Szczecin, 25-06-2008
Egzamin z matematyki 1
rok I, semestr II
Teoria
2 pkt. Zadanie I. Podać definicję minimum funkcji dwóch zmiennych. Korzystając z definicji wykazać,
że funkcja
z = x2 + y2
Posiada w punkcie (0, 0) minimum.
2 pkt. Zadanie II. Podać definicję pochodnej cząstkowej pierwszego rzędu funkcji f względem y w
"f y
punkcie (x0, y0). Korzystając z definicji obliczyć pochodną (-1, 1), gdzie f(x, y) = .
"y x
2 pkt. Zadanie III. Podać definicję obszaru normalnego względem osi Oy. W podanej całce iterowanej
zmienić kolejność całkowania
Ä„
3 sin x

dx f(x, y)dy
0 0
2 pkt. Zadanie IV. Podać kryterium porównawcze zbieżności szeregów. Korzystając z tego kryterium
zbadać zbieżność szeregu liczbowego
"

n2
n3 + 8
n=1
2 pkt. Zadanie V. Podać definicję transformaty Laplace a funkcji f(t). Korzystając z definicji obliczyć
L[t2]
Zadania
1 pkt. Zadanie 1. Obliczyć długość łuku krzywej

"
y = x - x2 + arcsin x
2 pkt. Zadanie 2. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych
3
z = 2x3 - xy2 + 5x2 + y2 + x
2
3 pkt. Zadanie 3. Obliczyć całkę podwójną


x2 + y2dxdy,
D
gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi x2 + y2 = 4x, x2 + y2 = 6x.
6 pkt. Zadanie 4. Rozwiązać równania różniczkowe
a. (1 + 3x2 sin y)dx - xctgydy = 0 c. y + 4y + 4y = e-2xtg2x
b. y(5) + 3y(3) - 4y = ex
3 pkt. Zadanie 5. Znalez
ć przedział zbieżności szeregu potęgowego oraz wyznaczyć jego sumę we-
wnątrz tego przedziału.
"

(n + 1)xn+1
4n
n=0
2 pkt. Zadanie 6. Rozwinąć w szereg Fouriera względem sinusów funkcję
f(x) = 1 - x, 0 < x < Ä„
3 pkt. Zadanie 7. Korzystając z transformacji Laplace a rozwiązać równanie różniczkowe z warunkami
poczÄ…tkowymi
y + y = et y(0) = y (0) = y (0) = 0
1
I. L[1] = 3. L[1(t - t0)f(t - t0)] = e-t0sF (s)
s
n!
4. L[es0tf(t)] = F (s - s0)
II. L[tn] =
sn+1
1
5. L[f(n)(t)] = snF (s)-sn-1f(0+)-sn-2f (0+)-
III.L[eat] =
s-a
. . . - sf(n-2)(0+) - f(n-1)(0+)
1
IV.L[sin at] =
s2+a2
(n)
6. L[tnf(t)] = (-1)nF (s)
s

V. L[cos at] =

t
s2+a2 F (s)
7. L f(Ä)dÄ =
0 s
1. L[Ä…f(t) + ²f(t)] = Ä…F (s) + ²G(s)


"
f(t)
8. L = F (p)dp
t s
1 s
2. L[f(Ä…t)] = F
Ä… Ä…