“

“

Paradoks prawdziwości

Paradoks prawdziwości

oczywistej nieprawdy,

oczywistej nieprawdy,

czyli kiedy zawodzi

czyli kiedy zawodzi

intuicja”

intuicja”



Magdalena Dąbkowska



Agnieszka Perduta

Koło Naukowe Matematyków

[e-mail]

22 kwietnia 2007

Toruń

7

Toruński Festiwal
Nauki i Sztuki

Paradoks prawdziwości oczywistej nieprawdy, czyli

kiedy zawodzi intuicja

2

Paradoks

Paradoks

1.

«twierdzenie zaskakująco sprzeczne z przyjętym

powszechnie mniemaniem, często ujęte w formę aforyzmu;
też: sytuacja pozornie niemożliwa, w której współistnieją
dwa całkowicie różne lub wykluczające się fakty»

Definicja według “

Słownika języka polskiego

” PWN

2.

«rozumowanie pozornie oczywiste, ale wskutek

zawartego w nim błędu prowadzące do wniosków jawnie
sprzecznych ze sobą lub z uprzednio przyjętymi

założeniami»

Paradoks prawdziwości oczywistej nieprawdy, czyli

kiedy zawodzi intuicja

3

Paradoks

Paradoks

«Podane w błyskotliwej, oryginalnej formie twierdzenie albo

rozumowanie sprzeczne (czasem tylko pozornie) z tym, co
jest ogólnie uznane za prawdę; rozumowanie, w którym

(pozornie) poprawne założenia (i wnioskowanie) prowadzą
do sprzeczności i fałszu.»

Definicja według “

Słownika wyrazów obcych i zwrotów

obcojęzycznych z almanachem

” Władysława

Kopalińskiego

Paradoks prawdziwości oczywistej nieprawdy, czyli

kiedy zawodzi intuicja

4

Paradoks Achillesa i żółwia

Paradoks Achillesa i żółwia

Paradoks prawdziwości oczywistej nieprawdy, czyli

kiedy zawodzi intuicja

5

Paradoks Achillesa i żółwia

Paradoks Achillesa i żółwia

Wyobraźmy sobie, że Achilles i żółw
startują razem w wyścigu. Jasne jest,
że szybkonogi Achilles biega o wiele

szybciej niż żółw. Przypuśćmy
jednak, że jest to bardzo szybki żółw,
który porusza się tylko dwa razy
wolniej, niż człowiek. Jest to jednak
nadal dość duże utrudnienie dla
gada, więc Achilles ...

Zenon z Elei

Paradoks prawdziwości oczywistej nieprawdy, czyli

kiedy zawodzi intuicja

6

Paradoks Achillesa i żółwia

Paradoks Achillesa i żółwia

Gdy Achilles znajdzie się w

½

dystansu, żółwia już tam nie będzie -

zdąży przemieścić się o

¼

całej odległości, pokona więc w sumie w

¾

dystansu.

0

1

1
2

3
4

0

1

1
2

3
4

1
4

1
4

... pozwala żółwiowi oddalić się na starcie o

½

dystatnsu.

Paradoks prawdziwości oczywistej nieprawdy, czyli

kiedy zawodzi intuicja

7

Paradoks Achillesa i żółwia

Paradoks Achillesa i żółwia

Gdy Achilles się tam znajdzie, żółwia znów tam nie będzie -
przesunie się kawałek dalej - o

1/8

dystansu.

W takim razie, zawsze gdy Achilles dobiega do miejsca, gdzie

żółw był wcześniej, żółwia już tam nie ma.

0

1

1
2

3
4

1
4

7
8

Zatem Achilles nigdy nie przegoni żółwia!

Paradoks prawdziwości oczywistej nieprawdy, czyli

kiedy zawodzi intuicja

8

Paradoks Achillesa i żółwia

Paradoks Achillesa i żółwia

Agrumentacja zastosowana przez Zenona to prawdopodobnie

pierwszy w historii matematyki przykład przeprowadzenia
dowodu metodą nie wprost, albo inaczej "przez sprzeczność".

W czasach wpółczesnych, matematycznej odpowiedzi na

postawione przez Zenona pytania udziela rachunek

różniczkowy i całkowy.

Rozwiązania proponowane przez dawnych i dzisiejszych

filozofów odwołują się do stwierdzenia, iż czasu oraz przestrzeni

nie da się podzielić na nieskończoną ilość części!

Paradoks prawdziwości oczywistej nieprawdy, czyli

kiedy zawodzi intuicja

9

Paradoks Achillesa i żółwia

Paradoks Achillesa i żółwia

Przyjrzyjmy się zatem dokładniej

zaistniałej sytuacji ...

Paradoks opiera się na dzieleniu dystansu pokonywanego przez

biegaczy na coraz mniejsze kawałki.

0

1

1
2

3
4

15
16

7
8

Już

Arystoteles

zauważył, że czas potrzebny na przebycie coraz

mniejszych odległości jest również

coraz mniejszy

!!

Paradoks prawdziwości oczywistej nieprawdy, czyli

kiedy zawodzi intuicja

10

Paradoks Achillesa i żółwia

Paradoks Achillesa i żółwia

Jeśli uda nam się pokazać, że przebycie nieskończonej ilości

odcinków nie musi zająć nieskończonej ilości czasu, będzie to

już pewne wyjaśnienie zaistniałego paradoksu.

Przed 212 r. p.n.e. Archimedes rozwinął metodę sumowania

nieskończonej ilości coraz mniejszych składników.

Twierdzenia, które powstały o wiele później, dały ten sam

rezultat. Były one jednak bardziej precyzyjne!

Paradoks prawdziwości oczywistej nieprawdy, czyli

kiedy zawodzi intuicja

11

Paradoks Achillesa i żółwia

Paradoks Achillesa i żółwia

Aby rozwiązać pradoks Zenona zastosujemy szeregi geometryczne;

oznacza następującą sumę:

aa⋅x

1

a⋅x

2

a⋅x

3

...

a⋅

∑

n=0

∞

x

n

Zapis

Jeśli

−1x 1

to jak wiemy ze szkoły średniej, szereg jest zbieżny, czyli suma

NIESKOŃCZONEJ

ilości składników daje wartość

SKOŃCZONĄ.

Ponadto w tej sytuacji suma szeregu wyrażona jest wzorem:

a

1−x

Paradoks prawdziwości oczywistej nieprawdy, czyli

kiedy zawodzi intuicja

12

Paradoks Achillesa i żółwia

Paradoks Achillesa i żółwia

Przypuśćmy, że żółw porusza się ze stałą prędkością

i na starcie ma

d metrów

przewagi.

czyli

x

razy szybciej od żółwia.

Ale jaki związek ma szereg geometryczny z naszymi

zawodnikami startującymi w wyścigu?

v

x⋅v

metrów na sekundę, gdzie

x1

metrów na sekundę

Achilles biegnie z prędkością

Paradoks prawdziwości oczywistej nieprawdy, czyli

kiedy zawodzi intuicja

13

Paradoks Achillesa i żółwia

Paradoks Achillesa i żółwia

Na przebycie kolejnych

d/x metrów

(czyli takiej odległości, na jaką

oddalił się żółw) Achilles potrzebuje

itd...

ale w tym samym czasie żółw znów się oddala, tym razem o
metrów;

Achilles potrzebuje

d

xv

sekund,

na przebycie odległości

d metrów

; w tym czasie żółw przemieszcza się

o

d/x metrów

;

sekund

d

x

2

⋅v

d

x

2

Paradoks prawdziwości oczywistej nieprawdy, czyli

kiedy zawodzi intuicja

14

Paradoks Achillesa i żółwia

Paradoks Achillesa i żółwia

W takim razie, czas (w sekundach) jaki upłynie zanim zawodnicy się

spotkają wynosi:

Jest to wielkość skończona, więc ...

d

v

⋅

∑

n=1

∞



1
x



n

=

d
v

⋅

1

x

1−

1

x

=

d

v⋅ x−1

Achilles dogoni żółwia!

Paradoks prawdziwości oczywistej nieprawdy, czyli

kiedy zawodzi intuicja

15

Paradoks Achillesa i żółwia

Paradoks Achillesa i żółwia

Inne rozwiązanie paradoksu Achillesa i żółwia

Nie wiadomo, czy przestrzeń i czas możemy dzielić w
nieskończoność na coraz mniejsze i mniejsze kawałki...

W fizyce kwantowej elektrony mogą przeskakiwać tylko z orbity
na orbitę, natomiast nie mogą znaleźć się pomiędzy!

Skoro start i metę dzieli tylko skończona ilość „kroków”, to

paradoks

w ogóle

nie istnieje

.

Paradoks prawdziwości oczywistej nieprawdy, czyli

kiedy zawodzi intuicja

16

Paradoks Grand Hotelu

Paradoks Grand Hotelu

Paradoks prawdziwości oczywistej nieprawdy, czyli

kiedy zawodzi intuicja

17

Paradoks Grand Hotelu

Paradoks Grand Hotelu

Paradoks ten, opisany przez

Davida

Hilberta

, jest ilustracją pewnych

trudności, jakie napotyka nasz zdrowy
rozsądek, gdy rozważamy zbiory

z nieskończoną liczbą elementów. W
istocie nie prezentuje on żadnych błędów
w rozumowaniu.

David Hilbert

Paradoks prawdziwości oczywistej nieprawdy, czyli

kiedy zawodzi intuicja

18

Paradoks Grand Hotelu

Paradoks Grand Hotelu

Miejsca w hotelu ponumerowane są liczbami naturalnymi:

1

2

3

4

5

6

.

.

.

Wyobraźmy sobie, że przyjechaliśmy do Grand Hotelu!

Paradoks prawdziwości oczywistej nieprawdy, czyli

kiedy zawodzi intuicja

19

Paradoks Grand Hotelu

Paradoks Grand Hotelu

Wyobraźmy sobie, że pomimo naszej rezerwacji

widzimy, że wszystkie miejsca są zajęte!

Zanim jednak rzucimy się na portiera, wysłuchajmy

jakie rozwiązanie tego problemu on proponuje.

Sprytny portier, absolwent Wydziału

Matematyki i Informatyki UMK, oznajmia

nam, że o dziwo w hotelu jest mnóstwo

miejsc wolnych.

Paradoks prawdziwości oczywistej nieprawdy, czyli

kiedy zawodzi intuicja

20

Paradoks Grand Hotelu

Paradoks Grand Hotelu

Oto jak portier znalazł nam łóżko:

...

gość 1

REGUŁA:

n

n+1

gość 2

gość 3

gość 4

gość 5

Paradoks prawdziwości oczywistej nieprawdy, czyli

kiedy zawodzi intuicja

21

Paradoks Grand Hotelu

Paradoks Grand Hotelu

... i tak po tym drobnym zabiegu mamy gdzie spać!

...

Następnego ranka dotarły do nas dziwne informacje ...

wolne

gość 1

gość 2

gość 3

gość 4

Paradoks prawdziwości oczywistej nieprawdy, czyli

kiedy zawodzi intuicja

22

Podobno Inspektor Budowlany zamknął sąsiedni

(bliźniaczy) hotel i wszystkich gości przeniesiono do

naszego.

Paradoks Grand Hotelu

Paradoks Grand Hotelu

I znów nasz dzielny portier zadziwia nas swoją

błyskotliwością!

O ile umieszczenie jednej dodatkowej osoby w pełnym

hotelu przestało nas dziwić, to pomieszczenie tylu

nowych gości wydaje się

NIEREALNE

NIEREALNE

!

Paradoks prawdziwości oczywistej nieprawdy, czyli

kiedy zawodzi intuicja

23

Paradoks Grand Hotelu

Paradoks Grand Hotelu

Sztuczka, którą zastosował:

...

REGUŁA:

n

2n

gość 1

gość 2

gość 3

gość 4

gość 5

gość 6

Paradoks prawdziwości oczywistej nieprawdy, czyli

kiedy zawodzi intuicja

24

Paradoks Grand Hotelu

Paradoks Grand Hotelu

W taki oto sposób goście z pechowego hotelu mieli

gdzie spać. :-)

...

wolne

wolne

wolne

W wyniku przemieszczeń otrzymaliśmy:

gość 1

gość 2

gość 3

Paradoks prawdziwości oczywistej nieprawdy, czyli

kiedy zawodzi intuicja

25

Paradoks Grand Hotelu

Paradoks Grand Hotelu

Wyobraźmy sobie teraz, że każdy pensjonariusz ma

tylu znajomych co osób w Grand Hotelu i wszyscy oni

mają przyjechać na wielki bal organizowany przez

nasz hotel.

Pytamy czy i tym razem nasz bystry portier da

sobie radę?

Na co on odpowiada: “Nic prostszego”.

Paradoks prawdziwości oczywistej nieprawdy, czyli

kiedy zawodzi intuicja

26

Paradoks Grand Hotelu

Paradoks Grand Hotelu

Trochę matematyki:

Definicja:

Liczbę naturalną, różną od 1, nazywamy

pierwszą

, o ile nie ma ona innych dzielników poza samą

sobą oraz 1.

Przykład:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...

Okazuje się, że liczb pierwszych jest nieskończenie

wiele!

Paradoks prawdziwości oczywistej nieprawdy, czyli

kiedy zawodzi intuicja

27

Paradoks Grand Hotelu

Paradoks Grand Hotelu

Twierdzenie:

Każdą liczbę naturalną moża

jednoznacznie przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych.

Przykład:

30 = 2*3*5

36 = 2*2*3*3

Ale, czy to może nam pomóc?

Paradoks prawdziwości oczywistej nieprawdy, czyli

kiedy zawodzi intuicja

28

2

2

2

2

3

3

3

5

3

p

3

3

2

5

2

p

2

3

5

p

...

...

...

...

...

...

gość

1

ze

znajomymi

gość

2

ze

znajomymi

gość

3

ze

znajomymi

gość

n

ze

znajomymi

...

...

...

...

...

Paradoks Grand Hotelu

Paradoks Grand Hotelu

Paradoks prawdziwości oczywistej nieprawdy, czyli

kiedy zawodzi intuicja

29

Paradoks Grand Hotelu

Paradoks Grand Hotelu

REGUŁA:

gościa

q

i jego znajomych umieszczamy na miejscach

o numerach

p

n

, gdzie

n

jest liczb

ą

naturalną

.

Ponieważ z Twierdzenia wiemy, że każda liczba ma

jednoznaczny rozkład, więc jeśli

p

n

=q

m

, to

m=n

i 

p=q

, gdyż

p

i

q

s

ą liczbami

pierwszymi.

Zatem wszyscy nowo przybyli goście mają gdzie spać!

A nasz pomysłowy portier w nagrodę powinien zostać

dyrektorem Grand Hotelu :)

Paradoks prawdziwości oczywistej nieprawdy, czyli

kiedy zawodzi intuicja

30

Alef Zero

Alef Zero

W rzeczywistości powyższa historia obrazuje jedynie

proste własności pewnej liczby oznaczanej .

“Czym jest ?”

Symbol ten oznacza moc zbioru liczb naturalnych.

ℵ

0

ℵ

0

Własności :

ℵ

0

•

ℵ

0

ℵ

0

=ℵ

0

ℵ

0

1=ℵ

0

ℵ

0

⋅ℵ

0

=ℵ

0

•

•

Paradoks prawdziwości oczywistej nieprawdy, czyli

kiedy zawodzi intuicja

31

Paradoks kłamcy

Paradoks kłamcy

Ja teraz kłamię!

Paradoks prawdziwości oczywistej nieprawdy, czyli

kiedy zawodzi intuicja

32

Paradoks kłamcy

Paradoks kłamcy

Paradok kłamcy powstał jeszcze w starożytności. Często jako

jego autora podaje się Epimenidesa kreteńskiego poete –

filozofa, który napisał:

„Wszyscy Kreteńczycy zawsze kłamią.”

Czy powyższe zdanie na pewno jest paradoksalne?

Jeśli założymy, że jest ono nieprawdziwe, to otrzymamy, iż

niektórzy Kreteńczycy mówią prawdę, co nie znaczy, że

Epimenides musiał prawde mówić.

Paradoks prawdziwości oczywistej nieprawdy, czyli

kiedy zawodzi intuicja

33

Paradoks kłamcy

Paradoks kłamcy

Najstarsza znana wersja paradoksu kłamcy pochodzi od

greckiego filozofa Eubulidesa z Miletu. Eubulides stwierdził:

„Człowiek twierdzi, że kłamie. Czy to co powiedział

jest prawdą czy fałszem?”

Paradoks w tego typu zdaniach polega na tym, że nie

można im jednoznacznie przypisać wartości logicznej –

prawdy lub fałszu.

Paradoks prawdziwości oczywistej nieprawdy, czyli

kiedy zawodzi intuicja

34

Paradoks kłamcy

Paradoks kłamcy

Pod pojęciem paradoksu kłamcy rozumiemy zdanie typu:

,,Ja teraz kłamię”

.



Jeśli kłamie, to stwierdzając: ja zawsze kłamię

wypowiada prawdę, a więc nie jest kłamcą.

Jeśli zadamy sobie pytanie, czy osoba je wypowiadająca

jest kłamcą czy też mówi prawdę dojdziemy niechybnie do

sprzeczności.



Jeśli natomiast mówi prawdę, to znaczy, że kłamie, bo

to oznacza wypowiadane przez niego zdanie.

Paradoks prawdziwości oczywistej nieprawdy, czyli

kiedy zawodzi intuicja

35

Paradoks kłamcy

Paradoks kłamcy

Zatem gdzie tkwi problem?

Powyższy paradoks wynika z

niemożności zdefiniowana

danego pojęcia w obrębie języka, do którego się ono

odnosi

. Przez co nie można im jednoznacznie przypisać

wartości logicznej – prawdy lub fałszu.

W tym przypadku oznacza to, że kłamca nie może sam o

sobie mówić, że jest kłamcą, bowiem kłamcą nazywamy

osobę, która zawsze kłamie.

Paradoks prawdziwości oczywistej nieprawdy, czyli

kiedy zawodzi intuicja

36

Rozwiązania paradoksu

Rozwiązania paradoksu

Saul Kirpke

zauważa, że to czy zdanie jest paradoksalne

czy nie zależy tylko od znanych faktów,czyli od

rzeczywistości.

Jednak filozofia ta upada, kiedy rozważamy nieskończoną

liczbę obiektów, ponieważ nie możemy rzeczywiście („na

palcach”) zweryfikować hipotez o tych obiektach, a

możemy w inny sposób udowodnić, że hipoteza jest

prawdziwa bądź fałszywa.

Paradoks prawdziwości oczywistej nieprawdy, czyli

kiedy zawodzi intuicja

37

Rozwiązania paradoksu

Rozwiązania paradoksu

„Następne zdanie jest prawdziwe. Poprzednie zdanie

jest fałszywe.”

Jego rozwiązanie polegało na przeformuowaniu paradoksu

kłamcy, na zdania:

Alfred Tarski

zaproponował, żeby

nie uważać za zdania,

zdań odnoszących się do swojej wartości logicznej

. To jest

podejście, które jest uznawane we współczesnej

matematyce.

Pomysł tego rozwinięcia polega na tym, że żadnemu z tych

zdań

nie można przypisać wartości logicznej

ze względu na

to drugie zdanie.

Paradoks prawdziwości oczywistej nieprawdy, czyli

kiedy zawodzi intuicja

38

Paradoks kłamcy

Paradoks kłamcy

Graham Priest

i inni logicy zaproponowali aby zdanie

kłamcy rozważać jako

jednocześnie prawdziwe i fałszywe

.

Ten punkt widzenia znany jest pod nazwą

dialatheism

. W

logice tej wszystkie zdania muszą być prawdziwe,

fałszywe, albo jednocześnie prawdziwe i fałszywe.

Głównym z problemów tej logiki jest to, że skoro uważa,

że zdanie kłamcy jest prawdziwe, to musi

odrzucić zasadę

mówiącą o tym, że z fałszu wynika każde zdanie

. Zatem,

dialetheism ma sens tylko w systemach, które odrzucają

powyższą zasadę.

Dialetheism

:

Paradoks prawdziwości oczywistej nieprawdy, czyli

kiedy zawodzi intuicja

39

Inna wersja paradoksu

Inna wersja paradoksu

Można także w ramach tego paradoksu postawić pytanie:

“Czy kłamiesz odpowiadając na to pytanie?"

Jeśli odpowiedź jest twierdząca, to wracamy do paradoksu

kłamcy. Jeśli odpowiedź jest negatywna, to wtedy nie

wiemy czy interpretować odpowiedź jako kłamstwo czy

jako prawdę.

Paradoks prawdziwości oczywistej nieprawdy, czyli

kiedy zawodzi intuicja

40

Paradoks Curry'ego

Paradoks Curry'ego

Rozważmy zdanie

X

:

„Jeśli to zdanie jest prawdziwe, to śnieg jest

czarny.”

Można je zapisać inaczej w postaci implikacji, to znaczy:

„To zdanie jest prawdziwe śnieg jest czarny.”

⇒

Gdyby zdanie to było prawdziwe, to oznaczało by to, że śnieg jest

czarny.
Z drugiej strony wiemy, że z własnożci implikacji wynika, że

zdanie

w którym kłamstwo implikuje kłamstwo jest prawdziwe

. Dlatego jeśli

to zdanie jest kłamstwem, to jednocześnie otrzymujemy że jest ono

prawdziwe.

Paradoks prawdziwości oczywistej nieprawdy, czyli

kiedy zawodzi intuicja

41

Paradoks Curry'ego

Paradoks Curry'ego

„Jeśli to zdanie jest prawdziwe, to

nie jest

prawdziwe.”

Zauważmy, że jeśli w miejsce fragmentu

„śnieg jest

czarny”

wstawimy

“X

nie jest prawdziwe”

to paradoks

Curry’ego zamienia się w paradoks kłamcy.

Ale do czego to prowadzi?

Paradoks prawdziwości oczywistej nieprawdy, czyli

kiedy zawodzi intuicja

42

Paradoks

Paradoks

Russella

Russella

Zakładamy więc, że istnieje zbiór zawierający

sam siebie! Czyli

Załóżmy, że istnieje

zbiór wszystkich

zbiorów.

Rozważmy w nim podzbiór

V

zawierający wszystkie zbiory

X

takie, że

X

nie jest elementem

X

, to znaczy:

V ={X ∈W : X ∉X }

taki, że

W 1901 roku

Bertrand Russel

sformułował

paradoks kłamcy w języku teorii mnogości,

znany jako

antynomia Russella

.

W

W ∈W

Bertrand Russell

Paradoks prawdziwości oczywistej nieprawdy, czyli

kiedy zawodzi intuicja

43

Paradoks

Paradoks

Russella

Russella

Zbiór liczb naturalnych , gdyż elementami

s

ą

pojedyncze liczby {1, 2, 3, ...}, a nie ca

ł

y zbiór

.

ℕ∉ℕ

ℕ

ℕ

1)

V ∈V ={X ∈W : X ∉X } ⇒ V ∉V
V ∉V ={X ∈W : X ∉X } ⇒ V ∈V

Zauważmy więc, że

Wniosek:

Nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów!

{1,2,3}∉{1,2,3}

Przykład

2)

Paradoks prawdziwości oczywistej nieprawdy, czyli

kiedy zawodzi intuicja

44

Autorzy

Autorzy



Magdalena Dąbkowska



Maciej Karpicz



Joanna Kułaga



Grzegorz Pastuszak



Agnieszka Perduta



Krzysztof Rykaczewski



Łukasz Siewierski



[e-mail]



http://knm.mat.uni.torun.pl



[phone]



ul. Chopina 18/12,

87-100 Toruń