www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
P
RÓBNY
E
GZAMIN
M
ATURALNY
Z
M
ATEMATYKI
Z
ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS
WWW
.
ZADANIA
.
INFO
POZIOM ROZSZERZONY
20
MARCA
2010
C
ZAS PRACY
: 180
MINUT
Z
ADANIE
1
(4
PKT
.)
Wyznacz wszystkie warto´sci parametru m, dla których równanie
1
7
x
−
√
3
−
m
=
0 ma
dwa pierwiastki, których iloczyn jest ujemny.
Z
ADANIE
2
(4
PKT
.)
Rozwi ˛
a ˙z układ równa ´n
(
5
|
y
| +
3x
=
3y
+
3
|
4y
+
9x
| =
6y.
Z
ADANIE
3
(5
PKT
.)
W trójk ˛
acie prostok ˛
atnym ABC przyprostok ˛
atne maj ˛
a długo´sci
|
AC
| =
b,
|
BC
| =
a, a wyso-
ko´s´c opuszczona z wierzchołka k ˛
ata prostego ma długo´s´c h.
α
A
B
C
a
b
h
Wyka ˙z, ˙ze je ˙zeli b
2
=
a
·
h to cos
]
BAC
=
√
5
−
1
2
.
Z
ADANIE
4
(5
PKT
.)
Z miejscowo´sci A i B, które s ˛
a odległe o 58,5 km wyruszyły jednocze´snie ku sobie dwa sa-
mochody. Pierwszy samochód w ci ˛
agu pierwszej minuty jechał ze ´sredni ˛
a pr˛edko´sci ˛
a 30
km/h, a w ci ˛
agu ka ˙zdej nast˛epnej minuty pokonywał drog˛e o 0,25 km dłu ˙zsz ˛
a, ni ˙z w ci ˛
agu
poprzedniej minuty. Drugi samochód przez pierwsze 6 minut przejechał 21 kilometrów, a
potem jechał ze stał ˛
a pr˛edko´sci ˛
a 150 km/h. Oblicz po ilu minutach nast ˛
api spotkanie samo-
chodów.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
1
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
5
(4
PKT
.)
Ci ˛
ag
(
b
n
)
jest niesko ´nczonym ci ˛
agiem liczb dodatnich, a ci ˛
ag
(
a
n
)
spełnia warunek
a
n
+
1
−
a
n
=
log 2b
n
−
log b
101
−
n
,
dla n
=
1, 2, . . . , 100.
Oblicz a
101
−
a
1
.
Z
ADANIE
6
(4
PKT
.)
Ze zbioru
{
1, 2, . . . , 10
}
losujemy dwie ró ˙zne liczby n i k. Oblicz prawdopodobie ´nstwo, ˙ze
2n
2
>
k
·
n
1
.
Z
ADANIE
7
(5
PKT
.)
Okr ˛
ag o ´srodku O jest wpisany w trójk ˛
at ABC, gdzie A
= (−
3, 5
)
. Wiedz ˛
ac, ˙ze okr ˛
ag ten
jest styczny do boków AB i AC odpowiednio w punktach K
= (
0,
−
1
)
i L
= (
3, 2
)
oblicz
długo´s´c odcinka AO.
Z
ADANIE
8
(5
PKT
.)
Wyznacz warto´s´c parametru m, dla którego równanie
x
3
+ (
m
−
2
)
x
2
+ (
6
−
2m
)
x
−
12
=
0
ma trzy pierwiastki x
1
, x
2
, x
3
spełniaj ˛
ace warunki x
3
= −
x
1
oraz x
2
=
x
1
−
1.
Z
ADANIE
9
(4
PKT
.)
Trapez prostok ˛
atny ABCD o podstawach AB i CD jest opisany na okr˛egu o promieniu r.
a) Wyka ˙z, ˙ze
|
AB
| + |
CD
| >
4r.
b) Wiedz ˛
ac, ˙ze pole trapezu jest równe 4 wyka ˙z, ˙ze r
6
1.
Z
ADANIE
10
(6
PKT
.)
Na płaskiej powierzchni poło ˙zono trzy kule K
1
, K
2
, K
3
, ka ˙zda o promieniu 2 tak, ˙ze kule K
1
i K
2
s ˛
a styczne w punkcie P
3
, kule K
2
i K
3
s ˛
a styczne w punkcie P
1
, a kule K
3
i K
1
s ˛
a styczne
w punkcie P
2
. Nast˛epnie poło ˙zono na tych kulach kul˛e K
4
o promieniu 3, która jest styczna
do kul K
1
, K
2
, K
3
odpowiednio w punktach S
1
, S
2
, S
3
.
a) Uzasadnij, ˙ze odcinki P
1
P
2
i S
1
S
2
s ˛
a równoległe.
b) Oblicz obwód trapezu P
1
P
2
S
1
S
2
.
Z
ADANIE
11
(4
PKT
.)
Wyka ˙z, ˙ze dla dowolnych liczb rzeczywistych a
6=
b oraz m
6=
0 równanie
1
x
−
a
+
1
x
−
b
=
1
m
ma dwa ró ˙zne rozwi ˛
azania.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
2