1
WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY
ELEKTROTECHNIKA
Studia Niestacjonarne
Semestr II
LISTA ZADAŃ Nr 12
SZEREGI LICZBOWE
Zad.1. Zbadać zbieżność szeregów na podstawie definicji:
a)
∑
∞
=
+
−
1
)
1
4
)(
3
4
(
1
n
n
n
b)
∑
∞
=
+
+
1
)
2
)(
1
(
1
n
n
n
n
c)
∑
∞
=
+
+
+
1
2
)
1
(
1
n
n
n
n
n
d)
(
)
∑
∞
=
+
−
1
2
1
1
1
ln
n
n
e)
(
)
∑
∞
=
+
+
−
+
1
1
2
2
n
n
n
n
f)
∑
∞
=
1
n
a
, gdzie
R
∈
a
g)
∑
∞
=
⋅
⋅
−
⋅
1
8
7
3
4
5
2
n
n
n
n
h)
∑
∞
=
+
1
1
1
ln
n
n
Zad.2. Dla jakich wartości x poniższe szeregi są zbieżne, a ponadto ich sumy S są równe odpowiednio:
a)
(
)
3
,
1
1
=
+
∑
∞
=
S
x
n
n
b)
(
)
5
,
2
1
=
−
∑
∞
=
S
x
n
n
c)
(
)
5
1
,
1
3
1
2
−
=
+
−
∑
∞
=
S
x
x
n
n
Zad.3. Sprawdzić, czy dla podanych szeregów spełniony jest warunek konieczny zbieżności. Co można
powiedzieć na temat zbieżności (rozbieżności) tych szeregów?
a)
∑
∞
=
+
+
+
+
+
1
2
4
3
)
2
(
...
6
4
2
n
n
n
b)
(
)
∑
∞
=
+
−
+
1
1
10
n
n
n
c)
∑
∞
=
1
1000
1
n
n
n
d)
∑
∞
=
1
arctg
n
n
n
e)
∑
∞
=
+
+
+
+
+
+
1
5
8
9
)
1
2
(
...
7
5
3
n
n
n
f)
∑
∞
=
+
1
)
3
(
6
4
n
n
n
n
g)
∑
∞
=
+
+
1
3
3
2
7
9
1
n
n
n
h)
∑
∞
=
−
1
2
2
2
7
n
n
n
n
i)
∑
∞
=
+
1
5
3
2
1
n
n
n
n
k)
(
)
∑
∞
=
+
π
1
1
2
2
1
sin
n
n
n
n
l)
+
+
+
+
+
+
∑
∞
=
4
2
arcctg
)
2
(
)
3
(
1
4
4
1
2
4
6
n
n
n
n
n
n
n
n
Zad.4. Stosując kryterium porównawcze zbadać zbieżność szeregów:
a)
∑
∞
=
+
+
1
1
2
)
1
(
1
n
n
n
b)
∑
∞
=
1
1
tg
n
n
c)
∑
∞
=
1
2
ln
n
n
n
n
d)
n
n
n
1
sin
1
1
∑
∞
=
e)*
∑
∞
=
+
−
1
1
ln
1
n
n
n
n
f)
∑
∞
=
+
1
3
2
2
sin
n
n
n
π
g)
∑
∞
=
−
+
1
1
n
n
n
n
h)
∑
∞
=
+
+
1
2
3
2
1
1
n
n
n
i)
∑
∞
=
+
1
3
3
1
ln
n
n
n
j)
∑
∞
=
+
1
2
)
1
(
cos
n
n
n
n
k)
∑
∞
=
1
1
n
n
n
e
l)
∑
∞
=
1
1
tg
sin
n
n
m)
∑
∞
=
+
−
1
2
6
2
1
n
n
n
n)*
∑
∞
=
1
2
1
arctg
n
n
o)
∑
∞
=
1
4
5
ln
n
n
n
p)
∑
∞
=
+
1
2
5
3
n
n
r)
∑
∞
=
+
+
1
2
1
1
n
n
n
s)
∑
∞
=
−
+
2
3
1
n
n
n
n
t)
(
)
∑
∞
=
−
−
1
1
n
n
n
u)
∑
∞
=
+
1
)
3
ln(
1
n
n
Zad.5. Korzystając z kryterium porównawczego ilorazowego, zbadać zbieżność szeregów:
a)
∑
∞
=
π
1
2
sin
n
n
b)
∑
∞
=
1
2
1
tg
n
n
c)
∑
∞
=
+
+
1
3
1
1
n
n
n
d)
∑
∞
=
+
+
1
2
2
1
n
n
n
n
Zad.6. Korzystając z kryterium d’Alemberta zbadać zbieżność następujących szeregów:
a)
( )
( )
∑
∞
=
1
2
!
!
2
n
n
e
n
n
b)
∑
∞
=
+
⋅
+
1
1
3
1
4
n
n
n
n
c)*
( )
∑
∞
=
⋅
−
+
1
!
2
3
)!
1
(
)!
2
(
n
n
n
n
n
d)*
∑
∞
=
π
1
2
tg
n
n
n
2
e)
( )
∑
∞
=
−
1
!
ln
2
n
n
f)
e
a
a
n
n
a
n
n
n
≠
>
∑
∞
=
,
0
!
1
g)
∑
∞
=
⋅
1
!
2
n
n
n
n
h)
∑
∞
=
π
⋅
1
2
2
)
!
(
n
n
n
n
n
i)
∑
∞
=
+
⋅
⋅
1
1
2
3
2
5
n
n
n
n
n
j)
∑
∞
=
⋅
1
2
3
)
!
2
(
n
n
n
n
n
k)
(
)
∑
∞
=
+
+
+
⋅
1
2
1
1
2
5
2
3
n
n
n
n
n
l)
(
)
∑
∞
=
+
⋅
⋅
+
1
1
7
2
5
5
n
n
n
n
n
m)
( )
[
]
∑
∞
=
⋅
1
2
!
2
)!
3
(
!
n
n
n
n
n)
∑
∞
=
+
⋅
1
1
2
4
!
n
n
n
n
o)*
∑
∞
=
+
1
2
2
!
n
n
n
n
p)
∑
∞
=
+
⋅
1
1
2
!
n
n
n
n
n
Zad.7. Korzystając z kryterium Cauchy’ego rozstrzygnąć, które z podanych szeregów są zbieżne:
a)
∑
∞
=
⋅
1
3
2
3
2
n
n
n
n
b)
(
)
(
)
∑
∞
=
+
1
2
1
arctg
n
n
n
c)
∑
∞
=
+
1
5
3
2
n
n
n
n
d)
∑
∞
=
⋅
1
15
17
27
n
n
n
n
e)
∑
∞
=
+
⋅
+
1
3
3
5
)
1
(
n
n
n
n
f)
∑
∞
=
⋅
+
1
2
1
2
n
n
n
n
n
g)
∑
∞
=
−
1
2
1
n
n
en
n
h)
(
)
∑
∞
=
2
ln
1
n
n
n
i)
∑
∞
=
1
1
arcsin
n
n
n
j)
(
)
∑
∞
=
−
1
1
n
n
n
n
k)
∑
∞
=
+
+
1
6
5
3
n
n
n
n
l)
∑
∞
=
−
1
2
1
1
n
n
n
m)
∑
∞
=
+
1
4
1
tg
arcctg
n
n
n
n
π
n)
∑
∞
=
+
1
2
1
2
n
n
n
n
o)
∑
∞
=
+
⋅
1
2
2
)
1
(
3
n
n
n
n
n
n
p)
(
)
[
]
( )
∑
∞
=
⋅
+
1
14
!
!
1
n
n
n
n
n
n
Zad.8. Na podstawie kryterium całkowego zbadać zbieżność szeregów:
a)
∑
∞
=
+
1
3
2
5
n
n
n
b)
(
)
∑
∞
=
+
2
2
1
2
1
n
n
c)
∑
∞
=
2
ln
1
n
n
n
d)
∑
∞
=
+
3
2
9
n
n
n
e)
∑
∞
=
2
2
ln
1
n
n
n
f)
∑
∞
=
1
2
ln
n
n
n
g)
1
1
ln
1
2
−
+
∑
∞
=
n
n
n
n
h)
∑
∞
=
1
1
n
n
α
Zad.9. Zbadać zbieżność następujących szeregów o wyrazach dowolnych, w przypadku zbieżności
rozstrzygnąć, czy jest to zbieżność bezwzględna, czy tylko warunkowa:
a)
( )
(
)
∑
∞
=
+
⋅
+
−
1
1
5
2
1
1
n
n
n
n
b)
( )
∑
∞
=
+
−
1
1
1
sin
1
n
n
n
c)
( )
∑
∞
=
−
+
−
1
2
5
1
1
n
n
n
n
d)
( )
∑
∞
=
+
−
1
100
1
n
n
n
n
e)
(
)
∑
∞
=
+
π
1
5
1
2
2
sin
n
n
n
f)
( )
∑
∞
=
+
+
−
1
1
3
100
2
1
n
n
n
n
n
g)*
(
)
( )
∑
∞
=
−
−
1
1
2
2
1
sin
!
7
n
n
n
n
n
n
h)
( )
∑
∞
=
−
1
ln
1
n
n
n
n
i)
( )
∑
∞
=
−
−
1
1
1
tg
1
n
n
n
n
j)
( )
(
)
∑
∞
=
+
+
−
1
1
1
log
1
n
n
n
k)
(
)
(
)
∑
∞
=
+
π
1
3
2
3
1
cos
n
n
n
n
l)
( )
(
)
∑
∞
=
+
+
−
1
1
1
1
n
n
n
n
m)
∑
∞
=
1
cos
n
n
n
π
n)
( )
(
)
∑
∞
=
+
+
−
1
2
1
cos
1
n
n
n
n
n
o)
( )
∑
∞
=
+
−
1
1
1
ln
100
1
n
n
n
n
p)
∑
∞
=
1
5
cos
n
n
n
Zad.10. Zbadać zbieżność następujących szeregów (korzystając z różnych kryteriów):
a)
( )
∑
∞
=
⋅
1
2
2
!
6
n
n
n
n
n
b)
∑
∞
=
+
−
π
1
1
2
arcsin
4
n
n
n
c)
( )
∑
∞
=
+
+
+
+
−
−
1
2
2
1
1
7
1
5
1
n
n
n
n
n
n
n
d)
(
)
[
]
( )
∑
∞
=
⋅
+
1
10
!
!
1
n
n
n
n
n
n
e)
(
)
∑
∞
=
1
2
arctg
n
n
n
n
f)
∑
∞
=
1
3
ln
n
n
n
g)
∑
∞
=
+
1
5
8
)
7
(
log
n
n
n
h)
∑
∞
=
π
1
2
2
sin
n
n
n
i)
(
)
∑
∞
=
+
+
π
+
1
4
1
4
2
sin
)
2
(
n
n
n
n
n
j)
(
)
∑
∞
=
+
π
1
5
7
3
2
1
sin
n
n
n
n
k)
n
n
n
n
1
cos
1
...
3
2
1
1
3
∑
∞
=
+
+
+
+
+