Przykład 1.3. Wyznaczanie toru punktu, jego prędkości i przyśpieszenia oraz promienia
krzywizny toru  współrzędne biegunowe.
Punkt na płaszczyz
nie porusza się tak, że jego równania ruchu we współrzędnych
biegunowych (gdzie k i É sÄ… staÅ‚ymi dodatnimi) sÄ… postaci:
Å„Å‚r(t ) = k eÉ t
òÅ‚
Õ (t ) = É t
ół
Wyznaczyć tor punktu, jego prędkość i przyśpieszenie oraz promień krzywizny toru.
ROZWI
ZANIE
1. Wyznaczenie toru punktu
Równanie toru uzyskamy rugując z równań ruchu parametr czasu. W tym celu
wystarczy podstawić É t = Õ (t ) do równania r(t ). Otrzymamy wtedy
Õ
r = k e .
Zatem torem punktu jest spirala logarytmiczna.
2. Wyznaczenie prędkości punktu
Obliczamy składowe: promieniową i obwodową prędkości punktu, które określone są
zwiÄ…zkami:
dr(t )
Vr = = k É eÉ t
dt
dÕ(t )
VÕ = r = rÉ = kÉ eÉ t
dt
Prędkość całkowita punktu wynosi zatem
V ( t ) = Vr2 +VÕ2 = 2 kÉ eÉ t = 2 É r(t ) .
3. Wyznaczenie przyśpieszenia punktu
Składowe: promieniowa i obwodowa przyśpieszenia wyrażają się związkami:
2
2
d r( t ) dÕ(t )
ëÅ‚ öÅ‚
ar =- r
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
dt
dt
1 d dÕ
ëÅ‚r 2 öÅ‚
aÕ = Å"
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
r dt dt
ObliczajÄ…c potrzebne pochodne
1
dr(t )
= k É eÉ t
dt
2r(t
d )
É t
2e
= k É
2
dt
dÕ
= É
dt
d dÕ d
ëÅ‚ öÅ‚
2É t
ëÅ‚ 2É ÷Å‚ 2É 2e
= ìÅ‚ k e2É t öÅ‚ = 2k
ìÅ‚r2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
dt dt dt
i podstawiajÄ…c do zwiÄ…zków okreÅ›lajÄ…cych ar , aÕ mamy:
ar = 0
2
aÕ = 2kÉ eÉ t
Z powyższego wynika, że wektor przyśpieszenia punktu jest prostopadły do promienia
wodzącego, a jego długość wynosi
22
a = aÕ = 2kÉ eÉ t = 2É r(t ) .
4. Wyznaczenie promienia krzywizny toru
PromieÅ„ krzywizny Á zwiÄ…zany jest ze skÅ‚adowÄ… normalnÄ… przyÅ›pieszenia zależnoÅ›ciÄ…:
2
V
an = , która pozwoli nam obliczyć jego długość.
Á
Obliczmy składową an poprzez rozkład przyśpieszenia na kierunki styczny i normalny:
2 2
n Ä
a2 = a + a .
( ) ( )
2
n Ä
Mamy stÄ…d a = a2 - a .
( )
dV
Ä
Składową styczną przyśpieszenia możemy obliczyć jako a =
dt
d
Ä 2
uzyskujÄ…c a = 2É r(t ) = 2kÉ eÉ t .
( )
dt
n
Wartość składowej a wynosi więc
2 2
n 2 2 2
a = 2kÉ eÉ t - 2kÉ eÉ t = 2 kÉ eÉ t ,
() ()
a szukany promieÅ„ krzywizny Á wynosi
2
2 kÉ eÉ t
()
Á == 2 keÉ t = 2 r(t ).
2
2kÉ eÉ t
2