LABORATORIUM 

MODELOWANIE MATEMATYCZNE 

INSTALACJI ENERGETYCZNYCH 

 

 

Rozkład temperatury na powierzchni aluminiowego pręta. 

Przepływ laminarny przez rurę.

 

 

 

 

 

 

Prowadzący: mgr inż. Przemysław Smakulski 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Autor: Przemysław Wojciechowski

 

 

Cel ćwiczenia: 

 

Celem  ćwiczenia  było  porównanie  wyników  analizy  numerycznej  z  obliczeniami 

analitycznymi.  Zapoznanie  się  z  zagadnieniem  "punktu  monitorującego",  przeprowadzenie 
analizy dla przepływu płynu w rurze dla przepływu laminarnego.  

Rozkład temperatury w pręcie z dwóch stron grzanym:  

 

Pierwszą 

czynnością 

w 

analizie 

numerycznej 

nagrzewanego 

pręta 

było 

zaimportowanie  siatki  numerycznej  wcześniej  przygotowanej.  Kolejnym  krokiem  było 
ustawienie  w  warunków  ustalonych  pręta,  zdefiniowanie  jego  własności  fizycznych, 
określenie  warunków  brzegowych.  Produktem  finalnym  analizy  numerycznej  był  wykres 
temperatury na długości pręta. Dane analizy numerycznej zostały również wygenerowane do 
programu  Excel  w  celu  porównania  ich  z  obliczeniami  analitycznymi  i  obliczenia  błędu, 
zestawienie znajduje się z tabeli 1. 

 

Rys.1 Wykres temperatury pręta wzdłuż jego długości. Wykres został wygenerowany z programu ANSYS w 

wersji edukacyjnej 

Następnie zostały wykonane obliczenia analityczne z wzorów dla pręta z dwóch stron 
grzanego: 

=

Θ

+   

 

 

Tabela 1 Wyniki analizy numerycznej i rozwiązania analitycznego 

Lp.  Długość 

pręta, m 

Temperatura pręta z 

rozwiązania numerycznego, 

℃ 

Temperatura pręta z 

rozwiązania analitycznego, 

℃ 

Błąd 

bezwzględny 

Błąd 

względny, 

%˳ 

1 

0 

59,9989 

60 

0,0011 

0,02 

2 

0,051282

1 

49,9596 

49,97625 

0,016645 

0,3 

3 

0,102564 

42,4394 

42,46459 

0,025185 

0,6 

4 

0,153846 

36,8069 

36,83548 

0,028578 

0,77 

5 

0,205128 

32,5888 

32,61721 

0,028412 

0,87 

6 

0,25641 

29,4296 

29,45629 

0,02669 

0,9 

7 

0,307692 

27,0638 

27,08782 

0,02402 

0,88 

8 

0,358974 

25,2923 

25,31332 

0,021022 

0,83 

9 

0,410256 

23,966 

23,98409 

0,018089 

0,75 

10  0,461538 

22,9734 

22,98873 

0,015329 

0,67 

11  0,512821 

22,2311 

22,24382 

0,012718 

0,57 

12  0,564103 

21,6764 

21,68696 

0,010558 

0,49 

13  0,615385 

21,2628 

21,27147 

0,008669 

0,41 

14  0,666667 

20,9553 

20,96253 

0,00723 

0,35 

15  0,717949 

20,7283 

20,73425 

0,005954 

0,29 

16  0,769231 

20,5625 

20,56751 

0,005009 

0,25 

17  0,820513 

20,4441 

20,44832 

0,004222 

0,21 

18  0,871795 

20,363 

20,36671 

0,003706 

0,18 

19  0,923077 

20,3125 

20,31582 

0,00332 

0,16 

20  0,974359 

20,2883 

20,2914 

0,0031 

0,15 

21 

1,02564 

20,2882 

20,2914 

0,0032 

0,15 

22 

1,07692 

20,3125 

20,31582 

0,003317 

0,16 

23 

1,12821 

20,363 

20,36671 

0,003712 

0,18 

24 

1,17949 

20,4441 

20,44833 

0,004228 

0,21 

25 

1,23077 

20,5625 

20,56751 

0,005012 

0,24 

26 

1,28205 

20,7284 

20,73425 

0,00585 

0,28 

27 

1,33333 

20,9553 

20,96251 

0,007215 

0,34 

28 

1,38462 

21,2627 

21,2715 

0,008804 

0,41 

29 

1,4359 

21,6764 

21,68699 

0,010586 

0,488136 

30 

1,48718 

22,2311 

22,24383 

0,01273 

0,572295 

31 

1,53846 

22,9735 

22,9887 

0,015196 

0,661012 

32 

1,58974 

23,966 

23,984 

0,018 

0,750484 

33 

1,64103 

25,2923 

25,31344 

0,021141 

0,835188 

34 

1,69231 

27,0638 

27,0879 

0,0241 

0,8897 

35 

1,74359 

29,4296 

29,45629 

0,02669 

0,906086 

36 

1,79487 

32,5888 

32,61707 

0,02827 

0,866738 

37 

1,84615 

36,8069 

36,8351 

0,028199 

0,76556 

38 

1,89744 

42,4393 

42,46509 

0,025791 

0,607342 

39 

1,94872 

49,9596 

49,9766 

0,016999 

0,340149 

40 

2 

59,9989 

60 

0,0011 

0,018333 

 

 

 

Rys.2 Wykres temperatur wyliczonej z rozwiązaniem analitycznym i numerycznym. 

 

 

 

0

10

20

30

40

50

60

70

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

T

e

m

p

e

ra

tu

ra

, 

º

C

Długość pręta, m

rozwiązanie numeryczne

rozwiązanie analityczne

Przepływ laminarny wody przez ruroci

Wykonano  analizę  numeryczn
Sporządzono:  wykres  rozkładu  pr
rozkład  temperatur  w  przekroju  poprzecznym  ruroci
wzdłuż  długości  rury  (Rys.5), 
(Rys.6) 

Rys.3 Wykres rozkładu pr

Rys.4 Graficzny rozkład 

wody przez rurociąg: 

  numeryczną  dla  przepływu  laminarnego  wody

wykres  rozkładu  prędkości  w  przekroju  poprzecznym  rury  (Rys.3),

rozkład  temperatur  w  przekroju  poprzecznym  rurociągu  (Rys.4)  wykres  rozkładu  pr

),  wykres  rozkładu  ciśnienia  absolutnego  wzdłu

Rys.3 Wykres rozkładu prędkości w przekroju poprzecznym rury 

Rys.4 Graficzny rozkład prędkości w przekroju poprzecznym rurociągu

  dla  przepływu  laminarnego  wody  przez  rurociąg. 

ci  w  przekroju  poprzecznym  rury  (Rys.3),  graficzny 

wykres  rozkładu  prędkości 

nienia  absolutnego  wzdłuż  długości  rury 

 

y  

 

w przekroju poprzecznym rurociągu 

Rys.5 Wykres rozkładu pr

Rys.6 Wykres rozkładu ci

 

 

 

Rys.5 Wykres rozkładu prędkości wzdłuż długości rury 

Rys.6 Wykres rozkładu ciśnienia absolutnego wzdłuż długości rury

 

 

 

ś

ci rury 

Przepływ turbulentny wody przez ruroci

Wykonano  analizę  numeryczn
Sporządzono:  wykres  rozkładu  pr
rozkład  temperatur  w  przekroju  poprzecznym  ruroci
wzdłuż  długości  rury  (Rys.9),  wykres  rozkładu  ci
(Rys.10) 

Rys.7 Wykres rozkładu pr

Rys.8 Graficzny rozkład 

Przepływ turbulentny wody przez rurociąg: 

numeryczną  dla  przepływu  turbulentnego  wody  przez  ruroci

dzono:  wykres  rozkładu  prędkości  w  przekroju  poprzecznym  rury  (Rys.

rozkład  temperatur  w  przekroju  poprzecznym  rurociągu  (Rys.8)  graficzny  rozkład

),  wykres  rozkładu  ciśnienia  absolutnego  wzdłu

Wykres rozkładu prędkości w przekroju poprzecznym rury 

Graficzny rozkład prędkości w przekroju poprzecznym rurociągu

  dla  przepływu  turbulentnego  wody  przez  rurociąg. 

ci  w  przekroju  poprzecznym  rury  (Rys.7),  graficzny 

graficzny  rozkład  prędkości 

nienia  absolutnego  wzdłuż  długości  rury 

 

ci w przekroju poprzecznym rury  

 

w przekroju poprzecznym rurociągu 

 

 

Rys.9 Graficzny rozkład prędkości wzdłuż długości rury 

 

Rys.10 Wykres rozkładu ciśnienia absolutnego wzdłuż długości rury 

 

Wnioski: 

 

W  pierwszej  części  ćwiczenia  wykonano  dwie  analizy  analityczną  i  numeryczną. 

Wyliczono  błąd  bezwzględny  analizy  numerycznej  poprzez  odjęcie  wyniku  analizy 
numerycznej  od  wyników  analizy  analitycznej.  Błąd  względny  odniesiony  do  wyników 
analizy  analitycznej,  osiągnął  maksymalną  wartość  0,9  promila.  Dla  celów  inżynierskich 
przyjmuje  się  dopuszczalny  błąd  do  około  5%.  Wartość  błędu  dla  analizy  numerycznej  jest 
pomijalnie mała.  

 

Punkt  monitorujący  w  obliczeniach  kontroluje  czy  obliczenia  osiągnęły  zadaną 

wartość dokładności.  

 

W  drugiej  części  ćwiczenia  przeprowadzono  analizę  numeryczną  dla  przepływu 

laminarnego  i  turbulentnego  w  rurociągu.  Uzyskane  profile  prędkości  w  przekroju 
poprzecznym  rury  dla  obu  przepływów  wyszły  idealnie  z  teorią  (Rys.3,  Rys.7).  
Na  graficznym  przedstawieniu  rozkładu  prędkości  (Rys.4),  można  zauważyć  typowe  dla 
przepływu laminarnego nie mieszające się ze sobą "warstwy" płynu. Natomiast dla przepływu 
turbulentnego  (Rys.8),  widoczna  jest  dominacja  dużych  prędkości,  jest  to  związane  
z mieszaniem się "warstw" płynu, które powoduje wyrównywanie prędkości.