Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Wykład 8
- Optymalna struktura podatków pośrednich -
dr Maciej Bukowski
Katedra Ekonomii I SGH
3 grudnia 2008
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
O czym mówiliśmy ostatnio?
1
Podatki mogą zniekształcać lub niezniekształcać alokacji zasobów w
gospodarce,
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
O czym mówiliśmy ostatnio?
1
Podatki mogą zniekształcać lub niezniekształcać alokacji zasobów w
gospodarce,
2
Jedynie podatki ryczałtowe, płacone w tej samej wysokości
niezależnie od podejmowanych działań rynkowych, a więc
niemanipulowalne, nie prowadzą do zniekształceń i spadku wielkości
produktu,
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
O czym mówiliśmy ostatnio?
1
Podatki mogą zniekształcać lub niezniekształcać alokacji zasobów w
gospodarce,
2
Jedynie podatki ryczałtowe, płacone w tej samej wysokości
niezależnie od podejmowanych działań rynkowych, a więc
niemanipulowalne, nie prowadzą do zniekształceń i spadku wielkości
produktu,
3
Wszystkie inne podatki nie mają tej własności - dotyczy to m.in.
CIT, PIT, VAT i jest niezależne od tego czy podatek jest liniowy czy
progresywny - wszystkie te podatki zniekształcają,
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
O czym mówiliśmy ostatnio?
1
Podatki mogą zniekształcać lub niezniekształcać alokacji zasobów w
gospodarce,
2
Jedynie podatki ryczałtowe, płacone w tej samej wysokości
niezależnie od podejmowanych działań rynkowych, a więc
niemanipulowalne, nie prowadzą do zniekształceń i spadku wielkości
produktu,
3
Wszystkie inne podatki nie mają tej własności - dotyczy to m.in.
CIT, PIT, VAT i jest niezależne od tego czy podatek jest liniowy czy
progresywny - wszystkie te podatki zniekształcają,
4
Zarówno podatki konsumpcyjne jak i dochodowe są sobie, co do
zasady, równoważne. Ostatecznie przedmiotem opodatkowania jest
bowiem produkt.
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Czy podatki mogą być optymalne?
1
Wiemy, że tylko podatek ryczałtowy nie wpływa na wielkość
produktu, ale jednocześnie wiemy też, że jest on fiskalnie
nieosiągalny przy dzisiejszych rozmiarach rządu, a jednocześnie
niepopularny,
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Czy podatki mogą być optymalne?
1
Wiemy, że tylko podatek ryczałtowy nie wpływa na wielkość
produktu, ale jednocześnie wiemy też, że jest on fiskalnie
nieosiągalny przy dzisiejszych rozmiarach rządu, a jednocześnie
niepopularny,
2
W praktyce rządy stosują więc inne podatki - nałożone np. na
konsumpcję czy dochód z pracy,
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Czy podatki mogą być optymalne?
1
Wiemy, że tylko podatek ryczałtowy nie wpływa na wielkość
produktu, ale jednocześnie wiemy też, że jest on fiskalnie
nieosiągalny przy dzisiejszych rozmiarach rządu, a jednocześnie
niepopularny,
2
W praktyce rządy stosują więc inne podatki - nałożone np. na
konsumpcję czy dochód z pracy,
3
Możemy spytać o to w jaki sposób rozłożyć opodatkowanie by w jak
najmniejszym stopniu spadła użyteczność gospodarstwa domowego,
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Czy podatki mogą być optymalne?
1
Wiemy, że tylko podatek ryczałtowy nie wpływa na wielkość
produktu, ale jednocześnie wiemy też, że jest on fiskalnie
nieosiągalny przy dzisiejszych rozmiarach rządu, a jednocześnie
niepopularny,
2
W praktyce rządy stosują więc inne podatki - nałożone np. na
konsumpcję czy dochód z pracy,
3
Możemy spytać o to w jaki sposób rozłożyć opodatkowanie by w jak
najmniejszym stopniu spadła użyteczność gospodarstwa domowego,
4
Jest to tzw. problem Ramseya optymalnego opodatkowania.
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Podstawowe oznaczenia
1
Rozważmy gospodarkę, w której istnieje n > 0 różnych dóbr
konsumpcyjnych, xi dla i " {1, ..., n},
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Podstawowe oznaczenia
1
Rozważmy gospodarkę, w której istnieje n > 0 różnych dóbr
konsumpcyjnych, xi dla i " {1, ..., n},
2
Dobra te są wytwarzane przy użyciu technologii F (...), o stałych
przychodach skali, wykorzystującej pracę l jako jedyny czynnik
produkcji:
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Podstawowe oznaczenia
1
Rozważmy gospodarkę, w której istnieje n > 0 różnych dóbr
konsumpcyjnych, xi dla i " {1, ..., n},
2
Dobra te są wytwarzane przy użyciu technologii F (...), o stałych
przychodach skali, wykorzystującej pracę l jako jedyny czynnik
produkcji:
F (x1, ..., xn, l) = 0
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Podstawowe oznaczenia
1
Rozważmy gospodarkę, w której istnieje n > 0 różnych dóbr
konsumpcyjnych, xi dla i " {1, ..., n},
2
Dobra te są wytwarzane przy użyciu technologii F (...), o stałych
przychodach skali, wykorzystującej pracę l jako jedyny czynnik
produkcji:
F (x1, ..., xn, l) = 0
3
gdzie xi = ci + gi jest dzielone między konsumpcję prywatną ci i
publiczną gi ,
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Podstawowe oznaczenia
1
Rozważmy gospodarkę, w której istnieje n > 0 różnych dóbr
konsumpcyjnych, xi dla i " {1, ..., n},
2
Dobra te są wytwarzane przy użyciu technologii F (...), o stałych
przychodach skali, wykorzystującej pracę l jako jedyny czynnik
produkcji:
F (x1, ..., xn, l) = 0
3
gdzie xi = ci + gi jest dzielone między konsumpcję prywatną ci i
publiczną gi ,
4
Dodatkowo niech pi oznacza cenę netto dobra i, zaś w = 1 jest
znormalizowaną płacą osoby pracującej,
5
Rząd nakłada podatki na dobra konsumpcyjne w wysokości �i , a na
pracę, �l.
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Problem gospodarstwa domowego
1
Gospodarstwo domowe maksymalizuje użyteczność z konsumpcji i
pracy, pod warunkiem ograniczenia budżetowego zrównującego
wydatki z dochodami:
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Problem gospodarstwa domowego
1
Gospodarstwo domowe maksymalizuje użyteczność z konsumpcji i
pracy, pod warunkiem ograniczenia budżetowego zrównującego
wydatki z dochodami:
max U(c1, ..., cn, l)
c1,..,cn,l
p.w.
n

pi (1 + �i )ci = l
i=1
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Problem gospodarstwa domowego
1
Gospodarstwo domowe maksymalizuje użyteczność z konsumpcji i
pracy, pod warunkiem ograniczenia budżetowego zrównującego
wydatki z dochodami:
max U(c1, ..., cn, l)
c1,..,cn,l
p.w.
n

pi (1 + �i )ci = l
i=1
2
gdzie założyliśmy, bez straty ogólności, że płaca netto jest
znormalizowana do jedynki,
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Problem gospodarstwa domowego
1
Gospodarstwo domowe maksymalizuje użyteczność z konsumpcji i
pracy, pod warunkiem ograniczenia budżetowego zrównującego
wydatki z dochodami:
max U(c1, ..., cn, l)
c1,..,cn,l
p.w.
n

pi (1 + �i )ci = l
i=1
2
gdzie założyliśmy, bez straty ogólności, że płaca netto jest
znormalizowana do jedynki,
3
Dodatkowo ograniczeniu budżetowym mogliśmy bez straty ogólności
założyć, że �l = 0 (zawsze można stronami podzielić przez 1 + �l i
zmienić definicję �i).
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Problem firmy i rządu
1
Firma stara się zmaksymalizować zysk biorąc pod uwagę posiadaną
technologię produkcji
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Problem firmy i rządu
1
Firma stara się zmaksymalizować zysk biorąc pod uwagę posiadaną
technologię produkcji
n

max pi xi - l
x1,..,xn,l
i=1
p.w.
F (x1, ..., xn, l) = 0
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Problem firmy i rządu
1
Firma stara się zmaksymalizować zysk biorąc pod uwagę posiadaną
technologię produkcji
n

max pi xi - l
x1,..,xn,l
i=1
p.w.
F (x1, ..., xn, l) = 0
2
Z kolei rząd prowadzi zrównoważony budżet, wydając na konsumpcję
to co zgromadził w podatkach:
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Problem firmy i rządu
1
Firma stara się zmaksymalizować zysk biorąc pod uwagę posiadaną
technologię produkcji
n

max pi xi - l
x1,..,xn,l
i=1
p.w.
F (x1, ..., xn, l) = 0
2
Z kolei rząd prowadzi zrównoważony budżet, wydając na konsumpcję
to co zgromadził w podatkach:
n n

pigi = �i ci
i=1 i=1
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Problem firmy i rządu
1
Firma stara się zmaksymalizować zysk biorąc pod uwagę posiadaną
technologię produkcji
n

max pi xi - l
x1,..,xn,l
i=1
p.w.
F (x1, ..., xn, l) = 0
2
Z kolei rząd prowadzi zrównoważony budżet, wydając na konsumpcję
to co zgromadził w podatkach:
n n

pigi = �i ci
i=1 i=1
3
Zauważmy, że podatki konsumpcyjne nie występują w problemie
optymalizacyjnym firmy - płacą je gospodarstwa domowe.
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Równowaga konkurencyjna (1)
1
Zakładamy, że wydatki rządowe są dane i ustalone - w takim
wypadku równowagą konkurencyjną (rynkową) nazywamy:
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Równowaga konkurencyjna (1)
1
Zakładamy, że wydatki rządowe są dane i ustalone - w takim
wypadku równowagą konkurencyjną (rynkową) nazywamy:
alokację producenta i konsumenta (c, x, l) dla c = (c1, ..., cn) i
x = (x1, ..., xn),
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Równowaga konkurencyjna (1)
1
Zakładamy, że wydatki rządowe są dane i ustalone - w takim
wypadku równowagą konkurencyjną (rynkową) nazywamy:
alokację producenta i konsumenta (c, x, l) dla c = (c1, ..., cn) i
x = (x1, ..., xn),
wektor cen p = (p1, ..., pn)
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Równowaga konkurencyjna (1)
1
Zakładamy, że wydatki rządowe są dane i ustalone - w takim
wypadku równowagą konkurencyjną (rynkową) nazywamy:
alokację producenta i konsumenta (c, x, l) dla c = (c1, ..., cn) i
x = (x1, ..., xn),
wektor cen p = (p1, ..., pn)
wektor podatków � = (�1, ..., �n)
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Równowaga konkurencyjna (1)
1
Zakładamy, że wydatki rządowe są dane i ustalone - w takim
wypadku równowagą konkurencyjną (rynkową) nazywamy:
alokację producenta i konsumenta (c, x, l) dla c = (c1, ..., cn) i
x = (x1, ..., xn),
wektor cen p = (p1, ..., pn)
wektor podatków � = (�1, ..., �n)
2
ustalone w ten sposób, że:
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Równowaga konkurencyjna (1)
1
Zakładamy, że wydatki rządowe są dane i ustalone - w takim
wypadku równowagą konkurencyjną (rynkową) nazywamy:
alokację producenta i konsumenta (c, x, l) dla c = (c1, ..., cn) i
x = (x1, ..., xn),
wektor cen p = (p1, ..., pn)
wektor podatków � = (�1, ..., �n)
2
ustalone w ten sposób, że:
dla danych podatków � oraz cen p, para (c, l) rozwiązuje problem
konsumenta,
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Równowaga konkurencyjna (1)
1
Zakładamy, że wydatki rządowe są dane i ustalone - w takim
wypadku równowagą konkurencyjną (rynkową) nazywamy:
alokację producenta i konsumenta (c, x, l) dla c = (c1, ..., cn) i
x = (x1, ..., xn),
wektor cen p = (p1, ..., pn)
wektor podatków � = (�1, ..., �n)
2
ustalone w ten sposób, że:
dla danych podatków � oraz cen p, para (c, l) rozwiązuje problem
konsumenta,
dla danych cen p, para (x, l) rozwiązuje problem producenta,
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Równowaga konkurencyjna (1)
1
Zakładamy, że wydatki rządowe są dane i ustalone - w takim
wypadku równowagą konkurencyjną (rynkową) nazywamy:
alokację producenta i konsumenta (c, x, l) dla c = (c1, ..., cn) i
x = (x1, ..., xn),
wektor cen p = (p1, ..., pn)
wektor podatków � = (�1, ..., �n)
2
ustalone w ten sposób, że:
dla danych podatków � oraz cen p, para (c, l) rozwiązuje problem
konsumenta,
dla danych cen p, para (x, l) rozwiązuje problem producenta,
spełnione jest ograniczenie budżetowe rządu,
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Równowaga konkurencyjna (1)
1
Zakładamy, że wydatki rządowe są dane i ustalone - w takim
wypadku równowagą konkurencyjną (rynkową) nazywamy:
alokację producenta i konsumenta (c, x, l) dla c = (c1, ..., cn) i
x = (x1, ..., xn),
wektor cen p = (p1, ..., pn)
wektor podatków � = (�1, ..., �n)
2
ustalone w ten sposób, że:
dla danych podatków � oraz cen p, para (c, l) rozwiązuje problem
konsumenta,
dla danych cen p, para (x, l) rozwiązuje problem producenta,
spełnione jest ograniczenie budżetowe rządu,
rynki dóbr się oczyszczają tzn. xi = ci + gi
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Równowaga konkurencyjna (2)
1
Problemy Lagrange a dla konsumenta i firmy mają odpowiednio
postać:
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Równowaga konkurencyjna (2)
1
Problemy Lagrange a dla konsumenta i firmy mają odpowiednio
postać:
n

Lc = U(c1, ..., cn, l) - c � ( pi (1 + �i )ci - l)
i=1
n

Lf = pi xi - l - f � (F (x1, ..., xn, l))
i=1
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Równowaga konkurencyjna (2)
1
Problemy Lagrange a dla konsumenta i firmy mają odpowiednio
postać:
n

Lc = U(c1, ..., cn, l) - c � ( pi (1 + �i )ci - l)
i=1
n

Lf = pi xi - l - f � (F (x1, ..., xn, l))
i=1
2
Różniczkując je względem konsumpcji ci, pracy l i produkcji xi oraz
dzieląc otrzymujemy:
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Równowaga konkurencyjna (2)
1
Problemy Lagrange a dla konsumenta i firmy mają odpowiednio
postać:
n

Lc = U(c1, ..., cn, l) - c � ( pi (1 + �i )ci - l)
i=1
n

Lf = pi xi - l - f � (F (x1, ..., xn, l))
i=1
2
Różniczkując je względem konsumpcji ci, pracy l i produkcji xi oraz
dzieląc otrzymujemy:
Ui Fi
= -(1 + �i )pi = -pi
Ul Fl
"U "U "F "F
gdzie = Ui , = Ul, = Fi oraz = Fl .
"ci "l "xi "l
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Równowaga konkurencyjna (3)
1
Tym samym każda równowaga konkurencyjna spełnia dwa warunki:
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Równowaga konkurencyjna (3)
1
Tym samym każda równowaga konkurencyjna spełnia dwa warunki:
F (c1 + g1, ..., cn + gn, l) = 0 warunek osiągalności
n

Ui ci + Ull = 0 warunek implementalności
i=1
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Równowaga konkurencyjna (3)
1
Tym samym każda równowaga konkurencyjna spełnia dwa warunki:
F (c1 + g1, ..., cn + gn, l) = 0 warunek osiągalności
n

Ui ci + Ull = 0 warunek implementalności
i=1
2
A jednocześnie zachodzi własność odwrotna tzn. każdą równowagę
rynkową, która spełnia powyższe warunki można osiągnąć jako
równowagę rynkową z transferami, ustawiając podatki na poziomie
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Równowaga konkurencyjna (3)
1
Tym samym każda równowaga konkurencyjna spełnia dwa warunki:
F (c1 + g1, ..., cn + gn, l) = 0 warunek osiągalności
n

Ui ci + Ull = 0 warunek implementalności
i=1
2
A jednocześnie zachodzi własność odwrotna tzn. każdą równowagę
rynkową, która spełnia powyższe warunki można osiągnąć jako
równowagę rynkową z transferami, ustawiając podatki na poziomie
Ui Fl
1 + �i =
Ul Fi
3
wtedy bowiem spełnione jest ograniczenie budżetowe konsumenta.
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Równowaga Ramseya (1)
1
Równowagą Ramseya nazywamy politykę podatkową � oraz
optymalne odpowiedzi na nie ze strony gospodarstw domowych i
firm (c(�), x(�), l(�), p(�)), takie, że polityka ta maksymalizuje
użyteczność gospodarstwa domowego w zbiorze wszystkich
równowag konkurencyjnych (c(� ), x(� ), l(� ), p(� )), przy
założeniu, że spełnione jest ograniczenie budżetowe rządu:
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Równowaga Ramseya (1)
1
Równowagą Ramseya nazywamy politykę podatkową � oraz
optymalne odpowiedzi na nie ze strony gospodarstw domowych i
firm (c(�), x(�), l(�), p(�)), takie, że polityka ta maksymalizuje
użyteczność gospodarstwa domowego w zbiorze wszystkich
równowag konkurencyjnych (c(� ), x(� ), l(� ), p(� )), przy
założeniu, że spełnione jest ograniczenie budżetowe rządu:
� " arg maxU(c(� ), l(� ))
�
p.w.
n n

pi gi = �i ci
i=1 i=1
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Równowaga Ramseya (1)
1
Równowagą Ramseya nazywamy politykę podatkową � oraz
optymalne odpowiedzi na nie ze strony gospodarstw domowych i
firm (c(�), x(�), l(�), p(�)), takie, że polityka ta maksymalizuje
użyteczność gospodarstwa domowego w zbiorze wszystkich
równowag konkurencyjnych (c(� ), x(� ), l(� ), p(� )), przy
założeniu, że spełnione jest ograniczenie budżetowe rządu:
� " arg maxU(c(� ), l(� ))
�
p.w.
n n

pi gi = �i ci
i=1 i=1
2
Trójkę (c(�), x(�), l(�)) nazywamy alokacją Ramseya.
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Równowaga Ramseya (2)
1
Jeśli (c", l") należą do alokacji Ramseya wtedy:
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Równowaga Ramseya (2)
1
Jeśli (c", l") należą do alokacji Ramseya wtedy:
(c", l") " arg max U(c, l)
c,l
p.w.
F (c1 + g1, ...,cn + gn, l) = 0
n

Ui ci + Ull = 0
i=1
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Równowaga Ramseya (2)
1
Jeśli (c", l") należą do alokacji Ramseya wtedy:
(c", l") " arg max U(c, l)
c,l
p.w.
F (c1 + g1, ...,cn + gn, l) = 0
n

Ui ci + Ull = 0
i=1
2
Innymi słowy znalezienie optymalnej polityki podatkowej �
maksymalizującej użyteczność przy założeniu spełnienia ograniczenia
budżetowego rządu w zbiorze wszystkich dopuszczalnych rynkowo
polityk jest równoważne znalezieniu pary (c", l") maksymalizującej
użyteczność w obecności warunków dopuszczalności i
akcetpowalności polityki.
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya Dobra i usługi
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Problem Ramseya dla n=2 (1)
1
Załóżmy, że n = 2 i rozpatrzmy problem Ramseya w formie:
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya Dobra i usługi
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Problem Ramseya dla n=2 (1)
1
Załóżmy, że n = 2 i rozpatrzmy problem Ramseya w formie:
max U(c1, c2, l)
c1,c2,l
p.w.
F (c1 + g1,c2 + g2, l) = 0
U1c1+U2c2 + Ull = 0
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya Dobra i usługi
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Problem Ramseya dla n=2 (1)
1
Załóżmy, że n = 2 i rozpatrzmy problem Ramseya w formie:
max U(c1, c2, l)
c1,c2,l
p.w.
F (c1 + g1,c2 + g2, l) = 0
U1c1+U2c2 + Ull = 0
2
Co oznacza funkcję Lagrange a postaci:
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya Dobra i usługi
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Problem Ramseya dla n=2 (1)
1
Załóżmy, że n = 2 i rozpatrzmy problem Ramseya w formie:
max U(c1, c2, l)
c1,c2,l
p.w.
F (c1 + g1,c2 + g2, l) = 0
U1c1+U2c2 + Ull = 0
2
Co oznacza funkcję Lagrange a postaci:
L = U(c1, c2, l) - U1c1 + U2c2 + Ull - łF (c1 + g1, c2 + g2, l)
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya Dobra i usługi
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Problem Ramseya dla n=2 (2)
1
Sformułowanie funckji Lagrange a pozwala na wyliczenie warunków
pierwszego rzędu dla j " {1, 2, l}:
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya Dobra i usługi
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Problem Ramseya dla n=2 (2)
1
Sformułowanie funckji Lagrange a pozwala na wyliczenie warunków
pierwszego rzędu dla j " {1, 2, l}:
Uj + (U1jc1 + U2jc2 + Uljl) = łFj
2
co można krócej zapisać jako
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya Dobra i usługi
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Problem Ramseya dla n=2 (2)
1
Sformułowanie funckji Lagrange a pozwala na wyliczenie warunków
pierwszego rzędu dla j " {1, 2, l}:
Uj + (U1jc1 + U2jc2 + Uljl) = łFj
2
co można krócej zapisać jako
Fj U1jc1 + U2jc2 + Uljl
1 +  - Hj = ł Hj =
Uj Uj
Fl
Ui
3
a ponieważ jednocześnie 1 + �i = , to optymalne opodatkowanie
Ul Fi
musi spełniać:
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya Dobra i usługi
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Problem Ramseya dla n=2 (2)
1
Sformułowanie funckji Lagrange a pozwala na wyliczenie warunków
pierwszego rzędu dla j " {1, 2, l}:
Uj + (U1jc1 + U2jc2 + Uljl) = łFj
2
co można krócej zapisać jako
Fj U1jc1 + U2jc2 + Uljl
1 +  - Hj = ł Hj =
Uj Uj
Fl
Ui
3
a ponieważ jednocześnie 1 + �i = , to optymalne opodatkowanie
Ul Fi
musi spełniać:
1 +  - Hl
1 + �i = -
1 +  - Hi
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya Dobra i usługi
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Problem Ramseya dla n=2 (3)
1
Przyjmijmy dla ustalenia uwagi separowalną postać funkcji
uzyteczności:
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya Dobra i usługi
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Problem Ramseya dla n=2 (3)
1
Przyjmijmy dla ustalenia uwagi separowalną postać funkcji
uzyteczności:
U(c1, c2, l) = u1(c1) + u2(c2) - v(l)
Uii ci
2
wtedy Hi = - - naszym celem jest związanie Hi z elastycznością
Ui
dochodową popytu na dobro i. W tym celu zauważmy, że jeśli
m > 0 jest niepochodzącym z pracy dochodem takim, że
p1c1 + p2c2 = l + m oraz Ć jest mnożnikiem Lagrangea związanym z
tym ograniczeniem, to:
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya Dobra i usługi
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Problem Ramseya dla n=2 (3)
1
Przyjmijmy dla ustalenia uwagi separowalną postać funkcji
uzyteczności:
U(c1, c2, l) = u1(c1) + u2(c2) - v(l)
Uii ci
2
wtedy Hi = - - naszym celem jest związanie Hi z elastycznością
Ui
dochodową popytu na dobro i. W tym celu zauważmy, że jeśli
m > 0 jest niepochodzącym z pracy dochodem takim, że
p1c1 + p2c2 = l + m oraz Ć jest mnożnikiem Lagrangea związanym z
tym ograniczeniem, to:
"ci "Ć "Ui "Ć
Ui(ci (p, m)) = pi Ć(p, m) �! Uii = pi =
"m "m "Ć "m
"Ć
m 1 m "ci
3
Tym samym Hi = - gdzie �i = jest elastycznością
Ć "m �i ci "m
dochodową konsumpcji, a tym samym Hi > Hj jeśli �j > �i , czyli
dobra pierwszorzędnego użytku powinny być opodatkowywane wyżej
niż dobra luksusowe.
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya Dobra i usługi
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Problem Ramseya dla n=2 (4)
1
Jeśli dodatkowo przyjmiemy, że v(l) = l tzn. użyteczność zależy
liniowo od czasu wolnego/czasu pracy (nie ma efektu dochodowego),
a tym samym:
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya Dobra i usługi
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Problem Ramseya dla n=2 (4)
1
Jeśli dodatkowo przyjmiemy, że v(l) = l tzn. użyteczność zależy
liniowo od czasu wolnego/czasu pracy (nie ma efektu dochodowego),
a tym samym:
"ci Ui 1
Uii = �! Hi =
"pi pi i
"ci pi
2
gdzie i = jest cenową konsumpcji, a tym samym Hi > Hj jeśli
"pi ci
j > i , czyli dobra mniej elastyczne cenowo powinny być
opodatkowywane relatywnie wyżej,
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya Dobra i usługi
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Problem Ramseya dla n=2 (4)
1
Jeśli dodatkowo przyjmiemy, że v(l) = l tzn. użyteczność zależy
liniowo od czasu wolnego/czasu pracy (nie ma efektu dochodowego),
a tym samym:
"ci Ui 1
Uii = �! Hi =
"pi pi i
"ci pi
2
gdzie i = jest cenową konsumpcji, a tym samym Hi > Hj jeśli
"pi ci
j > i , czyli dobra mniej elastyczne cenowo powinny być
opodatkowywane relatywnie wyżej,
3
Inne podobne wnioski dotyczące optymalnego opodatkowania:
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya Dobra i usługi
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Problem Ramseya dla n=2 (4)
1
Jeśli dodatkowo przyjmiemy, że v(l) = l tzn. użyteczność zależy
liniowo od czasu wolnego/czasu pracy (nie ma efektu dochodowego),
a tym samym:
"ci Ui 1
Uii = �! Hi =
"pi pi i
"ci pi
2
gdzie i = jest cenową konsumpcji, a tym samym Hi > Hj jeśli
"pi ci
j > i , czyli dobra mniej elastyczne cenowo powinny być
opodatkowywane relatywnie wyżej,
3
Inne podobne wnioski dotyczące optymalnego opodatkowania:
1 Dobra silniej komplementarne z pracą (np. c2 w
ą ą
U(c1, c2, l) = c1 + c2 (1 - l)� powinny być opodatkowane wyżej niż
dobra mniej komplementarne,
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya Dobra i usługi
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Problem Ramseya dla n=2 (4)
1
Jeśli dodatkowo przyjmiemy, że v(l) = l tzn. użyteczność zależy
liniowo od czasu wolnego/czasu pracy (nie ma efektu dochodowego),
a tym samym:
"ci Ui 1
Uii = �! Hi =
"pi pi i
"ci pi
2
gdzie i = jest cenową konsumpcji, a tym samym Hi > Hj jeśli
"pi ci
j > i , czyli dobra mniej elastyczne cenowo powinny być
opodatkowywane relatywnie wyżej,
3
Inne podobne wnioski dotyczące optymalnego opodatkowania:
1 Dobra silniej komplementarne z pracą (np. c2 w
ą ą
U(c1, c2, l) = c1 + c2 (1 - l)� powinny być opodatkowane wyżej niż
dobra mniej komplementarne,
2 Jeśli preferencje względem konsumpcji są homotetyczne tzn.
U(c1, ..., cn, l) = W (G (c1, ..., cn), l), to stawka podatku VAT
powinna być jedna tzn. �1 = .. = �n],
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya Dobra i usługi
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Problem Ramseya dla n=2 (4)
1
Jeśli dodatkowo przyjmiemy, że v(l) = l tzn. użyteczność zależy
liniowo od czasu wolnego/czasu pracy (nie ma efektu dochodowego),
a tym samym:
"ci Ui 1
Uii = �! Hi =
"pi pi i
"ci pi
2
gdzie i = jest cenową konsumpcji, a tym samym Hi > Hj jeśli
"pi ci
j > i , czyli dobra mniej elastyczne cenowo powinny być
opodatkowywane relatywnie wyżej,
3
Inne podobne wnioski dotyczące optymalnego opodatkowania:
1 Dobra silniej komplementarne z pracą (np. c2 w
ą ą
U(c1, c2, l) = c1 + c2 (1 - l)� powinny być opodatkowane wyżej niż
dobra mniej komplementarne,
2 Jeśli preferencje względem konsumpcji są homotetyczne tzn.
U(c1, ..., cn, l) = W (G (c1, ..., cn), l), to stawka podatku VAT
powinna być jedna tzn. �1 = .. = �n],
3 Dobra pośrednie nie powinny być opodatkowywane VAT.
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne
Przypomnienie
Wprowadzenie
Równowaga konkurencyjna i równowaga Ramseya
Optymalne opodatkowanie
Podsumowanie
Wnioski
Optymalne opodatkowanie w sytuacji, gdy posługujemy się podatkami
zniekształcającymi oznacza ustalenie takiej struktury opodatkowania,
która pozwala na maksymalizację użyteczności gospodarstwa domowego
w sytuacji jednoczesnego spełnienia ograniczenia budżetowego rządu.
Rozwiązane przez nas problemy optymalnego opodatkowania implikują,
że rząd projektując system podatkowy powinien brać pod uwagę
elastyczności dochodowe i cenowe popytu na poszczególne dobra
podlegające opodatkowaniu. O ostatecznym wyniku decyduje więc
kształt preferencji i reakcje gospodarstw domowych na zmiany stawek
podatkowych.
dr Maciej Bukowski Finanse Publiczne