Momenty bezwładności figur płaskich - definicje i wzory 

 
Dana jest figura płaska o polu A oraz prostokątny układ współrzędnych Oxy. 
 

 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 

 

 
 
Momentem bezwładności figury względem osi x jest 

dA

y

I

A

x

∫

=

2

. 

Momentem bezwładności figury względem osi y jest 

dA

x

I

A

y

∫

=

2

. 

Momentem dewiacyjnym figury względem prostokątnego układu osi x i y jest 

∫

=

A

xy

xydA

I

. 

 

Z definicji momentów bezwładności wynika, że mogą być one tylko dodatnie. 

Natomiast moment dewiacyjny może być dodatni, ujemny lub równy zero. 
 

W przypadku równoległego przesunięcia osi układu korzystamy z twierdzenia 

Steinera, wyrażonego poniższymi wzorami: 
 

 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 

 

y 

y 

x

x

O 

A

dA

a

b

x

c 

y

c 

y

x

A

C(b, a)

O

 
 

2

a

A

I

I

c

x

x

⋅

+

=

 

2

b

A

I

I

c

y

y

⋅

+

=

 

b

a

A

I

I

c

c

y

x

xy

⋅

⋅

+

=

 

gdzie osie 

x

c

 i 

y

c

  są osiami centralnymi, natomiast 

b i a  są współrzędnymi punktu C w 

układzie 

Oxy. Z rysunku wynika, że są to odległości między osiami. 

 

Osiowe momenty bezwładności oraz dewiacyjny moment figury względem osi 

centralnych można wyznaczyć korzystając z przekształconych wzorów Steinera:  

2

a

A

I

I

x

x

c

⋅

−

=

 

2

b

A

I

I

y

y

c

⋅

−

=

 

b

a

A

I

I

xy

y

x

c

c

⋅

⋅

−

=

. 

 Przyjmijmy 

prostokątny układ współrzędnych 

Oξη obrócony o kąt φ względem układu 

Oxy. Współrzędne dowolnego punktu figury płaskiej spełniają zależności: 

ξ = x cos φ + y sin φ 

η = y cos φ − x sin φ. 

 

 

ξ

x

O 

y

η 

φ

A

φ 

y

η 

ξ

x

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Wykorzystując te zależności wyznaczamy momenty bezwładności i moment 
dewiacyjny w obróconym układzie

 Oξη: 

ϕ

ϕ

−

ϕ

+

ϕ

=

=

∫

cos

sin

I

sin

I

cos

I

dA

η

I

xy

y

x

A

ξ

2

2

2

2

 

ϕ

ϕ

+

ϕ

+

ϕ

=

=

∫

cos

sin

I

sin

I

cos

I

dA

ξ

I

xy

x

y

A

η

2

2

2

2

 

(

)

(

)

ϕ

−

ϕ

+

ϕ

ϕ

−

=

=

∫

2

2

sin

cos

I

cos

sin

I

I

ξηdA

I

xy

y

x

A

ξη

 

lub 

(

) (

)

ϕ

−

ϕ

−

+

+

=

2

2

2

2

sin

I

cos

I

I

I

I

I

xy

y

x

y

x

ξ

 

(

) (

)

ϕ

+

ϕ

−

−

+

=

2

2

2

2

sin

I

cos

I

I

I

I

I

xy

y

x

y

x

η

 

(

)

ϕ

+

ϕ

−

=

2

2

2

cos

I

sin

I

I

I

xy

y

x

ξη

. 

Osie układu prostokątnego, w którym moment dewiacyjny 

I

ξη

 = 0 nazywamy 

głównymi osiami bezwładności. Kąt  φ

o

 między osiami prostokątnego układu 

Oxy  i układu 

głównych osi bezwładności spełnia równanie: 

y

x

xy

I

I

I

tg

−

−

=

ϕ

2

2

o

 

Momenty bezwładności względem głównych osi bezwładności osiągają wartości 

ekstremalne: 

2

2

1

2

2

xy

y

x

y

x

max

I

I

I

I

I

I

I

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

+

=

=

 

2

2

2

2

2

xy

y

x

y

x

min

I

I

I

I

I

I

I

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

+

=

=

. 

 

Z powyższych wzorów wynika, że 

2

1

I

I

I

I

I

I

η

ξ

y

x

+

=

+

=

+

 

 

Główna oś bezwładności, względem której moment bezwładności ma wartość 

 tworzy z osią  x    kąt 

, natomiast główna oś bezwładności, względem której 

max

I

I

=

1

1

ϕ

 

2

moment bezwładności ma wartość 

min

I

I

=

2

 tworzy z osią  x    kąt 

2

ϕ

. Kierunki główne 

minimalnego i maksymalnego momentów bezwładności wyznaczamy następująco: 

1.  I

x

 > I

y 

 to 

, natomiast 

o

1

ϕ

=

ϕ

2

o

2

π

+

ϕ

=

ϕ

  

2.  I

x

 < I

y 

 to 

2

o

1

π

+

ϕ

=

ϕ

, natomiast 

o

2

ϕ

=

ϕ

 

3.  I

x

 = I

y 

, I

xy

 > 0 to 

4

1

π

−

=

ϕ

, natomiast 

4

2

π

=

ϕ

 

4.  I

x

 = I

y 

, I

xy

 < 0 to 

4

1

π

=

ϕ

, natomiast 

4

2

π

−

=

ϕ

. 

Znak dodatni bądź ujemny kąta φ ilustruje poniższy rysunek. 

 

y

y

x

O 

φ > 0 

O

φ < 0 

x

 

O głównych centralnych osiach bezwładności mówimy wówczas, gdy układ osi 

głównych ma początek w środku ciężkości rozpatrywanej figury płaskiej. Momenty 
bezwładności względem tych osi nazywamy głównymi centralnymi momentami 
bezwładności. 

Jeżeli jedna z osi układu współrzędnych jest osią symetrii figury płaskiej, to moment 

dewiacyjny figury w takim układzie współrzędnych jest równy zero. 

W przypadku wyznaczania momentów bezwładności i momentu dewiacyjnego figury 

złożonej będziemy stosować metodę superpozycji, traktując rozpatrywaną figurę jako sumę 
figur elementarnych, takich jak np. prostokąt, trójkąt i fragment koła. Korzystać będziemy z 
wartości momentów bezwładności i momentu dewiacyjnego dla wymienionych figur. 
1. Prostokąt 

 

 

y

O

b

y

c 

C

2

b

2

h

h

y 

b 

dA

=dxdy

y 

O 

x

dx 

dy 

h 

x

c 

x

x

3

0 0

2

2

3

1

bh

dxdy

y

dA

y

I

b h

A

x

∫∫

∫

=

=

=

 

 

3

3

0 0

2

2

3

1

hb

dxdy

x

dA

x

I

b h

A

y

=

=

=

∫∫

∫

 

2

2

0 0

4

1

h

b

xydxdy

xydA

I

b h

A

xy

∫∫

∫

=

=

=

 

3

2

3

2

12

1

2

3

1

2

bh

h

bh

bh

h

A

I

I

x

x

c

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

−

=

 

3

2

3

2

12

1

2

3

1

2

hb

b

bh

hb

b

A

I

I

y

y

c

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

−

=

 

0

2

2

4

1

2

2

2

2

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

−

=

h

b

bh

h

b

h

b

A

I

I

xy

y

x

c

c

 

2. Trójkąt 

 

 

b

y

O

C

y

c 

3

h

3

b

h

b

dA=dxdy 

y 

x

O 

x 

dx 

y 

dy 

y=−

h

x

b

h

+

⋅

h 

x

c 

x

3

0

0

2

2

12

1

bh

dx

dy

y

dA

y

I

b

b

x

1

h

A

x

∫ ∫

∫

=

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

 

3

0

0

2

2

12

1

hb

dx

dy

x

dA

x

I

b

b

x

1

h

A

y

∫ ∫

∫

=

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

 

2

2

0

0

24

1

b

h

dx

dy

xy

dA

xy

I

b

b

x

1

h

A

xy

∫ ∫

∫

=

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

 

3

2

3

2

36

1

3

2

1

12

1

3

bh

h

bh

bh

h

A

I

I

x

x

c

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

−

=

 

3

2

3

2

36

1

3

2

1

12

1

3

hb

b

bh

hb

b

A

I

I

y

y

c

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

−

=

 

2

2

2

2

72

1

3

3

2

1

24

1

3

3

h

b

h

b

bh

h

b

h

b

A

I

I

xy

y

x

c

c

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

−

=

 

 

4

3.  Ćwiartka koła 

 

y

O

C

y

c 

r

π

r

3

4

π

r

3

4

r 

dA=ρdφdρ 

x 

O 

 ρ 

y=ρsinφ

x=ρcosφ 

 dρ 

φ 

dφ 

y 

x

c 

x 

4

0 0

2

2

2

16

1

r

d

d

sin

dA

y

I

2 r

A

x

π

=

ρ

ϕ

ϕρ

ρ

=

=

∫∫

∫

π

 

4

0 0

2

2

2

16

1

os

r

d

d

c

dA

x

I

2 r

A

y

π

=

ρ

ϕ

ϕρ

ρ

=

=

∫∫

∫

π

 

4

0 0

2

8

1

os

r

d

d

c

sin

dA

xy

I

2 r

A

xy

∫∫

∫

π

=

ρ

ϕ

ϕρ

ϕ

ρ

=

=

 

4

2

2

4

2

05488

0

3

4

4

1

16

1

3

4

r

.

r

r

r

r

A

I

I

x

x

c

≅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

π

⋅

π

−

π

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

π

⋅

−

=

 

4

2

2

4

2

05488

0

3

4

4

1

16

1

3

4

r

.

r

r

r

r

A

I

I

y

y

c

≅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

π

⋅

π

−

π

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

π

⋅

−

=

 

4

2

2

4

2

01647

0

3

4

4

1

8

1

3

4

r

.

r

r

r

r

A

I

I

xy

y

x

c

c

−

≅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

π

⋅

π

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

π

⋅

−

=

 

4. Półkole 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

O

C

r

r 

π

r

3

4

y

c

=y

x

c

x

4

4

8

1

16

1

2

πr

πr

I

I

y

x

=

⋅

⋅

=

=

 

 

5

4

2

2

4

10976

0

3

4

4

1

16

1

2

r

.

r

r

r

I

c

x

≅

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

π

⋅

π

−

π

⋅

=

 

0

=

=

xy

y

x

I

I

c

c

 

5. Kwadrat 

 

 

y

c 

C

y

c 

C

a

x

c 

x

c 

a 

4

12

1

a

I

I

c

c

y

x

=

=

    

0

=

c

c

y

x

I

 

W przypadku kwadratu momenty bezwładności i moment dewiacyjny w dowolnym 

układzie osi centralnych przyjmują podane powyżej wartości. 
 
Przykład I 

Wyznaczyć momenty bezwładności i moment dewiacyjny dla poniższego trójkąta 

równoramiennego w układzie Oxy. 

 

C 

x

y 

y

c 

x

c

C 

O 

O 

C

1

C

2

y

c

a 

a 

a 

x

y 

O

a

x~

c

3

−

=

a

y~

c

2

=

C 

a 

3a

y 

x

c

x 

 

6

 Wprowadzamy 

układ osi centralnych dla trójkąta. Oś  x

c

 jest osią symetrii figury. 

Następnie dzielimy trójkąt równoramienny na dwa trójkąty prostokątne.  

Moment bezwładności trójkąta równoramiennego względem osi x

c

 jest sumą 

momentów bezwładności względem tej osi dwu jednakowych trójkątów prostokątnych, 
stykających się podstawą z osią x

c

. 

4

3

2

1

3

12

1

2

a

a

a

I

c

x

=

⋅

⋅

⋅

=

 

Moment bezwładności trójkąta równoramiennego względem osi y

c

 jest sumą 

momentów bezwładności względem tej osi dwu jednakowych trójkątów prostokątnych. Na 
osi y

c

 leżą środki ciężkości obu trójkątów, a więc 

( )

4

3

2

3

3

36

1

2

a

a

a

I

c

y

⋅

=

⋅

⋅

=

 

Moment dewiacyjny trójkąta równoramiennego względem układu osi x

c

y

c

 jest równy 

zero, gdyż oś x

c

 jest osią symetrii rozpatrywanej figury. 

0

=

c

c

y

x

I

 

Aby wyznaczyć momenty bezwładności i moment dewiacyjny dla trójkąta 

równoramiennego w układzie Oxy należy skorzystać z twierdzenia Steinera. Pole powierzchni 
trójkąta wynosi 

2

3

2

3

2

1

a

a

a

A

=

⋅

⋅

=

. 

( )

4

2

2

4

2

5

12

2

3

2

1

a

.

a

a

a

y~

A

I

I

c

x

x

=

⋅

+

=

⋅

+

=

 

(

)

4

2

2

4

2

5

28

3

3

2

3

a

.

a

a

a

x~

A

I

I

c

y

y

c

=

−

⋅

+

=

⋅

+

=

 

(

)

4

2

18

2

3

3

0

a

a

a

a

y~

x~

A

I

I

c

c

y

x

xy

c

c

−

=

⋅

−

⋅

+

=

⋅

⋅

+

=

 

 

Przykład II 

Wyznaczyć momenty bezwładności i moment dewiacyjny dla poniższego trójkąta w 

układzie współrzędnych Oxy. 

 

c

y

A 

B

3a 

6a 

8a

5a

2a

3a 

C

D

a

3

10

4a

x 

6a 

2a

6a

3a

O 

y 

x 

8a 

5a 

6a 

2a 

4a 

2a 

y

O

 

Rozpatrywaną figurę otrzymamy odejmując figurę II od figury I.  

 

 

7

 

4a

O 

2a 

2a

6a

8a 

C

1 

x 

y 

1

c

y

1

c

x

figura I 

4a 

6a 

a

3

10

2a

5a

3a 

3a

y 

2a

6a  x 

2

c

y

2

c

x

figura II 

4a

C

2

a

3

10

O

 

2

I

12

6

4

2

1

a

a

a

A

=

⋅

⋅

=

,           

a

x~

c

3

10

1

=

,          

a

y~

c

4

1

=

, 

2

II

6

3

4

2

1

a

a

a

A

=

⋅

⋅

=

,            

a

x~

c

3

10

2

=

,          

a

y~

c

3

2

=

. 

2

2

2

II

I

6

6

12

a

a

a

A

A

A

=

−

=

−

=

 

Moment bezwładności względem osi x  wyznaczymy jako różnicę momentu 

bezwładności względem osi x figury I i figury II. 

 

(

)

( )

( )

( )

( )

4

2

2

2

2

2

3

2

2

II

II

2

1

I

I

II

I

159

3

6

3

4

36

1

4

12

6

4

36

1

2

1

a

a

a

a

a

a

a

a

a

y~

A

I

y~

A

I

I

I

I

c

x

c

x

x

x

x

c

c

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⋅

+

⋅

⋅

−

⋅

+

⋅

⋅

=

=

⋅

+

−

⋅

+

=

−

=

 

W przypadku wyznaczania momentu bezwładności względem osi y nie musimy 

dzielić figury. Bok BD trójkąta jest równoległy do osi y i do osi 

. Moment bezwładności 

względem osi 

 obliczymy korzystając ze wzoru 

c

y

c

y

( )

4

3

3

3

16

4

3

36

1

36

1

a

a

a

h

b

I

c

y

=

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

 

Moment bezwładności względem osi y wyznaczymy z wykorzystaniem wzoru Steinera 

4

2

2

4

2

a

72

3

10

6

3

16

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

+

=

⋅

+

=

a

a

a

x~

A

I

I

c

y

y

c

 

 

W celu obliczenia momentu dewiacyjnego traktujemy rozpatrywany trójkąt jako 

różnicę figury I i figury II. 

(

)

( ) ( )

( ) ( )

4

2

2

2

2

2

2

2

2

II

II

1

1

I

II

I

94

3

3

10

6

3

4

72

1

4

3

10

12

6

4

72

1

2

1

1

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

y~

x~

A

I

y~

x~

A

I

I

I

I

c

c

y

x

c

c

y

x

xy

xy

xy

c2

c

c

c

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⋅

+

⋅

−

−

⋅

⋅

+

⋅

⋅

−

=

=

⋅

⋅

+

−

⋅

⋅

+

=

−

=

 

 

Przykład III 

Wyznaczyć momenty bezwładności i moment dewiacyjny dla poniższej figury w 

układzie współrzędnych Oxy. 

 

8

 

 

 

O 

x

5a 

a 

4a

 y 

 

a

7a 8a

 
 
 
 
 
 

 

 
 
 
 
 
 

Przed wyznaczeniem momentu bezwładności rozpatrywanej figury względem osi x 

dokonamy jej podziału na dwa prostokąty, tak żeby każdy prostokąt jednym bokiem stykał się 
z osią x. 

a

7a

4a 

a 

5a 

8a

x 

 y 

 y

x 

5a 

a

4a

a 

7a  8a 

 

 

( )

4

3

3

172

4

3

1

8

3

1

a

a

a

a

a

I

x

=

⋅

⋅

+

⋅

⋅

=

 

W celu obliczenia momentu bezwładności figury względem osi y  dokonamy jej 

podziału na dwa prostokąty, z których każdy jednym bokiem styka się z osią y. 

( )

4

3

3

44

5

3

1

7

3

1

a

a

a

a

a

I

y

=

⋅

⋅

+

⋅

⋅

=

 

Dla wyznaczenia momentu dewiacyjnego zastosujemy jeszcze  inny podział. 

 

a 

7a 

x

 y

x 

 y

 y 

5a

4a 

a 

x 

 y 

8a

x

 

9

Do obliczeń przyjmujemy figury składowe, zgodne z powyższym rysunkiem. Dwa 

prostokąty o wymiarach 8a x a i a x 5a mają część wspólną w postaci kwadratu o boku a, dla 
którego moment dewiacyjny będzie uwzględniony dwukrotnie. Należy więc w obliczeniach 
moment dewiacyjny dla tego kwadratu, traktowanego jako trzecia figura, przyjąć ze znakiem 
minus. 

( )

( )

4

2

2

2

2

2

2

22

4

1

5

4

1

8

4

1

a

a

a

a

a

a

a

I

xy

=

⋅

⋅

−

⋅

⋅

+

⋅

⋅

=

. 

 
 
 
 
 
 
 

 

10

Przykład 2.1. Figura ze środkiem symetrii 

 
Polecenie: Wyznaczyć główne centralne momenty bezwładności oraz kierunki główne dla 
poniższej figury korzystając z metody analitycznej i graficznej (konstrukcja koła Mohra). 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

3r

3r

3r

3r

3r

3r

3r

3r

 

 

Rozpatrywana figura ma środek symetrii w punkcie przecięcia przekątnych prostokąta, 

w który jest wpisana. Środek ciężkości figury leży w jej środku symetrii. Przez środek 
symetrii prowadzimy osie centralne x i  y . Następnie dzielimy figurę na prostokąt i dwa 
półkola, które traktujemy jako pola ''ujemne''. 

c

c

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

C 

 y

c

 

3r 

3r 

C

3 

y

3

c

 

y

2

c

 

C

2 

x

3

c

 

6r

C=C

1

 y

c

3r 

3r 

C 

 y  

c

3r

3r

3r

3r

6r

6r

3r 

3r 

3r 

3r 

x

2

c

x

c

x

c

x

c

 

 

W związku z tym, że własne osie centralne figury II i III (górnego i dolnego półkola) 

nie pokrywają się z osiami centralnymi całej figury, będziemy korzystać z twierdzenia 
Steinera. Wyznaczmy zatem pola powierzchni i współrzędne środków ciężkości dla tych figur 
w układzie x y . 

c

c

( )

2

2

II

2

9

3

2

1

πr

r

π

A

=

⋅

⋅

=

,          

π

r

r

π

r

r

x~

c

4

3

3

3

4

3

2

−

=

⋅

−

=

,                  

r

y~

3

2

c

=

 

( )

2

2

III

2

9

3

2

1

πr

r

π

A

=

⋅

⋅

=

,         

π

r

r

π

r

r

x~

c

4

3

3

3

4

3

3

+

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

−

−

=

,          

r

y~

c

3

3

−

=

 

( )

( )

( )

4

2

2

4

3

91

545

3

2

9

3

8

1

2

12

6

12

1

r

.

r

πr

r

π

r

r

I

c

x

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⋅

+

⋅

⋅

⋅

−

⋅

⋅

=

 

( )

( )

4

2

2

2

2

4

3

91

113

3

3

4

3

2

9

3

3

4

2

9

3

8

1

2

6

12

12

1

r

.

π

r

r

πr

π

r

πr

r

π

r

r

I

c

y

=

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

−

⋅

+

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ ⋅

⋅

−

⋅

⋅

⋅

−

⋅

⋅

=

 

 
 

4

2

47

146

3

3

4

3

3

2

9

0

2

0

r

.

π

r

r

r

πr

I

c

c

y

x

−

=

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

−

⋅

⋅

+

⋅

−

=

 

Wyznaczamy teraz kierunki główne. 

(

)

6781

0

91

113

91

545

47

146

2

2

2

4

4

4

o

.

r

.

r

.

r

.

I

I

I

tg

C

C

C

C

y

x

y

x

=

−

−

⋅

−

=

−

−

=

ϕ

 

rad

5959

0

2

o

.

=

ϕ

,          

rad

2979

0

o

.

=

ϕ

. 

Ponieważ 

> 

to 

c

x

I

c

y

I

o

1

ϕ

=

ϕ

=

 

0.2979 rad, natomiast 

2

o

2

π

+

ϕ

=

ϕ

 = 

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

π

+

2

2979

0

.

rad = 

=1.8687rad 
Główne centralne momenty bezwładności przyjmują następujące wartości: 

(

)

4

2

4

2

4

4

4

4

2

2

1

89

590

47

146

2

91

113

91

545

2

91

113

91

545

2

2

r

.

r

.

r

.

r

.

r

.

r

.

I

I

I

I

I

I

I

c

c

c

c

c

c

y

x

y

x

y

x

max

=

−

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

+

=

=

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

+

=

=

 

(

)

4

2

4

2

4

4

4

4

2

2

93

68

47

146

2

91

113

91

545

2

91

113

91

545

2

2

r

.

r

.

r

.

r

.

r

.

r

.

I

I

I

I

I

I

I

c

c

c

c

c

c

y

x

y

x

y

x

min

2

=

−

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

+

=

=

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

+

=

=

 

Na poniższym rysunku przedstawione są kierunki główne. 
 

 

kierunek 

I

max

kierunek 

I

min

x

c

C

 y

c

2

o

2

π

+

ϕ

=

ϕ

rad

2979

0

o

1

.

=

ϕ

=

ϕ

 
 
 
 
 

3

r 

3r 

3r 

3r 

 
 
 
 
 
 
 
 

3

r 

3

r

 
 
 
 

Główne centralne momenty bezwładności oraz kierunki główne można wyznaczyć 

metodą graficzną, stosując konstrukcję koła Mohra. Korzystamy z wyznaczonych wartości 
momentów bezwładności w układzie x y  

c

c

4

91

545

r

.

I

c

x

=

, 

, 

4

91

113

r

.

I

c

y

=

oraz wartości momentu dewiacyjnego 

 

 

2

4

47

146

r

.

I

c

c

y

x

−

=

. 

 

Przyjęta skala: 100

 r

4

Momenty dewiacyjne 

Momenty bezwładności 

O 

o

ϕ

C 

B 

A

D

F

R

kierunek minimalnego 
momentu bezwładności 

kierunek maksymalnego 
momentu bezwładności 

E 

c

y

I

(

)

2

+

c

c

y

x

I

I

1

I

2

I

c

x

I

( )

( )

(

)

(

)

( )

0

0

0

2

0

0

1

2

,

I

F

,

I

E

I

,

I

D

,

I

I

C

,

I

B

,

I

A

c

c

c

c

c

c

c

y

x

x

y

x

y

x

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

Kolejność postępowania przy rozwiązywaniu zadania metodą graficzną jest następująca: 
1. Wyznaczenie położenia punktów 

A i B 

Wartości momentów bezwładności w układzie 

x y  

, 

stanowią 

odpowiednio współrzędne punktów 

A(545.91r

c

c

4

91

545

r

.

I

c

x

=

4

91

113

r

.

I

c

y

=

4

,0) i 

B(113. 91r

4

,0).  

2. Wyznaczenie położenia punktu 

C 

Punkt 

C(329.91r

4

,0) jest środkiem odcinka 

AB  i środkiem koła Mohra. 

3. Wyznaczenie położenia punktu 

D 

Po uwzględnieniu wartości 

 oraz 

 otrzymamy współrzędne 

4

91

545

r

.

I

c

x

=

4

47

146

r

.

I

c

c

y

x

−

=

punktu 

D(545.91r

4

,−(−146.47

r

4

)), czyli 

D(545.91r

4

,146.47

r

4

).  

4.  Wyznaczenie promienia koła Mohra 
Łączymy punkty 

C i D odcinkiem 

CD

, który stanowi promień 

R koła Mohra. Promieniem 

tym zataczamy okrąg. 
5. Wyznaczenie głównych momentów bezwładności 
Koło Mohra przecina oś poziomą w dwu punktach: 

E i F. Długość odcinka 

OE

 odpowiada 

minimalnemu momentowi bezwładności 

, natomiast długość odcinka 

2

I

F

O

 odpowiada 

maksymalnemu momentowi bezwładności  . 

1

I

6.  Wyznaczenie kierunków głównych  
Oś przechodząca przez punkty 

E i D jest osią maksymalnego momentu bezwładności, a oś 

przechodząca przez punkty 

F i D jest osią minimalnego momentu bezwładności. 

 
 

 

3

Przykład 2.2. Figura złożona 

 
Polecenie: Wyznaczyć  główne centralne momenty bezwładności oraz kierunki główne dla 
poniższej figury.  

 

2r

2r

3r

3r

3r

3r 

3r

O

2r

y 

x 

2r 

2r

3r

3r

3r 

3r 

 

W celu wyznaczenia środka ciężkości oraz obliczenia wartości momentów 

bezwładności i momentu dewiacyjnego przyjmujemy  układ współrzędnych  Oxy oraz 
dzielimy rozpatrywaną figurę na cztery figury podstawowe. 

 

 

3r 

5r

O 

3r

3r

2r

3r 

x 

I II 

1

C

C

1

c

x

1

c

y

2

c

x

2

c

y

2

III

2

r

2

r

3

r

3

r

O

x 

y 

IV 

4

C

 

3

c

x

3

c

y

4

c

x

c

y

   

4

 

3

C

 

y 

8r

 

Obliczamy pola figur składowych i określamy współrzędne ich środków ciężkości. 

( )

2

2

I

2

9

3

2

1

πr

r

π

A

=

⋅

⋅

=

 ,        

π

r

π

r

x~

c

4

3

3

4

1

−

=

⋅

⋅

−

=

,        

r

y~

c

5

1

−

=

 

2

II

40

8

5

r

r

r

A

=

⋅

=

,                 

r

r

x~

c

2

5

5

2

1

2

=

⋅

=

,             

r

r

y~

c

4

8

2

1

2

−

=

⋅

−

=

 

( )

2

2

III

2

4

1

πr

r

π

A

=

⋅

⋅

=

,           

π

r

π

r

x~

c

3

8

3

2

4

3

=

⋅

⋅

=

,            

π

r

π

r

y~

c

3

8

3

2

4

3

−

=

⋅

⋅

−

=

 

2

IV

2

15

5

3

2

1

r

r

r

A

=

⋅

⋅

=

,           

r

r

r

x~

c

4

3

3

2

2

4

=

⋅

+

=

,     

r

r

y~

c

3

5

5

3

1

4

−

=

⋅

−

=

 

Całkowite pole figury wynosi: 

2

2

2

2

2

IV

III

II

I

496

43

2

15

40

2

9

r

.

r

πr

r

πr

A

A

A

A

 

A

=

−

−

+

=

−

−

+

=

 

Moment statyczny względem osi 

 y wynosi: 

3

2

2

2

2

4

IV

3

III

2

II

1

I

333

.

49

4

2

15

3

8

2

5

40

4

2

9

r

r

r

π

r

πr

r

r

π

r

r

x~

A

x~

A

x~

A

x~

A

S

c

c

c

c

y

=

⋅

−

⋅

−

⋅

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

⋅

π

=

=

⋅

−

⋅

−

⋅

+

⋅

=

 

Moment statyczny względem osi 

 x wynosi: 

(

)

(

)

3

2

2

2

2

4

IV

3

III

2

II

1

I

519

215

3

5

2

15

3

8

4

40

5

2

9

r

.

r

r

π

r

πr

r

r

r

r

y~

A

y~

A

y~

A

y~

A

S

c

c

c

c

x

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

⋅

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

⋅

−

−

⋅

+

−

⋅

π

=

=

⋅

−

⋅

−

⋅

+

⋅

=

 

Współrzędne środka ciężkości rozpatrywanej figury wynoszą odpowiednio: 

r

.

r

.

r

.

A

S

x~

y

c

1342

1

496

43

333

49

2

3

=

=

=

      oraz       

r

.

r

.

r

A

S

~

x

c

9549

4

496

43

519

.

215

y

2

3

−

=

−

=

=

. 

 

 

x 

y 

O

C

c

x

c

y

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Wyznaczymy momenty bezwładności i moment dewiacyjny w układzie Oxy. 

( )

(

)

( )

( )

( )

4

3

4

3

2

2

4

IV

III

II

I

18

1204

5

3

12

1

2

16

1

8

5

3

1

5

2

9

3

8

1

r

.

r

r

r

π

r

r

r

πr

r

π

I

I

I

I

I

x

x

x

x

x

=

⋅

⋅

−

⋅

−

⋅

⋅

+

−

⋅

+

⋅

=

=

−

−

+

=

 

( )

( )

( )

( )

( )

4

2

2

3

4

3

4

IV

III

II

I

25

238

4

2

15

3

5

36

1

2

16

1

5

8

3

1

3

8

1

r

.

r

r

r

r

r

π

r

r

r

π

I

I

I

I

I

y

y

y

y

y

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⋅

+

⋅

⋅

−

⋅

−

⋅

⋅

+

⋅

=

=

−

−

+

=

 

(

)

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

4

2

2

2

4

2

2

2

IV

III

II

I

88

254

3

5

4

2

15

3

5

72

1

2

8

1

5

8

4

1

4

5

2

9

0

r

.

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

πr

I

I

I

I

I

xy

xy

xy

xy

xy

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

⋅

⋅

+

⋅

⋅

−

−

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

−

−

⋅

⋅

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

π

−

⋅

−

⋅

+

=

=

−

−

+

=

 

Następnie wyznaczymy momenty bezwładności i moment dewiacyjny w układzie osi 
centralnych x i y  korzystając z przekształconych wzorów Steinera: 

 

c

c

(

)

4

2

2

4

2

c

31

136

9549

4

496

43

18

1204

r

.

r

.

r

.

r

.

y~

A

I

I

x

x

c

=

−

⋅

−

=

⋅

−

=

 

(

)

4

2

2

4

2

c

30

182

1342

1

496

43

25

238

r

.

r

.

r

.

r

.

x~

A

I

I

y

y

c

=

⋅

−

=

⋅

−

=

 

 

 

2

(

)

4

2

4

c

c

44

10

9549

4

1342

1

496

43

88

254

r

.

r

.

r

.

r

.

r

.

y~

x~

A

I

I

xy

y

x

c

c

−

=

−

⋅

⋅

−

−

=

⋅

⋅

−

=

. 

Momenty bezwładności względem głównych centralnych osi bezwładności osiągają 

wartości: 

(

)

4

2

4

2

4

4

4

4

2

2

1

56

184

44

10

2

30

182

31

136

2

30

182

31

136

2

2

r

.

r

.

r

.

r

.

r

.

r

.

I

I

I

I

I

I

I

c

c

c

c

c

c

y

x

y

x

y

x

max

=

−

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

+

=

=

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

+

=

=

 

(

)

4

2

4

2

4

4

4

4

2

2

2

05

134

44

10

2

30

182

31

136

2

30

182

31

136

2

2

r

.

r

.

r

.

r

.

r

.

r

.

I

I

I

I

I

I

I

c

c

c

c

c

c

y

x

y

x

y

x

min

=

−

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

+

=

=

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

+

=

=

 

Kąt φ

o

 między osiami centralnymi x y  i głównymi centralnymi osiami bezwładności 

spełnia równanie: 

c

c

(

)

4540

0

30

182

31

136

44

10

2

2

2

4

4

4

o

.

r

.

r

.

r

.

I

I

I

tg

c

c

c

c

y

x

y

x

−

=

−

−

⋅

−

=

−

⋅

−

=

ϕ

 

stąd

 

, 

.

 

rad

4262

0

2

o

.

−

=

ϕ

rad

2131

0

o

.

−

=

ϕ

Główna oś bezwładności, względem której moment bezwładności ma wartość 

 tworzy z osią 

  kąt 

, natomiast główna oś bezwładności, względem której 

moment bezwładności ma wartość 

max

I

I

=

1

c

x

1

ϕ

min

I

I

=

2

 tworzy z osią    kąt 

c

x

2

ϕ

.  

W związku z tym, że  

<

 to: 

c

x

I

c

y

I

rad

3577

1

rad

2

2131

0

2

o

1

.

π

.

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

−

=

π

+

ϕ

=

ϕ

, zaś rad

2131

0

o

2

.

−

=

ϕ

=

ϕ

. 

 

 

x 

y 

O

C

c

x

c

y

1

ϕ

2

ϕ

Kierunek minimalnego  
momentu bezwładności 

Kierunek maksymalnego 
momentu bezwładności 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

3

Przykład 2.3. Figura złożona 

 
Polecenie: Wyznaczyć główne centralne momenty bezwładności oraz kierunki główne dla  
poniższej figury.  
 

 

·

4r

3r

·

3r 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

W celu wyznaczenia środka ciężkości oraz obliczenia wartości momentów 

bezwładności i momentu dewiacyjnego przyjmujemy dwa współśrodkowe prostokątne układy 
współrzędnych Oxy i Ouv oraz dzielimy rozpatrywaną figurę na dwie figury podstawowe. 
 

  v 

I 

II

3r 

α

4r

·

·

x

O

3r 

y

u

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Z wymiarów zadania wynika, że przeciwprostokątna trójkąta (figura II) ma długość 

równą : 

( ) ( )

r

r

r

r

5

25

4

3

2

2

2

=

=

+

, a więc    

5

3

=

α

sin

,    

5

4

=

α

cos

. 

 

 

3r 

3r 

4r

·

·

C

1

C

2

v 

O 

α

II

I 

u

y

x

C

2

c

x

2

c

y

1

c

u

1

c

v

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Układ współrzędnych Ouv obrócony jest o kąt α względem układu Oxy. Współrzędne 

dowolnego punktu spełniają zależności: 

u = x cos α + y sin α 

v = y cos α − x sin α. 

Współrzędne środka ciężkości trójkąta (II figury) w układzie Oxy są równe: 

r

r

x~

c

3

8

4

3

2

2

=

⋅

=

,      

r

r

y~

c

=

⋅

=

3

3

1

2

  

zaś w układzie Ouv przyjmują wartości: 

r

r

r

u~

c

15

41

5

3

5

4

3

8

2

=

⋅

+

⋅

=

,      

r

r

r

v~

c

5

4

5

3

3

8

5

4

2

−

=

⋅

−

⋅

=

 

Obliczamy pola figur składowych i określamy współrzędne ich środków ciężkości w 

układzie Ouv. 

( )

2

2

I

4

9

3

4

1

πr

r

π

A

=

⋅

⋅

=

,      

π

r

π

r

u~

c

4

3

3

4

1

=

⋅

=

,      

π

r

π

r

v~

c

4

3

3

4

1

=

⋅

=

, 

2

II

6

3

4

2

1

r

r

r

A

=

⋅

⋅

=

,           

r

u~

c

15

41

2

=

,                

r

v~

c

5

4

2

−

=

. 

Całkowite pole figury wynosi: 

2

2

2

II

I

0686

13

6

4

9

r

.

r

πr

A

A

 

A

=

+

⋅

=

+

=

 

Moment statyczny względem osi v wynosi: 

3

2

2

2

II

1

I

4

25

15

41

6

4

4

9

r

.

r

r

π

r

r

u~

A

u~

A

S

c

c

v

=

⋅

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

π

=

⋅

+

⋅

=

 

Moment statyczny względem osi  u wynosi: 

3

2

2

2

II

1

I

2

4

5

4

6

4

4

9

r

.

r

r

π

r

r

v~

A

v~

A

S

c

c

u

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

⋅

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

π

=

⋅

+

⋅

=

 

Współrzędne  środka ciężkości rozpatrywanej figury w układzie  Ouv wynoszą 

odpowiednio: 

r

.

r

.

r

.

A

S

u~

v

c

9436

1

0686

13

4

25

2

3

=

=

=

      oraz       

r

.

r

.

r

A

S

v~

u

c

3214

0

0686

13

2

.

4

2

3

=

=

=

. 

 

 

3r 

3r 

4r

·

·

C

1

C

2

v 

α

II

I 

u

y

x

C

c

u

c

v

2

c

y

2

c

x

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Wyznaczymy momenty bezwładności i moment dewiacyjny dla obu figur składowych 

w układzie osi Ouv. Dla pierwszej figury (ćwiartka koła) mamy 

( )

4

4

I

I

904

15

3

16

1

r

.

r

π

I

I

v

u

=

⋅

⋅

=

=

 ,            

( )

4

4

I

125

10

3

8

1

r

.

r

I

uv

=

⋅

=

. 

Dla drugiej figury (trójkąt) obliczenia przeprowadzimy w układzie osi Oxy. 

 

2

( )

4

3

II

9

3

4

12

1

r

r

r

I

x

=

⋅

⋅

=

 

W celu wyznaczenia momentu bezwładności względem osi y figury II, przedstawimy 

ją jako różnicę dwu figur, zgodnie z poniższym rysunkiem. 

 

y 

x 

O 

4r 

O

4r

y 

3r 

x 

( )

( )

4

3

3

II

48

4

3

12

1

4

3

3

1

r

r

r

r

r

I

y

=

⋅

⋅

−

⋅

⋅

=

 

 

Moment dewiacyjny figury II w układzie Oxy wyznaczymy korzystając z twierdzenia 

Steinera 

( ) ( )

4

2

2

2

II

II

18

3

8

6

3

4

72

1

2

2

r

r

r

r

r

r

y~

x~

A

I

I

c

c

II

y

x

xy

c

c

=

⋅

⋅

+

⋅

⋅

=

⋅

⋅

+

=

. 

Momenty bezwładności i moment dewiacyjny figury II w obróconym układzie Ouv 

wyznaczamy z zależności: 

4

4

4

4

II

2

II

2

II

76

5

5

3

5

4

18

25

9

48

25

16

9

2

r

.

r

r

r

cos

sin

I

sin

I

cos

I

I

xy

y

II

x

u

=

⋅

⋅

−

⋅

+

⋅

=

α

α

−

α

+

α

=

 

4

4

4

4

II

2

II

2

II

II

24

51

5

3

5

4

18

25

9

9

25

16

48

2

r

.

r

r

r

cos

sin

I

sin

I

cos

I

I

xy

x

y

v

=

⋅

⋅

+

⋅

+

⋅

=

α

α

+

α

+

α

=

 

(

)

(

)

(

)

4

4

4

4

2

2

II

II

II

II

68

13

25

9

25

16

18

5

4

5

3

48

9

r

.

r

r

r

sin

cos

I

cos

sin

I

I

I

xy

y

x

uv

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⋅

+

⋅

⋅

−

=

=

α

−

α

+

α

α

−

=

 

Momenty bezwładności i moment dewiacyjny rozważanej figury, będącej sumą figury 

I i II, w obróconym układzie Ouv obliczymy jako sumy momentów dla figur składowych. 

4

4

4

II

I

664

21

76

5

904

15

r

.

r

.

r

.

I

I

I

u

u

u

=

+

=

+

=

 

4

4

4

II

I

144

67

24

51

904

15

r

.

r

.

r

.

I

I

I

v

v

v

=

+

=

+

=

 

4

4

4

II

I

555

3

68

13

125

10

r

.

r

.

r

.

I

I

I

uv

uv

uv

−

=

−

=

+

=

. 

Momenty bezwładności i moment dewiacyjny trójkąta w obróconym układzie Ouv 

możemy obliczyć bez konieczności transformowania ich przez obrót układu. Trójkąt można 
podzielić na dwa trójkąty prostokątne, których boki przyprostokątne są równoległe do osi 
układu Ouv zgodnie z poniższym rysunkiem. 

5

3

=

α

sin

,    

5

4

=

α

cos

 

r

r

α

sin

r

h

5

12

5

3

4

4

=

⋅

=

⋅

=

 

r

r

α

cos

r

b

5

16

5

4

4

4

2

=

⋅

=

⋅

=

 

 

3

r

r

α

sin

r

b

5

9

5

3

3

3

3

=

⋅

=

⋅

=

 

 

 

 

3r 

h

4r

· ·

C

3

C

2

v

α

III

u

y 

x

2

c

u

2

c

v

3

c

u

3

c

v

2

b

3

b

II

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Pola powierzchni figury II i III oraz współrzędne ich środków ciężkości w obróconym 

układzie Ouv wynoszą 

2

2

II

25

96

5

12

5

16

2

1

2

1

r

r

r

h

b

A

=

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

,          

2

3

III

25

54

5

12

5

9

2

1

2

1

r

r

r

h

b

A

=

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

 

r

r

b

u~

c

15

32

5

16

3

2

3

2

2

2

=

⋅

=

⋅

=

                          

r

r

r

b

b

u~

c

5

19

5

9

3

1

5

16

3

1

3

2

3

=

⋅

+

=

⋅

+

=

 

r

r

h

v~

v~

c

c

5

4

5

12

3

1

3

1

3

2

−

=

⋅

−

=

⋅

−

=

=

 

Momenty bezwładności i moment dewiacyjny trójkąta, będącego sumą trójkątów II i 

III, w obróconym układzie Ouv obliczymy jako sumy momentów dla figur składowych. 

(

)

4

4

3

3

3

2

III

II

76

5

25

144

5

12

5

12

1

12

1

r

.

r

r

r

h

b

b

I

I

u

u

=

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

⋅

⋅

=

⋅

+

⋅

=

+

 

4

2

2

3

2

2

3

2

3

III

III

3

2

2

II

II

2

III

II

r

24

51

5

19

25

54

5

9

5

12

36

1

15

32

25

96

5

16

5

12

36

1

.

r

r

r

r

r

r

r

r

u~

A

I

u~

A

I

I

I

c

c

v

c

c

v

v

v

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

⋅

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

⋅

=

=

⋅

+

+

⋅

+

=

+

 

4

2

2

2

2

2

2

3

3

III

III

2

2

II

II

III

II

68

13

5

4

5

19

25

54

5

12

5

9

72

1

5

4

15

32

25

96

5

12

5

16

72

1

3

3

2

2

r

.

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

v~

u~

A

I

v~

u~

A

I

I

I

c

c

v

u

c

c

v

u

uv

uv

c

c

c

c

−

=

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

⋅

⋅

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

⋅

⋅

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

−

=

=

⋅

⋅

+

+

⋅

⋅

+

=

+

 

Momenty bezwładności i moment dewiacyjny rozważanej figury, będącej sumą figury 

I, II i III w obróconym układzie Ouv obliczymy jako sumy momentów dla figur składowych. 

4

4

4

III

II

I

664

21

76

5

904

15

r

.

r

.

r

.

I

I

I

I

u

u

u

u

=

+

=

+

+

=

 

4

4

4

III

II

I

144

67

24

51

904

15

r

.

r

.

r

.

I

I

I

I

v

v

v

v

=

+

=

+

+

=

 

4

4

4

III

II

I

555

3

68

13

125

10

r

.

r

.

r

.

I

I

I

I

uv

uv

uv

uv

−

=

−

=

+

+

=

. 

Otrzymane wyniki są identyczne z uzyskanymi przy zastosowaniu podziału na dwie 

figury składowe. 

Osiowe momenty bezwładności oraz dewiacyjny moment figury względem osi 

centralnych 

 wyznaczymy korzystając z przekształconych wzorów Steinera:  

c

c

v

u

(

)

4

2

2

4

2

3140

20

3214

0

0686

13

664

21

r

.

r

.

r

.

r

.

v~

A

I

I

c

u

u

c

=

⋅

−

=

⋅

−

=

 

 

4