Politechnika PoznaÅ„ska º% Instytut Konstrukcji Budowlanych º% ZakÅ‚ad Mechaniki Budowli
Zad.2
Układy statycznie niewyznaczalne  linie wpływu w belkach ciągłych
Wyznaczyć linie wpływu reakcji RB dla belki (EI=const):
M=1.0 [-]
C
A B
X
4.0m
4.0m
RozwiÄ…zanie - wersja I:
Układ podstawowy:
SSN=1
M=1.0
X1
C
A B
URK: ´11LwX1 +´1P (x)=0
4.0
4.0
0
LwRB = LwRB + RB( X1=1) Å"LwX1 + RB( X 2=1)Å"LwX2
Stan X1=1
X1=1
X1=1
x x
1 2
C
A B
1/4 1/4 1/4
1/4
M1 [-]
1
x1/4
1-x2/4
1 1 2 8 m
ëÅ‚ îÅ‚ Å‚Å‚
´11 = Å" 4 Å"1Å" Å"1Å" 2öÅ‚ =
ìÅ‚ ÷Å‚
2
ïÅ‚kNm śł
EI 2 3 3EI
íÅ‚ Å‚Å‚ ðÅ‚ ûÅ‚
´1P (x)=´P1(x) - zgodnie z twierdzeniem Maxwella (sformuÅ‚owanym w 1864r. :&);
´1P(x) - przemieszczenie uogólnione punktu przyÅ‚ożenia siÅ‚y X1, po kierunku tej siÅ‚y (czyli
wzajemny obrót przekrojów BL oraz BP) wywołane działaniem siły P=1,0
poruszającej się po belce, a więc linia wpływu tego przemieszczenia;
´P1(x) - przemieszczenie uogólnione punktu przyÅ‚ożenia siÅ‚y P, po kierunku tej siÅ‚y, czyli
funkcja kątów obrotu przekrojów belki: dy dx , wywołane siłą X1=1;
wyznaczamy korzystajÄ…c np. z różniczkowego równania linii ugiÄ™cia ´P1(x)= dy dx
lub z równania pracy wirtualnej;

x1
M (x)=
4
war.brzegowe:
2
d y x1
EI =-
1) x1 =0 y =0 Ò! D=0
dx2 4
43 2
dy x12
2) x1 =4 y =0 Ò! 0=- +4C Ò! C =
EI =- +C
24 3
dx 8
ëÅ‚ öÅ‚
dy 1 x12 2
AB
x13
ìÅ‚- + ÷Å‚
´P1 (x)= =
EIy =- +Cx1+D
ìÅ‚ ÷Å‚
dx EI 8 3
24
íÅ‚ Å‚Å‚
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor 2006
1
Politechnika PoznaÅ„ska º% Instytut Konstrukcji Budowlanych º% ZakÅ‚ad Mechaniki Budowli
Zad.2
Układy statycznie niewyznaczalne  linie wpływu w belkach ciągłych

x2
M (x)=1-
4
war. brzgowe :
2
d y x2
EI = -1
1) x2 = 0 y = 0 Ò! D = 0
dx2 4
43 42
dy x22
2) x2 = 4 y = 0 Ò! 0 = - + 4C Ò! C
EI = -x2 +C
24 2
dx 8
2
x23 x2 ëÅ‚ öÅ‚
dy 1 x2 2 4
BC
EIy = - +Cx2 +D ìÅ‚ ÷Å‚
´ ( x) = = - x2 +
P1
ìÅ‚ ÷Å‚
24 2
dx EI 8 3
íÅ‚ Å‚Å‚
´1AB (x) ëÅ‚ öÅ‚
3EI 1 x12 2 3x12 1
P
ìÅ‚- + ÷Å‚= -
LwX1AB =- =- Å"
ìÅ‚ ÷Å‚
´11 8 EI 8 3 64 4
íÅ‚ Å‚Å‚
BC
2
´1P (x) ëÅ‚ öÅ‚
3EI 1 x22 4 3x2 3x2 1
ìÅ‚ ÷Å‚=
LwX1BC =- =- Å" -x2 + - + -
ìÅ‚ ÷Å‚
´11 8 EI 8 3 64 8 2
íÅ‚ Å‚Å‚
M=1.0
x
1
x
2
C
B
A
RB
-1/4
LwRB0
1
[-]
1/4
< A;B >
ëÅ‚ öÅ‚
AB 1 1 3x12 1 3x12 3
0 AB
÷Å‚=
LwRAB = LwRB + RB( X1=1) Å"LwX = - Å"ìÅ‚ - - +
B 1
ìÅ‚ ÷Å‚
4 2 64 4 128 8
íÅ‚ Å‚Å‚
< B;C >
2
ëÅ‚ öÅ‚
BC 1 1 3x2 3x2 1 3x22 3x2
0 BC
ìÅ‚
LwRBC = LwRB + RB( X1=1) Å"LwX =- - Å"ìÅ‚- + - ÷Å‚
B 1 ÷Å‚= -
4 2 64 8 2 128 16
íÅ‚ Å‚Å‚
M=1.0
A
B C
X
RB
LwRB [-]
Lw RB [1/m]
0 1 2 3 4 5 6 7 8
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor 2006
2
0.375
0.352
0.281
0.164
0.000
-0.164
-0.281
-0.352
-0.375
Politechnika PoznaÅ„ska º% Instytut Konstrukcji Budowlanych º% ZakÅ‚ad Mechaniki Budowli
Zad.2
Układy statycznie niewyznaczalne  linie wpływu w belkach ciągłych
RozwiÄ…zanie - wersja II:
Układ podstawowy:
M=1.0 [-]
SSN=1
C
B
A
URK:
X1
X
4.0
4.0
´11LwX1 +´1P (x)=0
LwRB =LwX1
Stan X1=1
x x2
1
C
A B
X1=1
1/2
1/2
-x1/2 -2+x2/2
2
M1 [-]
1 1 2 32 m
ëÅ‚ îÅ‚ Å‚Å‚
´11 = Å" 4 Å" 2 Å" Å" 2 Å" 2öÅ‚ =
ìÅ‚ ÷Å‚
2
ïÅ‚kNm śł
EI 2 3 3EI
íÅ‚ Å‚Å‚ ðÅ‚ ûÅ‚
´1P (x)=´P1(x) - zgodnie z twierdzeniem Maxwella; interpretacja j/w;
war. brzegowe:
x1
M (x) = -
1) ze względu na symetrię obciążenia i geometrii
2
układu* obrót przekroju w p.B wynosi 0:
2
d y x1
EI =
dy 42
dx2 2 x1 = 4 = 0 Ò! 0 = + C Ò! C = -4
dx 4
dy x12
EI = + C
ëÅ‚
dy 1 x12 öÅ‚
AB
dx 4 ìÅ‚
´ (x) = = - 4÷Å‚
P1
ìÅ‚ ÷Å‚
dx EI 4
íÅ‚ Å‚Å‚

x2
M (x) = -2 +
war. brzegowe :
2
2
dy
d y x2
1) x2 = 0 = 0 Ò! C = 0
EI = 2 -
dx
dx2 2
ëÅ‚ öÅ‚
dy 1
dy x2 2 BC
ìÅ‚2x2 - x22 ÷Å‚
´P1 (x) = =
EI = 2x2 - + C
ìÅ‚ ÷Å‚
dx EI 4
dx 4
íÅ‚ Å‚Å‚
AB
´ (x) ëÅ‚
3EI 1 x12 öÅ‚ 3x12 3
1P
ìÅ‚
LwRAB = LwX1AB = - = - Å" - 4÷Å‚ = - +
B
ìÅ‚ ÷Å‚
´11 32 EI 4 128 8
íÅ‚ Å‚Å‚
(czyli j/w :)
BC
´ (x) ëÅ‚ öÅ‚
3EI 1 3x22 3x2
1P
ìÅ‚2x2 - x22 ÷Å‚
LwRBC = LwX1BC = - = - Å" = -
B
ìÅ‚ ÷Å‚
´11 32 EI 4 128 16
íÅ‚ Å‚Å‚
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor 2006
3
Politechnika PoznaÅ„ska º% Instytut Konstrukcji Budowlanych º% ZakÅ‚ad Mechaniki Budowli
Zad.2
Układy statycznie niewyznaczalne  linie wpływu w belkach ciągłych
*)
w przypadku układu niesymetrycznego (różne przekroje lub rozpiętości) aby wyznaczyć funkcje
kątów obrotu belki (a właściwie stałe całkowania), trzeba skorzystać z warunków brzegowych
opisujących przemieszczenie pionowe (ugięcie) w punktach A, B, C:

dy x12 dy x2 2
EI = +C1 EI = 2x2 - +C2
dx 4 dx 4
x13 x23
2
EIy = +C1x1 +D1 EIy = x2 - +C2x2 +D2
12 12
komplet warunków brzegowych:
1) x1 =0 y =0 Ò! D1 =0
3
0
43 43
2) x1 =4 (x2 =0) yL = yP Ò! +4C1 +D1 =02 - +C2 Å"0+D2 Ò! +4C1 = D2
B B
12 12 12
2
0
412 412
L P
3) x1 =4 (x2 =0) ÕB =Õ Ò! +C1 =2Å"0- +C2 Ò! +C1 =C2
B
4 4 4
3
4
4) x2 =4 y =0 Ò! 42 - +C2 Å"4+D2 =0
12
- po rozwiązaniu kładu równań:
D1 = 0
Å„Å‚
ôÅ‚
3
ôÅ‚4 4C1 = D2
+
ôÅ‚
12
ôÅ‚
òÅ‚412
+ C1 = C2
ôÅ‚
4
ôÅ‚
3
ôÅ‚ 4
2
ôÅ‚4 - + C2 Å" 4 + D2 = 0
ół 12
otrzymujemy: C1 =-4; D1 =0; C2 =0; D2 =-32/3, co prowadzi do tych samych wyników :)
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor 2006
4