Forum

Zadania

Logarytmy

Różne (3)

Rysowanie wykresu
(5)

Wzór z wykresu (4)

Recenzje

Gimnazjum (3)
Konkursy (6)
Studia (1)
Szkoła podstawowa
(5)
Szkoła średnia (27)

Na skróty

Matura 2010
Matura 2009
Matura 2008
Zadania maturalne
Egzamin 2008
Egzamin 2009
Egzamin gimnazjalny
Kangur

Lo gin

Hasło

Zaloguj

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Podobne strony

Logarytmy

/

Szkoła średnia

/

Funkcje

/

Wykresy

/

Logarytmy

/

Rysowanie wykresu

De

ni

c

j

e

Najważniejsz e w całej zabawie z logarytmami to
zrozumieć, co to jest logarytm.

Wyrażenie

jest równe odpowiedzi na

pytanie:

do jakiej potęgi należy podnieść , żeby

otrzymać ?

To z danie należy traktować jako de

ni

cj

ę logarytmów i

koniecznie trzeba je zapamiętać – jest to klucz do
wszystkich ich własności. Przy pomocy wzorków zapisuje
się to w postaci

Od ręki możemy policzyć kilka prostych przykładów – w
każdym z nich spróbujcie samodz ielnie zgadnąć
odpowiedź – i nie potrzebujemy do tego żadnych
wz orów!

Jeżeli ktoś nie rozumie powyższ ych równości to ma małe
szanse na sprawne posługiwanie się logarytmami, dlatego
radz ę się poprzyglądać do skutku.

Jeżeli rozumiemy już te wzorki, to powinny być jasne
odrobinę ogólniejsze równości:

Baza zawiera: 2926 za dań, 199 zestawów, 23 poradniki

2009-08-10

Zadania.info: poradnik n…

www.zadania.info/20995

1/9

pamiętamy (i rozumiemy) de

ni

cj

ę logarytmu, to nie

trz eba ich się uczyć na pamięć, są one wtedy dość
oczywiste.

Dla przykładu popatrzmy na trzeci wzorek:

to jest

taka liczba, ż e jak podniesiemy do niej to wyjdzie . I co
robimy? – podnosimy do niej , więc wychodzi .

Dla treningu przecz ytajmy jesz cze czwarty wzorek.
Wiemy, że jak podniesiemy do potęgi

to wyjdzie

. Jeżeli więc podniesiemy do potęgi

to wyjdzie

.

Obliczmy

jeżeli

i

.

Z de

ni

cj

i

l

ogar

yt

mu

wi

emy,

że

i

.

Zatem

Wz

or

k

i

W prz ypadku bardziej skomplikowanych wyrażeń, np.

nie jesteśmy w stanie oblicz yć tej liczby dokładnie –

jest to po prostu potęga do jakiej trzeba podnieść 2, ż eby
wyszło 3. Jest to pewna licz ba niewymierna, mniej więcej
równa 1,58496... (powinno być jasne, że musi być
między 1 a 2, bo

i

). Symbol

należy

traktować jako oznacznie tej liczby. Pomimo, że nie
znamy jej dokładnej wartości, moż emy jednak o niej coś
powiedzieć, np. bezpośrednio z de

ni

cj

i

wi

emy,

że

. Są też ciekawsze własności.

Sprawdźmy że

.

Myślimy o tym następująco: do jakiej potęgi
trzeba podnieść 2, żeby wysz ło 6? Ponieważ

, musimy podnieść 2 do potęgi 1 (dwójka

w rozkładzie) i jesz cze do

(trójka w

rozkładzie).

Sytuacja jest podobna jak z pierwiastkami: mało kto
potra

poda

ć nawet przybliżoną wartość

, ale jest

jasne, że

czy

.

Pomimo, że takie kombinowanie nie jest bardzo trudne,
można to z robić szybciej korzystając z następujących
wz orów:

2009-08-10

Zadania.info: poradnik n…

www.zadania.info/20995

2/9

ilocz ynu. Wzór ten pojawia się w większości zadań z
logarytmami – zapamiętać należy, że logarytmy dobrze
zachowują się przy dodawaniu.

Drugi wz ór to prosta konsekwencja de

ni

cj

i

(

mo

żna też

go traktować jako przypadek sz czególny 4 wzoru).

Trzeci wynika natychmiast z pierwszych dwóch i z
grubsza mówi, że logarytmy dobrze się z achowują przy
odejmowaniu.

Czwarty wzór, wynikający z równości

, bywa

bardzo użyteczny w rachunkach, bo pozwala wyciągać
potęgi przed logarytm.

Przedostatni wzór to tzw. wzór na zmianę podstawy
logarytmu. Jak nazwa wskazuje pozwala dowolnie
zmieniać podstawę logarytmu.

Jesz cze jeden przykład na ostatni wzór.

L

og

ar

y

t

m

d

z

i

es

i

ętny i naturalny

Jak zrobić tablice logarytmów? – w z asadz ie się nie da, bo

ma dwa argumenty i takie tablice byłyby ogromne.

Z drugiej strony, mamy wzór na zmianę podstawy
logarytmu i wystarczy znać logarytmy przy jednej
ustalonej podstawie. Dlatego wyróżnia się dwie
podstawy: 10 i

. Logarytm prz y podstawie 10

nazywa się dzięsiętnym i oznacz a

, a prz y

podstawie naturalnym i oznacz a

.

O ile nie trzeba specjalnie tłumaczyć dlaczego logarytm
przy podstawie 10 jest wyróżniony, to aby dobrze
zrozumieć fenomen logarytmu naturalnego trzeba znać

2009-08-10

Zadania.info: poradnik n…

www.zadania.info/20995

3/9

1

2

3

4

Pamiętajmy, ż e wzory na sumę i różnicę
logarytmów wymagają, aby logarytmy miały tę
samą podstawę. Jeżeli nie mają, to możemy

spróbować ją zmienić ze wz oru na zamianę
podstawy logarytmu.

Wprawdzie wzór na logarytm iloczynu zwykle
podaje się tylko dla dwóch liczb, ale jest on
prawdziwy dla dowolnej licz by czynników.

Obliczmy sumę

Ze wzoru na logarytm ilocz ynu, suma ta jest
równa:

Duża liczba wzorków z logarytmami sprawia, że
mamy podobną sytuację jak z funkcjami
trygonometrycznymi: ta sama liczba może być

zapisana na wiele różnych sposobów.

W poprzednim podpunkcie sprawdziliśmy, ż e

ale mogliśmy też liczyć tak

Większ ość szkolnych kalkulatorów/tablic pozwala
z naleźć tylko wartości logarytmów dziesiętnych.
Jak w takim razie wyliczyć inny logarytm? –

korzystamy ze wzoru na z amianę podstawy
logarytmu

Tu zacz ynamy dotykać delikatnego problemu
szacowania błędu obliczeń: jeżeli dzielimy dwie
liczby, które znamy z dokładnością do 0,01 to
trudno jest przewidzieć z jaką dokładnością znamy
wynik (zależy to od wartości liczby, przez którą
dzielimy). Aby to zrozumieć, wystarczy wz iąć
prz ybliż enie

i podzielić przez 10. Wtedy

2009-08-10

Zadania.info: poradnik n…

www.zadania.info/20995

4/9

5

6

wyniku na pewno nie znamy z dokładnością do
dwóch miejsc po przecinku.

Jest sporo zadań typu ’uprość wyrażenie’, w
których występują logarytmy o różnych
podstawach – z wykle pierwszą rzeczą do

zrobienia jest sprowadzenie wszystkich logarytmów
do wspólnej podstawy – im mniejszej tym lepiej. Np.
jeżeli w zadaniu są logarytmy o podstawie 2,3,6,9 to
za wspólną podstawę najlepiej wziąć 2 lub 3. Jeżeli
nie widać jaką wziąć wspólną podstawę, to zawsze
możemy pozamieniać wszystko na logarytmy
dziesiętne lub naturalne.

Obliczmy wartość wyrażenia

jeżeli

i

.

Licz ba która się wyróżnia w podanej treści to
3 (jest w każdym składniku, bo

),

więc zamieniamy podstawę wszystkich
logarytmów na 3.

Sprawdźmy, kiedy liczby

i

są kolejnymi wyrazami ciągu

arytmetycznego.
Interesujący nas warunek będzie spełniony
jeżeli środkowa liczba będz ie średnią
arytmetyczną poz ostałych dwóch. Liczmy
(z amieniamy wszystkie logarytmy na
dziesiętne).

Jedno z popularnych zastosowań logarytmów, to
’zdejmowanie na dół wykładników’, cz yli
logarytmowanie stronami.

Rozwiążmy równanie

.

Logarytmujemy równanie stronami
logarytmem przy podstawie 2.

Uzasadnijmy, ż e liczby

i

są

2009-08-10

Zadania.info: poradnik n…

www.zadania.info/20995

5/9

7

Otrzymana równość jest oczywiście
prawdziwa.

Ile cyfr ma liczba

?

Pytanie moż na przeformułować tak: dla
jakiej liczby całkowitej , mamy nierówność

(np. liczby trzycyfrowe to te, które są nie
mniejsze od 100 i mniejsze od 1000). Jeżeli
zlogarytmujemy tę równość stronami
(logarytmem dziesiętnym) to mamy

Pytanie zatem brzmi jak jest cz ęść całkowita
liczby

. Ponieważ mnożymy przez

1000 potrzebujemy do tego wartość

z

dokładnością do 0,001. Oczywiście to żaden
problem dla kalkulatora i mamy

Zatem liczba

ma 302 cyfry (bo w

nierówności ma być

).

Żeby nie zaciemniać obrazka nie przejmowaliśmy
się na razie dz iedziną logarytmu, ale warto
pamiętać, że w wyrażeniu

musi być

i

. Takie rzeczy zacz ynają być bardzo ważne,

gdy mamy parametry i nie wiemy dokładnie jaki
mają znak.

Rozwiążmy równanie

, gdzie

.

Logarytmujemy stronami logarytmem prz y
podstawie .

Mieliśmy szukać tylko dodatnich rozwiązań,
więc równanie jest sprzeczne.
Na pewno? Logarytmować przy podstawie
mogliśmy tylko dla

, więc

musimy

sprawdzić osobno. I tak się składa, że to
akurat jest rozwiązanie.

Spróbujmy rozwiązać równanie

.

Licz ymy

Rachunek wygląda niewinnie, ale

2009-08-10

Zadania.info: poradnik n…

www.zadania.info/20995

6/9

8

9

mają różne dziedziny.

Widzieliśmy przed chwilą, że trzeba bardzo
ostrożnie używać wzorów z logarytmami, gdyż
na ogół zmieniają one dziedzinę

prz ekształcanego wyrażenia. W niektórych
sytuacjach wygodne jest połączenie wzorów z
logarytmami razem z wartością bezwzględną, co
znacznie z większa możliwości ich zastosowania.

Dziedz ina prawej strony wzoru

jest znacznie

mniejsza od dziedziny lewej strony. Jeżeli
jednak zapiszemy ten wzór w postaci

to dz iedziny obu stron są dokładnie takie
same.

Podobnie jest z wzorem

.

Jeżeli

jest liczba całkowitą parzystą,

to lewa strona ma sens dla dowolnych
niezerowych liczb , a prawa tylko dla liczb
dodatnich. Jeżeli jednak napiszemy ten wzór
w postaci

to dz iedziny obu stron są identyczne. O
wzorze tym należy myśleć jak o
odpowiedniku wzoru

Rozwiążmy równanie

.

Mamy

Cz ęsto wykorzystywany motyw w zadaniach
szkolnych to fakt, że logarytm zamienia ciąg
geometryczny na arytmetyczny.

Jeżeli ciąg

jest geometryczny, to iloraz

nie zależy od . Jeżeli tę równość

zlogarytmujemy

2009-08-10

Zadania.info: poradnik n…

www.zadania.info/20995

7/9

10

11

Niezwykła użyteczność logarytmu wynika z
faktu, ż e zamienia on mnożenie na
dodawanie. Jeżeli popatrzymy na wzór

to widać, że jeż eli umiemy

zamieniać licz by na logarytmy i odwrotnie (np.
mamy tablice logarytmów), to zamiast mnożyć
liczby i moż emy dodać ich logarytmy. I co z
tego? Żeby to zrozumieć trzeba się przenieść w
czasy przedkalkulatorowe: proponuję spróbować
pisemnie wymnoż yć 10 liczb 3 cyfrowych, a wtedy
będz ie jasne dlaczego dodawanie jest o wiele
prostsze od mnożenia. Nawet w czasach
współczesnych procesorów, mnożenie jest bardzo
czasochłonną operacją i zamiana go na dodawanie
dramatycz nie przyśpiesza obliczenia.

Policzmy

.

Sprawdzamy w tablicach (na kalkulatorze
:)), że

Dodajmy te licz by i mamy 2,98625. Teraz
szukamy jakiej liczby to jest logarytm (cz yli
liczymy

). Wychodzi 968,84. Osobny

problem to sz acowanie jaki popełniamy błąd,
ale nie będziemy się tym zajmować.

Tego typu rachunki miały fundamentalne znacznie w
czasach rewolucji przemysłowej, a suwak
logarytmiczny jeszcz e nie tak dawno temu był
nieodłącz nym atrybutem każdego inżyniera.

Prz ed chwilą przekonywałem, że logarytmy
pozwalają łatwo mnożyć liczby, ale to nie
wszystko. Dz ięki wzorowi

pozwalają też szybko liczyć wartości funkcji
wykładniczych oraz pierwiastków.

Policzmy

.

Zamiast liczyć interesującą nas licz bę,
liczymy jej logarytm.

Teraz odsz ukujemy wartość

w

tablicach (na suwaku), dzielimy przez 7

Na koniec szukamy liczby, której jest to
logarytm. Wyjdzie

Oczywiście takie rachunki są dość archaiczne w
dzisiejszych czasach i pozostają ciekawostką
historycz ną.

2009-08-10

Zadania.info: poradnik n…

www.zadania.info/20995

8/9

Biblioteka online Warszawa Randki

Admissions

Consulting

Matura z Matematyki

P oz io m p ods ta wo wy i roz sz erzo ny.
P rz ygoto wa nie do m a tu ry. Sp ra wdź !

p la tu .p l

Kursy maturalne

I nte rne to wy ku rs m a tu ra lny m atura m aj
2 010 , na uka p rz ez n et!

www.na uka prze zinte rne t.pl

Napisz nam o tym!

Wyślij

Numer zadania je st w ysyłany automatycznie.

Je żeli oczekujesz odpow iedzi podaj a dre s e-ma il.

2009-08-10

Zadania.info: poradnik n…

www.zadania.info/20995

9/9