Łukasz Czech
18 czerwca 2013 r.
Algebra liniowa z geometrią – zestaw nr 29
Zadanie 1 Udowodnić, że jeżeli zbiór Y złożony z rozwiązań układu równań AX = b
jest niepusty (elementy macierzy a
ij
∈ K), to Y jest podprzestrzenią afiniczną w K
n
oraz kierunek
−
→
Y jest zbiorem rozwiązań układu AX = 0. Dodatkowo zachodzi równość:
dim Y = n − rz A.
Zadanie 2 Udowodnić, że Y =
n
(x
0
, . . . , x
n
) ∈ R
n+1
: x
0
+ . . . + x
n
= 1
o
jest podprze-
strzenią afiniczną R
n+1
. Wyznaczyć kierunek
−
→
Y .
Zadanie 3 Niech Y =
n
(x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) ∈ R
4
: 2x
1
− 3x
2
+ x
3
− 3x
4
= 2, 2x
1
+ x
2
− 5x
3
+3x
4
= 0}. Sprawdzić, że Y jest podprzestrzenią afiniczną wymiaru 2 oraz napisać rów-
nanie podprzestrzeni afinicznej wymiaru 2 (wymiaru 1) równoległej do Y i przechodzącej
przez punkt a = (2, −1, 1, 2).
Zadanie 4 Niech Y =
n
(x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) ∈ R
4
: x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
= 2
o
. Sprawdzić, że Y
jest podprzestrzenią afiniczną wymiaru 3 oraz napisać równania 2 różnych podprzestrzeni
afinicznych wymiaru 2 równoległych do Y i przechodzących przez punkt a = (2, 0, 1, 0).
Zadanie 5 Napisać równanie hiperpłaszczyzny w przestrzeni afinicznej R
4
przechodzącej
przez punkty A = (1, 4, 3, 2), B = (2, 0, −1, 1), C = (1, 0, 0, 2) i równoległej do wektora
−
→
u = (1, 1, 1, 1).
Zadanie 6 Niech (A; e
1
, e
2
, e
3
) będzie układem współrzędnych w R
3
, gdzie e
1
= (2, 0, 1),
e
2
= (−1, 1, 3), e
3
= (4, 7, −2). Znaleźć początek układu A, jeżeli wiadomo, że punkt
P = (1, 2, 3) ma współrzędne x
1
= 0, x
2
= 1 oraz x
3
= −2.
Zadanie 7 W R
4
dana jest hiperpłaszczyzna π : 2x + my − 3(k + 1)z + u − 1 = 0 i prosta
l :
x = 1
y = 2 + 3t
z = −1
u = 1 + 6t
, t ∈ R. Dla jakich wartości parametrów m i k zachodzi:
1
◦
π || l,
2
◦
π ∩ l składa się dokładnie z jednego punktu,
3
◦
l ⊂ π.