W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
M
ETODA PRZEMIESZCZEŃ
-
PRZYKŁAD
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
Olga Kopacz, Adam Łodygowski, Krzysztof Tymber,
Michał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski
Poznań 2002/2003
MECHANIKA BUDOWLI 3
Metoda przemieszczeń
Wzory transformacyjne na momenty przęsłowe przywęzłowe:
l
)
2
(
6
)
2
(
6
)
3
2
(
2
)
3
2
(
2
2
2
ik
i
k
ki
ik
k
i
ik
ik
i
k
ki
i
k
ik
ik
k
i
ik
l
EI
T
l
EI
T
l
EI
M
l
V
V
l
EI
M
ψ
ϕ
ϕ
ψ
ϕ
ϕ
ψ
ϕ
ϕ
ψ
ψ
ϕ
ϕ
−
+
−
=
−
+
−
=
−
+
=
−
=
−
+
=
(3.1)
k
ϕ
i
ϕ
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
M
ETODA PRZEMIESZCZEŃ
- P
RZYKŁAD
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
l
)
(
3
0
ik
k
ki
ik
l
EI
M
M
ψ
ϕ −
=
=
)
(
3
)
(
3
2
2
ik
k
ki
ik
k
ik
l
EI
T
l
EI
T
ψ
ϕ
ψ
ϕ
−
−
=
−
−
=
(3.2)
l
)
(
3
0
ik
i
ik
ki
l
EI
M
M
ψ
ϕ −
=
=
)
(
3
)
(
3
2
2
ik
k
ki
ik
k
ik
l
EI
T
l
EI
T
ψ
ϕ
ψ
ϕ
−
−
=
−
−
=
(3.3)
l
)
(
)
(
k
i
ik
k
i
ki
l
EI
M
l
EI
M
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
−
=
+
−
=
0
0
=
=
ki
ik
T
T
(3.4)
k
ϕ
i
ϕ
k
ϕ
i
ϕ
k
ϕ
i
ϕ
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
M
ETODA PRZEMIESZCZEŃ
- P
RZYKŁAD
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
W powyższych przypadkach pomijamy wpływ sił normalnych
Wykresy momentów na prętach obustronnie utwierdzonych:
Przykład
Założenie metody: pręty pracują jako obustronnie utwierdzone
h
l
12
2
ql
12
2
ql
8
2
ql
8
Pl
Pl
16
3
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
M
ETODA PRZEMIESZCZEŃ
- P
RZYKŁAD
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
=
+
+
+
=
=
+
+
+
=
=
+
+
+
=
0
)
,
,
(
)
(
)
(
)
(
0
)
,
,
(
)
(
)
(
)
(
0
)
,
,
(
)
(
)
(
)
(
3
3
3
2
3
1
3
3
2
3
2
2
2
1
2
2
1
3
1
2
1
1
1
1
M
q
p
R
u
R
R
R
R
M
q
p
R
u
R
R
R
R
M
q
p
R
u
R
R
R
R
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
1
11
1
1
)
(
ϕ
ϕ
r
R
=
3
3
2
2
1
1
ϕ
ϕ
ϕ
=
=
=
Z
Z
Z
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
0
0
0
3
3
33
2
32
1
31
2
3
23
2
22
1
21
1
3
13
2
12
1
11
P
P
P
r
Z
r
Z
r
Z
r
r
Z
r
Z
r
Z
r
r
Z
r
Z
r
Z
r
gdzie:
r
ik
- reakcja węzła „i” spowodowana jednostkowym przemieszczeniem
węzła „k”
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
M
ETODA PRZEMIESZCZEŃ
- P
RZYKŁAD
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
r
iP
- reakcja węzła i spowodowana obciążeniem zewnętrznym
stan Z
1
=1 (φ
1
=1)
0
,
0
,
0
,
1
2
0
1
=
=
=
=
ik
ψ
ϕ
ϕ
ϕ
Na podstawie wzorów 1.1-2.2 otrzymujemy następujące wartości
momentów przywęzłowych:
l
EI
M
l
EI
M
h
EI
M
M
r
r
s
2
4
3
0
21
12
10
01
=
=
=
=
h
EI
s
3
l
EI
r
4
h
EL
l
EI
r
M
s
r
3
4
0
11
1
−
=
=
∑
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
M
ETODA PRZEMIESZCZEŃ
- P
RZYKŁAD
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
Reakcje r
3i
obliczyć można np. za pomocą równania pracy
wirtualnej. Przy obliczaniu reakcji r
31
posłużymy się jednak siłami
tnącymi zapisując równanie równowagi (tnące obliczone z momentów)
Dla stanu 2 postępujemy analogicznie do 1
stan Z
3
=1 (u
2
=1)
l
EI
r
2
l
EI
r
M
r
2
0
21
2
=
=
∑
h
EI
s
3
2
3
10
10
0
3
0
3
0
h
EI
T
h
EI
h
T
M
s
−
=
=
+
⋅
=
∑
2
31
23
10
31
3
h
EI
r
T
T
r
s
−
=
+
=
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
M
ETODA PRZEMIESZCZEŃ
- P
RZYKŁAD
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
Ze wzorów 1.1-2.2
2
32
2
23
21
12
2
10
01
6
6
0
0
3
0
h
EI
M
h
EI
M
M
M
h
EI
M
M
s
s
s
−
=
−
=
=
=
−
=
=
Reakcję r
33
obliczymy korzystając z równania pracy wirtualnej:
0
)
)(
6
6
(
)
(
3
1
23
2
2
01
2
33
=
+
−
−
⋅
ψ
ψ
h
EI
h
EI
h
EI
r
s
s
s
3
33
15
h
EI
r
s
=
h
h
1
1
32
23
10
01
=
=
=
=
ψ
ψ
ψ
ψ
h
EI
s
3
h
EI
s
6
h
EI
s
6
2
23
2
13
6
3
h
EI
r
h
EI
r
s
s
−
=
−
=
01
ψ
23
ψ
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
M
ETODA PRZEMIESZCZEŃ
- P
RZYKŁAD
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
stan P
Wykres momentów ma postać:
Reakcję r
3p
otrzymamy z równowagi wyciętej części (momenty w prętach
01 i 23 równa zeru, więc tnące w tych prętach również są zerowe)
12
12
2
2
2
1
ql
r
ql
r
p
p
=
−
=
P
r
p
−
=
3
12
2
ql
12
2
ql
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
M
ETODA PRZEMIESZCZEŃ
- P
RZYKŁAD
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
Obliczone wartości reakcji r
ik
oraz r
ip
podstawiamy do układu równań
kanonicznych:
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
0
0
0
3
3
33
2
32
1
31
2
3
23
2
22
1
21
1
3
13
2
12
1
11
P
P
P
r
Z
r
Z
r
Z
r
r
Z
r
Z
r
Z
r
r
Z
r
Z
r
Z
r
Obliczamy wartości Z
1
, Z
2
, Z
3
równych φ
1
, φ
2
, u
2
,
Końcową wartość momentów otrzymujemy na drodze superpozycji:
P
M
u
M
M
M
M
+
+
+
=
2
3
2
2
1
1
ϕ
ϕ
gdzie:
M
1
-wartość momentu wywołanego stanem Z
1
M
2
-wartość momentu wywołanego stanem Z
2
M
3
-wartość momentu wywołanego stanem Z
3
M
P
-wartość momentu wywołanego stanem P
φ
1
,
φ
2
,
u
2
-wartości obliczone z układu równań kanonicznych
Momenty końcowe uzyskać można za pomocą wzorów
transformacyjnych:
)
3
2
(
2
ik
k
i
ik
l
EI
M
ψ
ϕ
ϕ
−
+
=
)
(
3
ik
k
ki
l
EI
M
ψ
ϕ −
=
podstawiając za odpowiednie φ
i
,
φ
k
wartości z równań kanonicznych φ
1
,
φ
2
, natomiast w miejsce ψ
ik
odpowiednie ψ=u
2
/h
Wartości końcowych sił tnących obliczamy dla poszczególnych prętów za
pomocą znanych już wartości momentów, natomiast siły normalne
otrzymujemy z równowagi węzłów.
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
M
ETODA PRZEMIESZCZEŃ
- P
RZYKŁAD
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
Równania pracy wirtualnej w metodzie przemieszczeń
Stosowanie równań pracy wirtualnej do obliczania reakcji w
metodzie przemieszczeń wiąże się z przyjęciem określonych założeń.
Nawiążmy do powyższego przypadku.
Zakładamy istnienie stanu wieloprzegubowego:
Wymuszając w powyższym stanie obrót węzła lub przemieszczenie, nie
wywołujemy powstawania sił wewnętrznych (M=0).Momenty powstałe w
stanie Z
1
(str....) traktujemy jako obciążenie zewnętrzne pracujące na
wirtualnym przemieszczeniu. W wyniku tego zabiegu prawe strony
równań pracy wirtualnej zerują się.
W stanie wieloprzegubowym wymuszamy jednostkowy obrót węzła 1:
Równania pracy wirtualnej mają postać:
h
EI
s
3
l
EI
r
4
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
M
ETODA PRZEMIESZCZEŃ
- P
RZYKŁAD
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
2
31
31
11
11
3
1
0
)
0
(
4
)
1
(
3
1
3
4
1
0
1
4
1
3
1
h
EI
r
h
EI
h
h
EI
r
h
EI
h
EI
r
h
EI
h
EI
r
s
r
s
s
r
r
s
−
=
⋅
=
−
+
⋅
−
=
⋅
=
⋅
−
⋅
+
⋅
Przy obliczaniu reakcji r
ip
pamiętać trzeba o uwzględnieniu prócz
pracy momentów wywołanych stanem P o uwzględnieniu w równaniach
pracy wirtualnej, pracy sił zewnętrznych P na odpowiednich
przemieszczeniach δ (obliczonych z równania łańcucha kinematycznego).