www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

P

RÓBNY

E

GZAMIN

M

ATURALNY

Z

M

ATEMATYKI

Z

ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS

WWW

.

ZADANIA

.

INFO

POZIOM ROZSZERZONY

20

MARCA

2010

C

ZAS PRACY

: 180

MINUT

Z

ADANIE

1

(4

PKT

.)

Wyznacz wszystkie warto´sci parametru m, dla których równanie

1

7

x

−

√

3

−

m

=

0 ma

dwa pierwiastki, których iloczyn jest ujemny.

Z

ADANIE

2

(4

PKT

.)

Rozwi ˛

a ˙z układ równa ´n

(

5

|

y

| +

3x

=

3y

+

3

|

4y

+

9x

| =

6y.

Z

ADANIE

3

(5

PKT

.)

W trójk ˛

acie prostok ˛

atnym ABC przyprostok ˛

atne maj ˛

a długo´sci

|

AC

| =

b,

|

BC

| =

a, a wyso-

ko´s´c opuszczona z wierzchołka k ˛

ata prostego ma długo´s´c h.

α

A

B

C

a

b

h

Wyka ˙z, ˙ze je ˙zeli b

2

=

a

·

h to cos

]

BAC

=

√

5

−

1

2

.

Z

ADANIE

4

(5

PKT

.)

Z miejscowo´sci A i B, które s ˛

a odległe o 58,5 km wyruszyły jednocze´snie ku sobie dwa sa-

mochody. Pierwszy samochód w ci ˛

agu pierwszej minuty jechał ze ´sredni ˛

a pr˛edko´sci ˛

a 30

km/h, a w ci ˛

agu ka ˙zdej nast˛epnej minuty pokonywał drog˛e o 0,25 km dłu ˙zsz ˛

a, ni ˙z w ci ˛

agu

poprzedniej minuty. Drugi samochód przez pierwsze 6 minut przejechał 21 kilometrów, a
potem jechał ze stał ˛

a pr˛edko´sci ˛

a 150 km/h. Oblicz po ilu minutach nast ˛

api spotkanie samo-

chodów.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

1

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

5

(4

PKT

.)

Ci ˛

ag

(

b

n

)

jest niesko ´nczonym ci ˛

agiem liczb dodatnich, a ci ˛

ag

(

a

n

)

spełnia warunek

a

n

+

1

−

a

n

=

log 2b

n

−

log b

101

−

n

,

dla n

=

1, 2, . . . , 100.

Oblicz a

101

−

a

1

.

Z

ADANIE

6

(4

PKT

.)

Ze zbioru

{

1, 2, . . . , 10

}

losujemy dwie ró ˙zne liczby n i k. Oblicz prawdopodobie ´nstwo, ˙ze

2n

2

>

k

·

n

1

.

Z

ADANIE

7

(5

PKT

.)

Okr ˛

ag o ´srodku O jest wpisany w trójk ˛

at ABC, gdzie A

= (−

3, 5

)

. Wiedz ˛

ac, ˙ze okr ˛

ag ten

jest styczny do boków AB i AC odpowiednio w punktach K

= (

0,

−

1

)

i L

= (

3, 2

)

oblicz

długo´s´c odcinka AO.

Z

ADANIE

8

(5

PKT

.)

Wyznacz warto´s´c parametru m, dla którego równanie

x

3

+ (

m

−

2

)

x

2

+ (

6

−

2m

)

x

−

12

=

0

ma trzy pierwiastki x

1

, x

2

, x

3

spełniaj ˛

ace warunki x

3

= −

x

1

oraz x

2

=

x

1

−

1.

Z

ADANIE

9

(4

PKT

.)

Trapez prostok ˛

atny ABCD o podstawach AB i CD jest opisany na okr˛egu o promieniu r.

a) Wyka ˙z, ˙ze

|

AB

| + |

CD

| >

4r.

b) Wiedz ˛

ac, ˙ze pole trapezu jest równe 4 wyka ˙z, ˙ze r

6

1.

Z

ADANIE

10

(6

PKT

.)

Na płaskiej powierzchni poło ˙zono trzy kule K

1

, K

2

, K

3

, ka ˙zda o promieniu 2 tak, ˙ze kule K

1

i K

2

s ˛

a styczne w punkcie P

3

, kule K

2

i K

3

s ˛

a styczne w punkcie P

1

, a kule K

3

i K

1

s ˛

a styczne

w punkcie P

2

. Nast˛epnie poło ˙zono na tych kulach kul˛e K

4

o promieniu 3, która jest styczna

do kul K

1

, K

2

, K

3

odpowiednio w punktach S

1

, S

2

, S

3

.

a) Uzasadnij, ˙ze odcinki P

1

P

2

i S

1

S

2

s ˛

a równoległe.

b) Oblicz obwód trapezu P

1

P

2

S

1

S

2

.

Z

ADANIE

11

(4

PKT

.)

Wyka ˙z, ˙ze dla dowolnych liczb rzeczywistych a

6=

b oraz m

6=

0 równanie

1

x

−

a

+

1

x

−

b

=

1

m

ma dwa ró ˙zne rozwi ˛

azania.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

2