Agnieszka Mleczko
Grupa 13, AiR
AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA
im. Stanisława Staszica
w Krakowie
LABORATORIUM Z PODSTAW AUTOMATYKI
SPRAWOZDANIE
Laboratorium nr 1
Temat: Rozwiązywanie równań różniczkowych
z niezerowymi warunkami poczÄ…tkowymi
1). Cel ćwiczenia:
a) zapoznanie się z różnymi metodami rozwiązywania równań różniczkowych
w Matlabie,
b) wykorzystanie Simulinka do tworzenia modelu równania różniczkowego,
c) archiwizacja otrzymanych rozwiązań
2). Przebieg ćwiczenia:
Rozwiązanie równania różniczkowego
5ØQÜ25ØfÜ 5ØQÜ5ØfÜ
+ + 35ØfÜ = 0
5ØQÜ5ØaÜ2 5ØQÜ5ØaÜ
dla y(0) = 1, 5ØfÜ 0 = 0
a). RozwiÄ…zanie wykorzystujÄ…ce funkcjÄ™ dsolve():
syms y x; % definicja zmiennych symbolicznych  x i  y
x = dsolve('D2y + Dy + 3*y=0' , 'y(0)=1' , 'Dy(0)=0'); % równanie wraz z
warunkami poczatkowymi
pretty(x); % wypisanie rozwiazania
t=0:0.01:9.99; % definicja wektora czasu
w=subs(x); % wartosc liczbowa  x wyliczona poprzez podstawienie
zdefiniowanego wczeniej wektora  t
plot(t,w,'r-'); % narysowanie wykresu
xlabel('czas[s]');
ylabel('amplituda sygnalu');
title('Wykres rozwiazania rownania rozniczkowego');
grid;
Wykres rozwiÄ…zania (dla t=10[s]):
b). RozwiÄ…zanie wykorzystujÄ…ce funkcjÄ™ ode45:
Zapisanie równania różniczkowego jako równanie stanu:
function ydot=funkcja(t,y)
% Układ rownan rozniczkowych
ydot=zeros(0,1);
ydot(1)=y(2);
ydot(2)=(-3*y(1)-y(2));
Wprowadzenie parametrów wejściowych i wywołanie funkcji ode45:
function rozw2
t0=0;
clc
disp('Funkcja rozwiazuje rownanie rozniczkowe zwyczajne metoda ');
disp('Rungego - Kutty i podaje jego interpretacje graficzna:');
disp(' ');disp('Postac rownania:');disp(' ');
disp(' y'' + y +3y = 0');
y01=input ('Podaj wartosc y01 = ');
y02=input ('Podaj wartosc y02 = ');
tk=input ('Podaj czas symulacji tk = ');
y0=[y01 y02];
[t,y]=ode45('funkcja',t0,tk,y0,0.001,0);
plot(t,y(:,1),'g-');
xlabel('czas [s]');ylabel('amplituda sygnalu');
title('Wykres rozwiazania rownania rozniczkowego');
grid;
c). RozwiÄ…zanie wykorzystujÄ…ce Simulink a:
Model:
Wykres rozwiÄ…zania:
3). Wnioski:
Na podstawie przeprowadzonych symulacji możemy stwierdzid, że dla danego równania każda z
metod daje niemal identyczne rozwiązanie graficzne  niewielką różnicę można zauważyd między
wykresami wykorzystujÄ…cymi metodÄ™ dsolve a metody ode45 i Simulink a. W praktyce jednak
metoda analityczna jest najdokładniejsza bowiem daje rzeczywisty wynik, pozostałe metody są
metodami numerycznymi i dają wyniki obarczone pewnym błędem, zależnym od kroku
całkowania.