Podstawy wymiany ciepla

2014-02-03 15:35:00

1/13

PODSTAWY WYMIANY CIEPŁA

1. Podstawowe pojęcia w wymianie ciepła

Sposoby transportu ciepła:

 przewodzenie

 konwekcja

- swobodna

- wymuszona

 promieniowanie

Transport ciepła w ciałach stałych odbywa się na drodze przewodzenia. Z przewodzeniem

ciepła mamy do czynienia, gdy makroskopowe części ośrodka nie przemieszczają się wzglę-

dem siebie. Podstawowym sposobem transportu ciepła w płynach (cieczach i gazach) jest

konwekcja. W przypadku konwekcji płyn przemieszcza się i miesza. W płynach ciepło może

być też przewodzone. Gdy ruch płynu spowodowany jest różnicą temperatur w płynie, mamy

do czynienia z konwekcją swobodną. W przypadku konwekcji wymuszonej przemieszczanie

płynu wywołane jest przez pompę lub sprężarkę. Promieniowanie ciepła polega na transporcie

energii w postaci promieniowania elektromagnetycznego o określonej długości fal.

Pole temperatury

- niestacjonarne (temperatura zależy od położenia elementu ciała oraz czasu)





t

z

y

x

f

T

,

,

,



(1.1)

- stacjonarne (temperatura w danym punkcie ciała nie zależy od czasu)





z

y

x

f

T

,

,



(1.2a)

0







t

T

(1.2b)

Zagadnienie wymiany ciepła może być:

- jednowymiarowe (temperatura zmienia się tylko względem jednej współrzędnej),

- dwuwymiarowe (temperatura zmienia się tylko względem dwóch współrzędnych),

- trójwymiarowe (temperatura zmienia się względem wszystkich współrzędnych).

2. Przewodzenie ciepła

2.1. Prawo Fouriera

Podstawy wymiany ciepla

2014-02-03 15:35:00

2/13

Prawo Fouriera wiąże gęstość strumienia przewodzonego ciepła w określonym punkcie ciała

z gradientem temperatury w tym punkcie



















2

grad

m

W

T

T





q

(2.1)

gdzie











K

m

W



jest współczynnikiem przewodzenia ciepła (przewodnością cieplną), którego

wartość zależy od rodzaju ciała, a także od temperatury.

Dla kartezjańskiego układu współrzędnych prostokątnych

k

j

i

z

T

y

T

x

T

T

T























grad

(2.2)

W prostokątnym układzie współrzędnych wektor q ma trzy składowe

x

T

q

x











(2.3a)

y

T

q

y











(2.3b)

z

T

q

z











(2.3c)

Rys. 2-1. Zakresy wartości współczynników przewodzenia ciepła.

2.2. Stacjonarne przewodzenie ciepła przez ściankę płaską przy

const





Podstawy wymiany ciepla

2014-02-03 15:35:00

3/13

Równanie różniczkowe opisujące ten przypadek przewodzenia (prawo Fouriera)

dx

dT

q







(2.4)

Równanie (2.4) rozwiązujemy metodą rozdzielenia zmiennych

dT

qdx







(2.5)

Równanie (2.5) całkujemy stronami









2

1

2

1

x

x

T

T

w

w

dT

qdx



(2.6)









1

2

1

2

w

w

T

T

x

x

q











(2.7)





2

1

w

w

T

T

q









(2.8)

gdzie

1

2

x

x







jest grubością ścianki przewodzącą ciepło.

Dla ścianki o powierzchni A





2

1

w

w

T

T

A

Aq

Q











(2.9)





2

1

w

w

T

T

A

Q









(2.10)

2.2. Stacjonarne przewodzenie ciepła przez ściankę płaską wielowarstwową

Podstawy wymiany ciepla

2014-02-03 15:35:00

4/13

Do obliczenia strumienia ciepła przewodzonego przez ściankę wielowarstwową można użyć

wzoru (2.9) pod warunkiem, że współczynnik przewodzenia ciepła zostanie zastąpiony tzw.

zastępczym współczynnikiem przewodzenia ciepła











n

i

i

i

n

i

i

z

1

1









(2.11)

gdzie:

i – numer warstwy

n – liczba warstw

δ

i

– grubość warstwy o numerze i

λ

i

– współczynnik przewodzenia ciepła dla warstwy o numerze i

2.3. Stacjonarne przewodzenie przez ściankę cylindryczną przy

const





Podstawy wymiany ciepla

2014-02-03 15:35:00

5/13





2

/ m

W

dr

dT

q







(2.12)

gdzie q zależy od promienia r

rl

Q

A

Q

q



2





(2.13)

natomiast

const

Q



.

(2.13)



(2.12)

 

W

dr

dT

rl

Q





2





(2.14)

W równaniu (2.14) rozdzielamy zmienne i całkujemy równanie stronami









2

1

2

1

2

r

r

T

T

w

w

dT

l

r

dr

Q





(2.15)





1

2

1

2

2

ln

w

w

T

T

l

r

r

Q











(2.16)









2

1

1

2

2

1

1

2

ln

2

ln

2

w

w

w

w

T

T

d

d

l

T

T

r

r

l

Q

















(2.17)

Strumień ciepła odniesiony do jednostki długości rury

Podstawy wymiany ciepla

2014-02-03 15:35:00

6/13









m

W

T

T

d

d

l

Q

q

w

w

l

/

ln

2

2

1

1

2









(2.18)

Dla ścianki wielowarstwowej





1

1

1

1

ln

2











n

n

z

l

T

T

d

d

l

Q

q



(2.19)

gdzie











n

i

i

i

i

n

z

d

d

d

d

1

1

1

1

ln

1

ln





(2.20)

gdzie:

i – numer warstwy

n – liczba warstw

d

i

– średnica warstwy o numerze i (pierwsza warstwa, o najmniejszej średnicy,

ma nr 1

λ

i

– współczynnik przewodzenia ciepła dla warstwy o numerze i

3. Wnikanie (przejmowanie) ciepła

Wnikaniem ciepła nazywamy wymianę ciepła pomiędzy ścianką i omywającym ją płynem.

Równanie Newtona

Podstawy wymiany ciepla

2014-02-03 15:35:00

7/13





f

w

T

T

A

Q







(3.1)









K

m

W

2



– współczynnik wnikania (przejmowania) ciepła



zależy od:

- prędkości płynu: w,

- od kształtu, wielkości, rodzaju i temperatury powierzchni wymiany ciepła: φ, l

1

, l

2

, ..., T

w

,

- od parametrów termofizycznych płynu: T

f

, p, ρ, c, λ, υ.







,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

2

1

l

l

c

p

T

T

w

f

w

f













(3.2)

Np. dla przepływu wymuszonego cieczy lub gazu w kanale

n

m

C

Pr

Re

Nu



(3.3)

Np. dla przepływu burzliwego cieczy w kanale:

4

,

0

;

8

,

0





n

m





h

d



Nu

- liczba Nusselta

(3.4)



h

wd



Re

- liczba Reynoldsa

(3.5)

a





Pr

- liczba Prandtla

(3.6)

Z (4)

h

d

Nu







(3.7)





s

m

c

a

p

/

2







- współczynnik wyrównania temperatury

(3.8)





s

m /

2



- współczynnik lepkości kinematycznej

Podstawy wymiany ciepla

2014-02-03 15:35:00

8/13

4. Przenikanie ciepła

Przenikaniem ciepła nazywamy transport ciepła od płynu o wyższej temperaturze do płynu o

niższej temperaturze przez przegrodę.









2

2

1

W/m

f

f

T

T

k

q





(4.1)

gdzie











K

m

W

2

k

jest współczynnikiem przenikania ciepła

Dla ścianki o powierzchni A

Aq

Q



(4.2)

4.1. Przenikanie ciepła przez ściankę płaską o grubości



Wnikanie ciepła do ścianki





1

1

1

w

f

T

T

q







(4.3)

Podstawy wymiany ciepla

2014-02-03 15:35:00

9/13

Przewodzenie ciepła przez ściankę





2

1

w

w

T

T

q









(4.4)

Przejmowanie ciepła przez płyn





2

2

2

f

w

T

T

q







(4.5)

Z (4.3)

1

1

1



q

T

T

w

f





(4.6)

Z (4.4)





q

T

T

w

w





2

1

(4.7)

Z (4.5)

2

2

2



q

T

T

f

w





(4.8)

Równania (4.6)-(4.8) sumujemy stronami





















2

1

2

1

1

1









q

T

T

f

f

(4.9)





2

1

2

1

1

1

1

f

f

T

T

q

















(4.10)

Z porównania (4.10) z (4.1) otrzymujemy

2

1

1

1

1















k

(4.11)

4.2. Przenikanie ciepła przez ściankę cylindryczną





2

2

1

2

1

1

2

1

1

ln

2

1

1

d

d

d

d

T

T

l

Q

f

f

















(4.12)









m

W

T

T

k

l

Q

q

f

f

l

l

/

2

1









(4.13)

Podstawy wymiany ciepla

2014-02-03 15:35:00

10/13

gdzie









mK

W

k

l

jest liniowym współczynnikiem przenikania ciepła

2

2

1

2

1

1

1

ln

2

1

1

1

d

d

d

d

k

l













(4.14)

5. Obliczanie wymienników ciepła

Pojemność cieplna czynnika

p

c

m

W





Podstawy wymiany ciepla

2014-02-03 15:35:00

11/13

Bilans energetyczny wymiennika ciepła









'

2

"

2

2

2

"

1

'

1

1

1

T

T

c

m

T

T

c

m

Q

p

p















(5.1a)









'

2

"

2

2

"

1

'

1

1

T

T

W

T

T

W

Q











(5.1b)

Równanie wymiany ciepła

Podstawy wymiany ciepla

2014-02-03 15:35:00

12/13

sr

T

kA

Q





0



(5.2)

Średnia różnica temperatur

 

 





0

0

2

1

0

A

dA

A

T

A

T

T

A

sr









(5.3)

Średnia różnica temperatur dla wymienników współprądowych i przeciwprądowych

"

'

ln

"

'

T

T

T

T

T

sr















(5.4)

gdzie:

'

2

'

1

'

T

T

T







;

"

2

"

1

"

T

T

T







- dla współprądu

(5.5a)

"

2

'

1

'

T

T

T







;

'

2

"

1

"

T

T

T







- dla przeciwprądu

(5.5b)

Dla określonych temperatur wlotowych i wylotowych średnia różnica temperatur jest naj-

większa przy przepływie przeciwprądowym, a najmniejsza dla przepływu współprądowego.

Średnia różnica temperatur dla wymienników o przepływie krzyżowo prądowym i mieszanym

leży w przedziale pomiędzy średnią dla współprądu i przeciwprądu

srwp

srm

srpp

T

T

T











(5.6)

Średnią różnicę temperatur dla wymienników o przepływie krzyżowym i mieszanym można

wyznaczyć wykorzystując poprawkę ε

ΔT

T

srpp

srm

T

T











(5.7)

gdzie

0

1







T



(5.8)





R

P

f

T

,







(5.9)

'

2

'

1

'

2

"

2

T

T

T

T

P







(5.10a)

'

2

"

2

"

1

'

1

T

T

T

T

R







(5.10b)

Podstawy wymiany ciepla

2014-02-03 15:35:00

13/13

Każdy typ wymiennika ma swój wykres poprawek





R

P

f

T

,







.