Łukasz Czech

18 czerwca 2013 r.

Algebra liniowa z geometrią – zestaw nr 29

Zadanie 1 Udowodnić, że jeżeli zbiór Y złożony z rozwiązań układu równań AX = b
jest niepusty (elementy macierzy a

ij

∈ K), to Y jest podprzestrzenią afiniczną w K

n

oraz kierunek

−

→

Y jest zbiorem rozwiązań układu AX = 0. Dodatkowo zachodzi równość:

dim Y = n − rz A.

Zadanie 2 Udowodnić, że Y =

n

(x

0

, . . . , x

n

) ∈ R

n+1

: x

0

+ . . . + x

n

= 1

o

jest podprze-

strzenią afiniczną R

n+1

. Wyznaczyć kierunek

−

→

Y .

Zadanie 3 Niech Y =

n

(x

1

, x

2

, x

3

, x

4

) ∈ R

4

: 2x

1

− 3x

2

+ x

3

− 3x

4

= 2, 2x

1

+ x

2

− 5x

3

+3x

4

= 0}. Sprawdzić, że Y jest podprzestrzenią afiniczną wymiaru 2 oraz napisać rów-

nanie podprzestrzeni afinicznej wymiaru 2 (wymiaru 1) równoległej do Y i przechodzącej
przez punkt a = (2, −1, 1, 2).

Zadanie 4 Niech Y =

n

(x

1

, x

2

, x

3

, x

4

) ∈ R

4

: x

1

+ x

2

+ x

3

+ x

4

= 2

o

. Sprawdzić, że Y

jest podprzestrzenią afiniczną wymiaru 3 oraz napisać równania 2 różnych podprzestrzeni
afinicznych wymiaru 2 równoległych do Y i przechodzących przez punkt a = (2, 0, 1, 0).

Zadanie 5 Napisać równanie hiperpłaszczyzny w przestrzeni afinicznej R

4

przechodzącej

przez punkty A = (1, 4, 3, 2), B = (2, 0, −1, 1), C = (1, 0, 0, 2) i równoległej do wektora

−

→

u = (1, 1, 1, 1).

Zadanie 6 Niech (A; e

1

, e

2

, e

3

) będzie układem współrzędnych w R

3

, gdzie e

1

= (2, 0, 1),

e

2

= (−1, 1, 3), e

3

= (4, 7, −2). Znaleźć początek układu A, jeżeli wiadomo, że punkt

P = (1, 2, 3) ma współrzędne x

1

= 0, x

2

= 1 oraz x

3

= −2.

Zadanie 7 W R

4

dana jest hiperpłaszczyzna π : 2x + my − 3(k + 1)z + u − 1 = 0 i prosta

l :































x = 1

y = 2 + 3t
z = −1

u = 1 + 6t

, t ∈ R. Dla jakich wartości parametrów m i k zachodzi:

1

◦

π || l,

2

◦

π ∩ l składa się dokładnie z jednego punktu,

3

◦

l ⊂ π.