Podstawy wymiany ciepla
2014-02-03 15:35:00
1/13
PODSTAWY WYMIANY CIEPŁA
1. Podstawowe pojęcia w wymianie ciepła
Sposoby transportu ciepła:
przewodzenie
konwekcja
- swobodna
- wymuszona
promieniowanie
Transport ciepła w ciałach stałych odbywa się na drodze przewodzenia. Z przewodzeniem
ciepła mamy do czynienia, gdy makroskopowe części ośrodka nie przemieszczają się wzglę-
dem siebie. Podstawowym sposobem transportu ciepła w płynach (cieczach i gazach) jest
konwekcja. W przypadku konwekcji płyn przemieszcza się i miesza. W płynach ciepło może
być też przewodzone. Gdy ruch płynu spowodowany jest różnicą temperatur w płynie, mamy
do czynienia z konwekcją swobodną. W przypadku konwekcji wymuszonej przemieszczanie
płynu wywołane jest przez pompę lub sprężarkę. Promieniowanie ciepła polega na transporcie
energii w postaci promieniowania elektromagnetycznego o określonej długości fal.
Pole temperatury
- niestacjonarne (temperatura zależy od położenia elementu ciała oraz czasu)
t
z
y
x
f
T
,
,
,
(1.1)
- stacjonarne (temperatura w danym punkcie ciała nie zależy od czasu)
z
y
x
f
T
,
,
(1.2a)
0
t
T
(1.2b)
Zagadnienie wymiany ciepła może być:
- jednowymiarowe (temperatura zmienia się tylko względem jednej współrzędnej),
- dwuwymiarowe (temperatura zmienia się tylko względem dwóch współrzędnych),
- trójwymiarowe (temperatura zmienia się względem wszystkich współrzędnych).
2. Przewodzenie ciepła
2.1. Prawo Fouriera
Podstawy wymiany ciepla
2014-02-03 15:35:00
2/13
Prawo Fouriera wiąże gęstość strumienia przewodzonego ciepła w określonym punkcie ciała
z gradientem temperatury w tym punkcie
2
grad
m
W
T
T
q
(2.1)
gdzie
K
m
W
jest współczynnikiem przewodzenia ciepła (przewodnością cieplną), którego
wartość zależy od rodzaju ciała, a także od temperatury.
Dla kartezjańskiego układu współrzędnych prostokątnych
k
j
i
z
T
y
T
x
T
T
T
grad
(2.2)
W prostokątnym układzie współrzędnych wektor q ma trzy składowe
x
T
q
x
(2.3a)
y
T
q
y
(2.3b)
z
T
q
z
(2.3c)
Rys. 2-1. Zakresy wartości współczynników przewodzenia ciepła.
2.2. Stacjonarne przewodzenie ciepła przez ściankę płaską przy
const
Podstawy wymiany ciepla
2014-02-03 15:35:00
3/13
Równanie różniczkowe opisujące ten przypadek przewodzenia (prawo Fouriera)
dx
dT
q
(2.4)
Równanie (2.4) rozwiązujemy metodą rozdzielenia zmiennych
dT
qdx
(2.5)
Równanie (2.5) całkujemy stronami
2
1
2
1
x
x
T
T
w
w
dT
qdx
(2.6)
1
2
1
2
w
w
T
T
x
x
q
(2.7)
2
1
w
w
T
T
q
(2.8)
gdzie
1
2
x
x
jest grubością ścianki przewodzącą ciepło.
Dla ścianki o powierzchni A
2
1
w
w
T
T
A
Aq
Q
(2.9)
2
1
w
w
T
T
A
Q
(2.10)
2.2. Stacjonarne przewodzenie ciepła przez ściankę płaską wielowarstwową
Podstawy wymiany ciepla
2014-02-03 15:35:00
4/13
Do obliczenia strumienia ciepła przewodzonego przez ściankę wielowarstwową można użyć
wzoru (2.9) pod warunkiem, że współczynnik przewodzenia ciepła zostanie zastąpiony tzw.
zastępczym współczynnikiem przewodzenia ciepła
n
i
i
i
n
i
i
z
1
1
(2.11)
gdzie:
i – numer warstwy
n – liczba warstw
δ
i
– grubość warstwy o numerze i
λ
i
– współczynnik przewodzenia ciepła dla warstwy o numerze i
2.3. Stacjonarne przewodzenie przez ściankę cylindryczną przy
const
Podstawy wymiany ciepla
2014-02-03 15:35:00
5/13
2
/ m
W
dr
dT
q
(2.12)
gdzie q zależy od promienia r
rl
Q
A
Q
q
2
(2.13)
natomiast
const
Q
.
(2.13)
(2.12)
W
dr
dT
rl
Q
2
(2.14)
W równaniu (2.14) rozdzielamy zmienne i całkujemy równanie stronami
2
1
2
1
2
r
r
T
T
w
w
dT
l
r
dr
Q
(2.15)
1
2
1
2
2
ln
w
w
T
T
l
r
r
Q
(2.16)
2
1
1
2
2
1
1
2
ln
2
ln
2
w
w
w
w
T
T
d
d
l
T
T
r
r
l
Q
(2.17)
Strumień ciepła odniesiony do jednostki długości rury
Podstawy wymiany ciepla
2014-02-03 15:35:00
6/13
m
W
T
T
d
d
l
Q
q
w
w
l
/
ln
2
2
1
1
2
(2.18)
Dla ścianki wielowarstwowej
1
1
1
1
ln
2
n
n
z
l
T
T
d
d
l
Q
q
(2.19)
gdzie
n
i
i
i
i
n
z
d
d
d
d
1
1
1
1
ln
1
ln
(2.20)
gdzie:
i – numer warstwy
n – liczba warstw
d
i
– średnica warstwy o numerze i (pierwsza warstwa, o najmniejszej średnicy,
ma nr 1
λ
i
– współczynnik przewodzenia ciepła dla warstwy o numerze i
3. Wnikanie (przejmowanie) ciepła
Wnikaniem ciepła nazywamy wymianę ciepła pomiędzy ścianką i omywającym ją płynem.
Równanie Newtona
Podstawy wymiany ciepla
2014-02-03 15:35:00
7/13
f
w
T
T
A
Q
(3.1)
K
m
W
2
– współczynnik wnikania (przejmowania) ciepła
zależy od:
- prędkości płynu: w,
- od kształtu, wielkości, rodzaju i temperatury powierzchni wymiany ciepła: φ, l
1
, l
2
, ..., T
w
,
- od parametrów termofizycznych płynu: T
f
, p, ρ, c, λ, υ.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
2
1
l
l
c
p
T
T
w
f
w
f
(3.2)
Np. dla przepływu wymuszonego cieczy lub gazu w kanale
n
m
C
Pr
Re
Nu
(3.3)
Np. dla przepływu burzliwego cieczy w kanale:
4
,
0
;
8
,
0
n
m
h
d
Nu
- liczba Nusselta
(3.4)
h
wd
Re
- liczba Reynoldsa
(3.5)
a
Pr
- liczba Prandtla
(3.6)
Z (4)
h
d
Nu
(3.7)
s
m
c
a
p
/
2
- współczynnik wyrównania temperatury
(3.8)
s
m /
2
- współczynnik lepkości kinematycznej
Podstawy wymiany ciepla
2014-02-03 15:35:00
8/13
4. Przenikanie ciepła
Przenikaniem ciepła nazywamy transport ciepła od płynu o wyższej temperaturze do płynu o
niższej temperaturze przez przegrodę.
2
2
1
W/m
f
f
T
T
k
q
(4.1)
gdzie
K
m
W
2
k
jest współczynnikiem przenikania ciepła
Dla ścianki o powierzchni A
Aq
Q
(4.2)
4.1. Przenikanie ciepła przez ściankę płaską o grubości
Wnikanie ciepła do ścianki
1
1
1
w
f
T
T
q
(4.3)
Podstawy wymiany ciepla
2014-02-03 15:35:00
9/13
Przewodzenie ciepła przez ściankę
2
1
w
w
T
T
q
(4.4)
Przejmowanie ciepła przez płyn
2
2
2
f
w
T
T
q
(4.5)
Z (4.3)
1
1
1
q
T
T
w
f
(4.6)
Z (4.4)
q
T
T
w
w
2
1
(4.7)
Z (4.5)
2
2
2
q
T
T
f
w
(4.8)
Równania (4.6)-(4.8) sumujemy stronami
2
1
2
1
1
1
q
T
T
f
f
(4.9)
2
1
2
1
1
1
1
f
f
T
T
q
(4.10)
Z porównania (4.10) z (4.1) otrzymujemy
2
1
1
1
1
k
(4.11)
4.2. Przenikanie ciepła przez ściankę cylindryczną
2
2
1
2
1
1
2
1
1
ln
2
1
1
d
d
d
d
T
T
l
Q
f
f
(4.12)
m
W
T
T
k
l
Q
q
f
f
l
l
/
2
1
(4.13)
Podstawy wymiany ciepla
2014-02-03 15:35:00
10/13
gdzie
mK
W
k
l
jest liniowym współczynnikiem przenikania ciepła
2
2
1
2
1
1
1
ln
2
1
1
1
d
d
d
d
k
l
(4.14)
5. Obliczanie wymienników ciepła
Pojemność cieplna czynnika
p
c
m
W
Podstawy wymiany ciepla
2014-02-03 15:35:00
11/13
Bilans energetyczny wymiennika ciepła
'
2
"
2
2
2
"
1
'
1
1
1
T
T
c
m
T
T
c
m
Q
p
p
(5.1a)
'
2
"
2
2
"
1
'
1
1
T
T
W
T
T
W
Q
(5.1b)
Równanie wymiany ciepła
Podstawy wymiany ciepla
2014-02-03 15:35:00
12/13
sr
T
kA
Q
0
(5.2)
Średnia różnica temperatur
0
0
2
1
0
A
dA
A
T
A
T
T
A
sr
(5.3)
Średnia różnica temperatur dla wymienników współprądowych i przeciwprądowych
"
'
ln
"
'
T
T
T
T
T
sr
(5.4)
gdzie:
'
2
'
1
'
T
T
T
;
"
2
"
1
"
T
T
T
- dla współprądu
(5.5a)
"
2
'
1
'
T
T
T
;
'
2
"
1
"
T
T
T
- dla przeciwprądu
(5.5b)
Dla określonych temperatur wlotowych i wylotowych średnia różnica temperatur jest naj-
większa przy przepływie przeciwprądowym, a najmniejsza dla przepływu współprądowego.
Średnia różnica temperatur dla wymienników o przepływie krzyżowo prądowym i mieszanym
leży w przedziale pomiędzy średnią dla współprądu i przeciwprądu
srwp
srm
srpp
T
T
T
(5.6)
Średnią różnicę temperatur dla wymienników o przepływie krzyżowym i mieszanym można
wyznaczyć wykorzystując poprawkę ε
ΔT
T
srpp
srm
T
T
(5.7)
gdzie
0
1
T
(5.8)
R
P
f
T
,
(5.9)
'
2
'
1
'
2
"
2
T
T
T
T
P
(5.10a)
'
2
"
2
"
1
'
1
T
T
T
T
R
(5.10b)
Podstawy wymiany ciepla
2014-02-03 15:35:00
13/13
Każdy typ wymiennika ma swój wykres poprawek
R
P
f
T
,
.