( )
∑
∞
=
⋅
1
2
2
!
6
n
n
n
n
n
b)
∑
∞
=
+
−
π
1
1
2
arcsin
4
n
n
n
c)
( )
∑
∞
=
+
+
+
+
−
−
1
2
2
1
1
7
1
5
1
n
n
n
n
n
n
n
d)
(
)
[
]
( )
∑
∞
=
⋅
+
1
10
!
!
1
n
n
n
n
n
n
e)
(
)
∑
∞
=
1
2
arctg
n
n
n
n
f)
∑
∞
=
1
3
ln
n
n
n
g)
∑
∞
=
+
1
5
8
)
7
(
log
n
n
n
h)
∑
∞
=
π
1
2
2
sin
n
n
n
i)
(
)
∑
∞
=
+
+
π
+
1
4
1
4
2
sin
)
2
(
n
n
n
n
n
j)
(
)
∑
∞
=
+
π
1
5
7
3
2
1
sin
n
n
n
n
k)
n
n
n
n
1
cos
1
...
3
2
1
1
3
∑
∞
=
+
+
+
+
+
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Microsoft Word WE L14 Szeregi Fouriera
Microsoft Word WE L13 szeregi potęgowe
Microsoft Word WE W14 Szeregi Fouriera
Microsoft Word WE W13 Szeregi funkcyjne i potegowe
Microsoft Word WE W10 Calki tryg i niewym
Microsoft Word WE L10 Calki tryg, niewym
Microsoft Word WE L9 Calki przez czesci i podstawienie, wymierne
Microsoft Word WE harmonogram egz
Microsoft Word WE W9 Calka przez czesci, podst i wymierna
Microsoft Word WE wyniki E2 2009
Microsoft Word WE W11 Calka oznaczona
Microsoft Word WE L11 Calka oznaczona i zastosowanie
Microsoft Word W12 szeregi liczbowe
Microsoft Word W14 Szeregi Fouriera
Microsoft Word W14 Szeregi Fouriera
New Microsoft Word Document (2)
Nowy Dokument programu Microsoft Word (5)
Nowy Dokument programu Microsoft Word
więcej podobnych podstron